Аннуитет задачи егэ - Exhelper.top - портал для учащихся

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Решите задачи на аннуитетные платежи (задания ЕГЭ) 1 января 2015 года Александр взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Решите задачи на аннуитетные платежи (задания ЕГЭ) 1 июня 2013 года Всеволод взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?.

Решите задачи на аннуитетные платежи (задания ЕГЭ) Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?.

Решите задачи на аннуитетные платежи (задания ЕГЭ) Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?.

Решите задачи на аннуитетные платежи (задания ЕГЭ) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

Пусть, например, клиент взял (2,1) млн рублей в банке под (10%) годовых и должен погасить кредит через (2) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж (x), можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после платежа}\
hline 1&2,1&2,1cdot 0,01(100+10)=1,1cdot 2,1&1,1cdot 2,1-x\
hline 2&1,1cdot2,1-x&(1,1cdot2,1-x)cdot0,01(100+10)&1,1(1,1cdot2,1-x)-x\
hline
end{array}] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть (1,1(1,1cdot2,1-x)-x=0Leftrightarrow 1,1^2cdot2,1-x(1,1+1)=0).

Отсюда находим ежегодный платеж (x=1,21) млн рублей.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: [{Large{left(frac{100+r}{100}right)^ncdot A-xleft(left(frac{100+r}{100}right)^{n-1}+left(frac{100+r}{100}right)^{n-2}+dots+1right)=0}}] где (A) – сумма, взятая в кредит, (r%) – процентная ставка в банке, (x) – сумма платежа, (n) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Задание
1

#1189

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Екатерина взяла кредит в банке на сумму (680,000) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять (1) марта на (2) месяца на следующих условиях:
– (17)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на (12,5 %) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с (18)-ого по (30)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Заметим, что (dfrac{112,5}{100}=dfrac{9}{8}).

Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), (x) – ежемесячный платеж: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Месяц} & text{Сумма долга до начисления } % &
text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}
\[5pt]
hline
1 & 680 & frac{9}{8}cdot 680 — x \[5pt]
hline
2 & frac{9}{8}cdot 680 — x & frac{9}{8}left(frac{9}{8}cdot 680 — xright)-x\[5pt]
hline
end{array}]

(Rightarrow dfrac{9}{8}left(dfrac{9}{8}cdot 680 — xright)-x=0
Rightarrow
x=405) тыс. рублей.

Таким образом, переплата по кредиту составила (2x-A=130) тыс. рублей.

Ответ:

(130,000) рублей.

Задание
2

#1190

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Бизнесмен Олег в январе (2016) года взял кредит в банке под (20 %) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила (675,500) рублей?

Пусть (A) рублей – сумма кредита, (x) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления } % & text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}\
hline 1 & A & 1,2A-x\
hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\
hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\
hline
end{array}]

Следовательно, (1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 (*)).

Всего за три года Олег выплатил банку (3x) рублей, а его переплата составила (3x-A=675,500) рублей. Отсюда (A=3x-675,500). Подставим это значение в ((*)):

(1,2^3cdot (3x-675,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 Rightarrow )

(x= dfrac{1,2^3cdot
675,500}{3cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=dfrac{12^3cdot
675,500}{1,544}=756,000 Rightarrow 3x=2,268,000) рублей.

Ответ:

(2,268,000) рублей.

Задание
3

#3924

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть (x) рублей — этот ежегодный платеж, (A) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на (frac14). Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\[2ex]
hline 1& A&A+frac 14A=frac 54A&frac 54A-x\[2ex]
hline 2& frac 54A-x& frac54left(frac54A-xright)&
frac54left(frac54A-xright)-x\[2ex]
hline 3&frac54left(frac54A-xright)-x&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x\[2ex]
hline
end{array}] Таким образом, имеем: [frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x=0 quadLeftrightarrowquad
x=dfrac{left(frac54right)^3}{left(frac54right)^2+frac54+1}cdot
A]

Переплата по кредиту равна (3x-A), следовательно, необходимо найти: [dfrac{3x-A}{A}cdot 100%=
left(dfrac{3cdot left(frac54right)^3}
{left(frac54right)^2+frac54+1}-1right)cdot
100%=left(dfrac{3cdot 5^3}{5^2cdot 4+5cdot
4^2+4^3}-1right)cdot 100%=dfrac{131}{244}cdot 100%sim 54%.]

Ответ:

Задание
4

#3976

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк выдает кредит сроком на 4 года под (25%) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Пусть кредит взят на сумму (A), пусть (x) – ежегодный платеж. Составим таблицу. [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\
hline 1&A&1,25cdot A&1,25cdot A-x\
hline 2&1,25cdot A-x&1,25(1,25cdot A-x)&1,25(1,25cdot A-x)-x\
hline 3&1,25(1,25cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x\
hline 4&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&
1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-\
&-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\
hline
end{array}]

Тогда имеем уравнение: [1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x)-x=0 quadLeftrightarrowquad
dfrac Ax=dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}]

Переплата по кредиту равна (4x-A). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: [dfrac{4x-A}{x}cdot 100%=left(4-dfrac Axright)cdot 100%]

Заметим, что (1,25=frac54). Тогда: [left(4-dfrac{5^3cdot 4+5^2cdot 4^2+5cdot 4^3+4^4}{5^4}right)cdot 100%=
left(4-dfrac{500+400+320+256}{625}right)cdot
100%=dfrac{1024cdot 4}{25}%=dfrac{1024cdot
4^2}{100}%=163,84%]

Значит, переплата превышает платеж на (63,84%).

Ответ:

63,84

Задание
5

#3920

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму (664,200) рублей под (25 %) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Составим таблицу, обозначив за (x) рублей ежегодный платеж, (A=664,200) рублей.

[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления }% &
text{Сумма долга после начисления }%text{ и платежа} \
hline
1 & A & 1,25A-x\
hline
2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\
hline
3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \
hline
4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\
hline
end{array}]

Таким образом, (1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0).

Отсюда (x=dfrac{1,25^4cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}).

Заметим, что (1,25=dfrac{5}{4} Rightarrow)

(x=dfrac{5^4cdot 664,200}{4cdot 9cdot 41}).

Выполнив сокращения, получим, что (x=281,250) рублей.

Ответ:

(281,250) рублей.

Задание
6

#1192

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под (12,5%) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила (65,240) рублей.

Составим таблицу, обозначив за (A) руб. сумму кредита, а за (x) руб. ежегодный платеж.

[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг в руб.} & text{Долг в руб.} &
text{Долг в руб.}\
& text{до начисления} & text{после начисления} & text{после внесения} \
& text{процентов} & text{процентов} & text{платежа} \
hline
1&A &1,125A &1,125A-x \
hline
2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \
hline
3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \
& &-x)-x) &-x)-x)-x\
hline
4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \
& -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \
hline
end{array}]

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0]

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 (*)]

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку (4x) рублей, а, значит, его переплата составила (4x-A) рублей. Т.к. (4x-A=65,240), то (A=4x-65,240). Значит:

[1,125^4(4x-65,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0]

Заметим также, что (1,125=dfrac{9}{8} Rightarrow)

[x=dfrac{9^4cdot 2^3cdot 5cdot
7cdot233}{9^4cdot4-8(9^3+9^2cdot8+9cdot8^2+8^3)}=65,610]

Значит, ежегодный платеж составил (65,610) рублей.

Ответ:

(65,610) рублей.

Задание
7

#1186

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для покупки квартиры Алексею не хватало (1,209,600) рублей, поэтому в январе (2015) года он решил взять в банке кредит под (10
%) годовых на (2) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год (15) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на (10%));
– в период с (16) по (31) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму (x) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма (x), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Т.к. процентная ставка в банке равна (10 %), то (15) декабря (2015) года долг Алексея составит (110 %) от первоначальной суммы ((1,209,600) рублей), т.е. будет равен (1,1cdot 1,209,600) рублей. После этого Алексей переводит банку (x) рублей, то есть его долг уменьшается на (x) и будет равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.

До (15) декабря (2016) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей. (15) декабря (2016) банк снова увеличивает долг на (10 %), т.е. долг Алексея уже будет равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.

После этого Алексей снова переводит банку (x) рублей, следовательно, долг равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x).

Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
(1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x=0 Rightarrow)
(1,1^2cdot 1,209,600-1,1x-x=0 Rightarrow x=dfrac{1,1^2 cdot
1,209,600}{1,1+1}=696,960)

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} &text{Сумма долга до начисления }% &text{После начисления } % &text{После платежа}\
& text{(до 15 декабря)} &text{(15 декабря)} &text{(с 16 по 31 декабря)}\
hline 1 & 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600-x\
hline 2 & 1,1cdot 1,209,600-x &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x) &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x\
hline
end{array}]

Ответ:

(696,960) рублей.

Задачи, затрагивающие сферу финансовой математики, к примеру, на расчет аннуитетного платежа по кредиту, с недавнего времени добавлены во вторую часть ЕГЭ.

Именно поэтому выпускники, которые готовятся к сдаче аттестационного испытания, должны в обязательном порядке уметь справляться с подобными заданиями.

Решение задач по банковскому делу по кредиту предполагает наличие у учащихся базовых навыков анализа числовых данных и осуществления практических расчетов по формулам. Если подобные задания являются для вас достаточно сложными, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». Наши специалисты подобрали задачи на аннуитетные платежи, подобные тем, которые встречаются в аттестационном испытании. Поняв, как правильно решать такие задания, учащиеся смогут успешно справиться с экзаменом и получить достойные баллы.

Необходимо запомнить!

Когда будете решать задачи по банковскому кредиту, рекомендуем учесть несколько важных нюансов.

При аннуитетном платеже выплата долга осуществляется фиксированной суммой, которая остается единой в течение всего периода оплаты. Такой способ имеет важное преимущество. В первые месяцы пользования займом аннуитетный платеж будет меньше, чем суммарная выплата по классической схеме. При этом важно учесть, что досрочное погашение кредита в данном случае не будет выгодным.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задачи, содержащие конкретные примеры расчета банковского кредита в ЕГЭ, давались вам легко, рекомендуем ознакомиться с базовым материалом, собранным специалистами образовательного портала «Школково». Для этого необходимо посетить раздел «Теоретическая справка».

Отработать полученные знания вам помогут задачи по данной теме, представленные на сайте. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ.

Изучить пример расчета аннуитетного платежа и выполнить аналогичные задачи школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

I.
АННУИТЕТНЫЕ ПЛАТЕЖИ

Определение.

Аннуитетный платёж –
вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда размер ежемесячного
(ежегодного) платежа остается постоянным на всем периоде кредитования..

При решении экономических задач на
аннуитетные платежи примем следующие обозначения величин:

S – сумма кредита,

х – ежегодный (ежемесячный)
платёж,

r –
процентная ставка,

p = 1 + .

n – срок кредитования.

Решение задач на аннуитетные платежи удобно оформлять в
виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

В июле 2021 года
планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата
таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет
выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного
погашения кредита на 96500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение.

Пусть S
рублей – сумма кредита,

r = 20 %, тогда p
= 1 + 20/100 = 1,2.

n = 3
года.

х – годовой
платёж,

тогда 3х
– общая сумма платежа за 3 года,

3х – S = 96500.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х
3	p² S –p х – х	p³ S –p² х – pх	x	p³ S –p² х – pх – x = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S – p²х – pх – x = 0.

Подставим вместо S выражение 3х – 96500.

p³
∙ (3х –
96500) – p²х – pх – x = 0.

3p³∙ х – 96500 p³–
p²х – pх – x = 0.

Теперь выразим из этого уравнения переменную х:

х
∙ (3p³– p² – p – 1) = 96500 p³,

х = = .

3х = .

Подставив p = 1,2,
получим общую сумму выплат за три года:

3х = 324000
рублей.

Ответ:
324000 рублей.

Задача 2.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§ ежегодные
выплаты не превышают 300 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Решение.

S =
1 000 000 рублей – сумма кредита,

r = 10 %, тогда p
= 1 + 10/100 = 1,1.

Для того, чтобы переплаты были минимальными, нужно,
чтобы сумма ежегодных выплат принимала наибольшую возможную сумму. Поэтому
примем х = 300 000 рублей, за исключением последнего
платежа, сумма которого может быть меньше предыдущих платежей.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	1 000 000	1,1 ∙ 1 000 000 = = 1 100 000	300 000	1 100 000 – 300 000 = = 800 000
2	800 000	1,1 ∙ 800 000 = = 880 000	300 000	880 000 – 300 000 = = 580 000
3	580 000	1,1 ∙ 580 000 = = 638 000	300 000	638 000 – 300 000 = = 338 000
4	338 000	1,1 ∙ 338 000 = = 371 800	300 000	371 800 – 300 000 = = 71800
5	71 800	1,1 ∙ 71 800 = = 78 980	78 980	78 980 – 78 980 = 0.

Общая сумма выплат равна:

4 ∙
300 000 + 78 980 = 1 278 980 (рублей).

Наименьшее значение переплат за весь срок кредитования:

1 278 980
– 1 000 000 = 278 980 (рублей).

Ответ:
278 980 рублей

Задача 3 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§ ежегодные
выплаты не превышают 400 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Ответ:
526 400 рублей.

Задача 4.

31 декабря 2020 года
Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5 %), затем
Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение.

S =
4 290 000 рублей,

r = 14,5%, тогда p
= 1,145.

n = 2 года.

х – годовой
платёж,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – pх –
x = 0.

Выразим
из этого уравнения х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв S и p:

х = = 2 622 050.

Ответ:
2 622 050 рублей.

Задача 5 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Алексей
взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей
переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
2 296 350 рублей.

Задача 6.

31 декабря 2020 года Ярослав
взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Ярослав
переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав
в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре
года)?

Решение.

Пусть S рублей
– сумма, взятая в кредит,

r = 12,5%, тогда p
= 1,125.

n = 4 года.

х =
2 132 325 рублей – ежегодные платежи,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х = 0
3	p² S –p х – х	p³ S –p² х – pх	x	p³ S –p² х – pх – x = 0
4	p³ S –p² х – pх – x	p⁴ S –p³ х – p² х –px	х	p⁴ S –p³ х – p² х –px – x = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p⁴ S –p³ х – p² х –px – x = 0.

Выразим
из этого уравнения S:

p⁴
S – х ∙ (p³ + p²
+ p + 1) = 0,

p⁴
S = х ∙ (p³ + p²
+ p + 1),

S = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв x и p:

х = = 6 409 000.

Ответ:
6 409 000 рублей.

Задача 7 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 399 300 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными
платежами (т.е. за три года)?

Ответ:
993 000 рублей.

Задача 8 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 207 360 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
536 800 рублей.

Задача 9.

31 декабря 2020 года
Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20 %), затем
Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных
платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить
долг за 2 равных платежа?

Решение.

S =
7 007 000 рублей,

r = 20%, тогда p
= 1,2.

n₁ = 3 года,

n₂ = 2 года.

х рублей –
ежегодные платежи.

1) Заполним
таблицу для n₁ = 3:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х = 0
3	p² S –p х – х	p³ S –p² х – pх	x	p³ S –p² х – pх – x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³ S – p² х –px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³ S – х ∙ (p²
+ p + 1) = 0,

p³ S = х ∙ (p²
+ p + 1),

х = ,

3х = = = 9 979 200.

2) Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

2х = = = 9 172 800.

3) 9 979 200
– 9 172 800 = 806 400 (рублей).

Ответ:
806 400 рублей.

Задача 10 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Савелий
взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Савелий
переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?

Ответ:
506 250 рублей.

Задача 11.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
75 000 рублей, а во второй год – 46 000 рублей. Найдите число r.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	75 000	р S – 75 000
2	р S – 75 000	p² S – 75 000 p	46 000	p² S – 75 000 p – 46 000 = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p²
S – 75 000 p
– 46 000 = 0.

Поскольку
S
= 100 000, то получаем квадратное уравнение:

100 000
p²
– 75 000 p
– 46 000 = 0,

100
p²
– 75 p – 46 = 0,

Положительный
корень этого уравнения равен:

p
= 1,15,

откуда
r
= 15 %.

Ответ:
15 %.

Задача 12 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§ с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
68 000 рублей, а во второй год – 59 000 рублей. Найдите число r.

Ответ:
18 %.

Задача 13.

Дмитрий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно втрое больше
предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	3х	p² S –p х – 3х = 0
3	p² S –p х –3 х	p³ S –p² х – 3pх	9x	p³ S –p² х – 3pх – 9x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S –p²
х – 3pх
– 9x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³
S – х ∙ (p² +
3p + 9) = 0,

p³
S = х ∙ (p² +
3p + 9),

х = ,

х = = 26 620.

Ответ:
26 620 рублей.

Задача 14 (для самостоятельного решения).

Георгий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Георгий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Георгий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно вдвое меньше
предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ:
133 100 рублей.

Задача 15.

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 292 820 рублей, то кредит будет полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 534 820 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Решение.

Пусть S рублей –
сумма кредита,

n₁ = 4 года, при этом
х = 292 820 рублей – ежегодные платежи,

n₂ = 2 года,
при
этом у = 534 820 рублей – ежегодные платежи.

1) Заполним
таблицу для n₁ = 4:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p² S –p х	х	p² S –p х – х = 0
3	p² S –p х – х	p³ S –p² х – pх	x	p³ S –p² х – pх – x
4	p³ S –p² х – pх – x	p⁴ S –p³ х – p²х – px	x	p⁴ S –p³ х – p²х – px – x = 0

2) Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	у	р S – у
2	р S – у	p² S –p у	у	p² S –p у – у = 0

В последних ячейках таблиц мы получили два уравнения:

p⁴ S –p³ х – p²х – px – x = 0 и p² S –p у – у = 0.

Умножим второе уравнение на p², а затем
вычтем из него первое уравнение:

(p³ у – p³ х) + (p² у – p² х) – (pх + х) =
0,

p³ (у – х) +
p² (у – х) –
х (p + 1) = 0,

p² (у – х) (p + 1) = х
(p + 1).

Поскольку p – число
положительное, то число (p + 1) – также
является положительным числом. Поэтому обе части уравнения можно разделить на
(p + 1).

p² (у – х) =
х,

p² = ,

p² = = 1,21.

p = 1,1.

Значит,
r
= 10 %.

Ответ:
10 %.

Задача 16 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§ с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 216 000 рублей, то кредит будет полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 366 000 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Ответ:
20 %.

Задача 17.

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наибольший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика будет меньше 8 млн. рублей.

Решение.

r = 10%, тогда p
= 1,1.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Долг после начисления процентов (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	р S — S	S
2	S	р S	р S — S	S
3	S	р S	р S — S	S
4	S	р S	x	р S – x
5	р S – x	p²х – px	x	p²х – px – x = 0

1) Рассмотрим
уравнение в последней ячейке таблицы:

p²х
– px – x = 0.

Выразим
из этого уравнения х:

p²х
– х (p +1) = 0,

p²х
= х (p +1),

х
= =
= .

2)
Общая сумма выплат равна:

3
∙
(р S – S) + 2х
= 3 ∙ (р
S – S) + 2S ∙ = S ∙
(3p – 3 + 2 ∙ ) = … = S ∙ .

По
условию, эта сумма меньше 8 млн. рублей, тогда

S
∙ < 8,

S
< ≈ 5,508…

При
этом S – целое
число миллионов рублей. Значит, S = 5 (млн. рублей).

Ответ:
5 млн. рублей.

Задача 18 (для самостоятельного решения).

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика превысит 10 млн. рублей.

Ответ:
6 млн. рублей.

Задача 19.

Гражданин Гусев взял
кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый
из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S,
взятой в кредит. Схема выплаты кредита следующая: в конце каждого года банк
увеличивает на 25 % оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в
банк очередной платёж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до
20 % годовых, и гражданин Гусев внёс третий платёж. Четвёртым платежом долг был
полностью погашен. Сколько процентов от первоначальной суммы S
составлял четвёртый платёж по кредиту гражданина Гусева?

Решение.

r₁ = 25%, тогда p₁ = 1,25.

r₂ = 20%, тогда p₂ = 1,2.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	1,25 S	0,5 S	1,25 S – 0,5 S = 0,75 S
2	0,75 S	1,25 ∙ 0,75 ∙ S = = 0,9375 ∙ S	0,5 S	0,9375 ∙ S – 0,5 ∙ S = = 0,4375 ∙ S
3	0,4375 ∙ S	1,2 ∙ 0,4375 ∙ S = 0,525 ∙ S	0,5 S	0,525 S — 0,5 S = = 0,025 S
4	0,025 S	1,2 ∙ 0,025 ∙ S = = 0,03 ∙ S	0,03 ∙ S	0,03 ∙ S – 0,03 ∙ S = 0

= 0,03 = 3 %.

