8 задание егэ по информатике комбинаторика - Exhelper.top

Сегодня на повестке дня 8 задание из ЕГЭ по информатике 2021. Данный тип заданий включает в себя нахождение количества вариантов, элементы комбинаторики и другие математические понятия.

Перейдём к практике решения задач задания 8 ЕГЭ по информатике 2021.

Задача (Классика)

Все 4-буквенные слова, составленные из букв А, Е, И, О записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:

1. АААА
2. АААЕ
3. АААИ
4. АААО
5. ААЕА
…

Запишите слово, стоящее на 248-м месте от начала списка.

Решение:

Обозначим условно А — 0, Е — 1, И — 2, О — 3.

Важно: Нужно буквам присваивать цифры именно в том порядке, в котором они идут в самом правом столбце, потому что буквы могут дать в «перепутанном порядке» (например Е, А, И, О), и тогда ничего не получится.

Теперь запишем список с помощью цифр.

1. 0000
2. 0001
3. 0002
4. 0003
5. 0010
…

Получился обычный счёт в четверичной системе!! (всего используются 4 цифры: 0, 1, 2, 3). А слева нумерация показывает соответствие нашей десятичной системе. Но все числа десятичной системы в этой таблице соответствия сдвинуты на 1, ведь мы должны были начать с нуля.

Нас просят записать слово стоящее на 248, т.е. если была обычная таблица соответствия чисел десятичной системы и четверичной системы, слово стоящее на 248 месте, находилось бы на 247 (248 — 1) месте. Значит, наше искомое четверичное число соответствует 247 в десятичной системе.

Переведём число 247 в четверичную систему!

Получилось число 3313₄ в четверичной системе. Сделаем обратное декодирование в буквы. Таким образом, ответ будет ООЕО.

Ответы: ООЕО

Ещё одна похожая задача 8 задания из примерных вариантов ЕГЭ по информатике, но другой вариации.

Задача (Классика, Другая вариация)

Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Р, У, К записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА
2. ААААК
3. ААААР
4. ААААУ
5. АААКА
……
Укажите номер слова УКАРА

Решение:

Закодируем буквы цифрами: А — 0, К — 1, Р — 2, У — 3. Здесь как раз буквы даны не в том порядке, как они идут в самом правом столбце. Но мы должны кодировать именно в том порядке, как буквы идут в самом правом столбце.

У нас получилось четыре цифры! Значит снова можно слова превратить в таблицу соответствия между десятичной системой и четверичной системой. Но десятичная система смещена на 1 позицию.

1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00003
5. 00010
……

Выписываем данное нам слово и посмотрим, какое число в четверичной системе было бы, если бы у нас были в место слов числа в четверичной системе!

Получили число в четверичной системе 31020₄. Узнаем, какое число в десятичной системе соответствовало этому числу, если бы была обычная таблица соответствия. Для этого переведём число 31020₄ из четверичной системы в десятичную. Перевод делаем по аналогии перевода из двоичной системы в десятичную.

Но помним, что у нас нумерация идёт на 1 быстрее, нежели мы бы поставили десятичные числа, как в таблице соответствия, потому что нумерация начинается не с нуля, а с 1. Поэтому к числу 840 нужно прибавить 1, и в ответе будет 841

Ответ: 841

Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2020)

Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы Н, О, Т, К, И,
записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.
Ниже приведено начало списка.

1. ИИИИ
2. ИИИК
3. ИИИН
4. ИИИО
5. ИИИТ
6. ИИКИ
…

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается
с буквы О?

Решение:

Закодируем буквы цифрами.

Получилось 5 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4 ), значит, будем работать в пятеричной системе.

Нужно найти номер первого слова, которое начинается с буквы О. Если говорить на языке пятеричных чисел, то нужно найти номер числа 3000₅. Мы «забиваем нулями», чтобы число было четырёхразрядное, т.к. слова 4-х буквенные. Именно нулями, потому что нужно именно первое слово найти.

Теперь, как в предыдущей задаче, переведём число 3000₅ из пятеричной системы в десятичную.

0 * 5 ⁰ + 0 * 5 ¹ + 0 * 5 ² +
3 * 5 ³ = 375 (в десят. системе)

Но опять же должны прибавить 1 к числу 375, т.к. нумерация отличается от десятичных чисел на 1 в большую сторону.

Ответ: 376

Задача (Досрочная волна 2020 ЕГЭ по информатике, вариант 1)

Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы В, О, Л, К,
причём буква В используется в каждом слове ровно 1 раз. Каждая из других
допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или
не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая
последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует
таких слов, которые может написать Вася?

Решение:

Для начала решим вводную подзадачу.

Пусть у нас есть те же буквы В, О, Л, К, каждая из букв может встречаться в слове любое количество раз или
не встречаться совсем. Сколько можно составить 5-буквенных слов ?

Т.е буквы могут повторяться!

Например

Такая конструкция сильно напоминает перебор чисел, где вместо цифр используются буквы.

Рассмотрим перебор трёхразрядных чисел. Вместо 5 букв теперь можно использовать 10 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ). Цифры так же могут повторяться. Сколько получится вариантов ?

Выведем общую формулу для количества вариантов, когда символы могут повторяться!

Для трёхразрядных чисел от 000 до 999:

N = 10³ = 1000 вариантов.

Вернёмся к пятибуквенным словам и нашей подзадаче. Здесь количество букв (разрядов) в слове равно 5, количество допустимых символов равно 4 ( В, О, Л, К ).

N = 4⁵ = 1024 вариантов.

Вернёмся к изначальной задаче. Сначала найдём количество вариантов, когда буква В находится в самой левой ячейке!

Применим формулу! Здесь слово сократилось до четырёхразрядного. А количество букв для использования 3 (О, Л, К).

N = 3⁴ = 81 комбинация.

Но буква В так же может стоять во второй ячейке слева. Этот случай тоже даст 81 других комбинаций. Буква В может стоять в каждой из 5-ти ячеек, и везде будет получатся 81 комбинация.

Таким образом, окончательный ответ будет:

N = 81 * 5 = 405 различных вариантов.

Ответ: 405

Разобравшись с этой задачей, больше половины тренировочных задач десятого задания из различных книг и сайтов по подготовке к ЕГЭ по информатике будут решаться, как по маслу!

Задача(Закрепление формулы)

Рассматриваются символьные последовательности длины 5 в шестибуквенном алфавите {У, Ч, Е, Н, И, К}. Сколько существует таких последовательностей, которые начинаются с буквы У и заканчиваются буквой К?

Решение:

Применим главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике

N = mⁱ = 6³ = 216

Здесь буквы могут изменяться на 3 ячейках! Значит, в формуле i=3. Количество допустимых символов, которые можно поставить в каждую ячейку равно 6. Значит, в формуле m=6.

В ответе будет 216.

Примечание: Здесь можно использовать все буквы в каждой ячейке, включая У и К. В некоторых задачах их уже использовать нельзя, т.е. сказано, что буквы У и К используются один раз в слове. Тогда в формуле m, будет на 2 единицы меньше. Нужно внимательно читать задачу!

Ответ: 216

Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2019)

Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы З, И, М, А,
причём в каждом слове есть ровно одна гласная буква и она встречается
ровно 1 раз. Каждая из допустимых согласных букв может встречаться
в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается
любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение:

Рассмотрим количество вариантов, когда гласная И стоит в первом месте!

Подсчитаем количество слов с помощью супер-формулы

N = mⁱ = 2⁴ = 16

Длина изменяющихся ячеек равна 4, а количество допустимых букв равно 2.

Но буква И может стоять не только на первом месте. Она так же может стоять и на 2, и на 3, и на 4, и на 5 месте. Каждый такое случай добавляет столько же новых слов.

Значит, при использовании только буквы И будет количество слов 16 * 5 = 80. Ещё столько же слов добавится, если в словах вместо буквы И будет использоваться буква А. Поэтому окончательный ответ будет 80 * 2 = 160

Ответ: 160

Отработаем главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (Развиваем понимание формулы!)

Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв З, И, М, А? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Решение:

Рассмотрим, какие варианты могут быть, если у нас на первом месте стоит согласная, а на последнем месте гласная

Получилось 4 разных случая. Подсчитаем, сколько слов можно составить при одном случае.

N = mⁱ = 4³ = 64

Длина изменяющихся ячеек равна 3, а количество возможных букв 4.

Но т.к. таких случая у нас четыре, то ответ будет 4 * 64 = 256

Ответ: 256

Рассмотрим важнейший «метод умножения» при решении 8 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (Другой метод решения!!)

Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз , при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?

Решение:

Эта задача отличается от уже разобранных тем, что каждую букву можно использовать один раз. В этой задаче удобнее воспользоваться немного другим методом решения! «Методом умножения»!

Решим вводную подзадачу (без дополнительных ограничений).

Сколькими способами можно составить 6-x буквенное слово из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз .

Чтобы найти возможные варианты, перемножаем для каждой ячейки количество букв из которых у нас есть выбор!

N = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Вернёмся к изначальной задаче!

В начале подсчитаем «методом умножения» количество слов, не обращая внимание, на условие, в котором сказано, что слово не может содержать сочетание АЕ.

N = 5 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 600

В формуле стоят почти все те же самые числа, как и в вводном примере, только первый множитель не 6, а 5. Это произошло из-за того, что у нас в задаче слово не может начинаться на букву Й. Значит, выбор на первую позицию будет не из 6 букв, а из 5.

Но в 600 комбинаций входят и те случаи, когда в слове присутствует сочетание АЕ. Теперь найдём сколько таких слов, где присутствует сочетание АЕ

Узнаем количество вариантов в каждом таком случае.

N1 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

На первом месте мы не можем использовать букву Й, поэтому мы на первом месте выбираем из 3 букв.

N2 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

Аналогично предыдущему случаю.

N3 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

N4 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

N5 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

Всего слов с сочетанием АЕ будет

24 + 18 + 18 + 18 + 18 = 96

Значит, всего слов, которые удовлетворяют условию задаче будет

N = 600 — 96 = 504

Примечание: Метод умножения можно было использовать и в задачах, которые мы рассмотрели ранее. Например, в задаче «Закрепление формулы» в первой свободной ячейке выбираем из 6 букв, во второй свободной ячейке тоже из 6 букв, и в третий свободной ячейке тоже можно использовать 6 букв. Значит, по методу умножения получается N = 6 * 6 * 6 = 6³ = 216

Ответ: 504

Задача (Закрепления «метода умножения»)

Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина?

Решение:

Опять сказано, что каждая буква используется 1 раз, следовательно, нужно применять «метод умножения».

На первое место можно выбрать из 6 букв, предположим, мы выберем согласную. Тогда на второе место нужно выбирать из 3 гласных. Потом опять должна идти согласная, но их у нас осталось только 2. Далее, на следующее место выбираем из 2 гласных букв. И на предпоследнее место выбирается 1 согласная, а на последнее место остаётся 1 гласная.

Т.к. количество гласных букв и согласных одинаковое, и равно трём, то если мы бы начали делать «метод умножения» с гласной буквы, количество вариантов бы не поменялось.

N = 6 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 72

Ответ: 72

Задача (Азбука Морзе)

Азбука Морзе позволяет кодировать символы для сообщений по радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) можно закодировать, используя код Морзе длиной не менее трёх и не более четырёх сигналов (точек и тире) ?

Решение:

Зная формулу, без проблем решим данную примерную задачу из ЕГЭ по информатике.

У нас есть 2 символа, которые можно использовать: точка и тире. Фраза, что сообщение может иметь «не менее трёх и не более четырёх сигналов», означает, что сообщения могут быть длиною 3 символа и длиною 4 символа.

Подсчитаем общее количество вариантов.

N = 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 комбинаций.

Значит, для 24 различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) мы найдём различные комбинации, чтобы их закодировать

Ответ: 24

Задача (Обратная предыдущей)

Световое табло состоит из цветных индикаторов. Каждый индикатор может окрашиваться в четыре цвета: белый, черный, желтый и красный. Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 300 различных сигналов?

Решение:

Нам нужно закодировать 300 различных вариантов! Имеются 4 различных лампочки! (Они имеют смысл, как количество допустимых символов!) На этот раз нужно узнать количество лампочек (количество разрядов, «длину слова»). Применяем формулу.

N = 4^x = 300

Не найдётся такое целое x, чтобы равенство стало верным. Поэтому берём целое минимальное x такое, чтобы 4^x больше 300.

4⁵ = 1024

Пять лампочек на табло хватит, чтобы закодировать 300 сигналов, но, к сожалению, много комбинаций просто не пригодится!

Ответ: 5

Задача (Важная!)

Нужно выбрать в подарок 3 книги из 5. Сколькими способами можно выбрать ?

Решение:

На рисунке показано две комбинации, как можно выбрать в подарок 3 книги из 5.

Данную задачку нужно решать используя формулу сочетаний из раздела комбинаторика.

n — количество книг, из которых мы выбираем подарок, m — количество книг, которое мы хотим выбрать, C — количество вариантов (способов).

Восклицательный знак — это факториал!

Факториалом числа «n» (условное обозначение n!- читается как «эн» — факториал) называется произведение чисел от 1 до «n»

Примечание: При использовании формулы сочетаний, не важен порядок, в котором мы выбираем одни и те же книги. Это будет один и тот же вариант.

Ответ: 10

Следующая задача часто встречается в книгах по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Задача (Главная формула + сочетания)

Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 5. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно три раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Решение:

В начале нужно посчитать, сколькими способами на 5-ти ячейках можно расположить 3 единицы!

Обратите внимание, как будто мы выбираем 3 книги в подарок из 5 возможных! Значит, опять применяем формулу сочетаний из комбинаторики. Мы вычисляли уже её точно с такими же числами в прошлой задаче, количество вариантов равно 10.

Подсчитаем, сколько вариантов кодового замка можно составить при одном определённом расположении трёх единиц.

Применим формулу, есть две ячейки, в которых изменяются цифры, а в каждой ячейке может быть одна из 4 цифр.

N = mⁱ = 4² = 16

Т.к. различных вариантов, как расположить единицы на 5 ячейках равно 10, то ответ будет 16 * 10 = 160

Ответ: 160

Ещё одна задача из примерных вариантов по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Задача (Таблица соревнований)

Для записи результатов соревнований используется таблица, в которой для каждой из 20-ти команд по каждому из 10-ти видов состязаний записано 1, 2 или 3 (если команда заняла соответствующее место в этом состязании) или прочерк (если не заняла призовое место или не участвовала). Какое количество информации (бит) содержит таблица ?

Решение:

Есть таблица с 20 командами и для каждой команды есть результат по 10-ти видам состязаний.

	1 команда	2 команда	3 команда	…	20 команда
1 дисциплина	1	—	1	…	3
2 дисциплина	—	2	1	…	2
…	…	…	…	…	…
10 дисциплина	1	1	2	…	—

В каждой ячейке может быть 4 различных значения ( 1, 2, 3, — ). Нужно узнать, сколько бит занимает одна ячейка таблицы. Один бит может быть либо единицей, либо нулём.

Сделав рисунок, задача обрела привычные очертания.

Как будто мы решаем задачу с перебором слов. Но здесь длина слова неизвестна, а количество вариантов, которое должно получится уже дано и равно 4 (четырём). Применим главную формулу из 10 задания из ЕГЭ по информатике.

N = mⁱ = 2ⁱ = 4

i=2 бита (длина равна «2 буквам», если воспринимать задачу, как со словами.)

Одна ячейка таблицы весит 2 бита. Найдём количество ячеек во всей таблице соревнований.

Всего ячеек = 20 * 10 = 200

Тогда вся таблица будет весит:

V = 2 бита * 200 = 400 бит.

Ответ: 400

Формула Шеннона

Задача (Формула Шеннона)

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Решение:

Данную задачу нужно решать по формуле Шеннона

Найдём вероятность p того, что вытащили чёрный шарик.

p = (количество чёрных шаров) / (количество всех шаров) = 8 / (24 + = 8 / 32 = 1 /4

p = 1 / 4

Применим формулу Шеннона.

x = log₂(4)
2^x = 4

x = 2 бита

Ответ: 2

Доброго времени суток ! Помогите пожалуйста решить задачу .) Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?

В закрытом ящике находится 32 карандаша, некоторые из них синего цвета. Наугад вынимается один карандаш. Сообщение «этот карандаш – НЕ синий» несёт 4 бита информации. Сколько синих карандашей в ящике?
Был бы очень рад , если вы разберете и эту задачку

Добрый день. Полностью разобрал этот номер, но наткнулся на один интересный пример. Объясните доступным языком, пожалуйста. На решу егэ вообще не понял их решение:

Тимофей составляет 5-буквенные коды из букв Т, И, М, О, Ф, Е, Й. Буква Т должна входить в код не менее одного раза, а буква Й — не более одного раза. Сколько различных кодов может составить Тимофей? (ответ: 8006)

Добрый день! Подскажите пожалуйста, как решить следующую задачу: Сколько существует чисел, шестнадцатеричная запись которых содержит 3 цифры, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Петя составляет семибуквенные слова перестановкой букв слова АССАСИН. Сколько всего различных слов может составить Петя? Мое решение: 21 вариант с буквой А, 35- с буквой С, и 4 на буквы И и Н. Всего 60 и умножаем на 7. Получается 420. Не уверена, что применила верный алгоритм. Прокомментируйте, пожалуйста, решение

Можете заказать решение задачи через раздел «связь».

В Задаче (Другой метод решения!!) допущена ошибка в решении, ведь 24 + 18 + 18 + 18 + 18 = 114,значит N = 600 — 114 = 486!

Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачку
Сколько чисел длиной 6 можно составить, если известно, что цифры идут в порядке убывания, при этом четные и нечетные цифры чередуются?

У меня только один вопрос. Почему в школах на уроках информатики вместо действительно полезного изучения какого нибудь языка программирования, заставляют заниматься вот этой вот ересью и решать какое по счету слово напишет Вася? Я могу только составить в ответ на это только слова которые нельзя здесь писать. От таких знаний и занятий ни один ребенок не захочет стать программистом, потому что это непонятно, и неизвестно зачем уметь решать такие задачи. Я сам программист с 10 летним стажем не смог объяснить ребенку как решать некоторые задачи и самое главное, я не знаю зачем дети должны уметь это решать.

Дмитрий, согласен с Вами. Особенно 11 задание и формула Шеннона. Надо либо излагать задание корректно, либо исключить вообще: «В корзине лежат черные и белые шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего шаров в корзине?» — для двух состояний достаточно одного бита.

marvell special for u

c = 0
from itertools import*
for i in permutations(‘МАТВЕЙ’, r=6):
i = ».join(i)
if i[0] != ‘Й’ and i.count(‘АЕ’) == 0:
print(i)
c += 1
print(c)

Источник

Лада Есакова, преподаватель информатики и математики, автор книги «Информатика. Полный курс подготовки к ЕГЭ».

Добрый день, дорогие друзья! С вами я, Есакова Лада, преподаватель информатики с 20-летним стажем.
Сегодня разберем основы комбинаторики и буквенные цепочки.

Задача:
«Все 4-буквенные слова, составленные из букв В, Н, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. ВВВВ
2. ВВВН
3. ВВВР
4. ВВВТ
5. ВВНВ
………
Запишите слово, которое стоит под номером 251.»

Обозначим В = 0, Н = 1, Р = 2, Т = 3 и получим вот такой ряд:

1. 0000
2. 0001
3. 0002
4. 0003
5. 0010

Это числовой ряд в четверичной системе исчисления. Нам нужно найти слово, которое стоит под номером 251.

Здесь важный нюанс, на котором часто ребята теряют балл. На первом месте стоит 0, то есть номер строчки на единицу больше самого числа. Поэтому на 251 месте у нас будет стоять число на единицу меньше – 250, но только в четверичной системе исчисления.

Переведем 250 в четверичную систему. Будем делить столбиком. У нас получается 250 = 3322₄. Теперь переводим цифры в буквы — ТТРР. Вот такой ответ должен получиться.
Вот такие буквенные цепочки – это, по сути, числовые ряды.

Следующая задача:
«Все 6-буквенные слова, составленные из букв С, В, Е, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:

1. ВВВВВВ
2. ВВВВВЕ
3. ВВВВВС
4. ВВВВВТ
5. ВВВВЕВ
………
Под каким номером стоит первое из слов, которое начинается с буквы Т?»

Здесь есть еще одна ловушка: нам сказали, что все 6-буквенные слова составлены из этих букв, и очень хочется пронумеровать букву в том же порядке, в котором они представлены – С = 0, В = 1, Е = 2, Т = 3. Вот здесь-то и ошибка.

Если посмотрим на числовой ряд, то увидим, что на первой строчке у нас стоит В, значит, она будет равна 0. Далее появляется Е, значит, она равна 1, С = 2 и Т = 3.

И снова у нас четверичная система исчисления. Необходимо определить, под каким номером стоит первое из слов, которое начинается с буквы Т. Перефразирую вопрос: под каким номером стоит четверичное число, которое начинается на 3? Значит, оно должно выглядеть как 300000. Это число стоит на месте, которое на единицу больше, чем оно само, но в десятичной записи. Необходимо это число, 300000, из четверичной системы перевести в десятичную.

300000₄=3*4⁵=3*1024=3072

У нас получается число 3072, а номер строки на единицу больше, то есть номер строки будет 3073. Это и есть ответ задачи.

С такими цифровыми цепочками на сегодня мы закончим. Перейдем к более интересной теме, к элементам комбинаторики, хотя это громко сказано, потому что там от комбинаторики только одна маленькая формула.

Чтобы понять, о чем я сейчас буду говорить, давайте представим такую ситуацию: допустим, надоело нам жить в Москве и решили переехать на необитаемый остров. Для связи с внешним миром мы запасли некоторое количество цветных флажков, которые мы можем прикрепить к флагштокам и при необходимости подать сигнал. У нас есть два флагштока и флажки только двух цветов: красные и синие. Что же при помощи этого мы можем сообщить во внешний мир?

Мы можем составить 4 комбинации:

Если нам этого не хватает, мы можем добавить флажки еще одного цвета. Допустим, у нас еще есть зеленые флажки, и мы можем составить следующие комбинации:

У нас получилось 9 комбинаций.

Если же все-таки у нас флажки только двух цветов, третьего нет, у нас есть другой путь увеличить количество комбинаций, увеличив количество флагштоков. Получаем следующие комбинации:

и их получилось 8 штук.

Мы видим, что количество сообщений, которые мы можем передать внешнему миру, зависит от двух параметров: от количества букв в нашем алфавите (или, в нашем случае, от разных цветов флажков) и от длины слова (или от количества флагштоков).

Количество слов, которые мы можем закодировать, равно количеству букв в нашем алфавите (еще это называется мощностью алфавита) в степени «длина слова» A=aⁱ

«Сколько различных символов можно закодировать, используя код азбуки Морзе длиной не менее четырех и не более пяти сигналов (точек и тире)?»

Если я делаю слово из четырех сигналов, то таких слов я могу сделать 2⁴, если я делаю из пяти сигналов, то таких слов я могу придумать 2⁵. А в задаче как раз этот интервал, то есть и те, и те мне подойдут. Вот столько разных слов я могу составить 2⁴ + 2⁵ = 48.

«Коля составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует свое кодовое слово. В качестве кодовых слов Коля использует 4-буквенные слова, в которых есть буквы А, Б, В, Г, Д, причем буква Д появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Коля?»

Не буду мудрить, придумывать какие-то сложные формулы, а просто распишу, как буква Д может встречаться ровно один раз. Это выглядит так

Д — — —
— Д — —
— — Д —
— — — Д

то есть она может встретиться на каком-то из четырех мест. На остальных трех местах может стоять все, кроме Д, то есть 4 любые буквы по трем позициям, 4³. И так в каждом ряду. Все это сложим и получим 4*4³=4⁴=256

«Паша составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений. В качестве кодовых слов Паша использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. При этом первая буква кодового слова – это буква Д, Е или Ж, а далее в кодовом слове буквы Д, Е и Ж не встречаются. Сколько различных кодов может использовать Паша?»

У нас получается такой вид

Д — — —
Е — — —
Ж — — —

А в остальных местах используются остальные буквы, кроме Д, Е и Ж. Получаем 3*4³=3*64=192

«Герасим составляет 7-буквенные коды из букв Г, Е, Р, А, С, И, М. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Герасим?»

Тут немного схитрим. Необходимо обязательно чередовать гласные и согласные, а для этого посмотрим, сколько у нас гласных. 3. А согласных 4. Поэтому на гласную начать слово я не могу, иначе их не хватит на все слово, и согласные где-то обязательно повторятся. Поэтому слово будет выглядеть таким образом: согласная – гласная – согласная – гласная – согласная – гласная – согласная.

Далее каждую букву я должна использовать ровно один раз.

Вначале состава слова согласных у нас 4, гласных – 3, далее согласных остается 3, т.к. одну я уже использовала, а согласных – 2, затем согласных 2, гласных – одна и согласная осталась одна. Теперь мы перемножаем все эти цифры

и получаем 144.

«Ольга составляет 5-буквенные коды из букв О, Л, Ь, Г, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом Ь нельзя ставить первым и нельзя ставить после гласной. Сколько различных кодов может составить Ольга?»

Давайте пойдем от противного: посчитаем все варианты, а потом выбросим те, которые нам запретили, но сразу выкинем вариант с мягким знаком на первом месте. То есть на первом месте мы можем поставить 4 различные буквы. На втором месте могу поставить все, кроме этой буквы, но зато мы можем добавить Ь, то есть тоже 4. Две буквы уже использовали. Осталось 3, 2 и 1. Все это перемножаю и получаю 96. То есть это все возможные слова, где используется буквы по одному разу, но только не начинающиеся на Ь.

Теперь из этого числа нужно выбросить ситуации, когда Ь стоит после гласной. Это, например, вот так

О Ь — — —
— О Ь — —
— — О Ь —
— — — О Ь

Таких слов 24

О Ь — — — 3*2*1
— О Ь — — 3*2*1
— — О Ь — 3*2*1
— — — О Ь 3*2*1
——
24

Абсолютно такая же ситуация с буквой А

А Ь — — —
— А Ь — —
— — А Ь —
— — — А Ь
———
24

И их тоже 24. То есть 96-48=48.

На этом прощаемся. Если вопросов нет, пока!

Все видео по информатике

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «8 Задание ЕГЭ 2021 | Комбинаторика» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задача 8 по информатике ЕГЭ относится к комбинаторике и системе счисления. Её можно решить путем написания кода. Но для этого нужно будет потратить довольно много времени. Если не понимать как это решается вручную, то код писать опасно.

Задача № 8 (первый вариант) по системе счисления и комбинаторика

Данную задачу лучше решать вручную, так как это не занимает много времени. И так первое возможное условие задачи:

Эта задача относится к задаче с системой счисления.

Для того, чтобы решить эту задачу, нужно использовать систему счисления.

Буква Е – 0, буква Л – 1, буква М – 2, буква Р – 3, буква У-4.

В результате мы видим пятиричную систему счисления.

ЕЕЕЕ – 0000 0

ЕЕЕЛ – 0001 1

ЕЕЕМ- 0002 2

ЕЕЕР – 0003 3

ЕЕЕУ – 0004 4

ЕЕЛЕ – 0010 5

Несмотря на то, что нумерация букв начинается с нуля, а список набора букв начинается с единицы.

Раз нумерация строк начинается с 1, то набор букв ЛЕЕЕ будет на 126 месте.

Задача № 8 ЕГЭ (второй вариант) на системы счисления и комбинаторика

Решение

АААА 00000 0

ААААО 00001 1

ААААУ 00002 2

АААОА 00010 3

Опять помним, что список начинается с единицы, поэтому 210-1 = 209

Мы работаем с числом 209, но оно дается в десятичной системе счисления.

Для того, чтобы восстановить слово, надо перевести полученное место в троичную систему счисления:

2 меньше трех, поэтому читаем число в обратном порядке: 21202

Теперь составляем из чисел буквы: УОУАУ

Ответ: УОУАУ

Задача № 8 ЕГЭ (третий вариант) системы счисления и комбинаторика

Здесь пятибуквенные слова. Опять определяем действительный номер с учетом, что нумерация идет с 1.

150-1 = 149

Присваиваем каждой букве цифры, начиная с нуля по порядку. Нумерация слов в списке начинается с единицы. А вот нумерация цифр в числе с нуля.

ЛЛЛЛЛ 00000 0

ЛЛЛЛН 00001 1

ЛЛЛЛР 00002 2

ЛЛЛЛТ 00003 3

ЛЛЛНЛ 00010 4

В результате 149 в десятичной системе счисления переводим в четверичную путем деления 149 на четыре. Затем собираем остатки с конца в начало.

Получаем РННН, но у нас по условию нужно пятибуквенное слово. Для этого необходимо в начало слова добавить ничего не значащий ноль: 02111

Теперь ответ будет ЛРННН

Задача № 8 ЕГЭ (четвертый вариант) на системы счисления и комбинаторика

Числа начинаются с нуля, поэтому говорим о пятиричной системе счисления:

ААААА 00000 0

ААААК 00001 1

ААААЛ 00002 2

ААААО 00003 3

ААААШ 00004 4

АААКА 00010 5

Мы сначала найдем число, а затем добавим 1.

ШКОЛА – пишем в пятиричной системе счисления – 41320

ШКОЛА в пятиричной системе счисления 41320, в десятичной системе счисления 2710

Ответ: 2710+1 = 2711

Задача № 8 (пятый вариант) системы счисления и комбинаторика

АААА 0000 0

АААВ 0001 1

АААД 0002 2

АААП 0003 3

АААР 0004 4

ААВА 0010 5

В условии сказано, что слово не содержит гласных и не содержит одинаковых букв. Поэтому нас интересует слово: ВДПР = 1234 (система счисления пятиричная).

Буквы ставим по алфавиту.

Необходимо преобразовать в десятичную систему счисления:

ВДПР в пятиричной системе 1234 , в десятичной системе 194. Это число. А нужно номер, номер будет на 1 больше.

194+1 = 195

Задача № 8 ЕГЭ (шестой вариант) система счисления и комбинаторика

АААА 0000 0

АААВ 0001 1

АААД 0002 2

АААП 0003 3

АААР 0004 4

ААВА 0010 5

В условии сказано, что слово не содержит гласных и не содержит одинаковых букв. Поэтому нас интересует слово: ВДПР = 1234 (система счисления пятиричная). Буквы ставим по алфавиту.

Необходимо преобразовать в десятичную систему счисления:

ВДПР в пятиричной системе 1234 , в десятичной системе 194. Это число. А нужно номер, номер будет на 1 больше.

194+1 = 195

Ответ: 195

Задача № 8 ЕГЭ (седьмой вариант) система счисления и комбинаторика

Дано 4 буквы, система счисления четверичная. Расписываем:

ООООО 00000

ООООП 00001

ООООР 00002

ООООТ 00003

ОООПО 00010

В четверичной системе счисления указанные в условии слова представляют собой следующие числа:

Переведем эти числа в десятичную систему счисления:

Чтобы найти количество между ними, то мы должны найти разницу:

786-531 = 255

Но по условию задания надо найти количество слов, включая эти слова, то надо прибавить 1.

255+1 = 256

Ответ: 256

Задача № 8 ЕГЭ (восьмой вариант) система счисления и комбинаторика

Обозначим позиции букв в словах.

У нас всего 3 буквы.

Первую букву можно выбрать только 3 способами, вторую – тоже тремя способами, третью тоже тремя.

Задача № 8 ЕГЭ (девятый вариант) система счисления и комбинаторика

Здесь вводится ограничение, буква К встречается только один раз.

Трехбуквенные слова.

Соответственно схематически строим схему слова:

____ _____ ______

Представьте, буква К окажется только на первом месте. Больше мы не можем использовать. Соответственно, на второе место можно поставить любую букву из оставшихся, т.е. 4 варианта.

К*4*4 = 16 (К = 1)

Но буква К может находиться и на втором месте, и на третьем месте.

4*К*4 = 16

4*4*К = 16

Далее используем комбинаторные правила сложения: 16+16+16 = 48

Ответ: 48

Решение задач по теме «Информационные модели» можно посмотреть по ссылке.

Задача № 8 ЕГЭ (десятый вариант) система счисления и комбинаторика

Всего есть 4 буквы. Слова составляем пятибуквенные.

Ограничение: в каждом слове одна гласная буква. У нас гласные буквы: И,А.

Согласные буквы встречаются любое количество раз или не встречаются совсем.

Нам необходимо рассмотреть два случая, когда мы составляем слова с буквой А, и слова с буквой И.

Итого 16*5 = 80

По аналогии составляем также слова с буквой И, получим те же самые 80 слов.

В результате: 80+80 =160

Ответ: 160 слов с этими ограничениями.

Задача № 8 ЕГЭ (одиннадцатый вариант) система счисления и комбинаторика

Условие: Василий составляет четырех буквенные коды из букв Г,Е,Р,О,Й. Каждую букву можно использовать любое количество раз, при этом код не может начинаться с буквы Й т должен содержать хотя бы одну гласную.

Сколько различных кодов может составить Василий.

Букв 5, слова 4-х буквенные.

Есть ограничения: не должно начинаться с Й и содержать хотя бы одну гласную букву.

В этой задаче надо использовать не только комбинаторику, но и теорию множества.

Принцип

Для того, чтобы определить количество слов, которое содержит хотя бы одну гласную букву, то можно схематически раскрыть вопрос:

А – это множество кодов или слов, которые могут быть составлены по правилу задачи.

Теперь среди этого набора вычленим только те, которые вообще не содержат гласных букв (множество В)

Из А вычтем В, то получим множество С, которое содержит слова, которые содержат хотя бы одну гласную.

Теперь определим сколько же будет слов в множестве А.

Слова четырехбуквенные. Кроме Й на первом месте может стоять 4 возможных буквы.

На втором месте может стоять все 5 букв по очереди.

А: 4*5*5*5 = 4*125 = 500

Помним, что Й – согласная буква

В: 2*3*3*3 = 2*27=54

Количество слов, в которых нет гласных 54

Количество слов, которые содержат хотя бы одну гласную: 500-54 = 446

Ответ: 446.

Задача № 8 ЕГЭ (двенадцатый вариант) система счисления и комбинаторика

Условие задачи: Вася составляет трехбуквенные слова, в которых есть только буквы В,Е,С,Н,А. Причем буква А используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.

Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Задача содержит условие, при котором нужно применять при решении комбинаторику и теорию множеств.

Условия: слова трехбуквенные, количество букв – 4, слова содержат хотя бы 1 раз букву А.

Опять берем множество А в которое входят все слова с буквой А

В – множество в котором вообще нет буквы А

__ __ ___

Мощность множества А определяем следующим образом:

На первую позицию букву А можно поставить 5 способами, на вторую – 5 способами и на третью – 5 способами:

А: 5*5*5 =125

В: 4*4*4 = 64

Множество С в котором есть хотя бы одна буква А: АВ (разность)

125-64 = 61

Ответ: 61

Мы рассмотрели двенадцать видов задач по теме системы счисления и комбинаторики, которые в ЕГЭ по информатике размещаются как задание № 8. Однако, ежегодно вносятся изменения и возможно возникновение других типов задач.

Источник

На уроке рассматривается разбор 8 задания ЕГЭ по информатике про измерение количества информации

8-е задание: «Измерение количества информации»

Уровень сложности

— базовый,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 4 минуты.

Проверяемые элементы содержания: Знание о методах измерения количества информации

До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 10 ЕГЭ

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«При использовании способа решения со системой счисления с основанием N следует помнить, что слова в списке нумеруются с единицы, поэтому числу 0 будет соответствовать первое слово»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

Содержание:

Объяснение темы
- Измерение количества информации
- Двоичное кодирование сообщений (равновероятностные события)
- Количество различных сообщений в алфавите разной мощности
- Количество сообщений при различном вхождении (встречаемости) букв
- Дополнительные формулы
Тренировочные задания 8 ЕГЭ по информатике и их решение
- Сколько вариантов шифра или кодовых слов
- Перестановка букв в слове (каждая буква 1 раз)
- Сколько существует n-значных чисел, записанных в m-ной системе счисления
- Список в алфавитном порядке
- Вероятность событий

Объяснение темы

Рассмотрим кратко необходимые для решения 8 задания ЕГЭ понятия и формулы.

