514914 егэ математика

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система [begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\
y^2=x^2end{cases}]

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде (y=pm x). Следовательно, рассмотрим два случая: когда (y=x) и когда (y=-x). Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

1) (y=x). Подставим в первое уравнение и получим: [2x^2-2(3a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad(1)] (заметим, что в случае (y=-x) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его (D>0). Найдем дискриминант уравнения (1):
(D=-4(a^2+4a+2)).
Дискриминант больше нуля: (a^2+4a+2<0), откуда (ain (-2-sqrt2;
-2+sqrt2)).

2) (y=-x). Получаем квадратное уравнение: [2x^2-2(a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad (2)] Дискриминант больше нуля: (D=-4(9a^2+12a+2)>0), откуда (ain
left(frac{-2-sqrt2}3; frac{-2+sqrt2}3right)).

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Пусть (x_0) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда [2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=2x_0^2-2(a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1] Отсюда получаем, что либо (x_0=0), либо (a=0).
Если (a=0), то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если (x_0=0) – их общий корень, то тогда (2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0), откуда ((2a+2)^2+a^2-1=0), откуда (a=-1) или (a=-0,6). Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.

Ответ:

(ainleft(frac{-2-sqrt2}3; -1right)cupleft(-1;
-0,6right)cupleft(-0,6; -2+sqrt2right))

Найдите все значения (a), при каждом из которых система [begin{cases}
(a-1)x^2+2ax+a+4leqslant 0\
ax^2+2(a+1)x+a+1geqslant 0 end{cases}]

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для (a), то итоговый ответ: [ain left{-dfrac34; dfrac43right}]

Ответ:

(left{-frac34; frac43right})

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений [begin{cases}
2x^2+2y^2=5xy\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 end{cases}]

имеет ровно два решения.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно (x): [2x^2-(5y)x+2y^2=0] Дискриминант равен (D=9y^2), следовательно, [x_{1,2}=dfrac{5ypm 3y}4quadRightarrow quad x_1=2y, quad x_2=dfrac12y] Тогда уравнение можно переписать в виде [(x-2y)cdot (2x-y)=0] Следовательно, всю систему можно переписать в виде [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &y=2x\[1ex]
&y=0,5xend{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4end{cases}] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в ((a;a)) и радиусом (R=sqrt5a^2). Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, (a=1):

Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой (y=x).

2) Так как у прямой (y=kx) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси (Ox) равен (k), то тангенс угла наклона прямой (y=0,5x) равен (0,5) (назовем его (mathrm{tg},alpha)), прямой (y=2x) – равен (2) (назовем его (mathrm{tg},beta)). Заметим, что (mathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta=1), следовательно, (mathrm{tg},alpha=mathrm{ctg},beta=mathrm{tg},(90^circ-beta)). Следовательно, (alpha=90^circ-beta), откуда (alpha+beta=90^circ). Это значит, что угол между (y=2x) и положительным направлением (Oy) равен углу между (y=0,5x) и положительным направлением (Ox):

А так как прямая (y=x) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями (Ox) и (Oy) равны по (45^circ)), то углы между (y=x) и прямыми (y=2x) и (y=0,5x) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые (y=2x) и (y=0,5x) симметричны друг другу относительно (y=x), следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если (a=0), то окружность вырождается в точку ((0;0)) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:

Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти (a>0), а в третьей (a<0) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.

Заметим, что (OQ=sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=sqrt2a), (QK=R=sqrt5a^2). Тогда [OK=sqrt{2a^2-5a^4}] Тогда [mathrm{tg},angle
QOK=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}] Но, с другой стороны, [mathrm{tg},angle QOK=mathrm{tg},(45^circ-alpha)=dfrac{mathrm{tg},
45^circ-mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg},45^circcdot
mathrm{tg},alpha}] следовательно, [dfrac{1-0,5}{1+1cdot 0,5}=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}
quadLeftrightarrowquad a=pm dfrac15] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для (a). Следовательно, ответ: [ain {-0,2;0,2}]

Ответ:

({-0,2;0,2})

Найдите все значения (a), для каждого из которых уравнение [25^x-(a+6)cdot 5^x=(5+3|a|)cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)]

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Сделаем замену (t=5^x, t>0) и перенесем все слагаемые в одну часть: [t^2-bigg((a+6)+(5+3|a|)bigg)cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются (t_1=a+6) и (t_2=5+3|a|). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с (t) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что (t_2) при всех (a) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

1) (t_1=t_2): [a+6=5+3|a| quadLeftrightarrowquad 3|a|=a+1 quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} & 3a=a+1\
&3a=-a-1 end{aligned} end{gathered} right. \
a+1geqslant 0 end{cases}quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} & a=dfrac12\[2ex]
&a=-dfrac14 end{aligned} end{gathered} right.]

2) Так как (t_2) всегда положителен, то (t_1) должен быть (leqslant
0): [a+6leqslant 0 quadLeftrightarrowquad aleqslant -6.]

Ответ:

((-infty;-6]cupleft{-frac14;frac12right})

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{x^2-a^2}=sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}]

имеет ровно один корень на отрезке ([0;1]).

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение можно переписать в виде: [sqrt{(x-a)(x+a)}=sqrt{(3x-1)(x-a)}] Таким образом, заметим, что (x=a) является корнем уравнения при любых (a), так как уравнение принимает вид (0=0). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (0leqslant
aleqslant 1).
Второй корень уравнения находится из (x+a=3x-1), то есть (x=frac{a+1}2). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: [left(dfrac{a+1}2-aright)cdot
left(dfrac{a+1}2+aright)geqslant 0quadRightarrowquad
-dfrac13leqslant aleqslant 1] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы [0leqslant dfrac{a+1}2leqslant 1
quadRightarrowquad -1leqslant aleqslant 1] Таким образом, чтобы корень (x=frac{a+1}2) существовал и принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (-frac13leqslant aleqslant 1).
Заметим, что тогда при (0leqslant aleqslant 1) оба корня (x=a) и (x=frac{a+1}2) принадлежат отрезку ([0;1]) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: [a=dfrac{a+1}2quadRightarrowquad a=1] Таким образом, нам подходят (ain left[-frac13; 0right)) и (a=1).

Ответ:

(ain left[-frac13;0right)cup{1})

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [xsqrt{x-a}=sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}]

имеет единственный корень на отрезке ([0;1].)

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение равносильно: [xsqrt{x-a}=sqrt{3a(1-x)}] ОДЗ уравнения: [begin{cases} xgeqslant 0\ x-ageqslant 0\3a(1-x)
geqslant 0end{cases}] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: [x^3-a(x^2-3x+3)=0]

1) Пусть (a<0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 1). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке ([0;1]), этот корень должен быть равен (1). Проверим: [1^3-a(1^2-3cdot 1+3)=0 quadRightarrowquad a=1.] Не подходит под (a<0). Следовательно, эти значения (a) не подходят.

2) Пусть (a=0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 0). Уравнение перепишется в виде: [x^3=0 quadRightarrowquad x=0] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок ([0;1]). Следовательно, (a=0) – подходит.

Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: [ain [0;1]]

Ответ:

([0;1])

Найдите все значения (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{1-4x}cdot ln(9x^2-a^2)=sqrt{1-4x}cdot ln (3x+a)]

имеет ровно один корень.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Данное уравнение можно переписать как [begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\[2ex]
3x+a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln (3x-a)=0\
3x+a>0end{cases}] Система имеет два корня:
1) (x_1=frac14), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (3x-a>0): [begin{cases}
dfrac34+a>0\[1ex]
dfrac34-a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
-dfrac34<a<dfrac34]
2) (x_2=frac{a+1}3), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (1-4xgeqslant 0): [begin{cases}
a+1+a>0\[1ex]
1-dfrac43a-dfrac43geqslant 0end{cases}quadLeftrightarrowquad
-dfrac12<aleqslant -dfrac14]

Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть (x_1ne x_2), то есть (ane -frac14).
1. Пусть (x_1=frac14) – единственное решение системы.
(x_1) будет корнем, если (-frac34<a<frac34), (x_2) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac12right]cupleft(-frac14;+inftyright)). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft(-dfrac14;dfrac34right)] 2. Пусть (x_2=frac{a+1}3) – единственное решение системы.
(x_1) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac34right]cupleft[frac34;+inftyright)), (x_2) будет корнем, если (-frac12<aleqslant -frac14). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain varnothing]

Пусть (x_1=x_2). Тогда (a=-frac14). Заметим, что при этом значении что (x_1), что (x_2) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)]

Ответ:

(ain
left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)
)