Алекс ларин егэ по математике профильный уровень 2023

Задание 1

Ответ: 12

Скрыть

Пусть $$CH$$ — высота. Так как треугольник $$ABC$$ — равнобедренный, то $$AH=HB.$$

Из треугольника ACH:

$$tg A=frac{CH}{AH}=frac{sqrt{5}}{2}$$

Пусть $$CH=sqrt{5}x,$$ а $$AH=2x.$$ По теореме Пифагора:

$$(sqrt{5}x)^2+(2x)^2=9^2Leftrightarrow 9x^2=9^2Rightarrow x=3$$

Тогда $$AB=4x=12$$

Задание 2

Ответ: 1

Скрыть

$$V_1=ABcdot BCcdot BB_1$$

$$V_{ABCB_1}=frac{1}{3}S_{осн}cdot BB_1=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot BB_1=frac{1}{6}V_1$$

$$V_{AD_1CB_1}=V_1-frac{4}{6}V_1=frac{2}{6}V_1=frac{1}{3}V_1=frac{1}{3}cdot3=1$$

Задание 3

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что неисправная батарейка будет забракована, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,0485

Скрыть

Выделим два несовместных исхода, при которых система контроля бракует батарейку:

— батарейка неисправна и она бракуется системой;

— батарейка исправна и она бракуется системой.

Вероятность первого исхода равна $$P_1=0,03cdot0,97,$$ вероятность второго исхода равна $$P_2=(1-0,03)cdot0,02.$$ В результате, искомая вероятность, равна:

$$P=P_1+P_2=0,03cdot0,97+0,97cdot0,02$$

$$P=0,0291+0,0194=0,0485$$

Задание 4

Ответ: 0,58

Скрыть

Найдём исходы, когда за 2 броска НЕ набралось более 6 очков:

$$11;12;13;14;15;21;22;23;24;31;32;33;41;42;51$$ — всего 15 исходов.

При $$2^x$$ бросках всего $$6cdot6=36$$ исходов. Тогда в $$36-15=21$$ исходах получили более 6 за 2 броска:

$$P(A)=frac{21}{36}=0,58(3)approx0,58$$

Задание 5

Ответ: -4

Скрыть

$$sqrt{-x}=x+6Leftrightarrowleft{begin{matrix} -x=(x+6)^2\ x+6geq0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2+12x+36+x=0\ xgeq-6 end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2+13+36=0\ xgeq-6 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x=-4; -9\ xgeq-6 end{matrix}right.Leftrightarrow x=-4$$

Так как -9 не является корнем уравнения, то сумму не находим, тогда ответом будет -4.

Задание 6

Найдите значение выражения $$((sqrt[4]{3}-sqrt[4]{27})^2+7)cdot((sqrt[4]{3}+sqrt[4]{27})^2-7)$$

Ответ: 47

Скрыть

$$(sqrt[4]{3}-sqrt[4]{27})^2=(sqrt[4]{3}^)2−2sqrt[4]{3}cdotsqrt[4]{27}+(sqrt[4]{27})^2=$$

$$sqrt{3}-2sqrt[4]{3cdot27}+sqrt{27}=sqrt{3}-2sqrt[4]{81}+3sqrt{3}=4sqrt{3}+2cdot3=4sqrt{3}-6$$

и

$$(sqrt[4]{3}+sqrt[4]{27})^2=(sqrt[4]{3}^)2+2sqrt[4]{3}cdotsqrt[4]{27}+(sqrt[4]{27})^2=$$

$$sqrt{3}+2sqrt[4]{3cdot27}+sqrt{27}=sqrt{3}+2sqrt[4]{81}+3sqrt{3}=4sqrt{3}-2cdot3=4sqrt{3}+6$$

то

$$((sqrt[4]{3}-sqrt[4]{27})^2+7)cdot((sqrt[4]{3}+sqrt[4]{27})^2-7)=(4sqrt{3}-6+7)cdot(4sqrt{3}+6-7)=$$

$$(4sqrt{3}+1)cdot((4sqrt{3}-1)=(4sqrt{3})^2-1^2=48-1=47$$

Задание 7

Ответ: -2

Скрыть

Значение производной в точке равно значению тангенса между касательной к графику в эту точку и осью $$Ox.$$ Достроим прямоугольный треугольник $$A(0;2); B(0;8); C(3;2)$$

$$tg ACB=frac{AB}{AC}=frac{8-2}{3-0}=2$$

Так как функция убывает, то $$f'(x)=-2$$

Задание 8

Ответ: 6,16

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y(60)=0,0041*60^{2}-0,71*60+34=$$$$0,41*36-7,1+34=$$$$14,76-42,6+34=6,16$$

Задание 9

Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй ‐ 25% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившемся сплаве?

Ответ: 172,5

Скрыть

Пусть $$х$$ кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит $$400cdotfrac{30}{100}=120$$ кг, а во втором сплаве $$(120-y)$$ кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:

$$frac{100y}{150}=frac{100(120-y)}{250}$$

$$frac{y}{150}=frac{120-y}{250}$$

$$5y=3(120-y)$$

$$5y=360-3y$$

$$y=45$$

Из этого уравнения находим, что $$у = 45.$$ Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет $$150cdotfrac{40}{100}=60$$ кг, а во втором сплаве олова будет $$(х-60)$$ кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет $$250cdotfrac{25}{100}=62,5$$ кг.

Во втором сплаве олова содержится $$(х-60)$$ кг, цинка $$120-45 = 75$$ (кг), меди $$62,5$$ кг и, так как весь сплав весит $$250$$ кг, то имеем:

$$x-60+75+62,5=250,$$ откуда $$x=172,5$$ кг

Задание 10

Ответ: 34

Скрыть

Пусть $$f(x)=a(x-m)^2+n.$$ Вершина смещена относительно $$(0;0)$$ на 5 вправо $$Rightarrow m=5$$ и на 2 вниз $$Rightarrow n=-2.$$ Наклон параболы стандартный (соответствует $$y=x^2$$), значит $$a=1.$$ Получим $$f(x)=(x-5)^2-2.$$

Тогда $$f(-1)=(-1-5)^2-2=36-2=34$$

Задание 11

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}’=frac{1}{2sqrt{2lg x-1}}*frac{2}{xln 10}-frac{1}{xln10}=0$$

$$frac{1}{xln 10}(frac{1}{2sqrt{2lg x-1}})=0$$

$$left{begin{matrix}xneq 0 \sqrt{2lg x-1}=1(1)end{matrix}right.$$

$$(1): sqrt{2lg x-1}=1Leftrightarrow$$ $$2lg x-1leq 1Leftrightarrow$$ $$2lg x=2Leftrightarrow$$ $$lg x=1Leftrightarrow x=10$$

$$y(10)=y=sqrt{2lg 10-1}-lg 10=1-1=0$$

А) Решите уравнение $$sqrt{2sin x+sqrt{2}}cdotlog_4(2cos x)=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{5pi}{2};-pi]$$

SMNK – правильный тетраэдр.  На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР:PS=1:3, точка L – середина ребра MN.

А) Доказать, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны

Б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4.

Задание 15

Ответ: 119

Скрыть

Пусть кредит составляет А рублей, 2 % – процентная ставка, 18 месяцев–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга $$frac{A}{n},$$
Выплаты процентов составят:
за первый месяц $$0,02cdot А$$ (сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй месяц $$0,02cdot(А–(frac{A}{18}))=0,02cdotfrac{17A}{18}$$ (сумма выплат уже уменьшилась на $$frac{1}{18}A$$)
за третий месяц $$0,02cdot(А–(frac{2A}{18}))=0,02cdotfrac{16A}{18}$$ (сумма выплат уже уменьшилась на $$frac{2}{18}A$$)
…
за 18–й месяц $$0,02cdotfrac{A}{18}$$ (сумма выплат уменьшилась на $$frac{17A}{18}$$)
Тогда за 18 месяцев придется вернуть всю взятую сумму
$$18cdotfrac{A}{18}=A$$
и проценты, т.е.
$$0,02cdot А+0,02cdotfrac{17A}{18}+…+0,02cdotfrac{A}{18}=0,02cdot А(1+frac{17A}{18}+frac{16A}{18}+cdots+frac{A}{18})$$
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 18 слагаемых от 18 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии.
$$А+0,02cdotfrac{А(18+17+cdots+1)}{18}=А+0,19А=1,19А$$ руб.– общая сумма выплат
А руб составляют 100%
1,19А руб. составляют х%
$$х=1,19Аcdotfrac{100}{A}=119$$%
Ответ. общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования 119 % от суммы кредита.

В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е

А) Докажите, что AD=CE+CD

Б) Найдите площадь трапеции ABCD, если АЕ=10, $$angle BAD=60^{circ}$$

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$(x^2-4ax+a(4a-1))^2-3(x^2-4ax+a(4a-1))-|a|(|a|-3)=0$$

имеет более двух корней.

А)  В арифметической прогрессии $${a_n}$$ первый член $$a_1=5$$ и разность прогрессии $$d=9.$$ Какие члены прогрессии имеют четное количество делителей?

Б) В последовательности $${x_n},$$ состоящей из целых чисел, известны первые два члена: $$x_1=1, x_2=2,$$ а следующие члены последовательности находятся по формуле $$x_{n+2}=5x_{n+1}-6x_n$$ для всех $$ngeq1.$$ Какой самый большой простой делитель имеет число $$x_{2023}?$$

В) Может ли натуральное число иметь 100 делителей, если сумма его делителей является простым числом?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.