Измерение количества информации

Кодирование — это представление информации в форме, удобной для её хранения, передачи и обработки. Правило преобразования информации к такому представлению называется кодом.
1 бит – это количество информации, которое можно передать с помощью одного знака в двоичном коде (0 или 1).

1 байт (bytе) = 8 бит
1 Кб (килобайт) = 1024 байта
1 Мб (мегабайт) = 1024 Кб
1 Гб (гигабайт) = 1024 Мб
1 Тб (терабайт) = 1024 Гб
1 Пб (петабайт) = 1024 Тб

8 = 2³
1024 = 2¹⁰

Рассмотрим еще несколько определений:

Алфавит — это набор знаков, используемый в том или ином языке.
Мощность алфавита — это количество используемых в алфавите знаков.

Мощность алфавита

Сообщение — это любая последовательность символов какого-либо алфавита.

Для вычисления количества информации применяются несколько различных формул в зависимости от ситуации:

Двоичное кодирование сообщений (равновероятностные события)

При вычислении количества информации в сообщении для равновероятностных событий, общее количество которых равно N, используется формула:

N = 2^L

N — количество сообщений

L — длиной битов

* следует иметь в виду, что также приняты следующие обозначения: Q = 2^k

Пример 2: Зашифруем буквы А, Б, В, Г при помощи двоичного кодирования равномерным кодом и посчитаем количество возможных сообщений:

Решение:

Таким образом, мы получили равномерный код, т.к. длина каждого кодового слова одинакова для всех кодовых слов (L = 2).

Количество сообщений длиной L битов:

N = 2^L

Т.е. количество сообщений длиной 2 бита, как в примере с нашими буквами, будет равно N = 2² = 4

Ответ: 4

Количество различных сообщений в алфавите разной мощности

Рассмотрим вариант с 5 буквами (мощность алфавита = 5), которые надо разместить в сообщении длиной 2 символа:

Найдем формулу для нахождения количества различных сообщений в алфавите различной мощности:

Если мощность некоторого алфавита составляет N, то количество различных сообщений длиной L знаков:

N – мощность алфавита
L – длина сообщения
Q – количество различных сообщений

Пример: Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в английском языке?

Решение:

В английском алфавите 26 букв. Значит, мощность алфавита = 26. Длина сообщения = 3. Найдем по формуле количество трехбуквенных слов:
Q = 26³
или

= 17576

Ответ: 17576

Таким, образом, если слово состоит из L букв, причем есть n1 вариантов выбора первой буквы, n2 вариантов выбора второй буквы и т.д., то число возможных слов вычисляется как произведение:

N = n1 * n2 * … * nL

Количество сообщений при различном вхождении (встречаемости) букв

В таком случае можно использовать формулу для вычисления числа перестановок с повторениями; для двух разных символов она выглядит так:

[ P = frac{na+n*!}{na!n*!} ]

na – количество букв a

n* — количество звёздочек или кол-во вариантов

Иногда в заданиях 8 можно использовать формулу комбинаторики для проверки полученных результатов перебора. Число сочетаний из n элементов по k элементов:

[ C{binom{k}{n}}= frac{n!}{k!(n-k)!} ]

I – количество информации в битах

N – количество вариантов

n! = 1 * 2 * 3 * … * n

Пример: Сколько существует всевозможных четырехбуквенных слов в алфавите из 4 букв: А, Б, В, Г, если известно, что буква А встречается ровно два раза?

Решение:

Длина сообщения = 4. Мощность алфавита = 4. Но мешает условие: буква А встречается ровно два раза.
В таких заданиях можно использовать способ перебора всевозможных вариантов:

два раза буква А, на остальных местах - одна из трех оставшихся букв:
А А 3 3     = 3 * 3 = 3² = 9
А 3 А 3     = 9
А 3 3 А     = 9 
3 А А 3     = 9
3 А 3 А     = 9
3 3 А А     = 9

Получили 6 вариантов, каждый из которых равен 9.
Проверим формулой числа сочетаний:

Число сочетаний из n элементов по k элементов:

[ C{binom{k}{n}}= frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В задаче:

[ C{binom{2}{4}}= frac{4!}{2!(4-2)!} = frac{24}{2*2} = 6 ]

* Факториал числа n! = 1 * 2 * 3 *..* n

Т.е. проверка прошла успешно, мы получили 6 вариантов.
Осталось посчитать количество всех сообщений:

6 * 9 = 54

Дополнительные формулы

Количество информации и равновероятные события

При определении количества информации для равновероятностных событий могут понадобиться две формулы:

Формула Шеннона:

x = log₂(1/p)

x — количество информации в сообщении о событии

p — вероятность события

Формула вероятности случайного события:

p(A) = m / n

m — количество благоприятных исходов (число случаев, способствующих событию А)

n — количество общих исходов (общее число равновозможных случаев)

Количество информации и неравновероятные события

При использовании неравновероятного события, вероятность которого равна p, для вычисления количества информации используется формула:

i = -[log₂p]

*квадратные скобки означают ближайшее целое, меньшее или равное значению выражения в скобках

Формула Хартли:

Формула Хартли

I – количество информации в битах

N – количество вариантов

Алфавитный подход:

Информационный объем сообщения длиной L:

Алфавитный подход

N — мощность алфавита

L — длина сообщения

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Сколько вариантов шифра или кодовых слов

Такие задания можно решить программированием.

На языке PascalAbc.net можно использовать язык интегрированных запросов LINQ (Language Integrated Query).

Cartesian(n) — метод расширения последовательности, возвращающий декартову степень множества символов Когда применяется:
Если требуется полный перебор вариантов букв для каждой позиции (каждая буква может встречаться в кодовом слове любое количество раз)

Пример:
Сравним полный перебор букв слова «школа», размещенных на две позиции:

Pascal PascalABC.NET

##
var str:='школа';
foreach var s1 in str do
  foreach var s2 in str do
         print(|s1,s2|)

## // 1 вариант
var str:='школа';
str.cartesian(2).print
 
## // 2 вариант
'школа'.cartesian(2).print
 
### // 3 вариант (спортивное прогр-е)
'школа'.cart(2).print

Результат:

[ш,ш] [ш,к] [ш,о] [ш,л] [ш,а] [к,ш] [к,к] [к,о]
[к,л] [к,а] [о,ш] [о,к] [о,о] [о,л] [о,а] [л,ш]
[л,к] [л,о] [л,л] [л,а] [а,ш] [а,к] [а,о] [а,л] [а,а]

Итого 25 штук (5*5)

[ш,ш] [ш,к] [ш,о] [ш,л] [ш,а] [к,ш] [к,к] [к,о]
[к,л] [к,а] [о,ш] [о,к] [о,о] [о,л] [о,а] [л,ш]
[л,к] [л,о] [л,л] [л,а] [а,ш] [а,к] [а,о] [а,л] [а,а]

Permutations — метод возвращает все перестановки множества элементов, заданного массивом или последовательностью Когда применяется:
Если требуется перестановка букв в слове. То есть количество каждой буквы в словах сохраняется, и каждая буква встречается только 1 раз

Пример:
Сравним перестановку букв слова «мимикрия»:

Pascal PascalABC.NET

## // 1 вариант
 'мимикрия'.Permutations
  // собираем в строку:
  // к строкам можно distinct применять, а к массивам - нет
 .Select(w->w.JoinToString('')) 
 .Distinct  // выбираем уникальные, т.к. от перестановки двух букв "м" 
            // и букв "и" слово не меняется
 .Count.Print

1	## // 2 вариант

### // 3 вариант (спортивное прогр-е)
'мимикрия'.Prm
 .Sel(w->w.ToS('')) 
 .Dst  
 .Cnt.Pr

Результат:

[М,И,М,И,К,Р,И,Я] [М,И,М,И,К,Р,Я,И] [М,И,М,И,К,И,Р,Я] [М,И,М,И,К,И,Я,Р] [М,И,М,И,К,Я,Р,И] [М,И,М,И,К,Я,И,Р] [М,И,М,И,Р,К,И,Я] [М,И,М,И,Р,К,Я,И]
…

Используются также следующие запросы и методы LINQ:

Фильтрация последовательностей (Where)
Метод Count([Type -> boolean]) Вычисление скаляра
Метод CountOf(s: Type) — Возвращает количество элементов, равных указанному значению
Метод First() — Возвращает первый элемент последовательности.
Метод Last() — Возвращает последний элемент последовательности.
Метод Pairwise(Self: sequence of T; func: (T,T)->Res) — Превращает последовательность в последовательность пар соседних элементов, применяет func к каждой паре полученных элементов и получает новую последовательность

8_1:

Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 6.

Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 должна встречаться в коде ровно 1 раз, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Формула нахождения количества различных сообщений:

Q = N^L

Итак, что у нас дано из этой формулы:
Длина сообщения (L) = 5 символов
Мощность алфавита (N) = 6 (цифры от 1 до 6).
Но так как цифра 1 встречается по условию ровно один раз, а остальные 5 цифр — любое количество раз, то будем считать, что N = 5 (цифры от 2 до 6, исключая 1). Т.е. возьмем вариант, когда 1 стоит на первом месте, а остальные 5 цифр размещаем на 4 позиции:

1 5 5 5 5 - 1 * Q = 5⁴ = 625

✎ 1 способ. Найдем количество вариантов методом перебора:

Методом перебора найдем количество вариантов размещения:

1 5 5 5 5 - 1 * Q=5⁴ = 625
5 1 5 5 5 - 1 * Q=5⁴ = 625
5 5 1 5 5 - 1 * Q=5⁴ = 625
5 5 5 1 5 - 1 * Q=5⁴ = 625
5 5 5 5 1 - 1 * Q=5⁴ = 625

получили 5 вариантов;

✎ 2 способ. Найдем количество вариантов при помощи формулы комбинаторики:

[ C{binom{4}{5}}= frac{5!}{4!(5-4)!} = 5 ]

получили 5 вариантов;
В итоге получим:

625 * 5 = 3125

Результат: 3125

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := '123456';
  foreach var s1 in str do
    foreach var s2 in str do
      foreach var s3 in str do
        foreach var s4 in str do
          foreach var s5 in str do
          begin
            if (s1 + s2 + s3 + s4 + s5).CountOf('1') = 1 then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='123456'.Cartesian(5) 
.where(w->w.countOf('1')=1)// кол-во '1' в слове
.count.print

Cartesian(5) — метод расширения последовательности, возвращающий декартову степень множества символов, т.е. в нашем случае перебор 5-знаковых слов из заданных символов

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

n=0
str='123456'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
        for s5 in str:
          if (s1+s2+s3+s4+s5).count('1')==1:
            n+=1
print(n)

С++:

Детальный теоретический разбор задания 8 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видеоуроке:

📹 YouTube здесьздесь (теоретическое решение)

8_2:

Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является либо буквой (A или B) или цифрой (1, 2 или 3).

Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что в коде присутствует ровно одна буква, а все другие символы являются цифрами?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Формула нахождения количества различных сообщений:

Q = N^L

Посчитаем количество возможных шифров для одного из вариантов (например, когда буквы находятся на первой позиции). Так как цифры (1, 2, 3) могут занимать 4 позиции из пяти, а две буквы (А и В) одну из позиций, значит:

Q = 2 * 3⁴ = 162

Имеем 162 вариантов шифра для слова, в котором буквы могут стоять на первой позиции:

AB  123 123 123 123 = 162

Получим все варианты размещения:

"2" означает одна из двух букв: А или B, "3" - одна из трех цифр:

2 3 3 3 3 -> Q = 2 * 3⁴ = 162
3 2 3 3 3 -> Q = 2 * 3⁴ = 162
3 3 2 3 3 -> Q = 2 * 3⁴ = 162
3 3 3 2 3 -> Q = 2 * 3⁴ = 162
3 3 3 3 2 -> Q = 2 * 3⁴ = 162

Получили 5 вариантов с размещением букв А и B.
Осталось умножить:

5 * 162 = 810

Результат: 810

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'AB123';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5];
            if (res.CountOf('A') = 1) and (res.CountOf('B') = 0) 
            or (res.CountOf('B') = 1) and (res.CountOf('A') = 0) then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='АВ123'.Cartesian(5) 
.where(w->w.count(letter -> letter in 'АВ')=1)// кол-во букв в слове
.count.print

Cartesian(5) — метод расширения последовательности, возвращающий декартову степень множества символов, т.е. в нашем случае перебор 5-знаковых слов из заданных символов

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

n=0
str='AB123'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
        for s5 in str:
          if ((s1+s2+s3+s4+s5).count('A')==1 and (s1+s2+s3+s4+s5).count('B')==0) 
          or ((s1+s2+s3+s4+s5).count('B')==1 and (s1+s2+s3+s4+s5).count('A')==0):
            n+=1
print(n)

С++:

Подробное теоретическое решение данного задания предлагаем посмотреть на видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_3:

Олег составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Олег использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы A, Б, В, Г, Д и Е, причём буква Г появляется ровно 1 раз и только на первом или последнем месте. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем.

Сколько различных кодовых слов может использовать Олег?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Вспомним формулу получения количества возможных вариантов слов:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы, n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Рассмотрим варианты, когда буква Г встречается на первом или последнем месте:

Г ? ? ? = 1 * 5 * 5 * 5 = 5³ = 125 
? ? ? Г = 5 * 5 * 5 * 1 = 5³ = 125

Вместо знаков ? может стоять одна из пяти букв (А, Б, В, Д, Е), т.к. буква Г там стоять не может
Теперь суммируем количество найденных вариантов:

125 + 125 = 250

Результат: 250

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'АБВГДЕ';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4];
            if (res[1]='Г') and (res[2]<>'Г') and (res[3]<>'Г') and (res[4]<>'Г')
            or (res[1]<>'Г') and (res[2]<>'Г') and (res[3]<>'Г') and (res[4]='Г') then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='АБВГДЕ'.Cartesian(4)
.where(w->(w.countOf('Г')=1)and((w.First='Г')or(w.Last='Г'))) // или: 
// .where(w->(w.countOf('Г')=1)and(w[1]<>'Г')and(w[2]<>'Г'))
.count.print

Cartesian(4) — метод расширения последовательности, возвращающий декартову степень множества символов, т.е. в нашем случае перебор 4-знаковых слов из заданных символов

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

n=0
str='АБВГДЕ'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
        if (s1 =='Г') and (s2!='Г') and (s3!='Г') and (s4!='Г') 
        or (s1 !='Г') and (s2!='Г') and (s3!='Г') and (s4=='Г'):
            n+=1
print(n)

С++:

Видеоразбор данного задания (теоретический способ):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_4:

Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является одной из букв X, Y или Z.

Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что буква X должна встречаться в коде ровно 2 раза, а каждая из других допустимых букв может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Формула нахождения количества различных сообщений:

Q = N^L

Итак, что у нас дано из этой формулы:
Начальная мощность алфавита (N) = 3 (буквы X, Y, Z). Но так как буква X встречается ровно два раза, то мы ее рассмотрим отдельно, а остальные 2 буквы — встречаются любое количество раз, значит, будем считать, что:

N = 3 - 1 = 2 (Y и Z)

Исходя из предыдущего пункта, длина сообщения тоже сократится:

(L) = 5 - 2 = 3 символа (остальные два символа отведем на размещение X)

Количество различных сообщений (вариантов шифра) = Q = ?
Т.е. для одного варианта размещения (для одного варианта шифра) имеем:

X X ? ? ? -> 1² * Q = 2³ = 8

Согласно условию получим следующие варианты размещения:

✎1 способ. Перебор всех вариантов:

X X ? ? ? - 1² * Q = 2³ = 8
X ? X ? ? - 1² * Q = 2³ = 8
X ? ? X ? - 1² * Q = 2³ = 8
X ? ? ? X - 1² * Q = 2³ = 8
? X X ? ? - 1² * Q = 2³ = 8
? X ? X ? - 1² * Q = 2³ = 8
? X ? ? X - 1² * Q = 2³ = 8
? ? X X ? - 1² * Q = 2³ = 8
? ? X ? X - 1² * Q = 2³ = 8
? ? ? X X - 1² * Q = 2³ = 8

✎ 2 способ. При помощи формулы поиска числа сочетаний:

[ C{binom{k}{n}}= frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Число сочетаний из n элементов по k элементов:

[ C{binom{2}{5}}= frac{5!}{2!(5-2)!} = frac{120}{12} = 10 ]

* Факториал числа: n! = 1 * 2 * 3 * .. * n

Количество вариантов найдено верно, т.к. результат обоих способов = 10. В итоге получаем:

8 * 10 = 80

* задание достаточно решить одним из способов!

Результат: 80

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'xyz';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5];
            if res.countOf('x') = 2 then // или if res.Count(y -> y = 'x') = 2 then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='XYZ'.Cartesian(5)
.where(w->w.countOf('X')=2)
.count.print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

n=0
str='xyz'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
        for s5 in str:
          if (s1+s2+s3+s4+s5).count('x') == 2:
            n+=1
print(n)

С++:

Детальный теоретический разбор задания 8 ЕГЭ по информатике теоретическим способом предлагаем посмотреть в видеоуроке:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_5:

Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв ОСЕНЬ? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Из букв слова ОСЕНЬ имеем 2 гласных буквы (О, Е) и 2 согласных буквы (С, Н). Буква мягкий знак «нейтральна».
Подсчитаем количество букв на каждой из 5 позиций:

2   5   5   5   2
^{СН   все  все  все   ОЕ}

Вспомним формулу получения количества возможных вариантов слов:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы, n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Т.е. количество вариантов равно произведению полученных чисел:

N = 2 * 5 * 5 * 5 * 2 = 500

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'ОСЕНЬ';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5];
            if ((res[1] = 'С') or (res[1] = 'Н')) and ((res[5] = 'О') or (res[5] = 'Е')) then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

1	'ОСЕНЬ'.Cartesian(5).Where(w->w[0] in 'СН').Where(w->w[4] in 'ОЕ').Count.Print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

str = 'ОСЕНЬ'
n = 0
for s1 in str:
    for s2 in str: 
        for s3 in str:
            for s4 in str:
                for s5 in str:
                    res = s1 + s2 + s3 + s4
                    if (s1 == 'С' or s1 == 'Н') and (s5 == 'О' or s5 == 'Е'):
                        n += 1
print(n)

С++:

Результат: 500

Разбор можно также посмотреть на видео (теоретическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_6:

Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы Л, Е, Т, О, причём буква Е используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем.

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

✎ 1 способ:

Количество вариантов различных слов вычислим по формуле:

N = n1 * n2 * n3 * …
где

n1 — количество вариантов выбора первой буквы и т.п.
Рассмотрим все варианты расположения буквы Е:

1. Е ? ? ? или 
2. ? Е ? ? или 
3. ? ? Е ? или
4. ? ? ? Е 

Где вопросительный знак означает любую букву из Л, Е, Т, О.

Подсчитаем по формуле количество слов для варианта 1:

Е ? ? ? = 1 * 4 * 4 * 4 = 64

т.е. на первой позиции - только 1 буква - Е, на каждой последующей - одна из четырех букв Л, Е, Т, О.

Подсчитаем по формуле количество слов для варианта 2; учтем, что на первой позиции букву Е мы уже посчитали для первого варианта!:

? Е ? ? = 3 * 1 * 4 * 4 = 48

Подсчитаем по формуле количество слов для варианта 3; учтем, что на первой и второй позициях букву Е мы уже посчитали в предыдущих вариантах!:

? ? Е ? = 3 * 3 * 1 * 4 = 36

Подсчитаем по формуле количество слов для варианта 4; учтем, что на первой, второй и третьей позициях букву Е мы уже посчитали в предыдущих вариантах:

? ? ? Е = 3 * 3 * 3 * 1 = 27

Поскольку у нас каждый вариант связан операцией логическое ИЛИ, то теперь суммируем все варианты:

64 + 48 + 36 + 27 = 175

Результат: 175
✎ 2 способ:

Так как по условию буква Е встретится хотя бы 1 раз, значит, можно утверждать, что не может быть такого, чтобы буква Е не встретилась бы ни одного раза.
Таким образом, рассчитаем случай, когда буква Е встречается все 4 раза (т.е. все случаи) и отнимем от результата невозможный случай: когда буква Е не встретится ни одного раза:

1. Буква Е используется 4 раза (т.е. на всех позициях):
4 * 4 * 4 * 4 = 256

2. Буква Е не используется совсем (т.е. только 3 буквы):
3 * 3 * 3 * 3 = 81

Вычтем из первого варианта невозможный вариант № 2:

256 - 81 = 175

Результат: 175

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'ЛЕТО';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4];
            if res.countOf('Е') >= 1 then // или if res.Count(y -> y = 'Е') >= 1 then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

1 2	## var d:='лето'.Cartesian(4).where(w->w.countOf('е')>=1).count.print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

n=0
str='ЛЕТО'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
          if (s1+s2+s3+s4).count('Е') >= 1:
            n+=1
print(n)

С++:

Теоретическое решение задания 8 смотрите в видеоуроке:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_7:

Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т, Е, Р, причём буква Р используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем.

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Количество возможных вариантов слов вычислим по формуле:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы, n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Сначала по формуле получим все варианты для всех пяти букв, включая букву Р:

5 * 5 * 5 * 5 = 5⁴ = 625

Из общего количества вариантов нам необходимо исключить те варианты, где Р не встречается вообще и Р встречается только 1 раз. Найдем их последовательно:
1. Буква Р не встречается совсем:

4 * 4 * 4 * 4 = 4⁴ = 256

2. Буква Р встречается только один раз:

р ? ? ? = 1 * 4 * 4 * 4 = 4³
? р ? ? = 4 * 1 * 4 * 4 = 4³
? ? р ? = 4 * 4 * 1 * 4 = 4³
? ? ? р = 4 * 4 * 4 * 1 = 4³

Получим  4³ * 4 = 256

Теперь вычтем из общего количества найденные варианты (№ 1 и № 2):

625 - 256 - 256 = 113

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (традиционный):

begin
  var n := 0;
  var str := 'КАТЕР';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4];
            if res.CountOf('Р') >= 2 then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (LINQ):

1 2	## var d:='катер'.Cartesian(4).where(w->w.countOf('р')>=2).count.print

Python:

n=0
str='КАТЕР'
for s1 in str:
  for s2 in str:
    for s3 in str:
      for s4 in str:
          if (s1+s2+s3+s4).count('Р') >= 2:
            n+=1
print(n)

С++:

Результат: 113

Теоретическое решение 8 задания предлагаем посмотреть в видеоуроке:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_8:

Олег составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Олег использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы A, Б, В, и Г, причём буква Г появляется не более одного раза и только на последнем месте. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем.

Сколько различных кодовых слов может использовать Олег?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Вспомним формулу получения количества возможных вариантов слов:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы,
n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Так как буква Г появляется не более одного раза и только на последнем месте, значит, она может либо появиться 1 раз на последнем месте, либо не появиться совсем.
Рассмотрим варианты, когда буква Г встречается 1 раз на последнем месте и встречается 0 раз:

1 раз: ? ? ? ? Г = 3 * 3 * 3 * 3 * 1 = 3⁴ = 81 
0 раз: ? ? ? ? ? = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 3⁵ = 243

Вместо знаков ? может стоять одна из трех букв (А, Б, В), т.к. буква Г там стоять не может
Теперь суммируем количество найденных вариантов:

81 + 243 = 324

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'АБВГ';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s4];
            if (res[1]<>'Г') and (res[2]<>'Г')and (res[3]<>'Г') and (res[4]<>'Г') then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='абвг'.Cartesian(5)
.where(w->(w.countOf('г')<=1)and(w[0]<>'г')and(w[1]<>'г')and(w[2]<>'г')
     and(w[3]<>'г')).count.print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Результат: 324

8_9:

Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы К, О, М, А, Р, причём буква А используется в них не более 3-х раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, необязательно осмысленная.

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Вспомним формулу получения количества возможных вариантов слов:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы,
n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Так как буква А по условию используется не более 3-х раз, это значит, что она используется либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо не используется совсем. Рассмотрим все эти варианты отдельно.
1. Буква А используется 3 раза:

А А А _  -> 1 * 1 * 1 * 4 = 4
А А _ А  -> 1 * 1 * 4 * А = 4
А _ А А  -> 1 * 4 * 1 * 1 = 4
_ А А А  -> 4 * 1 * 1 * 1 = 4

Итого получаем 4 варианта, в которых вместо символа _ может быть любая из 4 букв: К О М Р. Значит, имеем:

 4 * 4 = 16 вариантов

2. Буква А используется 2 раза:

А А _ _  -> 1 * 1 * 4 * 4 = 16
А _ А _  -> 1 * 4 * 1 * 4 = 16
А _ _ А  -> 1 * 4 * 4 * 1 = 16
_ А А _  -> 4 * 1 * 1 * 4 = 16
_ А _ А  -> 4 * 1 * 4 * 1 = 16
_ _ А А  -> 4 * 4 * 1 * 1 = 16

Итого получаем 6 вариантов, в которых вместо символа _ может быть любая из 4 букв: К О М Р. Значит имеем:

 16 * 6 = 96 вариантов

3. Буква А используется 1 раз:

А _ _ _  -> 1 * 4 * 4 * 4 = 64
_ А _ _  -> = 64
_ _ А _  -> = 64
_ _ _ А  -> = 64

Итого имеем:

64 * 4 = 256 вариантов

Буква А используется 0 раз:

_ _ _ _ -> 4⁴ = 256

Суммируем результаты всех трех случаев:

16 + 96 + 256 + 256 = 624

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'КОМАР';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          begin
            var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4];
            if res.CountOf('А') <=3 then
              n += 1;
          end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

1
2
3

##
var d:='комар'.Cartesian(4)
.where(w->w.countOf('а')<=3).count.print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

str = 'КОМАР'
n = 0
for s1 in str:
    for s2 in str: 
        for s3 in str:
            for s4 in str:
                res = s1 + s2 + s3 + s4
                if res.count('А')<=3:
                    n += 1
print(n)

С++:

Результат: 624

Теоретическое решение смотрите также на видео:

📹 YouTube здесьздесь (теоретическое решение)

8_10:

Сколько существует различных символьных последовательностей длины 3 в четырёхбуквенном алфавите {A,B,C,D}, если известно, что одним из соседей A обязательно является D, а буквы B и C никогда не соседствуют друг с другом?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Вспомним формулу получения количества возможных вариантов слов:

N = n1 * n2 * n3 * … * nL = n^L

где n1 — количество вариантов выбора первой буквы,
n2 — количество вариантов выбора второй буквы и т.п.
Будем рассматривать варианты, расставляя каждую букву последовательно по алфавиту, начиная с первой буквы. При этом будем учитывать указанные ограничения для букв А, B и С:

Начинаем с A: A D 4_ABCD = 1 * 1 * 4 = 4 
Начинаем с B: B A D, B B 2_BD, B D 4_ABCD = 7
Начинаем с C: C A D, C C 2_CD, C D 4_ABCD = 7
Начинаем с D: D A 3_BCD, D B 2_BD, D C 2_CD, D D 4_ABCD = 11

Теперь суммируем количество найденных вариантов:

4 + 7 + 7 + 11 = 29

Результат: 29

Видеоурок демонстрирует подробное теоретическое решение задания:

📹 YouTube здесьздесь (теоретическое решение)

8_22:

Лена составляет 5-буквенные слова из букв Я, С, Н, О, В, И, Д, Е, Ц, причём слово должно начинаться с согласной и заканчиваться гласной. Первая и последняя буквы слова встречаются в нем только один раз; остальные буквы могут повторяться.

Сколько слов может составить Лена?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='ясновидец'.Cartesian(5) 
.where(l->(l[0] in 'снвдц') and (l[4] in 'яоие'))// учитываем гласные и согласные
.where(l->(l.countOf(l[0])=1)and(l.countOf(l[4])=1))//учитываем, что они не повторяются
.count.print

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var str := 'ЯСНОВИДЕЦ';
  var n := 0;
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
          begin
            var slovo := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5];
            if (slovo[1] in 'СНВДЦ') and (slovo[5] in 'ЯОИЕ') then
              if (slovo[1] <> slovo[2]) and (slovo[1] <> slovo[3]) and (slovo[1] <> slovo[4])            
              and (slovo[1] <> slovo[5]) and (slovo[5] <> slovo[1]) and (slovo[5] <> slovo[2]) 
              and (slovo[5] <> slovo[3]) and (slovo[5] <> slovo[4]) then
              begin
                n += 1
              end;
          end;
  print(n)
end.

Python:

С++:

Результат: 6860

Использование метода Pairwise()

8_11:

Из букв С, Р, Е, Д, А составляются трехбуквенные комбинации по следующему правилу – в комбинации не может быть подряд идущих гласных и одинаковых букв.

Например, комбинации ААР или ЕСС не являются допустимыми.

Сколько всего комбинаций можно составить, используя это правило?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Рассмотрим два варианта: когда слово начинается с гласной буквы, и когда оно начинается с согласной.

1. С гласной:

1.1
2 3 2 = 2 * 3 * 2 = 12
^{гл с  с}

1.2
2 3 2 = 2 * 3 * 2 = 12
^{гл с гл}

2. С согласной:

2.1
3  2  2 = 3 * 2 * 2 = 12
с  с  с

2.2
3  2  3 = 3 * 2 * 3 = 18
с гл  с

2.3
3  2  2 = 3 * 2 * 2 = 12
с  с  гл

Подсчитаем общее количество вариантов:

12 + 12 + 12 + 18 + 12 = 66

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

### 
'среда'.cart(3)// 
 .Select(w -> w.JoinToString('')) // собираем в строку;
 .where(w->w.Pairwise.All((a,b) -> a+b not in 'еае'))
 .where(w->w.Pairwise.All((a,b) -> a<>b))
 .count.print

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'СРЕДА';
  var glas := 'ЕА';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
      begin
        var res := str[s1] + str[s2] + str[s3];
        // условие для подряд идущих гласных
        if not ((res[1] in glas) and (res[2] in glas) or
           (res[2] in glas) and (res[3] in glas)) then
        // условие для подряд идущих одинаковых букв
          if not ((res[1] = res[2]) or (res[2] = res[3])) then
            n += 1;
      end;
  print(n)
end.

Python:

str = 'СРЕДА'
glas = 'ЕА'
n = 0
for s1 in str:
    for s2 in str: 
        for s3 in str:
            res = s1 + s2 + s3 
            if not (s1 in glas and s2 in glas or
           s2 in glas and s3 in glas) :
                if not (s1 == s2 or s2 == s3) :
                    n += 1
print(n)

С++:

Результат: 66

Перестановка букв в слове (каждая буква 1 раз)

8_12:

Дано слово КОРАБЛИКИ. Таня решила составлять новые 5-буквенные слова из букв этого слова по следующим правилам:
1) слово начинается с гласной буквы;
2) гласные и согласные буквы в слове должны чередоваться;
3) буквы в слове не должны повторяться.

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Учтем, что в слове КОРАБЛИКИ две буквы К и две И.
Всего в слове 4 гласных, но поскольку две буквы И, то необходимо считать только 3 гласных.
Всего в слове 5 согласных, однако две из них — буквы К, поэтому считать следует 4 согласных.
Посчитаем количество согласных и гласных для каждой из 5 позиций слова, учитывая, что с каждой последующей буквой количество используемых гласных/согласных уменьшается. Под позициями приведем пример букв:

гл   с   гл   с   гл  
3    4    2   3    1
^{оаи   крбл   оа   крб    и}

Количество слов вычисляется как произведение полученных чисел:

3 * 4 * 2 * 3 * 1 = 72

Результат: 72

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

###
'кораблики'
.Cart(5)
.select(w->w.JoinToString(''))
.Distinct //Обязательно!
.where(w-> w.First in 'оаи')
.where(w->w.Pairwise.All((a,b)->not ((a in 'оаи') and (b in 'оаи')) 
       and not( ( a in'крбл') and (b in 'крбл' ))))
.where(w->'корабли'.All(c->w.countOf(c)<=1))
.count.print

Python:

С++:

Результат: 72

8_21:

Ксюша составляет слова, меняя местами буквы в слове МИМИКРИЯ.
Сколько различных слов, включая исходное, может составить Ксюша?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var str := 'МИМИКРИЯ';
  var set1: set of string;
  set1 := [];
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do 
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do 
          for var s5 := 1 to length(str) do  
            for var s6 := 1 to length(str) do
              for var s7 := 1 to length(str) do  
                for var s8 := 1 to length(str) do 
                begin
                  var slovo := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5] + str[s6] + str[s7] + str[s8];
                  if (slovo.CountOf('М') = 2) and (slovo.CountOf('И') = 3)
                  and (slovo.CountOf('К') = 1)
                  and (slovo.CountOf('Р') = 1)
                  and (slovo.CountOf('Я') = 1) then
                    include(set1, slovo);
                end;
  print(set1.count);
end.

Смысл решения в использовании типа множества (set). При добавлении новых элементов к множеству исключаются повторения.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

### 
 'МИМИКРИЯ'.Permutations // перестановки букв
 .Select(w->w.JoinToString('')) // собираем в строку
 .Distinct  // выбираем уникальные
 .Count.Print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Ответ: 3360

Подробное решение программным способом смотрите на видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (программное решение)

8_19:

Петя составляет шестибуквенные слова

перестановкой букв

слова АДЖИКА. При этом он избегает слов с двумя подряд одинаковыми буквами. Сколько всего различных слов может составить Петя?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Посчитаем количество слов без двух подряд одинаковых букв. Будем считать относительно буквы А, которых две в заданном слове АДЖИКА. Буквы не могут повторяться, поэтому их кол-во в каждом варианте будет уменьшается:

А*А*** = 4*3*2*1 = 24 слова с данным расположением буквы А. 
А**А** = 4*3*2*1 = 24
А***А* = 4*3*2*1
А****А = ...
*А*А**
*А**А*
*А***А
**А*А*
**А**А
***А*А

Получили 10 вариантов, и в каждом из них можно составить по 24 слова.
Таким образом, получим общее количество слов:

10 * 24 = 240

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var s: set of string;
  s := [];
  var str := 'АДЖИКА';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
            for var s6 := 1 to length(str) do
            begin
              var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5] + str[s6];
              if (res.CountOf('А') = 2) and (res.CountOf('Д') = 1) 
                  and (res.CountOf('Ж') = 1) and (res.CountOf('И') = 1) 
                  and (res.CountOf('К') = 1) then
                     if (res[1] <> res[2]) and (res[2] <> res[3]) and (res[3] <> res[4]) 
                        and (res[4] <> res[5]) and (res[5] <> res[6]) then
                           include(s, res);
            end;
  print(s.count)
end.

Смысл решения в использовании типа — множества (set). При добавлении новых элементов к множеству исключаются повторения.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

### 
'аджика'.Permutations
 .Select(w -> w.JoinToString('')) // собираем в строку;
 .distinct // исключаем дубли
 .where(s -> not ('аа' in s)) // исключаем две подряд буквы 'а'
  // или так: .where(w->w.Pairwise.All((a,b) -> a<>b))
 .count.pr

Python:

С++:

Ответ: 240

8_20:

Маша составляет 7-буквенные коды из букв В, Е, Н, Т, И, Л, Ь. Каждую букву нужно использовать

ровно 1 раз

, при этом код буква Ь не может стоять на последнем месте и между гласными. Сколько различных кодов может составить Маша?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Выполним задание следующим образом: 1. посчитаем общее количество слов, не учитывая никакие ограничения. 2. Затем посчитаем случаи, которые необходимо исключить. 3. Вычтем из результата пункта 1 результат пункта 2.
Общее количество независимо от ограничений (учтем, что буквы не должны повторяться):

7 6 5 4 3 2 1 - количество возможных вариантов букв на семи позициях

ИТОГО:
7! = 5040 слов

Посчитаем варианты, которые необходимо исключить. Их будет несколько:
а) буква ь — на последнем месте:

6 5 4 3 2 1 Ь = 6! = 720

б) буква ь — между гласными:

И Ь Е 4 3 2 1  = 24 варианта
Так как буквы смещаются по всем позициям, то получим (4 И Ь Е 3 2 1, ...):
24 * 5 = 120
Е Ь И 4 3 2 1  = 24 варианта
24 * 5 = 120

Посчитаем количество слов, согласно условию задачи:

5040 - 720 - 120 - 120 = 4080

✎ Решение с использованием программирования:
Стоит заметить, что теоретическое решение занимает меньше времени, чем программный способ!

PascalABC.net (приближенный к традиционному, долгое решение):

begin
  var n := 0;
  var str := 'ВЕНТИЛЬ';
  var glas := 'ЕИ';
  for var s1 := 1 to length(str) do
    for var s2 := 1 to length(str) do
      for var s3 := 1 to length(str) do
        for var s4 := 1 to length(str) do
          for var s5 := 1 to length(str) do
            for var s6 := 1 to length(str) do
              for var s7 := 1 to length(str) do
              begin
                var res := str[s1] + str[s2] + str[s3] + str[s4] + str[s5] + str[s6] + str[s7];
                if (res.CountOf('В') = 1) and (res.CountOf('Е') = 1) 
                    and (res.CountOf('Н') = 1) and (res.CountOf('Т') = 1) 
                    and (res.CountOf('И') = 1) and (res.CountOf('Л') = 1)
                    and (res.CountOf('Ь') = 1) then
                  if not (res[7] = 'Ь') then
                    if not ((res[1] in glas) and (res[3] in glas) and (res[2] = 'Ь') or
                        (res[2] in glas) and (res[4] in glas) and (res[3] = 'Ь') or
                        (res[3] in glas) and (res[5] in glas) and (res[4] = 'Ь') or
                        (res[4] in glas) and (res[6] in glas) and (res[5] = 'Ь') or
                        (res[5] in glas) and (res[7] in glas) and (res[6] = 'Ь')) then
                      n += 1
              end;
  print(n)
end.

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

### 
'вентиль'.Permutations// здесь можно без distinct, т.к. буквы не повторяются
 .Select(w -> w.JoinToString('')) // собираем в строку
 .where(s -> not ('еьи' in s) and not ('иье' in s) and (s.last <> 'ь'))
.Count.Print

Python:

С++:

Ответ: 4080

8_23:

Артур составляет 6-буквенные коды перестановкой букв слова ВОРОТА. При этом нельзя ставить рядом две гласные.
Сколько различных кодов может составить Артур?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, спортивное прогр-е):

###
'ВОРОТА'.prm
.Sel(w->w.ToS('')).dst
.Wh(w-> not w.Pairwise.Any((a,b)->a+b in 'АООАА'))
.Cnt.pr

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Ответ: 72

Сколько существует n-значных чисел, записанных в m-ной системе счисления

8_18: Объяснение 8 задания экзамена ЕГЭ 2020 г. (со слов учащегося):

Сколько существует восьмизначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в которых все цифры различны и рядом не могут стоять 2 чётные или 2 нечётные цифры?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Выпишем все четные и нечетные цифры, которые могут использоваться в 8-й с.с.:

четные: 0, 2, 4, 6 - итого 4 цифры
нечетные: 1, 3, 5, 7 - итого 4 цифры

Рассмотрим два случая построения числа по заданию: 1) начиная с четной цифры и 2) начиная с нечетной цифры. Изобразим схематично числа, указывая сверху возможное количество цифр на разряд:

1) с четной цифры:
3  4  3  3  2  2  1  1 = 3*4*3*3*2*2*1*1 = 432
ч  н  ч  н  ч  н  ч  н

Самый старший разряд не может быть равен 0 (поэтому 3 цифры из 4 возможных), так как разряд просто потеряется, и число станет семизначным). Каждый последующий разряд включает на одну цифру меньше, так как по заданию цифры не могут повторяться.

2) с нечетной цифры:
4  4  3  3  2  2  1  1 = 4*4*3*3*2*2*1*1 = 576
н  ч  н  ч  н  ч  н  ч

Каждый последующий разряд включает на одну цифру меньше, так как по заданию цифры не могут повторяться.

Сложим количество вариантов в обеих случаях:

432 + 576 = 1008

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

###
'01234567'.Permutations // т.к. цифр итак 8 штук
.where(w->w.First<>'0') // первая цифра не может быть 0
.where(w->w.Pairwise.All((a,b)-> (a.ToDigit + b.ToDigit).IsOdd)) // проверка пар четных и нечетных
.count.print

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Ответ: 1008

Список в алфавитном порядке

8_13:

Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Ниже приведено начало списка:

1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА
…

Запишите слово, которое стоит под номером 242 от начала списка.

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Данное задание лучше решать следующим образом. Подставим вместо букв цифры (А -> 0, О -> 1, У -> 2):

Видим, что каждая последующее число получается путем прибавления в столбик единицы к предыдущему числу. В троичной системе счисления! Т.к. цифр всего три.
Порядковый номер, написанный рядом с пунктом, всегда на единицу больше располагающейся рядом цифры в троичной системе счисления.
Значит, пункту под номером 242 будет соответствовать число 241 в троичной системе счисления.
Переведем 241 в 3-ю систему делением на 3:

        ^{остатки}
241 | 3 | 1
 80 | 3 | 2
 26 | 3 | 2
  8 | 3 | 2
  2 |   |

Перепишем остатки снизу вверх: 22221, им соответствуют буквы УУУУО

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

##
var d:='АОУ'.Order // сортируем по алфавиту
.Cartesian(5)
.Numerate.print

Смотрим слова и находим по номеру нужное слово:

… (241,[У,У,У,У,А]) (242,[У,У,У,У,О]) (243,[У,У,У,У,У])

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Результат: УУУУО

Подробное решение теоретическим способом смотрите на видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_14: 8 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Все 4-буквенные слова, составленные из букв Д, Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.
Ниже приведено начало списка.

1. ДДДД
2. ДДДЕ
3. ДДДК
4. ДДДО
5. ДДДР
6. ДДЕД
…

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы K?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Подставим вместо букв цифры (Д -> 0, Е -> 1, К -> 2, О -> 3, Р -> 4):

Видим, что каждое последующее число получается путем прибавления единицы в столбик к предыдущему (в пятеричной системе счисления! т.к. цифр всего пять).
Порядковый номер, написанный рядом с пунктом, всегда на единицу больше располагающейся рядом цифры в пятеричной системе счисления.
Определим число, которое получится, если мы в начале слова поставим букву К (остальные должны остаться нулями, т.к. числа идут по порядку, а нам необходимо первое, начинающееся с К):

K -> 2 -> 2000

Полученное число — 2000 — необходимо перевести из пятеричной системы счисления в десятичную, чтобы узнать порядковый номер:

По формуле разложения числа по степеням основания:

2000₅ = 2 * 5³ + 0 * 2² + 0 + 0 = 2 * 125 = 250₁₀

Поскольку порядковый номер числа всегда на единицу больше самого числа, то имеем 251.

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

###
var d:='декор'.Order // сортируем по алфавиту
.Cartesian(4) // d - массива из массивов символов 
.Numerate // нумерация
.where((i,w)->w[0] = 'к') // рассматриваем и номер и слово
.first[0].print // выводим именно номер

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Результат: 251

Подробное решение 8 (10) задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_15:

Все 4-буквенные слова, составленные из букв П, Р, С, Т, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:

1. ПППП
2. ПППР
3. ПППС
4. ПППТ
5. ППРП
... ...

✍ Решение:

Результат: 65

Видеоразбор задания смотрите ниже:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

8_16:

Все четырёхбуквенные слова, составленные из букв В, Е, Г, А, Н записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так:

1. АААА
2. АААВ
3. АААГ
4. АААЕ
5. АААН
6. ААВА
…

Под каким номером в списке идёт первое слово, в котором нет буквы А?

✍ Решение:

✎ Решение теоретическое:

Пронумерованный список начинается со всех букв А. Представим, что А — 0, В — 1, Г — 2, Е — 3, Н — 4. Получим следующий список:

Такой список представляет из себя увеличивающиеся числа 5-й системы счисления.
Так как букве А соответствует 0, то первое (самое младшее) четырехзначное число без нуля — это 1111.
Чтобы вычислить под каким номером стоит данное число, переведем его в 10-ю систему и прибавим к результату единицу (так как порядковые номера в списке на единицу больше самих чисел):

1111₅ = 1 * 5³ + 1 * 5² + 1 * 5¹ + 1 * 5⁰ = 156
156 + 1 = 157

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net (использование LINQ, быстрое решение):

###
var d:='веган'.Order // сортируем по алфавиту
.Cartesian(4) // d - массива из массивов символов
.Select(x->x.JoinToString(''))// d - массив из строк 
.Numerate // нумерация
.where((i,w)->'а' not in w) // рассматриваем и номер и слово
.first[0].print // выводим именно номер

* LINQ (Language Integrated Query) — язык интегрированных запросов

Python:

С++:

Результат: 157

Видеорешение задания (теоретическое):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

Вероятность событий

8_17:

За четверть Василий Пупкин получил 20 оценок. Сообщение о том, что он вчера получил четверку, несет 2 бита информации.

Сколько четверок получил Василий за четверть?

✍ Решение:

Для решения данного задания необходимо вспомнить две формулы:

1. Формула Шеннона:

x = log₂(1/p)

x - количество информации в сообщении о событии
p - вероятность события

2. Формула вероятности случайного события:

p(A) = m/n

m - число случаев, способствующих событию А
n - общее число равновозможных случаев

Подставим в первую формулу известное значение — вероятность того, что Василий получил четверку:

2 = log₂(1/p);
    => 
1/p = 4; 
    =>
p = 1/4

Затем подставим известное по условию значение в формулу вероятности случайного события:

p = ?/20

Поскольку p мы уже нашли, подставим найденное значение и найдем искомое число — количество четверок за четверть:

1/4 = ?/20

? = 1/4 * 20 = 5

Результат: 5

Видеоразбор задания:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (теоретическое решение)

Источник

ЕГЭ – 2021, задание 8. Кодирование данных, комбинаторика

Для решения данного задания необходимо помнить, что:

Кодирование — это представление информации в форме, удобной для её хранения, передачи и обработки.
В русском языке 33 буквы: 10 гласных букв (а, у, о, ы, и, э, я, ю, ё, е), 21 согласная буква (б, в, г, д, ж, з, й, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ) и два знака (ь, ъ).
Алфавит – набор символов, используемых при кодировании.
Мощность алфавита – количество символов в алфавите.
Число возможных слов Q длиной в L букв, когда есть m₁ вариантов выбора первой буквы, m₂ вариантов выбора второй буквы и т.д., вычисляется как произведение

Q = m₁ * m₂ * … * m_L

Тогда количество сообщений Q длиной в L букв, которое можно получить из алфавита мощностью М, при равном количестве вариантов выбора для всех букв равно

Q=М^L

Рассмотрим примеры решения различных задач по данной теме.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1 (демо-2021). Демоверсия 2020

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует трёхбуквенные слова, в которых могут быть только буквы Ш, К, О, Л, А, причём буква К появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

Решение:

Для составления трехбуквенных слов (то есть слов длиной 3 буквы) используется алфавит мощностью пять букв. Здесь отдельное условие выбора указано только для буквы К, для остальных четырех букв алфавита (обозначим их символами х) – выбор одинаковый и равен 4² = 16.

При этом буква К может стоять на любом из трех мест в слове, тогда возможны три варианта слов: Кхх, хKх, ххК. Тогда общее количество вариантов слов будет

Q = 3 * 16 = 48

Ответ: 48

Задача 2.

Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Г, О? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Решение.

Всего из 4 различных букв можно составить 4⁴= 256 вариантов различных слов длиной четыре.

Но так как слова должны начинаться только с согласной буквы (здесь их 2 из четырех), полученных слов будет 256 / 2 = 128 вариантов.

Ответ: 128

Задача 3.

Сколько существует различных символьных последовательностей длины 5 в трёхбуквенном алфавите {Т, О, К}, которые содержат ровно две буквы О?

Решение.

Общее количество слов, которое можно составить из 3 букв длиной 5, равно

3⁵ = 243 варианта.

Рассмотрим варианты пятибуквенных слов, в которых буква О стоит в разных позициях:

ОО*** О*О** О**О* О***О — 4 шаблона, где звездочками обозначены 2³ = 8 вариантов слов, которые можно составить из двух оставшихся букв (Т и К). Тогда получаем здесь всего 4 * 8 = 32 варианта;
*ОО** *О*О* *О**О — 3 шаблона, которые дают 3 * 8 = 24 варианта слов;
**ОО* **О*О — 2 шаблона, которые дают 2 * 8 = 16 вариантов;
***ОО = 1 шаблон, который дает 8 вариантов слов.

Тогда всего получаем 32 + 24 + 16 + 8 = 80 вариантов слов с двумя буквами О.

Ответ: 80

Задача 4.

Коля составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы К, Л, О, У, Н, причём буква У используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Коля?

Решение.

Так как по условию буква У встречается в слове хотя бы один раз, то

рассчитаем количество слов, в которых буква У встречается все пять раз
и вычтем случаи, когда буква У не встречается ни разу.

В первом случае, когда буква У используется на всех 5 позициях, получаем

5 * 5 * 5 * 5 *5 = 3125 вариантов.

Во втором случае буква У не используется совсем, то есть используются только 4 буквы:

4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024

Тогда разница между ними и даст нам требуемый результат: 3125 – 1024 = 2101

Ответ: 2101

Задача 5.

Коля составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы П, О, Л, Е, причём буква Е может использоваться не более 3-х раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Коля?

Решение.

Всего здесь возможно получить 4⁵ = 1024 слова, но есть ограничение – одна из букв не может использоваться более 3 раз. При этом, буква использоваться 5 раз может только в единственном случае.

Когда же буква используется 4 раза, то возможны варианты:

Е Е Е Е *, Е Е Е * Е, Е Е * Е Е , Е * Е Е Е и * Е Е Е Е – всего 5 шаблонов, где на месте звездочки может быть любая из трех оставшихся букв, то есть всего 15 вариантов. Значит, всего не может быть использовано 15 + 1 = 16 вариантов.

Тогда возможное количество слов при заданном условии будет 1024 – 16 = 1008 слов.

Ответ: 1008

Задача 6. Илья составляет 3-буквенные слова из букв К, Л, М, Н, О, Я. Буква Я в слове может быть только одна (или ни одной) и только на первой или последней позициях. Сколько различных кодовых слов может составить Илья?

Решение.

Максимальное число различных слов, которое можно получить в этой задаче, равно 6³ = 216 вариантов.

При этом возможны только следующие шаблоны:

* * *, Я * * и * * Я — всего 3 шаблона,

где на месте звезд могут быть в первом случае — 5 букв (без Я), то есть 5³ = 125 вариантов,

во втором и третьем случае – 5² = 25 * 2 = 50 вариантов. Итого возможно получить

125+50 = 175 вариантов различных слов.

Ответ: 175

Задача 7. Палиндром – это символьная строка, которая читается одинаково в обоих направлениях. Сколько различных 4-символьных палиндромов можно составить из строчных латинских букв? (В латинском алфавите 26 букв).

Решение.

4-символьный палиндром состоит из пары двух одинаковых букв, тогда общее количество таких возможных палиндромов будет 26² = 676 вариантов.

Ответ: 676

Задача 8. Все 6-буквенные слова, составленные из букв М, А, К записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. АААААА

2. АААААК

3. АААААМ

4. ААААКА

5. ААААКК

……

Запишите номер первого слова, которое начинается на букву М.

Решение.

Данный список будет состоять из трех равных частей, каждая из которых будет содержать 3⁶ / 3 = 243. Тогда третья часть начнется со строки под номером 243 * 2 + 1 = 487.

Ответ: 487

Задача 9.

Иннокентий составляет семибуквенные слова из букв Е, И, Й, К, Н, О,

Т. Сколько слов может составить Иннокентий, если известно, что в каждом из них есть комбинация КОТ?

Решение:

Подвох в условии этой задачи в том, что не сказано, что комбинация КОТ встречается только один раз!

Тогда сначала посчитаем общее число возможных комбинаций, в которых слово кот встречается только один раз, и вычтем из этого количества те, где комбинация повторяется дважды.

Всего возможны варианты:

КОТхххх, хКОТххх, ххКОТхх, хххКОТх, ххххКОТ, где х – одна из четырех оставшихся букв, то есть 5 * 7⁴ = 12005

Второй раз комбинация КОТ может встретиться в четвертом и пятом варианте, причем в пятом варианте – дважды:

КОТКОТх , КОТхКОТ и хКОТКОТ.

В каждом случае остается свободной одна позиция из семи различных букв, то есть три раза по 7 вариантов букв – итого 21.

Итого получаем: 12005 – 21 = 11984.

Ответ: 11984

Задача 10

Василий составляет 4-буквенные коды из букв Г, А, Ф, Н, И, Й. Каждую букву можно использовать любое количество раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и должен содержать хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может составить Василий?

Решение:

Решим задачу с конца, так как решение с начала – на много длиннее. Для этого мы сосчитаем, сколько вариантов кодов может быть всего (без учета заданных ограничений) и вычтем количество кодов, которых быть не может.

В данном задании мощность алфавита М = 6, длина получаемых кодов L = 4 то есть общее возможное количество вариантов слов (без учета ограничений на использование букв) равно Q = 64 = 1296. Напомним, что буква Й – согласная, т.е. в используемом в задаче алфавите четыре согласных и две гласных буквы.

Не может быть кодов, которые начинаются на Й, их количество

Q = 1(Й) *6 *6 *6 =216

Также не может быть кодов, в которых нет ни одной гласной буквы, их количество Q = 3 *4 *4 *4 =192.

Тогда остается возможных кодов 1296-216-192 = 888.

Ответ: 888

Задача 11. Все 4-буквенные слова, составленные из букв С, Л, О, Н, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ЛЛЛЛ

2. ЛЛЛН

3. ЛЛЛО

4. ЛЛЛС

……

Запишите слово, которое стоит на 250-м месте от начала списка.

Решение.

Пронумеруем буквы в порядке их следования в алфавите цифрами от 0 до 3:

Л = 0, Н = 1, О = 2, С = 3

и запишем заданное нам начало списка этими цифрами:

1. 0000

2. 0001

3. 0002

4. 0003

……

Очевидно, что получили числа в четверичной системе счисления, записанные в порядке возрастания. Очень важно, что число ноль стоит на первом месте. Тогда далее на каждом месте будет стоять число, на 1 меньшее номера слова. Значит, на 250-м месте от начала списка будет находиться число 249, но записанное в четверичной системе счисления:

249 = 3321₄

Заменив обратно цифры на буквы, получаем: ССОН

Проверка решения.

При желании можно получить ответ, решив задачу с конца списка.

Всего в данной задаче возможно получить 4⁴= 256 вариантов различных слов. Запишем полученные слова с конца: 255 = СССС, 254 = СССО, 253 = СССН, 252 = СССЛ, 251 =ССОС, 250 =ССОН – что и требовалось доказать. Или же для проверки выполните обратный перевод числа в десятичную систему счисления.

Ответ: ССОН

Задача 2. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Л, С, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААЛ

3. ААААС

4. ААААУ

5. АААЛА

……

Укажите номер слова УЛАСА.

Решение. Нумеруем буквы в порядке их следования в алфавите цифрами от 0 до 3, получаем: А = 0, Л = 1, С = 2, У = 3, тогда получаем число 31020 в четверичной системе счисления. После перевода его в десятичную систему счисления получаем

31020₄= 840.

Значит, искомое нами число занимает 840 +1 = 841 место.

Ответ: 841

Источник

Задание номер 8 — задание базового уровня сложности, выполнение которого предполагает знание о методах измерения количества информации и не требует использования специального ПО.

Зачастую в номере 8 мы можем встретить задания связанные с комбинаторикой — перестановками, количеством вариантов выборки и т.д. Для решения заданий такого типа можно приспособить модуль itertools языка python.

Сразу оговорюсь, что я не рекомендую решать задание именно таким способом. Я советую проверять свой ответ, полученный ручным решением. Написанная программа не должна быть единственным вариантом решения.

Модуль itertools доступен в питоне «из коробки», т.е. его нет необходимости устанавливать дополнительно. А значит, он будет доступен на экзамене.

Ссылка на документацию по модулю https://docs.python.org/3/library/itertools.html

Использованные в данной статье методы и функции доступны как минимум с версии питона 3.6

Для импорта необходимых функции необходимо их импортировать из модуля

from itertools import product, permutations

product

Позволяет получить прямое, или декартово произведеение двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

a = ‘AB’

b = ‘CD’

print(*product(a, b))

(‘A’, ‘C’) (‘A’, ‘D’) (‘B’, ‘C’) (‘B’, ‘D’)

Получение произведения двух множеств не очень актуально в 8 задании, но мы можем использовать другую возможность функции product: получение всевозможных комбинаций определенной длины для одного множества.

a = ‘AB’

print(*product(a, repeat=3))

(‘A’, ‘A’, ‘A’) (‘A’, ‘A’, ‘B’) (‘A’, ‘B’, ‘A’) (‘A’, ‘B’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘A’) (‘B’, ‘A’, ‘B’) (‘B’, ‘B’, ‘A’) (‘B’, ‘B’, ‘B’)

Мы получили всевозможные комбинации длины 3 для набора из двух букв АВ. Причем результат работы функции — набор кортежей.

Параметр repeat отвечает за длину слова.

Из полученных наборов мы можем выбрать подходящие для нас. Например, так можно решить задание из демоверсии 2021.

Длина слова здесь 3, а набор букв — ШКОЛА. Получим всевозможные комбинации:

a = ‘ШКОЛА’

comb = product(a, repeat=3))

Осталось выбрать те, где буква К встречается ровно 1 раз.

Поскольку подсчет количества вхождений в кортеж организовать сложнее, чем в строке, здесь элементы кортежа «склеиваются» по пустой строке, образуя тем самым не кортеж, а строку. Метод count подсчитывает количество вхождений подстроки ‘K’.

Этот же код можно оформить в одну строку через списочное выражение

print(len([item for item in product(‘ШКОЛА’, repeat=3) if ”.join(item).count(‘К’) == 1]))

2. permutations

Позволяет получить всевозможные перестановки.

print(*permutations(‘ABC’))

(‘A’, ‘B’, ‘C’) (‘A’, ‘C’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’, ‘A’) (‘C’, ‘A’, ‘B’) (‘C’, ‘B’, ‘A’)

Это опять набор кортежей.

Рассмотрим такое задание с сайта kpolyakov.spb.ru

Получаем перестановки

a = ‘КАПКАН’

comb = permutations(a)

И отбираем нужные варианты

Поскольку в слове КАПКАН есть повторяющиеся буквы А и К, мы должны поделить итоговое количество на 4 (дважды поделить на 2), поскольку с нашей точки зрения эти комбинации неотличимы друг от друга.

Другой способ убрать повторяющиеся комбинации — превратить набор перестановок в множество, которое в питоне исключает повторы

Так-же можно написать решение в одну строку

print(len([i for i in set(permutations(‘КАПКАН’)) if all(i[j] != i[j + 1] for j in range(5))]))

Подведем итог. Задачи на составление слов путем выбора букв из набора или путем перестановки букв в слове можно решить с использованием модуля itertools. Написание кода не займет много времени, зато будет уверенность в ручном решении.

Источник

Формула Шеннона

Задача № 8 (первый вариант) по системе счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (второй вариант) на системы счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (третий вариант) системы счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (четвертый вариант) на системы счисления и комбинаторика

Задача № 8 (пятый вариант) системы счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (шестой вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (седьмой вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (восьмой вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (девятый вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (десятый вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (одиннадцатый вариант) система счисления и комбинаторика

Задача № 8 ЕГЭ (двенадцатый вариант) система счисления и комбинаторика

Объяснение темы

Измерение количества информации

Двоичное кодирование сообщений (равновероятностные события)

Количество различных сообщений в алфавите разной мощности

Количество сообщений при различном вхождении (встречаемости) букв

Дополнительные формулы

Количество информации и равновероятные события

Количество информации и неравновероятные события

Сколько вариантов шифра или кодовых слов

Перестановка букв в слове (каждая буква 1 раз)

Сколько существует n-значных чисел, записанных в m-ной системе счисления

Список в алфавитном порядке

Вероятность событий

Новое и интересное на сайте: