Четырехугольник вписан в окружность в егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол  равен . Тогда напротив него лежит угол в  градусов. Если угол  равен , то угол  равен .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона  равна ,  равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что  равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны  и , а боковые стороны —  и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4.  Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна

Поэтому 

Ответ: 148.

Задача 5.  Углы четырехугольника  относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть 

Сумма всех углов четырехугольника равна

А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем 

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника   и   стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .

Поэтому

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. 

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. 

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда  или

Сумма дуг и составляет

Вписанный угол А равен половине дуги т.е. 

Ответ: 15.

Задача 8.  Радиус окружности, описанной около квадрата, равен   Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна 

Выразим сторону квадрата через его диагональ: 

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями 

Тогда боковые стороны 

Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому

– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: 

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и 

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как 

Радиус окружности равен половине диаметра:

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: 

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а

Решение:

Обозначим  Тогда 

Обозначим также 

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда 

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это 

Пусть 

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из 

Из 

Из 

Из 

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив  как  получим: 

Кроме того,  Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

находим: 

Значит, 

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.

Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.

Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, , тогда 

опирается на диаметр.

 – прямоугольный,  – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

Отсюда 

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180{}^circ ).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180{}^circ ). Не веришь? Давай убедимся.

Смотри:

Пусть ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360{}^circ ).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Доказательство смотри чуть дальше.

А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Задание 16.Вариант 26.из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = 2√5.

Решение.

а) По условию задания CD – диаметр, поэтому угол DBC = 90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр) и  . По условию  , следовательно,   и  , откуда следует, что  .

Трапеция BCFA вписана в окружность, следовательно, BCFA – равнобедренная трапеция с AB = CF. По условию  ,  , поэтому треугольник ABE – равнобедренный с AB = BE и  . Следовательно, BE = CF и   и четырехугольник BCFE – параллелограмм по признаку параллелограмма.

б) Рассмотрим треугольник DAE:  , AH = HE, следовательно, треугольник DAE – равнобедренный и  ,   (вертикальные углы равны). Углы DAF и DCF опираются на одну дугу DF, следовательно, они равны и

,

получаем, что  , а треугольник CEF – равнобедренный с EF=CF=AB=6. Треугольник ABH – прямоугольный с AB=6, AH=2√5, значит,

По теореме о пересекающихся хордах:

Величина   и

Отрезок DB, равен

Площадь четырехугольника ABCD равна

где  ; EH1 – высота параллелограмма, равная BH = 4; BC=EF=AB=6 (см. выше). В результате, имеем:

и

.

Ответ:  .

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите. В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства:

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180  градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 110⁰. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник  BОC  равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180⁰, значит

Таким образом

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58⁰. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙58⁰ = 116⁰

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360⁰ – 116⁰ = 244⁰

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122⁰.

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD  AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95⁰, 49⁰, 71⁰, 145⁰. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145⁰, градусная величина дуги СD равна 71⁰, значит градусная величина дуги АDС равна 145⁰ + 71⁰ = 216⁰.

По свойству вписанного угла  угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105⁰, угол CAD равен 35⁰. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Далее используя  теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75⁰, угол CAD равен 35⁰. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180⁰, значит

Ответ: 110

27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38⁰. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110⁰, угол ABD равен 70⁰. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Четырёхугольник вписан в окружность