Ответ:
3 %.

Источник

Тема 15.

Сложные задачи прикладного характера

Банковский кредит: аннуитетный платеж

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

сложные задачи прикладного характера

15.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет

15.02Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023

15.03Банковский кредит: аннуитетный платеж

15.04Банковский кредит: дифференцированный платеж

15.05Банковский кредит: другие схемы платежей

15.06Банковский вклад

15.07Поиск наибольшего/наименьшего значения величины

Решаем задачи

Екатерина взяла кредит в банке на сумму 680000 рублей, которую ей не хватало
для покупки квартиры. Кредит она решила взять 1 марта на 2 месяца на
следующих условиях:

— 17-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на 12,5%
по сравнению с долгом на начало текущего месяца;

— в период с 18-ого по 30-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга
одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.

Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Показать ответ и решение

Заметим, что

12,5- 112,5- 9
1 + 100 = 100 = 8

Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), — ежемесячный
платеж:

Кредит был выплачен, следовательно,

( )
9 ⋅ 9 ⋅680 − x − x= 0 ⇒
8 8
92 2
⇒ x= 6890⋅82 =680 ⋅ 92 ⋅ 8 =405 ты с. рублей.
8 + 1 8 17

Таким образом, переплата по кредиту составила

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.

Для покупки квартиры Алексею не хватало 1 209 600 рублей, поэтому в январе
2015 года он решил взять в банке кредит под 10% годовых на 2 года. Условия
пользования кредитом таковы:

– раз в год 15 декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты
(т.е. долг увеличивается на 10%);

– в период с 16 по 31 декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую
сумму рублей (сделать платеж).

Какова должна быть сумма чтобы Алексей выплатил долг равными
платежами?

Показать ответ и решение

Так как процентная ставка в банке равна 10%, то 15 декабря 2015 года долг
Алексея составит 110% от первоначальной суммы (1 209 600 рублей), т.е. будет
равен рублей. После этого Алексей переводит банку рублей,
то есть его долг уменьшается на и будет равен
рублей.

До 15 декабря 2016 года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен
рублей. 15 декабря 2016 банк снова увеличивает долг на 10%,
т.е. долг Алексея уже будет равен рублей.

После этого Алексей снова переводит банку рублей, следовательно, долг
равен

Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то

1,1⋅(1,1⋅1209600− x)− x= 0 ⇒
⇒ 1,12⋅1209600− 1,1x− x= 0 ⇒
1,12⋅1209600
⇒ x= ---1,1+-1---= 696960

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Показать ответ и решение

Пусть Руслан взял в банке рублей, а его ежегодный платеж составил рублей. Тогда из условия следует, что
81-
x = 136A .

Если процентная ставка в банке составляет , то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в 100+-y
100
раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например 120% – это 1,2 ). Следовательно, например, в конце первого года
долг будет равен 100+ y
-100--A рублей.

Обозначим за 100+ y
t= -100-- и составим таблицу:

Т.к. в конце -ого года кредит должен быть выплачен полностью, то

Т.к. A> 0 , то можно разделить обе части уравнения на A ⇒

Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за и потом разделили на нее обе части
уравнения).

Ответ:

12,5% .

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив ежегодный платеж по кредиту за тыс.рублей и делая вычисления в
тыс.рублей:

Т.к. в конце -его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец -его года
составит рублей, т.е.

3 2
1,2 ⋅ (1,2 ⋅ (1, 2 ⋅ 546 − x) − x ) − x = 0 ⇔ 1,2 ⋅ 546 − x (1, 2 + 1,2 + 1) = 0 (∗)

Домножим числитель и знаменатель дроби на 1000 , чтобы избавиться от десятичных
дробей:

123 ⋅-546
x = 3640

Выполняя сокращения (для этого удобно пользоваться признаками деления), получим
тыс.рублей.

Значит, переплата равна тыс. рублей или 231600 рублей.

Ответ:

231600 рублей.

Бизнесмен Олег в январе 2016 года взял кредит в банке под 20 % годовых, причем
выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько
рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту
составила 675 500 рублей?

Показать ответ и решение

Пусть рублей – сумма кредита, рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

Следовательно,

Всего за три года Олег выплатил банку рублей, а его переплата составила
рублей. Отсюда Подставим это значение в
(∗):

3 2
1,2 ⋅(3x− 675500)− x(1,2 + 1,2 +1) =0 ⇒

---1,23⋅675500--- 123⋅675500
x = 3⋅1,23− 1,22− 2,2 = 1544 =756000 ⇒ 3x= 2268000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Под какое наименьшее целое кратное пяти число процентов годовых банку необходимо предоставить
кредит на 2 года, выплачиваемый равными ежегодными платежами, чтобы переплата по такому
кредиту превысила 50% от ежегодного платежа?

Показать ответ и решение

Пусть в банке взят кредит на сумму . Если — процентная ставка в банке, то каждый год после
начисления процентов долг увеличивается в раз. Обозначим за ежегодный платеж и
составим таблицу:

Получаем уравнение

t2
t(tA − x) − x = 0 ⇔ x = -----A
t + 1

Общая сумма выплат по кредиту равна , тогда переплата по кредиту составила .
Значит, необходимо, чтобы , следовательно, т.к. A > 0 ,
получаем:

√ --
1 + 7
3t2 − 2t − 2 > 0 ⇒ t > -------
3

т.к. t > 0 .

Т.к. , то , следовательно, . Следовательно, наименьшее подходящее
. Проверим, заметив, что :

( )
5 2 5 3
3 ⋅ -- − 2 ⋅--− 2 > 0 ⇔ ---> 0
4 4 16

Получили верное неравенство, значит, , откуда y = 25% .

Ответ:

25%

Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под 50% годовых. После того, как кредит был выплачен,
оказалось, что переплата по кредиту составила 3044000 рублей. Сколько тысяч рублей каждый год
вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными
платежами?

Показать ответ и решение

Пусть ежегодный платеж был равен тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку тыс.
рублей. Следовательно, если тыс. рублей — сумма кредита, то тыс. рублей — и есть
переплата по кредиту. Составим таблицу:

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

5 4 3 2
1,56A − x(1,55 + 1,54 + 1,53 + 1,52 + 1,5 + 1) = 0 ⇔ A = 1,5-+--1,5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1-x
1,56

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где
.

Эта сумма равна 6
1,5-−--1-
1,5 − 1 . Значит,

---1,56 −-1---
A = 1,56(1,5 − 1)x

Заметим, что 1,5 = 3
2 , следовательно,

6 6 2 2 2 2
A = 2(3--−-2-)x = 2(3 −-2)(3 +-2-)(3-−-3-⋅ 2 +-2-)(3-+-3-⋅ 2-+-2-)x = 2 ⋅ 5-⋅ 7-⋅ 19x
36(3 − 2) 36 36

Тогда, т.к. переплата , имеем следующее равенство, из которого можно найти
:

( )
6 − 2 ⋅-5 ⋅ 7-⋅ 19 x = 3044 ⇔ 1522x = 1522 ⇔ x = 729 тыс. рубл ей
36 729

Ответ:

729

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под 12,5% годовых. Кредит он должен
выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей
составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила 65240 рублей.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за руб. сумму кредита, а за руб. ежегодный платеж.

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку рублей, а, значит, его переплата составила
рублей. Т.к. , то . Значит:

Заметим также, что 9-
1,125 = 8 ⇒

Значит, ежегодный платеж составил 65610 рублей.

Ответ:

65610 рублей.

Банк выдает кредит сроком на 4 года под 25% годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата
по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Показать ответ и решение

Пусть кредит взят на сумму , пусть – ежегодный платеж. Составим таблицу.

Тогда имеем уравнение:

3 2
1,25(1,25(1,25 (1,25 ⋅ A − x) − x) − x) − x = 0 ⇔ A- = 1,25-+--1,25-+--1,25-+-1-
x 1,254

Переплата по кредиту равна . Следовательно, число процентов, которое составляет переплата
от платежа, равно:

( )
4x − A A
------- ⋅ 100% = 4 − -- ⋅ 100%
x x

Заметим, что 5
1,25 = 4 . Тогда:

( ) ( )
53 ⋅ 4-+-52-⋅ 42 +-5 ⋅ 43-+-44 500-+-400-+-320-+-256- 1024-⋅ 4 1024-⋅ 42
4 − 54 ⋅100% = 4 − 625 ⋅100% = 25 % = 100 % = 163, 84%

Значит, переплата превышает платеж на 63,84% .

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать
равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга
увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае
необходимости ответ округлите до целого числа.

Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму 664200 рублей под 25% годовых при
условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами.
Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на
условия банка?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за рублей ежегодный платеж, рублей.

Таким образом, .

Отсюда -------1,254 ⋅ A-----
x = (1,252 + 1)(1,25 + 1) .

Заметим, что 5-
1,25 = 4 ⇒

4
x = 5-⋅ 664200-
4 ⋅ 9 ⋅ 41 .

Выполнив сокращения, получим, что рублей.

Ответ:

281250 рублей.

Какой наибольший процент годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был
выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Показать ответ и решение

Пусть — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть a,b,c — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

Таким образом, имеем следующее уравнение:

3 2
1, 25(1,25(1,25S − a) − a ) − a = 0 ⇔ 1,25 S = a (1, 25 + 1, 25 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от стоимости квартиры , равна

3
-a ------1,25-------
S = 1,252 + 1, 25 + 1

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры,
равна

3a 375
--- = ----
S 244

2) Пусть – сумма кредита в банке Б.

Таким образом, имеем следующее уравнение:

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от кредита , равна

-b- -----1,33------ -133-
S1 = 1,32 + 1,3 + 1 = 3990

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита,
равна

3 3
3b-= 3-⋅ 13 = -13--
S1 3990 1330

Т.к. , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от
, равна

3b 3 ⋅ 133
---= --------
S 4 ⋅ 1330

3) Пусть – сумма кредита в банке В. Пусть также 100+y-
100 = t — коэффициент, на
который умножается долг после начисления процентов.

Таким образом, имеем следующее уравнение:

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от кредита , равна

-c-
S2 = t

Т.к. , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от
, равна

c- t-
S = 4

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по
обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет
общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть
выполнено:

t- -3 ⋅-133 375- 96699-
4 + 4 ⋅ 1330 < 244 ⇔ t < 81130

Т.к. t = y+100
100 , то

155690- 1543-
y < 8113 = 198113

Следовательно, наибольшее целое равно .

Ответ:

19%

Показать ответ и решение

Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он
также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными
платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить
должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в
течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть рублей –
сумма первого кредита).

где
– ежегодный платеж по первому кредиту.

где
– ежегодный платеж по второму кредиту.

Общая сумма выплат по обоим кредитам – это 4x + 2y . Следовательно, необходимо найти
A
4x + 2y − A − --
4 .

Из первой таблицы получаем:

1, 14 ⋅ A 1,14
1,1(1,1(1,1(1,1 ⋅A − x )− x) − x) − x = 0 ⇔ x = ---3------2----------= -------------2-----⋅A
1,1 + 1,1 + 1, 1 + 1 (1,1 + 1)(1,1 + 1)

Из
второй аналогично:

( A ) 1,12 A
1,1 1, 1 ⋅--− y − y = 0 ⇔ y = --------⋅--
4 1,1 + 1 4

Таким образом,

( )
A- 1,12-⋅ A 4-⋅ 1,12- 1- 5A- -112-⋅ 1189- 4641000-⋅ 5
4x + 2y − A − 4 = 1, 1 + 1 ⋅ 1,12 + 1 + 2 − 4 = 21 ⋅ 20 ⋅ 221 ⋅ 4641000 − 4

Заметим, что , следовательно:

2
5A- 11--⋅ 1189-⋅ 1000 4641000-⋅ 5
4x + 2y − 4 = 20 − 4 = 1392200.

Показать ответ и решение

Пусть Артур взял в кредит тыс.рублей и тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу,
заметив, что :

Таким образом, имеем следующее уравнение

( )
( 9 )4 ( 9)3 ( 9 )2 9 ( 9)4 ( 9)3 ( 9)2 9
-- A − -- x − -- x − -x − x = 0 ⇔ -- A = x -- + -- + -+ 1
8 8 8 8 8 8 8 8

Т.к. всего банку он заплатил рублей, то переплата равна , откуда
1
x = 4 (A + 6524 ) . Подставим это в уравнение:

( )
( 9)4 1 ( 9)3 ( 9)2 9
-- A = --(A + 6524 ) -- + -- + --+ 1
8 4 8 8 8

откуда выражаем, что

( )
94-
2 ⋅ 6524 ⋅ 84 − 1 2 ⋅ 6524 ⋅ (94 − 84)
A = -----------4-------= -------4----4-----
2 − 9-- 2 ⋅ 8 − 9
84

Найдем :

Тогда, учитывая известное 10
2 = 1024 , имеем: 4 4 4 4 4 12
2 ⋅ 8 − 9 = 8 − (9 − 8 ) = 2 − 17 ⋅ 145 = 4096 − 2465 = 1631 .

Значит,

2 ⋅ 1631 ⋅ 4 ⋅ 2465
A = -----------------= 19720 тыс.руб лей
1631

Значит, вся квартира стоила тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не
хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

19720 1972 ⋅ 4 7888
------⋅ 100% = --------⋅ 100% = -----% = 78,88%
25000 2500 ⋅ 4 100

Ответ:

78,88%

Показать ответ и решение

Пусть и — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а 100+y
t = -100- . Составим
таблицу:

Таким образом,

x t3 27
t(t(tA − x ) − x ) − x = 0 ⇔ -- = ----------= ---
A t2 + t + 1 38

Откуда получается уравнение 3 2
38t − 27t − 27t − 27 = 0 .

Известно, что — целое кратное десяти число, то есть .

Тогда или в рациональном виде

11 6 13 7 3 8 17 9 19
t = --; --; --; -; --; -; --; --; ---и т.д.
10 5 10 5 2 5 10 5 10

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем
свободного члена, то есть − 27 , а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть .
Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это . Проверим:

( )3 ( ( )2 )
38 ⋅ 3- − 27 3- + 3-+ 1 = 0 ⇔ 0 = 0
2 2 2

Таким образом, t = 3-
2 и y = 50% .

Ответ:

50%

Показать ответ и решение

Введем обозначение: 100 + y
--------= t,A
100 – сумма кредита, – ежегодный платеж. Составим
таблицу:

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то .

Заметим, что за два года он заплатил банку рублей, значит, его переплата по кредиту составила
рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее
неравенство:
.
Выразим из (∗) ежегодный платеж: 2
x = -tA--
t + 1 и подставим в неравенство:

2 2
A ⋅ t-−-t-−-1-≤ 0 ⇒ t-−--t −-1-≤ 0
t + 1 t + 1 , т.к. A > 0 .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим: 1 + √5--
0 ≤ t ≤ -------
2 (т.к. не может быть
отрицательным).

Сделав обратную замену 100-+-y-= t
100 , получим: √ --
y ≤ 50 ⋅ ( 5 − 1) .

Для того, чтобы найти наибольшее целое , необходимо оценить √ --
50 ⋅ ( 5 − 1) .

√ ------ √ -- √ -- √ --
223 < 50000 < 224 ⇒ 223 < 100 5 < 224 ⇒ 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 61,5 < 50 ⋅ ( 5 − 1) < 62 .
Таким образом, наибольшее целое y = 61 .

Ответ:

61% .

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под 12, 5% годовых или в банке Б на 2 года
под 2847% годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления
процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат
округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму рублей.

1) Составим таблицу для банка А, приняв за ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после
начисления процентов долг будет составлять 112,5% от предыдущего долга, то есть будет
увеличиваться в 1,125 раз. Также заметим, что 9
1,125 = 8 .

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

( )
( 9 )4 ( 9 )3 ( 9)2 9
-- A − x -- + -- + --+ 1 = 0,
8 8 8 8

откуда

( )
x 9 4
--= (9)3---(98)2---9-----
A 8 + 8 + 8 + 1

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где a1 = 1 , а
q = 9
8 . Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

(9)4 (9 ) 4
x-= -8(-)-8-−-1- = ----9-----
A 9 4 − 1 8 (94 − 84)
8

Тогда величина 4x-
A показывает, какую часть составляет общая сумма выплат по кредиту от
самого кредита :

4x 4 ⋅ 94
---= ---4----4-
A 8(9 − 8 )

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть – ежегодный платеж), заметив, что
4 900
100 + 28 7% = -7-% , а 900 9
0,01 ⋅-7- = 7 :

Поступая аналогично первому пункту, найдем

2
2y- = --2-⋅ 9---
A 7 ⋅ (9 + 7)

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее
выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

4 ⋅ 94 2 ⋅ 92
---------- и ------
8(94 − 84) 7 ⋅ 16

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

4 2
---------4 ⋅-9---------- ∨ 2-⋅ 9-
8(9 − 8 )(9 + 8)(92 + 82) 7 ⋅ 16
4 ⋅ 92 1
-------- ∨ --
17 ⋅ 145 7
4 ⋅ 81 ⋅ 7 ∨ 17 ⋅ 145
(4 ⋅ 7) ⋅ 81 ∨ (17 ⋅ 5) ⋅ 29

Заметим, что . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом,
кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

б) Переплата по выгодному кредиту равна . Значит, необходимо найти

После округления до целого числа получим 33% .

Ответ:

33%

Источник

Задание № 17. Финансовые задачи. Аннуитетные платежи

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами. При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

Пусть а руб. – сумма кредита

р – процентная ставка

коэффициент наращивания

n – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
…
n

Выведем еще одну формулу для вычисления суммы ежегодного платежа:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

После третьей выплаты

Так как это кусочек формулы , то

Значит, Если три года кредитования, то

Для четырех лет кредитования:

Для n лет кредитования

Задача 1.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 9 930 000 руб.)

р = 10 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 3 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3

После третьего платежа долг равен нулю:

Ответ: 3993000 рублей.

Задача 2.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 6 902 000 руб.)

р = 12,5 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 4 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4		x

После четвертого платежа долг равен нулю:

Ответ: 2296350 рублей.

Примечание. Можно было найти сумму ежегодного платежа по формуле (2):

Рассмотрим еще один способ решения задачи.

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
Проценты (p %)	Основная сумма
1
2			?
3			?
4			?

Покажем, как вычислять основную сумму платежа, то есть на что заменять знак «?».

1-й год: платеж составляет .

2-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

3-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

4-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

Тогда ежегодные платежи составляют:

Ответ: 2296350 рублей.

Задача 3.

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 7 007 000 руб.)

р = 20 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

х руб. – ежегодный платеж, если n = 3 года; у руб. – ежегодный платеж, если n = 2 года.

Если Тимофей выплатил за три года, то имеем:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3

Значит, за 3 года Тимофей выплатил: рублей.

Если бы Тимофей смог выплатить долг за два года, то имеем:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2

Значит, за 2 года Тимофей выплатил бы: рублей.

Тогда переплата составляет: рублей.

Ответ: на 806400 рублей.

Примечание. Рассмотрим другой способ решения:

Если выплатил за 3 года, то:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

После третьей выплаты

рублей – выплаты за три года.

Если выплатил за 2 года, то:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

рублей – выплаты за два года.

рублей – переплата.

Задача 4.

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита

р = 12,5 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 4 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж (х = 2 132 325 рублей)

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4

Ответ: 6 409 000 рублей.

Задача 5.

31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита

р % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж, если n = 4 года; у руб. – ежегодный платеж, если n = 2 года.

Если за 4 года, то:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4

Если за 2 года, то:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2

Из второго уравнения выразим :

и подставим в первое уравнение.

или

не удовлетворяет условию задачи .

или не удовлетворяет условию задачи .

Ответ: 20%.

Задания для самостоятельного решения:

1. (вариант 23 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 2 592 000 рублей.

2. (вариант 24)

31 декабря 2016 года Виктор взял в банке 3 972 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Виктор переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 1 597 200 рублей.

3. (вариант 39)

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 2 622 050 рублей.

4. (вариант 18)

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 6 330 000 рублей.

5. № (511283)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную
69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 124 809 100 рублей.

6. (508217)

31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Ответ: 506 250 рублей.

7. (507218)

31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по
2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Ответ: 20%.

Источник

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Необходимо запомнить!

Как подготовиться к экзамену?

Новое и интересное на сайте: