508424 решу егэ математика профиль

Решите неравенство: 3x минус |x плюс 8| минус |1 минус x| меньше или равно минус 6.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

минус |x плюс 8| минус |1 минус x| меньше или равно минус 3x минус 6 равносильно |x плюс 8| плюс |1 минус x| больше или равно 3x плюс 6.

Последнее неравенство заведомо выполняется, если правая часть отрицательна, то есть при x меньше минус 2.

Если x больше или равно минус 2, то

x плюс 8 плюс |x минус 1|geqslant3x плюс 6 равносильно |x минус 1| больше или равно 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .

Это верно тогда и только тогда, когда x минус 1 меньше или равно 0. Решение неравенства: x меньше или равно 1.

Ответ: левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальный балл 2
Источник

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

New 

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}

Сделаем замену { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2=t}.

Тогда { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1=t+1}, а { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3=t-1}.

Получим:

frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};

frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};

frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};

frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};

frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..

Вернемся к переменной x: left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .

left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .

Ответ: xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].

Показательные неравенства

2. Решите неравенство 2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.

2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.

Сделаем замену 2^x=t,t textgreater 0. Получим:

t+17cdot frac{8}{t}-25le 0. Умножим неравенство на t textgreater 0.

t^2-25t+136le 0.

Дискриминант квадратного уравнения t^2-25t+136=0.

D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81. Значит, корни этого уравнения: left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.

Разложим квадратный трехчлен t^2-25t+136 на множители.

t^2-25t+136le 0 Longleftrightarrow left(t-17right)left(t-8right)le 0.

8le tle 17. Вернемся к переменной x.

8le 2^xle 17.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};

3le xle {{log }_2 17};

Ответ: xin left[3;{{log }_2 17}right].

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство 2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.

Сделаем замену 2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0. Получим:

frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;

frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;

frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;

frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.

left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.

Вернемся к переменной x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.

Первое неравенство решим легко: 2x-x^2 textless 0. С неравенством {2le 2}^{2x-x^2} тоже все просто. Но что делать с неравенством 2^{2x-x^2}le 3? Ведь 3 = 2^{{{log }_2 3}}. Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим t=2^{2x-x^2}. Для этого рассмотрим функцию tleft(xright)=2^{2x-x^2}.

Сначала оценим показатель степени. Пусть zleft(xright)=2x-x^2. Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом y(1) = 1.

Мы получили, что zleft(xright)le 1.

Тогда 2^{zleft(xright)}le 2, и это значит, что tleft(xright)le 2. Значение tleft(xright)=3 не достигается ни при каких х.

Но если {2le 2}^{2x-x^2} и 2^{2x-x^2}le 2, то 2^{2x-x^2}=2.

Мы получили:

left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow

Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.

Ответ: xin left(-infty ;0right)cup left{1right}cup left(2;+infty right){ }.

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство 2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow

Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.

Ответ: xin left(-frac{1}{3};0right).

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство 2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.

2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.

ОДЗ: {cos x} textgreater 0.

Замена {{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.

2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;

8t^2+7t-1 geq 0;

D=7^2-4cdot 8cdot left(-1right)=49+32=81;

t_1=frac{-7-9}{16}=-1;

t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.

(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.
Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.

Ответ: xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: {{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.

log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }. Используем также условия { 3-x textgreater 0}; , { x+4 textgreater 0.}

left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow

Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.

Поскольку { 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}

Согласно методу замены множителя, выражение {{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right) заменим на left({ 3-x-1}right)left({ x+4-1}right).

Получим систему:

left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.

Решить ее легко.

Ответ: { x}in left[{ -}{ 3};{ 2}right).

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

{{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.

ОДЗ: left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

{{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};

{{log }_3 9=2};

{{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.

Функции y_1=log_2 left(x-5right) и y_2 =log _3 x — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции {{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}} равно 4, при x textless 9 значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом x textgreater 5, то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами

28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы

29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы

5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы

13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов

11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами

19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы

22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами

25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами

27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами

2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания

13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами

25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы

4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами

4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами

Смотрите также на нашем сайте:

Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник

  • ЗАДАЧИ ЕГЭ С ОТВЕТАМИ

  • АНГЛИЙСКИЙ без ГРАНИЦ

2012-07-23

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Конструктор упражнений для позвоночника!

Один отзыв

  1. 2011saw

    2013-01-14 в 22:43

    Спасибо за Ваш труд!!!

    Ответить

Добавить комментарий

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

  • РубрикиРубрики
  • Задачи по номерам!

    №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №15 №16

  • МЕТКИ

    БЕЗ калькулятора Выбор варианта Как запомнить Личное Логарифмы Объём Окружность Круг Площадь Производная Треугольник Тригонометрия Трапеция Углы Уравнения Формулы Конкурсы Параллелограмм Поздравления Рекомендации Саморазвитие

  • ОСТЕОХОНДРОЗУ-НЕТ!

Источник
Skip to content

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.admin2022-08-27T23:17:48+03:00

Источник

Параллельность в пространстве

  • Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
  • Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
  • Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
  • Если прямая a, не лежащая в плоскости $α$, параллельна некоторой прямой $b$, которая лежит в плоскости $α$, то прямая a параллельна плоскости $α$.
  • Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Перпендикулярность в пространстве

  • Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.
  • Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
  • Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
  • Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
  • Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
  1. Перпендикуляр короче наклонных.
  2. Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
  3. Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.

Скрещивающиеся прямые

  • Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
  • Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
  • Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
  • Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Многогранники

Введем общие обозначения

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$V$ — объем фигуры.

Название Определение и свойства фигуры Обозначения и формулы объема, площади
Прямоугольный параллелепипед 1. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.

3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

 $V=a·b·c$, где $a, b$ и $с$ – длина, ширина и высота.
$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.
Куб 1. Противоположные грани попарно параллельны.
2. Все двугранные углы куба – прямые.

3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра.

$B_1 D=АВ√3$
4. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
$DС1=DC√2$

 Пусть $а$ — длина ребра куба, $d$ — диагональ куба, тогда справедливы формулы:
$V=a^3={d^3}/{3√3}$.
$S_{п.п}=6а^2=2d^2$
$R={a√3}/{2}$, где $R$ — радиус сферы, описанной около куба.
$r={a}/{2}$, где $r$ — радиус сферы, вписанной в куб.
Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

  1. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
  2. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
  3. В правильной четырехугольной призме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
 $S_{бок}=P_{осн}·h$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$
$V=S_{осн}·h$
Пирамида
  1. У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).
  2. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
 Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ — высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
Усеченная пирамида
  1. Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между пирамидой и секущей плоскостью, параллельной.
  2. Правильная усечённая пирамида получается при сечении правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
  3. У правильной усеченной пирамиды апофемы равны
 $V={h(F+f+√{Ff})}/{3}$
Где $F,f$ — площади оснований;
$h$ — высота (расстояние между основаниями);
Для правильной ус. пирамиды
$S_{бок}={(P+p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема.
Цилиндр
  1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.
  2. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
  3. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
  4. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.
    $R_{сферы}=R_{цилиндра}={h_{цилиндра}}/{2}$
 $S_{бок.пов.}=2πR·h$
$S_{полной.пов.}=2πR(R+h)$
$V=πR^2·h$
Конус
  1. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
  2. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
  3. Если радиус или диаметр конуса увеличить в $n$ раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
  4. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.
 $S_{бок.пов.}=πR·l$
$S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$
$V={πR^2·h}/{3}$
Усеченный конус
  1. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
  2. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
 $S_{бок}=πl(R+r)$
$S_{п.п.}=π(R^2+r^2+l(R+r))$
$V={πH(R^2+r^2+Rr)}/{3}$
Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ — высота усеченного конуса.
Сфера, шар
  1. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
  2. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.
  3. Если радиус или диаметр шара увеличить в $n$ раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.
 $S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы
$V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Тетраэдр

Радиус описанной сферы тетраэдра.

Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ — радиус описанной сферы, $a$ — ребро тетраэдра.

$R={a√6}/{4}$

Радиус вписанной в тетраэдр сферы.

В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.

Где $r$ — радиус вписанной в тетраэдр сферы,

$a$ — ребро тетраэдра.

$r={a√6}/{12}$

Составные многогранники

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Пример:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

$S_1=6·6=36$

$S_2=2·4=8$

$S_осн=36+8=44$

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$

Ответ: $424$

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей

$АВ=a_n$ — сторона правильного многоугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$r$ — радиус вписанной окружности

$n$ — количество сторон и углов

$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;

$r=R·cos{180°}/{n}$;

$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.

Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:

$α={(n-2)·180°}/{n}$

Формулы площадей треугольников и многоугольников, которые могут находиться в основании многогранников

В основании лежит треугольник

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне а

2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a, b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.

3. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности

4. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности

5. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.

Источник
3511 Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными
Решение		 Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 5 Задание 4 ...X
3499 Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Биолог» выиграет жребий ровно два раза
Решение		 Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 3 Задание 4 ...X
3486 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г
Решение		 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 1 Задание 4 ...X
3450 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что извлечённый наугад кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань
Решение		 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера ! Тренировочный вариант 397 от Ларина Задание 4 ...X
3315 Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стёкол, вторая — 55 %. Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты. Вторая фабрика выпускает 1 % дефектных стекол. Все стекла поступают в продажу в магазины запчастей. Найдите вероятность того, что случайно выбранное стекло окажется с дефектом
Решение		 Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты ! Тренировочная работа №3 по Математике 11 класс 16.02.2022 Вариант МА2110311 Задание 10 ...X
3303 За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки. Найдите вероятность того, что рядом с любым мальчиком будут сидеть две девочки
Решение		 За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 31 Задание 10 ...X
3302 В кафе на одной полке в случайном порядке стоят 50 чайных чашек: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. На другой полке в случайном порядке стоят 50 блюдец: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета
Решение		 Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 30 Задание 10 ...X
3293 Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии играют фигурами другого цвета. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза
Решение		 Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5 ! Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 27.01.2022 Вариант МА2100109 Задание 10 ...X
3284 В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно
Решение		 В магазине три продавца ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 27 Задание 10 ...X
3278 Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?
Решение		 Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени» ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 26 Задание 10 ...X

К следующей страницеПоказать ещё…

Показана страница 1 из 14

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • 508368 решу егэ математика
  • 508366 решу егэ
  • 508358 решу егэ математика
  • 508355 решу егэ математика
  • 508348 решу егэ математика

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии