30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов

Номер задания № 19.11 из решебника ГДЗ на задачник 2 часть по Алгебре 9 класса от авторов А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина. Готовое домашнее задание актуально на 2010-2018 годы.

Условие

30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов (оценки на экзаменах «2», «3», «4» или «5»): 20; 19; 12; 13; 16; 17; 17; 14; 16; 20; 14; 19; 20; 20; 16; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
а) Составьте общий ряд данных.
б) Выпишите ряд данных этого измерения, стоящих на нечетных местах.
в) Какова кратность варианты 13 в измерении из пункта б), варианты 14, варианты 15?
г) Выпишите сгруппированный ряд измерения из пункта б).

Тема
Основы математической статистики (МС)
08.12.2020
К.Ф. Гаусс
(1777-1855)
Математика – царица наук!
1795 г. — на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов
С этой работы математическая статистика
начинается как наука

I. Основные понятия
Г. Ахенвалль
(1719—1772)
Статистика
– это область науки, изучающая сбор, анализ и интерпретацию данных.
От лат. s tatus — «состояние, положение вещей»
1746 г. – Г.Ахенваль ввел термин в науку

Пример 1.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181.
Недостатки данной информации:
Трудно «читается»
Не наглядна
Зани­мает много места
Другие задачи статистики:
полу­чение и хранение информации
выработка различных прогно­зов
оценка их достоверности
Выход:
— пре­образовать данные, получить небольшое количество характеристик начальной информа­ции.
 Одна из основных задач статистики: обработка инфор­мации.

Новый термин
Простое описание
Более научный термин
Определение
Общий ряд данных
Выборка
Варианта
Ряд данных
То, откуда выбирают
То, что выбрали
Значение од­ного из ре­зультатов из­мерения
Значения всех резуль­татов измере­ния, перечис­ленные по по­рядку
Генеральная совокупность
Статистическая выборка, статистический ряд
Варианта
Вариационный ряд
Множество всех в принципе возможных результатов измерения
Множество результатов, реально полученных в данном измерении
Одно из значений эле­ментов выборки
Упорядоченное множе­ство всех вариант

Пример 1.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181.
С некоторым за­пасом можно считать, что рост девятиклассника находит­ся в пределах от 140 до 210 см.

Общий ряд данных этого измере­ния: 140; 141; 142;…; 208; 209; 210
1.
Ряд данных — все реальные результаты изме­рения, выписанные в определенном порядке без повторений, например, по возрастанию:
157; 158; 160; 162; 163; 164; 165; 168; 175; 176; 177; 178; 179; 180; 181; 185; 190
Выборка — это данные реального измере­ния роста
(выписаны выше)
2.
3.
Варианта — это любое из чи­сел выборки
4.

Пример 2.
30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов (оценки на экзаменах выставлялись по пятибалльной системе):
20; 19; 12; 13; 16; 17; 15; 14; 16; 20; 15; 19; 20; 20; 15; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
Составьте общий ряд данных, выборку из результатов, стоящих на четных ме­стах и соответствующий ряд данных.
Решение:
После получения двойки дальнейшие экзаме­ны не сдаются, поэтому сумма баллов не может быть меньше 12 (12 — это 4 «тройки»).  О бщий ряд данных: 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
Выборка состоит из 15 результатов: 19; 13; 17; 14; 20; 19; 20;…, расположенных на четных местах
Ряд данных: 13; 14; 17; 19; 20
Составим таблицу распреде­ления выборки и частот выборки

Варианта
13
14
17
19
20
Кратность варианты
Частота варианты
Пример 2.
30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов (оценки на экзаменах выставлялись по пятибалльной системе):
20; 19 ; 12; 13 ; 16; 17 ; 15; 14 ; 16; 20 ; 15; 19 ; 20; 20 ; 15; 13 ; 19; 14 ; 18; 17 ; 12; 14 ; 12; 17 ; 18; 17 ; 20; 17 ; 16; 17.
Составьте общий ряд данных, выборку из результатов, стоящих на четных ме­стах и соответствующий ряд данных.
Решение:
Составим таблицу распреде­ления выборки и часто выборки
2
3
6
2
2
Всего: 5 вариант
Сумма =15
(объем выборки)
Сумма =1
(так всегда)
Иногда измеряется в процентах (·100%)

II. Графическое представление информации
Алгоритм получения графика распределения выборки:
Отложить по оси абсцисс значения из первой строки таблицы
Отложить по оси ординат — значения из ее второй строки
Построить соответствующие точки в координатной плоскости
Построенные точки для наглядности соединить отрезками
Примечание:
Если заменить вторую строку таблицы ее третьей строкой, то получится график распределения частот выборки.
Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можно перейти к функциям и их графикам.
Пример 2.
Варианта
13
14
17
19
20
Кратность варианты
Частота варианты
2
3
6
2
2
Всего: 5 вариант
Сумма =15 (объем выборки)
Сумма =1 (так всегда)
Термин « график распределения частот выборки » заменяют кратким — многоугольник частот или полигон частот.
(polygon – многоугольник)

Пример 3.
Постройте график распределения и много­угольник частот для следующих результатов письменного эк­замена по математике:
6
7
7
8
9
2
10
6
5
6
7
3
7
9
9
2
3
2
6
6
6
7
8
8
2
6
7
9
7
5
9
8
2
6
6
3
7
7
6
6
Решение:
Выборка объема 40.
Ряд данных — 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10
Составим таблицу и построим график
Варианта
2
3
5
6
7
8
9
10
Кратность варианты
Частота варианты
Частота (%)
варианты
Всего 8 вариант
Сумма = 40
5
3
2
11
9
4
5
1
Сумма = 1
0,125
0,075
0,05
0,275
0,225
0,1
0,125
0,025
Сумма = 100%
12,5
7,5
5
27,5
22,5
10
12,5
2,5

Многоугольник распределения кратностей

Многоугольник распределения частот

Многоугольник распределения частот (%)
Чаще всего в практических приложениях ис­пользуют многоугольники частот в процентах.

Построение гистограмм (столбчатых диаграмм) распределения:
Разбиваем промежуток между самой маленькой и самой большой вариантой на уча­стки:
«Плохие» оценки  [2; 4]
«Средние» оценки  [5; 7]
«Хорошие» оценки  [8; 10]
Получили интервальный ряд данных : 2—4; 5—7; 8—10.
Пример 3.
Постройте график распределения и много­угольник частот для следующих результатов письменного эк­замена по математике:
6
7
7
8
9
2
10
6
5
6
7
3
7
9
9
2
3
2
6
6
6
7
8
8
2
6
7
9
7
5
9
8
2
6
6
3
7
7
6
6
Варианта
«Плохие»
«Средние»
«Хорошие»
Кратность варианты
Частота варианты
Частота (%) варианты
8
22
10
0,2
0,55
0,25
20
55
25

Гистограмма распределения кратностей
Площадь равна кратности варианты.

Гистограмма распределения частот

Гистограмма распределения частот (%)

«-» представления информации в виде гистограмм
Теряется первоначальная точная информация
«+»
Ответ получается более быстро
Наглядно видна качественная оценка распределения данных

III. Гистограммы распределения большого объёма информации
Гистограммы незаменимы, когда ряд данных состоит из большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.).
Если ширина столбцов гистограммы мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежу­ток, то сама гистограмма похожа на график непре­рывной функции.
Та­кую функцию называют выравнивающей функцией.
Пример 4.
Гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.

Пример 5. Произвели 500 изме­рений боковой ошибки при стрельбе с самолета.
На графике по оси абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат отложены частоты этих ошибок.

Пример 6. Измерялся размер 12000 бобов.
По оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера бобов, а по оси ординат соответствующие частоты

Примеры взяты из различных областей, а гра­фики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга.
Такому же закону распределения подчиняется:
Распределение горошин по размеру
Распределение новорож­денных младенцев по весу
Распределение частиц газа по скоростям дви­жения
…
Все эти кривые получаются из одной кривой.
Её называют кривой нормального рас­пределения или, в честь Карла Га­усса, гауссовой кривой.

Гауссова кривая
(кривая нормального распределения)
Свойства:
Симметрична относительно оси Oy
Единственный максимум ( (0) = 0,3989 )
Площадь части плоскости, ограниченной кривой и осью Ох равна 1.
«Ветви» очень быстро приближаются к оси абсцисс: площадь «под гауссовой кривой» на [-3; 3] равна 0,99
Аналитическое задание кривой:
Для значений функции составлены таблицы
e (число Эйлера) = 2,7 182818284590452353602874713527…

Доска Гальтона ( квинкункс, 1873 г. )
Устройство для наглядной демонстрации нормального (гауссова) закона распределения
География
Антропология
Статистика
Дифференциальная психология
Психометрика
Ф. Гальтон
(1822 — 1911)
Принцип действия:
Падающие сверху шарики распределяются между правильными шестиугольниками
В результате попадают на горизонтальную поверхность
Образуют картинку, похожую на «подграфик» гауссовой кривой.

IV. Числовые характеристики выборки
Объемы выборок данных велики 
Приходится иметь дело с числовыми характеристиками
1) Размах ( R)
— это разница между наибольшей и наименьшей вариантой
( R = X max — X min )
2) Мода (Mo)
— это наиболее часто встречающаяся ее варианта
Длина области определения
Точка, в которой достигается максимум
(Если одна, то выборка – унимодальная )

Изображение слайда

3 ) Медиана ( Me )
(от лат. m ediana – «среднее»)
Медианой выборки с нечетным числом вариант называется варианта, записанная посередине в упорядоченной выборке
Медианой выборки с четным числом вариант называется среднее арифметическое двух вариант, записанных посередине в упорядоченной выборке
4 ) Среднее значение (среднее арифметическое значение, )
— Сумма результатов разделённая на их количество

Пример 7.
Найдите среднее значение, размах и моду выборки:
а) 32; 26; 18; 26; 15; 21; 26
1.
2.
Х max : 32
Х min : 15
R = Х max – Х min = 32 – 15 = 17
3.
Мо = 2 6
б) 21; 18,5; 25,3; 18,5; 17,9
1.
2.
X max : 25,3
X min : 1 7,9
R = X max – X min = 25,3 – 17,9 = 7,4
3.
Мо = 18,5

Пример 8.
В выборке 2, 7, 10, _, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым.
Восстановите его, зная, что среднее значение этих чисел равно 14.
Решение:
Пусть искомое число Х
Ответ: 15

Пример 9.
Найдите медиану выборки:
30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52;
Пример 10.
Зная, что в упорядоченном ряду содержится m чисел, где m — нечетное число, укажите номер члена, являющегося медианой, если m равно: 5
Решение:
1) Упорядочить выборку: 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52
2) Число членов ряда: n = 9
3) Серединный элемент (5-ый): 41
4) Ме = 41
Решение:
Номер члена, являющегося медианой: 3

Пример 11.
В ряду данных, состоящем из 12 чисел, наибольшее число увеличили на 6. Изменятся ли при этом и как:
а) среднее значение;
б) размах;
в) мода;
г) медиана?
Увеличится на 1/2
Увеличится на 6
Не изменится (?)
Не изменится (?)

5) Среднее отклонение ( )
Среднее арифметическое отклонений (в абсолютных показателях) всех вариант выборки от их среднего значения.
6) Дисперсия ( D )
Величина колебания вариант около их среднего значения
7) Среднее квадратичное отклонение (  — сигма )
Коэффициент вариации ( CV)
0  CV  10% — выборка однородна
11  CV  20 % — средняя степень однородность
21  CV – низкая степень однородности

Пример 12.
Вычислите среднее отклонение, дисперсию, среднее квадратичное отклонение и коэффициент выборки:
46; 50; 59; 60; 55; 49
№
1
46
2
50
3
59
4
60
5
55
6
49

319
7,2
3,2
5,8
6,8
1,8
4,2
2 9
51,4
10,0
34,0
46,7
3,4
17,4
16 2,9
0  CV  10% — выборка однородна

V. Экспериментальные данные и вероятности событий
Пример 13. Бросание монеты
Запишем О или Р в зависимости от того, выпал «орел» или «решка».
После n бросаний при неизменных условиях этого испытания, получится случайная последовательность.
Например: О, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р, О, О, Р, Р, О, О, Р…
Т.о., имеется выборка, в которой две варианты О и Р.
Сделаем расчеты для указанной последовательности.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Частота Р
Частота О
При достаточно боль­шом числе бросаний частота приближается к некоторому по­стоянному числу.
В данном случае к 0,5.

Бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях.
Ж. Бюффон
(1707 — 1788)
К. Пирсон
(1857-1936)
Бросил монету 24000 раз, и при этом герб выпал в 12012 случаях.

Статистическая устойчивость (СУ)
При большом числе независимых повторе­ний одного и того же опыта в неизменных условиях частота появления определенного случайного события практически совпадает с некоторым постоянным числом. Такое число назы­вают статистической вероятностью этого события.
СУ имеет место при:
Выпадении определенно­го числа очков на игральных кубиках
Рождении мальчиков
Времени восхода солнца
…
СУ соединяет реально проводимые испытания с теоретическими моделями этих испытаний.

Пример 14.
Статистические исследования над литературными текстами показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым кон­стантам.
Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка.
Таблица для букв русского ал­фавита и пробелов
(частоты приведены в процентах)

Пример 15.
До сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона».
Многие считают, что в 23 года М. А. Шоло­хов такую глубокую и поистине великую книгу написать не мог.
Особенно жаркими были споры в момент при­суждения М. А. Шолохову Нобелевской премии в области литературы ( 1965 г. ).
Статистический анализ романа и сличе­ние его с текстами, в авторстве которых не было сомнений, подтвердил гипотезу о М. А. Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».
М.А. Шолохов
(1905 — 1984)
Шведский король Густав Адольф поздравляет М. А. Шолохова с присуждением ему Нобелевской премии (Стокгольм, 1965)

Пример 16.
В се­редине 60-х годов в одной из стран Западной Европы были опубликованы « очерняющие прогрессивный характер социа­листической системы » литературные произведения.
Автором был А. Терц, но это псевдоним.
Был проведен сравнительный ана­лиз опубликованных «вредительских» текстов и результаты были сличены с произведениями ряда возможных кандидатов в авторы.
А.Д. Синявский (1925 — 1997)
А. Д. Синявский и Ю. М. Даниэль в зале суда
Ответ оказался однозначным:
настоящим автором был литературовед А.Д. Синявский.
В 1967 году (« Процесс Синяв­ского и Даниэля ») получил 5 лет тюрьмы и 7 лет ссылки.

08.12.2020
Конспект