Числовые промежутки решу егэ - Exhelper.top

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На координатной прямой точками отмечены числа a, b, c, d и m. Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца.

ТОЧКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ — 2015.

На прямой отмечены точки A, B, C и D.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: РЕШУ ЕГЭ

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D. Про число m известно, что оно равно

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.

Число m равно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Всего: 11 1–11

Добавить в вариант

Число m равно Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

РЕШЕНИЯ

1)  [−2; −1]

2)  [0; 1]

3)  [2; 3]

4)  [4; 5]

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий отрезку номер.

Источник: ЕГЭ по базовой математике 21.03.2016. Досрочная волна

ТОЧКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ — 2015.

На прямой отмечены точки K, L, M и N.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 120912.

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

ОТРЕЗКИ

1)  [0;1]

2)  [1; 2]

3)  [2; 3]

4)  [4; 5]

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 120913.

На прямой отмечены точки A, B, C и D.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Каждому из четырёх неравенств слева соответствует одно из решений, изображённых на координатной прямой справа. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)   x(1 − x) > 0

Б)  1 − x > 0

В)  (1 − x)² > 0

Г)   x(1 − x) < 0

РЕШЕНИЯ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D. Про число m известно, что оно равно

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.

Число m равно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На прямой отмечено число m.

ЧИСЛА

1)  [−3; −2]

2)  [0; 1]

3)  [1; 2]

4)  [3; 4]

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На прямой отмечены числа m и n.

ЧИСЛА

А)  mn

Б)   m + n

В)  

Г)  

ОТРЕЗКИ

1)  [0; 1]

2)  [1; 2]

3)  [2; 3]

4)  [3; 4]

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Всего: 11 1–11

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Решите неравенство

Решите неравенство:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.

Решите неравенство:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384.

Решите неравенство

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 128.

Решите неравенство

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.

Решите неравенство

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Решите неравенство:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 382.

Решите неравенство:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 383.

Решите неравенство:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 401.

Решите систему неравенств

Решите неравенство

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90.

Решите неравенство:

Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

А	Б	В	Г

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1) 1 x

2) x 1

3) x 2

4) x

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

ВЕЛИЧИНЫ

ЗНАЧЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)
Каждое из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одному из решений в праве столбца. Установить соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Каждому из четырех неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

На прямой отмечено число m и точки A, B, C и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу номер.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На прямой отмечено число m и точки A, B, C и D.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

Число m равно Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу номер.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

Число m равно Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

На прямой отмечены точки A, B, C и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

ВЕЛИЧИНЫ

ЗНАЧЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1) [1; 2]

2) [2; 3]

3) [3; 4]

4) [4; 5]

ВЕЛИЧИНЫ

ЗНАЧЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1) [−1: 0]

2) [0; 1]

3) [2; 3]

4) [4; 5]

На координатной прямой отмечено число

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А)

Б)

В)

Г)

1) [0;1]

2) [1; 2]

3) [2; 3]

4) [4; 5]

На прямой отмечены числа m и n.

ЧИСЛА

ОТРЕЗКИ

А) m + n

Б)

В) mn

Г)

1) [−1; 0]

2) [0; 1]

3) [1; 2]

4) [2; 3]

Источник

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Законы алгебры логики

	Для И	Для ИЛИ
двойного отрицания	¬ ¬ (A) = A
исключения третьего	A & ¬A= 0	A / ¬A= 1
исключения констант	A & 1 = A; A & 0 = 0	A / 0 = A; A / 1 = 1
повторения	A & A = A	A / A = A
поглощения	A & (A / B) = A	A / A & B = A
переместительный	A & B = B & A	A / B = B / A
сочетательный	A & (B & C) = (A & B) & C	A / (B / C) = (A / B) / C
распределительный	A / B & C = (A / B) & (A / C)	A&(B / C) = A&B/A&C
де Моргана	¬ (A&B) = ¬A / ¬B	¬ (A / B) = ¬A & ¬B

Поиск слова, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 1.

Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная → Первая буква гласная) Ù Последняя буква согласная?

1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН

Решение:

Высказывание является конъюнкцией двух выражений (Вторая буква гласная → Первая буква гласная) и Последняя буква согласная. Конъюнкция истинна тогда, когда все операнды истинны. Значит, выражение Последняя буква согласная должно быть истинным. Этому условию удовлетворяют имена под номерами 2 и 4.

Поочередно подставим в высказывание значения выражений для имен 2 и 4:

2) МАКСИМ

Вторая буква гласная = 1

Первая буква гласная = 0

Последняя буква согласная = 1

(1 → 0) Ù 1 = 0 Ù 1 = 0 Высказывание ложно.

4) СТЕПАН

Вторая буква гласная = 0

Первая буква гласная = 0

Последняя буква согласная = 1

(0 → 0) Ù 1 = 1 Ù 1 = 0 Высказывание истинно.

Ответ: 4

Поиск числа, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 2.

Для какого из приведённых чисел X истинно логическое условие:

¬((X кратно 5) → (X кратно 25))?

1) 37

2) 59

3) 65

4) 125

Решение:

Для того, чтобы логическое условие ¬((X кратно 5) → (X кратно 25)) было истинным, необходимо, чтобы условие (X кратно 5) → (X кратно 25) было ложным. Импликация возвращает ложь, только если первый операнд равен 1 (истина), а второй — 0 (ложь).

Т.е. число Х должно быть кратно 5, но не кратно 25.

Этому условию удовлетворяет только число под номером 3 (65).

Ответ:3

Пример 3.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂= 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Решение:

Для наглядности введем обозначения: A ≡ (x&A ≠ 0); B ≡ (x&25 ≠ 0); C ≡ (x&17 = 0).

Тогда формула принимает вид: B → (C → A) = 1

Заменяем первую импликацию: ¬В / (C → A) = 1

Заменяем импликацию в скобках: ¬В / (¬C / A) = 1

В результате имеем: ¬В / ¬C / A = 1

x&25 = 0 / x&17 ≠ 0 / x&A ≠ 0 = 1

Выражение является дизъюнкцией трех операндов. Дизъюнкция истинна, когда хотя бы один операнд принимает значение истина (1).

25₁₀ = 11001₂ , тогда x&25 = 0 истинно для всех х, имеющих нули в 0-м, 3-м и 4-м (справа) разрядах двоичной записи: х = *…*00**0

17₁₀ = 10001₂, тогда x&17 ≠ 0 истинно для всех х, имеющих единицы в 0-м или 4-м разряде: x = *…*1 или x = *…1****.

«незакрытыми» (не входящими ни в первое, ни во второе множество) на числовой оси остались x, имеющие нули в 0-м и 4-м разрядах и единицу в 3-м разряде: x = *…*01**0.

Значит, A должно быть таким, чтобы конъюнкция с оставшимися числами x не была равна нулю, т.е. в 3-м разряде двоичной записи числа A должна стоять единица. Наименьшим таким числом является 1000₂ = 8₁₀.

Ответ:8

Поиск числового отрезка, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 4.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[3, 13] и Q=[7, 17]. Выберите такой отрезок A, чтобы формула

( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∨ ¬ (x ∈ Q)

была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной x.

1) [5, 20]

2) [10, 25]

3) [15, 30]

4) [20, 35]

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

¬A ∨ P ∨ ¬ Q.

Изобразим множества P и ¬ Q на числовой прямой:

Выражение должно быть истинно для любого x, значит нужно «закрасить» всю числовую прямую. Для этого выражение ¬A должно «закрасить» оставшийся отрезок [13;17], т.е. быть истинным на этом отрезке. Тогда, выражение A должно быть истинно внутри промежутка, который не имеет ни одной общей точки с отрезком [13;17].

Из всех отрезков только отрезок [20, 35] удовлетворяет этим условиям:

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ:4

Пример 5.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула

(¬ (x Î A) → (x Î P)) → ((x Î A) → (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Тогда формула примет вид:

(¬ A → P) → (A → Q)

Преобразуем данное выражение (заменим импликацию):

(A ∨ ¬ P) → (¬ A ∨ Q)

¬ (A ∨ ¬ P) ∨ (¬ A ∨ Q)

(¬ A ∧ P) ∨ ¬ A ∨ Q

((¬ A ∧ P) ∨ ¬ A) ∨ Q

¬ A ∨ Q

Выражение (¬ A ∨ Q) должно быть истинным на всей числовой прямой. Множество Q – это отрезок [32, 47], значит выражение ¬A должно «закрасить» оставшуюся часть числовой оси, т.е. быть истинным на этом промежутке. Тогда, выражение A должно быть истинно внутри промежутка [32;47]. Тогда максимальная длина отрезка A достигается, когда А совпадает с Q, и равна 15.

Ответ:15

Поиск множества чисел, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 6.

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.

Известно, что выражение ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Тогда выражение примет вид:

(A → P) ∨ (¬ Q → ¬ A)

Преобразуем выражение (заменим импликацию):

(¬ A ∨ P) ∨ ( Q ∨ ¬ A)

¬ A ∨ P ∨ Q

Чтобы выражение было истинно при любом значении переменной х, все натуральные числа должны либо входить в P, либо входить в Q, либо не входить в A. Т.е. ¬ A – это все числа, не входящие ни в P, ни в Q. Значит A – это числа, входящие в P или Q. Наибольшее возможное количество элементов в множестве A – это количество всех различных элементов множеств P и Q. Таких элементов 17.

Ответ:17

Пример 7.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ≡ P; (x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Тогда выражение примет вид:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P)

Преобразуем выражение (заменим импликацию):

P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P)

¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P)

¬P ∨ ¬Q ∨ А.

Выражение ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме значений 6 и 12. Следовательно, промежуток А должны содержать точки 6 и 12. То есть минимальный набор точек в промежутке А ≡ {6, 12}. Сумма элементов множества А равна 18.

Ответ:18

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задача №15. Использование основных понятий математической логики. Логические высказывания, числовые отрезки.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

На уроке рассматривается разбор 15 задания ЕГЭ по информатике, дается подробное объяснение того, как решать подобные задачи

Содержание:

Объяснение задания 15 ЕГЭ по информатике
- Элементы математической логики
- Математическая логика и теория множеств
- Задания с отрезками и ДЕЛ
- Задания с поразрядной конъюнкцией
Решение заданий 15 ЕГЭ по информатике
- Задания с множествами
- Задания с отрезками на числовой прямой
- Задания с ДЕЛ
- Задания с поразрядной конъюнкцией
- Задания на поиск наибольшего или наименьшего числа А

15-е задание: «Основные законы алгебры логики»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 5 минут.

Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики

До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 18 ЕГЭ

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Важно понимать, что выражение должно быть тождественно истинно, т.е. истинно при любых допустимых значениях переменных x и у, а не только при некоторых наборах значений»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

Элементы математической логики

Для выполнения задания рекомендуется повторить следующие темы:

Преобразование логических операций:

операцию импликация можно преобразовать в операции ИЛИ и НЕ:

A → B = ¬ A ∨ B
или
A → B = A + B

операцию эквивалентность можно преобразовать:

A ↔ B = A ⊕ B = A ∧ B ∨ A ∧ B
или
A ↔ B = A ⊕ B = A · B + A · B

операцию XOR (сложение по модулю 2) можно преобразовать так:

A ⊕ B = (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
или
A ⊕ B = (A · B) + (A · B)

Законы алгебры логики:

кроме того, могут пригодиться базовые аксиомы и формулы:

Закон двойного отрицания:	¬¬ A = A
Закон исключения третьего:	A ∧ ¬ A = 0 или A · A = 0 A ∨ ¬ A = 1 или A + A = 1
Закон повторения (идемпотентности):	A ∧ A = A или A · A = A A ∨ A = A или A + A = A
Законы исключения логических констант:	A ∧ 0 = 0 A ∧ 1 = A A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1
Переместительный (коммутативный) закон:	A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ A
Сочетательный (ассоциативный) закон:	(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ С = A ∨ (B ∨ С)
Распределительный (дистрибутивный) закон:	(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∨ B) ∧ С = (A ∧ С) ∨ (B ∧ С) и наоборот: (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) = A ∨ (B ∧ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) = A ∧ (B ∨ C)
Закон общей инверсии (Законы де Моргана):	¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B
Закон исключения (склеивания):	(A ∧ B) ∨(¬A ∧ B) = B (A ∨ B) ∧(¬A ∨ B) = B
Упрощать выражения можно с помощью формул:
Закон поглощения:	A ∨ A ∧ B = A A ∧ (A ∨ B) = A A ∨ ¬A ∧ B = A ∨ B ¬A ∨ A ∧ B = ¬A ∨ B A ∧ (¬A ∨ B) = A ∧ B ¬A ∧ (A ∨ B) = ¬A ∧ B

Порядок выполнения логических операций:

выражения в скобках,
операции «НЕ»,
операции «И»,
операции «ИЛИ»,
операции «импликация»
операции «эквиваленция»

последовательность из операций импликации выполняется слева направо (при этом соблюдается принцип «операции с одинаковым приоритетом выполняются слева направо»):

A → B → C → D = ((A → B) → C) → D

Математическая логика и теория множеств

пересечение множеств соответствует логическому умножению, а объединение – логическому сложению;
пересечением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно обеим множествам:

Пример:

объединением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих отдельно каждому из множеств (без повторений);

Пример:

пустое множество ∅ – это множество, в котором не содержится ни одного элемента; пустому множеству в теории множеств соответствует 0;
универсальное множество U (на кругах Эйлера обозначается в виде прямоугольника) – это множество, содержащее все возможные элементы определенного типа (например, все вещественные числа):

универсальное множество соответствует логической единице: для любого множества целых чисел X справедливы равенства:

X ∨ U = U и X ∧ U = X

разностью двух множеств A и B называется новое множество, элементы которого принадлежат A, но не принадлежат B:

Пример разности множеств:

дополнение множества X – это разность между универсальным множеством U и множеством X (например, для целых чисел ¬ X – все целые числа, не входящие в X)

пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение ¬ X, то есть A ≥¬ X (или A ⊇¬ X), то есть A_min = ¬ X
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство ¬ A ∨ X = I, в этом случае множество ¬ A должно включать дополнение ¬ X, то есть ¬ A ⊇ ¬ X; отсюда A ⊆ X, то есть A_max = X

Для большей определенности стоит рассмотреть тему круги Эйлера

Задания с отрезками и ДЕЛ

Для решения заданий необходимо знать рассмотренную тему о множествах.

Для упрощения решений можно пользоваться следующими законами.

1. Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
2. после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_min = ¬B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
2. после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_max = B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
2. после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_max = ¬B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
2. после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_min = B

где B — известная часть выражения.

Задания с поразрядной конъюнкцией

В задании 15 ЕГЭ встречаются задачи, связанные с поразрядной конъюнкцией.
Например:

5 & 26

означает поразрядную конъюнкцию (логическое «И») между двоичными значениями двух чисел — 5 и 26. Выполняется так:

5  =   101₂ 
26 = 11010₂
0  = 00000₂

Задания, связанные с поразрядной конъюнкцией, решаются несколькими способами. Рассмотрим один из них.

Обозначим:

(x & K = 0) как Z_k

Для решения методом, предложенным А.В. Здвижковой, пригодится использование следующих свойств:

Z_k * Z_m = Z_{k or m}

Так, например, если в задании имеем:

(X & 5 = 0) ∧ (X & 26 = 0)

то сначала введем замену:

Z₅ ∧ Z₂₆

а затем, используя свойство 1, вычислим поразрядную дизъюнкцию двоичного значения чисел 26 и 5:

Z₅ ∧ Z₂₆ = Z_{26 or 5}
помним, что дизъюнкция - это операция логическое "ИЛИ" (сложение)
5  =   101₂ 
26 = 11010₂
31 = 11111₂

таким образом, получили:

Z₅ ∧ Z₂₆ = Z₃₁

Z_k + Z_m = Z_{k and m}

Так, например, если в задании имеем:

(X & 28 = 0) ∨ (X & 22 = 0)

то сначала введем замену:

Z₂₈ ∨ Z₂₂

а затем, используя свойство 2, вычислим поразрядную конъюнкцию двоичного значения чисел 28 и 22:

Z₂₈ ∨ Z₂₂ = Z_{28 and 22}
помним, что конъюнкция - это операция логическое "И" (умножение)
28 = 11100₂ 
22 = 10110₂
     10100₂ = 20₁₀

таким образом, получили:

Z₂₈ ∨ Z₂₂ = Z₂₀

Условие Z_k → Z_m истинно для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят во множество единичных битов двоичной записи числа K.

На деле, это означает, что если имеем:

X & 29 = 0 → X & 5 = 0  Истинно или Ложно?

то сначала введем замену:

Z₂₉ → Z₅

а затем, используя свойство 3, определим истинность высказывания Z₂₉ → Z₅:

Z₂₉ → Z₅ = 1 (истине), тогда, когда:
29 = 11101₂
5  =   101₂  
единичные биты двоичного числа 5 входят в единичные биты двоичного числа 29 
(совпадают с ними)

таким образом, получили:

Z₂₉ → Z₅ = 1 (истинно)

(x & 125 = 5) то же самое, что и
Z₁₂₀ * ¬Z₄ * ¬Z₁ = 1 (истине)

Так, например, если в задании имеем:

X & 130 = 3

то сначала введем замену и, используя свойство 4, получим:

X & 130 = 3 то же самое, что и
Z₁₂₇ * ¬Z₂ * ¬Z₁

т.е. 3 = 2 + 1 :	

2 = 10
1 = 01
3 = 11

Решение заданий 15 ЕГЭ по информатике

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Задания с множествами

Множества:

15_16:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) → ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

(P → ¬Q) ∨ A = 1
Избавимся от импликации:
¬P ∨ ¬Q ∨ A = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    ⁰      ¹

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {3,9}

Сумма элементов:

3 + 9 = 12

Ответ: 12

Аналитическое решение:
📹 YouTube здесь

📹 Видеорешение на RuTube здесь

Множества:

15_17:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → 
→ ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

P≡(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 
P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ ¬Q ∨ А.

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    ⁰      ¹

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {6,12}

Сумма элементов:

6 + 12 = 18

Ответ: 18

Множества:

15_18: Закон распределения

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∧ ( (x ∈ Q) → ¬(x ∈ A) )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ P); 
Q ≡ (x ∈ Q); 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
(¬A ∨ P) ∧ (¬Q ∨ ¬A) = 1
Применим распределительный закон (но можно вывести самостоятельно):
¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1
 ⁰      ¹

То есть получаем:

P ∧ ¬Q = 1,
или 
P = 1  и
¬Q = 1 отсюда Q = 0

Таким образом имеем разность двух множеств Q и P. То есть это новое множество, элементы которого принадлежат P, но не принадлежат Q:

A = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20}

Количество элементов = 7

Ответ: 7

Множества:

15_20:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

¬(x ∈ A) →¬(x ∈ {1, 3, 7}) ∨ (¬(x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}) ∧ (x ∈ {1, 3, 7}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 7}); 
Q ≡ (x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}); 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
A ∨ ¬P ∨ (¬Q ∧ P) = 1
Применим закон поглощения (но можно вывести самостоятельно):
A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1
 ¹      ⁰

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
P = 1 и Q = 1

Таким образом имеем пересечение двух множеств Q и P:

A = {1}

Количество элементов = 1

Ответ: 1

Задания с отрезками на числовой прямой

Отрезки на числовой прямой:

15_3:

На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула

((x ϵ P) → (x ϵ Q)) ∧ (x ϵ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

✍ Решение:

Упростим формулу, избавившись от ‘x ϵ‘:

(P → Q) ∧ A

Теперь преобразуем импликацию в скобках:

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(¬P ∨ Q) ∧ A

Указанные в задании отрезки отобразим на числовой прямой. Разделим отрезки на части по точкам, соответствующим их границам.

Вернемся к преобразованному выражению. В нем есть известная часть (выделим ее) и неизвестная. По условию выражение должно быть ложно:

(¬P ∨ Q) ∧ A = 0

Внешняя операция выражения — конъюнкция — ложна в трех случаях и только в одном — истинна:

(¬P ∨ Q) ∧ A
    ⁰     ^∧ ⁰ ⁼ ⁰
    ⁰     ^∧ ¹ ⁼ ⁰
    ¹     ^∧ ⁰ ⁼ ⁰
    ¹     ^∧ ¹ ⁼ ¹

Теперь рассмотрим это выражение относительно наших отрезков на числовой прямой: если известная часть выражения (¬P ∨ Q) на каком-либо отрезке прямой дает истину, то неизвестная часть (A) должна возвращать ложь (по условию формула должна быть тождественно ложна).
Рассмотрим все отрезки числовой прямой для известной части выражения:

1. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
2. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 1 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
3. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
4. (¬P ∨ Q) = 0 ∨ 0 = 0  - на данном отрезке А может! равняться 1
5. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0

Получаем, что на всех отрезках кроме 4-го выражение ¬P ∨ Q истинно, т.е. на отрезках 1, 2, 3 и 5 неизвестная часть A должна быть ложной (чтобы формула вернула ложь). Отсюда следует, что А может быть истинно только на отрезке 4.
Длина отрезка 4 составляет:

48 - 44 = 4

Результат: 4
✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:

def f(a1,a2,x):
    return((44<=x<=48)<=(23<=x<=35))and(a1<=x<=a2)
maxim = 0
for a1 in range (1,200):
    for a2 in range (a1+1,200):
        if all(f(a1,a2,x)==0 for x in range (1,200)):# если все ложны
            if a2-a1>maxim:
                maxim=a2-a1
                print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина

Вывод:

PascalABC.net:

Вывод:

С подробным аналитическим решением задания 15 ЕГЭ по информатике можно ознакомиться по видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Отрезки на числовой прямой:

15_9:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) → (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P → Q) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

(P → Q) → ¬A = 1        =>
¬(P → Q) ∨ ¬A = 1       =>
¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1

Используем закон Де Моргана для последующего преобразования:

¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1    =>
P ∧ ¬Q ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть формулы можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда P ∧ ¬Q = 1 (если P ∧ ¬Q = 0, то ¬А может равняться и 0 и 1, так как имеет место операция логического сложения ∨)
Значит, имеем P ∧ ¬Q = 1. Кроме того, в данном случае имеет место операция конъюнкция, которую проще вычислить, если выражение равно 1 (так как для конъюнкции существует один единственный случай истинности: 1 & 1 = 1). Таким образом имеем утверждения:

А = 1
P = 1
¬Q = 1 или Q = 0

Т.е. A истинно (=1) на промежутке пересечения отрезков P и ¬Q.
Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Очевидно, что А будет истинно, только в части 2 (на рис. желтым цветом), то есть соответствовать отрезку [10,20], имеющему длину 10.

Результат: 10

Отрезки на числовой прямой:

15_10:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) ~ (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P ~ Q) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

(P ~ Q) → ¬A = 1      =>
¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

Далее возможно 2 способа решения.

✎ 1 способ:

Избавимся от эквивалентности по правилу преобразования эквивалентности:

(a ~ b) = a * b + ¬a * ¬b

¬(P ~ Q) = ¬((P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q)

Преобразуем часть данного выражения по закону Де Моргана:

¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q)

В итоге получим:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда, чтобы общее выражение было истинным (по условию), нужно чтобы ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1.
Имеем:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1
А = 1

Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Очевидно, что А будет истинно в двух отмеченных на рисунке частях: 2 и 4 (на рис. желтым цветом). Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно, выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:

¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда ¬(P ~ Q) = 1 (чтобы общее выражение было истинным, как указанно в условии).
Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
Это соответствует двум отрезкам (см. рисунок выше, желтым цветом): [3,6] и [12,20]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

Результат: 8

С решением задания 15 вы также можете ознакомиться, посмотрев видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Отрезки на числовой прямой:

15_11:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

(x ∈ A) → ¬((x ∈ P)  ~ (x ∈ Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

A → ¬(P ~ Q) = 1

Избавимся от импликации:

A → ¬(P ~ Q) = 1    =>
¬A ∨ ¬(P ~ Q) = 1

А — наше неизвестное, тогда как выделенную часть формулы можно найти. Введем предположение, что А = 1. Значит, ¬А = 0 (т.е. А = 1), тогда ¬(P ~ Q) = 1 (так как общая формула должна быть истинной по условию).
Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Получаем, что А соответствует двум отрезкам (см. рисунок, желтым цветом): [11,15] и [21,40]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [21,40], имеющий длину 19.

Результат: 19

Задания с ДЕЛ

Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1

15_7:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

  (ДЕЛ(x, 40) ∨ ДЕЛ(x, 64))  → ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D40 = ДЕЛ(x, 40); 
D64 = ДЕЛ(x, 64)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(D40 ∨ D64)  → A = 1

Избавимся от импликации:

¬(D40 ∨ D64) ∨ A = 1
или
(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1
      ¹          ²

В полученной формуле необходимо, чтобы искомая часть с A в конечном счете было истинно.
Т.е. (¬D40 ∧ ¬D64) должно быть = 0. Это нам ничего не дает, т.к. конъюнкция ложна в трех случаях (1*0, 0*1 и 0*0), т.е. D40 и D64 могут быть равны как 0, так и 1 (исключение составляет лишь вариант, когда оба D истинны, тогда логическое умножение 1 * 1 ≠ 0).
Преобразуем выражение первой части формулы по закону Де Моргана (чтобы оно равнялось 1):

¬D40 ∧ ¬D64 = 0
или
¬(¬D40 ∧ ¬D64) = 1

Преобразуем по закону Де Моргана и получим:
D40 ∨ D64 = 1

Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.

Решение с помощью логических рассуждений:

Найдем все такие x, которые делятся на А и при этом делятся на 40 ИЛИ делятся на 64:

x/A : x/40 ∨ x/64

x = 40, 64, 80, 120, 128, 160, 192, 200, ...

Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 4, 8

Наибольшее А равно 8.
Или то же самое можно найти поиском наибольшего общего делителя чисел 40 и 64 (используем формулу Евклида):

НОД (40,64) = 8 
40,64  (64 - 40 = 24)
40,24  (40 - 24 = 16)
24,16  (24 - 16 = 8)
16,8   (16 - 8 = 8)
8,8

Решение с помощью кругов Эйлера:

В этом случае логическое сложение тоже дает истину в трех случаях (1+1, 1+0, 0+1). Т.е. мы не сможем найти А с помощью функции ДЕЛ. Необходимо прибегнуть к решению с помощью кругов Эйлера.
В множество A должны входить все числа, которые попадают в объединение D40 + D64. Таким образом, нужно найти множество, в которое входят оба этих множества.
Найдем наибольший общий делитель чисел 40 и 64; это число 8:

64 / 40 = 1 (24 остаток)
40 / 24 = 1 (16 остаток)
24 / 16 = 1 (8 остаток)
16 / 8 = 2 (0 остаток) - НОД = 8
+++
40 / 8 = 5
64 / 8 = 8

Т.е. можно сказать, что A = D40 + D64 = D8*D5 + D8*D8 = D8*(D5 + D8). D8 входит в каждое из множеств D40 и D64. Объединение D40 + D64 тоже входит в D8:

8 — наибольший общий делитель числе 40 и 64, значит, оно соответствует максимальному значению A.

Результат: 8

✎ Решение 2 (программирование):
Python:

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))<=(x % A== 0)
    if OK:
        print( A )

Вывод:

PascalABC.net:

begin
  for var A := 1 to 500 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (((x mod 40 = 0) or (x mod 64 = 0)) <= (x mod A = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then print(A)
  end;
end.

Вывод:

Результат: 8

Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1

15_5:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Имеем:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D28 = ДЕЛ(x, 28); 
D42 = ДЕЛ(x, 42)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

A → (¬D28 ∨ D42) = 1

Избавимся от импликации:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1
 ¹        ²

В части 2 полученной формулы находится операция дизъюнкция, которую проще найти, когда логическое выражение равно 0 (только один случай: 0 ∨ 0 = 0):

(¬D28 ∨ D42) = 0   один случай: когда ¬D28 = 0 и D42 = 0

Т.е. имеем:

x/¬A : x/28 ∧ x/¬42

Иными словами найдем все такие x, которые НЕ делятся на А и при этом делятся на 28 И НЕ делятся на 42:

x = 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196, 224, ...

Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые НЕ делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 3

Наименьшее А равно 3.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1

Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 50, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как «любое натуральное значение переменной х»).
Во внутреннем цикле расположим формулу:

Python:

for A in range(1,50):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= (x % A == 0) <= ((x % 28 != 0) or (x % 42== 0))
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.net:

begin
  for var A := 1 to 50 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (x mod A = 0) <= ((x mod 28 <> 0)or (x mod 42 = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then begin
      print(A);
      break;
      end
  end;
end.

OK — переменная-индикатор: если находится такое А при котором, диапазон всех значений x, подставленных в выражение, возвращает истинное значение выражения, то ОК остается равным 1, т.к. используется операция умножения (до цикла ОК необходимо присвоить единице).
Следует иметь в виду, что в программировании вместо операции импликация (->) можно использовать нестрогое неравенство: <=. Т.к. таблица истинности для операции импликация соответствует операции <=:

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1

После запуска программы выдается наименьшее значение А, т.к. используется оператор break для выхода из цикла после первого найденного значения:

Результат: 3

15_6:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

✍ Решение:

✎ Решение 1 (Путём рассуждений):

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D19 = ДЕЛ(x, 19); 
D15 = ДЕЛ(x, 15)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(¬D19 ∨ ¬D15) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

D19 ∧ D15 ∨ ¬A = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 ¹       ²

Начнем с известной части — части 2 формулы. В ней находится операция конъюнкция, которую проще найти, когда все ее операнды равны 1 (единственный случай для конъюнкции: 1 ∧ 1 = 1).
Вторая часть общей формулы может равняться только 1, когда ¬A = 0 (если ¬A = 1, то вторая часть может равнять 0, а нам нужно 1) :

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 ⁰  ^∨     ¹^{= 1}

Т.е. получаем:

¬A = 0 при D19 ∧ D15 = 1
или
A = 1 при D19 = 1 и D15 = 1

Таким образом, имеем:

A = 1
D19 = 1
D15 = 1

Очевидно, что наименьшим x можем взять число 285 (15 * 19 = 285): ДЕЛ(285, 19) и ДЕЛ(285, 15)
Поскольку мы ищем наименьшее A, такое что: ДЕЛ(x, A) и при этом ДЕЛ(x, 19) и ДЕЛ(x, 15), то нам необходимо найти наименьшее делимое чисел 19 и 15:

19 * 2 = 38 (38 не делится на 15)
19 * 3 = 57 (57 не делится на 15)
19 * 4 = 76 (76 не делится на 15)
19 * 5 = 95 (95 не делится на 15)
...
19 * 10 = 190 (190 не делится на 15)
19 * 15 = 285 (285 делится на 15)

A должно быть таким числом, при котором x принимает единственно возможное (наименьшее) значение 285.
Таким наименьшим A является само число 285.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python:

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A)  = 1

Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 500, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как «любое натуральное значение переменной х»).
Во внутреннем цикле расположим формулу:

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 19 != 0) or (x % 15 != 0))<= (x % A!= 0)
    if OK:
            print( A )

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1

После запуска программы выдается одно значение А:

Результат: 285

Задания с поразрядной конъюнкцией

Поразрядная конъюнкция:

15_1:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула

(X & A = 0) ∧ ¬(X & 35 ≠ 0 → X & 52 ≠ 0)

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любом неотрицательном значении переменной X)?

✍ Решение:

Стоит заметить, что для такого типа задач, нет универсального единственного решения. Поэтому на видео, расположенном ниже, представлено два варианта решения.
✎ Способ 1:

Рассмотрим один из вариантов решения:

Удалим из формулы X&, чтобы сократить ее запись:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

Обратим внимание, что внешней операцией является конъюнкция — логическое умножение:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

Разделим общее выражение на две части относительно внешней операции. Первая часть — неизвестная, искомая, а вторая — известная, ее можно вычислить:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)
   ¹               ²

Выполним некоторые преобразования во второй части формулы:
Зная свойство импликации, преобразуем формулу (избавимся от импликации в скобках):

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(A = 0) ∧ ¬(35 = 0 ∨ 52 ≠ 0)
т.к. в результате получается отрицание того, что 35 ≠ 0, 
то убираем знак "не равно": было 35 ≠ 0, стало 35 = 0

Избавимся от отрицания перед скобками по закону Де Моргана:

закон де Моргана: ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B

A = 0 ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0

По условию формула должна быть ложной. Вспомним таблицу истинности для конъюнкции (внешняя операция в нашей общей формуле):

0 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0
1 ∧ 1 = 1

Вторая часть формулы — вычислима, поэтому начнем с нее. В ней находится операция конъюнкция, которая имеет один единственный вариант решения, когда ¬ A ∧ ¬ B = 1. То есть примем вторую часть за истину (=1). В таком случае, для того чтобы общее выражение стало ложным (так требуется по заданию), необходимо, чтобы утверждение, что A = 0 было ложным (т.к. в обратном случае получим: 1 ∧ 1 = 1):

(A = 0) ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0
   ⁰    ^∧        ¹    ^{= 0}

Вторая часть будет истинной только в том случае, если оба утверждения будут истинными:

35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = истинно (=1)  если:
35 ≠ 0 = истинно (=1)
и
52 = 0 = истинно (=1)

так как стоит логическое умножение ∧ - 
смотрим выше таблицу истинности для конъюнкции

Из двух последних пунктов получаем три утверждения:

35 ≠ 0  = 1  (истина)
и
52 = 0  = 1  (истина)
и
A = 0   = 0  (ложь)

Переведем числа в двоичную систему счисления:

35: 100011  (≠ 0)
52: 110100 (= 0)

Найдем такой X, который при поразрядной конъюнкции даст истинное значение для обеих частей.
Для начала рассмотрим ситуацию с числом 52 — это проще, т.к. для получения в результате нуля (52 = 0 => истина), достаточно во всех разрядах «перекрыть» единицы нулями:

52	1	1	0	1	0	0
X	0	0	?	0	?	?

Мы «перекрыли» все единицы нулями, чтобы в результате получить 0.
Теперь рассмотрим 35 ≠ 0 = истина (1):

35	1	0	0	0	1	1
X	1	?	?	?	1	1

Объединим обе маски в одну:

0 0 ? 0 ? ?  _&
1 ? ? ? 1 1
0 0 ? 0 1 1

Так как выражение X & A = 0 должно быть ложным, то найдем такое наименьшее А, при котором X & A ≠ 0. Для этого в тех разрядах Х, в которых находится единица, необходимо сохранить эту единицу и в соответствующих разрядах А:

X	0	0	?	0	1	1
A	0	0	0	0	1	1

Переведем результат в десятичную систему счисления:

000011₂ = 3₁₀

Ответ: 3

✎ Способ 2*:

Выполним последовательно следующие пункты:

Произвести замену (x & K = 0) на Zk
Выполнить преобразования по свойству импликации и закону Де Моргана.
Стремиться прийти к выражению с конъюнкциями без отрицаний типа: Zk * Zm.
Все выражения типа Zk * Zm преобразовать по свойству
Zk * Zm = Z_{k or m}.
Путем преобразований прийти к импликации: Zk → Zm.

Согласно первому пункту производим замену:

A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52) = 0

Введем отрицание в выражение, чтобы оно было истинным:

¬(A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52)) = 1

По закону де Моргана:

¬A ∨ (¬Z35 → ¬Z52) = 1

По свойству импликации:

¬A ∨ (Z35 ∨ ¬Z52) = 1

Объединим слагаемые с отрицанием:

¬A ∨ ¬Z52 ∨ Z35 = 1

Чтобы прийти к конъюнкции (пункт 3), используем закон де Моргана:

¬(A ∧ Z52) ∨ Z35 = 1

Чтобы прийти к импликации (пункт 5), используем свойство импликации:

(A ∧ Z52) → Z35 = 1

Получаем:

Z_{A ∨ 52} → Z35 = 1

Вспомним свойство:

Условие Zk → Zm истинно для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят во множество единичных битов двоичной записи числа K.

В нашем случае это говорит о том, что все единичные биты двоичной записи числа 35 должны входить в результат Z_{A or 52}.
Рассмотрим подробно:

A       = ??0?11
52      = 110100
A or 52 = 110111
35      = 100011

поскольку мы ищем наименьшее А, то:

Аmin = 11₂ = 3₁₀

Результат: 3

Детальный разбор данного задания 15 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть на видео:

Вариант решения №1 (универсальный, теоретический):
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Вариант решения №2 (не универсальный, но простой):
📹 YouTube здесь

Поразрядная конъюнкция:

15_2:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

Для какого наибольшего неотрицательного целого числа A формула

X & A ≠ 0 → (X & 36 = 0 → X & 6 ≠ 0)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном значении переменной X)?

✍ Решение:

✎ Способ 1:

Произведем замену:

z36 = (x&36 = 0), z6 = (x&6 = 0), A = (x&A = 0)

Перепишем выражение:

¬A → (z36 → ¬ z6)

Избавимся от импликации (A → B = ¬ A ∨ B):
Сначала по правилу преобразования импликации:

¬A → (z36 → ¬ z6) = A + ¬z36 + ¬z6

По Закону де Моргана вынесем отрицание за скобки (¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B):

A + ¬z36 + ¬z6 = A + ¬(z36 * z6)

Вернемся опять к импликации:

A + ¬(z36 * z6) = ¬(z36 * z6) + A = (z36 * z6) → A

Суть предыдущих действий в том, что нам необходимо прийти к импликации, но, избавившись от отрицания.
По следующему правилу Z_K * Z_M = Z_{K or M} (К. Поляков) заменим конъюнкцию:

z36 * z6 = z_{36 or 6}

Выполним поразрядную дизъюнкцию двоичных чисел 36 и 6:

100100₂ -> 36
110₂ -> 6

100100
   110
100110₂ -> 36 or 6 = 38₁₀

Получаем:

z38 → A

Необходимо обеспечить истинность данного выражения при всех x. Это возможно, когда единичные биты A входят в единичные биты числа 38. То есть:

A = 100110₂ = 38₁₀

✎ Способ 2:

Так как по заданию формула должна быть тождественно истинна, то перепишем ее так:

x&A ≠ 0 → (x&36 = 0 → x&6 ≠ 0) = 1

Введем обозначения:

A = (x&A = 0);
P = (x&36 = 0);
Q = (x&6 = 0);

Перепишем выражение согласно введенным обозначениям:

¬A → (P → ¬Q) = 1

Избавимся от импликации:

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1

A — наше неизвестное; для части выражения ¬P ∨ ¬Q нам необходимо подобрать такой вариант (равный 0 или 1), при котором единственно возможным значением A была бы единица (1).
Возьмем (¬P ∨ ¬Q) = 0, тогда А должно быть только единицей (чтобы общее выражение было = 1):

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1; 
или 
1 ∨ (0) = 1

Иными словами, выражение истинно, если при ¬P ∨ ¬Q = 0, A равно единице (1).
Получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0
Отсюда имеем: 
¬P = 0 и ¬Q = 0 

(дизъюнкция равна 0 в единственном случае, когда все операнды равны 0)

Или запишем другим образом:

Q = 1 и P = 1

Построим побитовые маски:

100100  : 36
000110  : 6
0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)

Сопоставим обе маски и маску x&A = 0:

0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)
0**00*  : общая маска x
*00**0  : маска для A (x&A = 0)
т.е. в тех битах А, где может получиться единица (звездочки в обеих масках),
 мы поставили нули.

Так как нам необходимо получить наибольшее A (по заданию), то вместо всех «звездочек» ставим единицы:

100110 = 38₁₀

Результат: 38

Подробное решение данного задания 15 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео уроке:
Способ 1:
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь
Способ 2:
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поразрядная конъюнкция:

15_8:

Определите наименьшее натуральное число А из интервала [43, 55], такое, что выражение

((x & 17 ≠ 0) → ((x & A ≠ 0) → (x & 58 ≠ 0))) →
→ ((x & 8 = 0) ∧ (x & A ≠ 0) ∧ (x & 58 = 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

(¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58) = 0

Для того, чтобы выражение было истинным, поставим его с отрицанием:

¬(((¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58)) = 1

Упростим выделенную часть выражения (свойство 1, теория):

Z8 ∧ Z58 = Z_{8 or 58}  :

8  =   1000  _or
58 = 111010
     111010 = 58

Получили:

Z8 ∧ Z58 = Z58

Перепишем все выражение снова, избавившись от импликации:

¬(¬(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∨ (¬A ∧ Z58)) = 1

По закону Де Моргана получим:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧ ¬(¬A ∧ Z58)) = 1

Еще раз применим закон теперь ко второй скобке:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧  (A ∨ ¬Z58) = 1

Используем закон поглощения:

A ∨ ¬Z58 = 1

Приведем к импликации, чтобы избавиться от отрицания:

¬Z58 ∨ A => 
 Z58 → A = 1

Поскольку по заданию нас интересует диапазон [43;55], то проверять будет с числа 43.
По свойству 3 (теория), необходимо, чтобы единичные биты А входили в единичные биты двоичного представления числа 58:

43 = 101011 - не подходит!
58 = 111010

44 = 101100 - не подходит!
58 = 111010

45 = 101101 - не подходит!
58 = 111010

46 = 101110 - не подходит!
58 = 111010

47 = 101111 - не подходит!
58 = 111010

48 = 110000 - подходит!
58 = 111010

Результат: 48

Поразрядная конъюнкция:

15_15:

Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

((x & 26 = 0) ∨  (x & 13 = 0)) → ((x & 78 ≠ 0) → (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки:

✍ Решение:

Для упрощения восприятия введем обозначения:

z26 = (x & 26 = 0)
z13 = (x & 13 = 0)
z78 = (x & 78 = 0)
A = (x & A = 0)

Таким образом, получим следующее выражение:

(z26 ∨ z13) → (¬z78 → A) = 1

Упростим выражение по свойству импликации для второй скобки:

(z26 ∨ z13) → (z78 ∨ A) = 1

Упростим левую часть, используя свойство 2 (Z_k + Z_m = Z_{k and m}):

26 : 11010   единичные биты: 4, 3, 1
13 :  1101   единичные биты: 3, 2, 0
∧ =------------------------
     01000 = 8₁₀

То есть получили z26 ∨ z13 = z8
По правилу импликации: все единичные биты двоичной записи результата (z78 ∨ A) должны входить во множество единичных битов двоичной записи z8.
Рассмотрим:

z8 → (z78 ∨ A)
z78: не влияет на решение, так как операция дизъюнкция истинна тогда, 
когда хотя бы один операнд истинен
z8 → A     : ????

Для А единичными битами должны быть общие единичные биты для z8 (1000₂). Т.е. в нашим случае — это один бит — 3-й:

Наибольшее А = 1000 = 8₁₀

Результат: 8

Задания на поиск наибольшего или наименьшего числа А

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_4: 15 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Для какого наибольшего целого числа А формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:

✎ Способ 1 (программный):

Важно: Поскольку используется метод полного перебора, то возможна ситуация, когда транслятор будет работать слишком медленно. Но работоспособность представленного алгоритма проверена на онлайн компиляторах.

Pascalabc.net:

begin
  for var A := 200 downto -100 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 0 to 100 do
      for var y := 0 to 100 do
        if ((x <= 9) <= (x * x <= A)) and ((y * y <= A) <= (y <= 9)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

Бейсик:	Python: for A in range(200,-100,-1): OK = 1 for x in range(0,100): for y in range(0,100): OK = ((x<=9) <= (xx<=A)) and((y*y<=A) <= (y<=9)) if OK: print(A) break
С++:

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

Условно разделим исходное выражение на части:

Главное действие (внешняя операция) в исходном выражении — это конъюнкция. Конъюнкция истинна, когда все операнды истинны. Т.е. в задаче обе части 1 и 2 должны быть истинными (т.к. по условию общая формула должна быть истинной).

Рассмотрим часть 1:

если в 1.1 имеем x > 9, то часть 1 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

x<=9

(импликация 0 → 0 = 1, 0 → 1 = 1)

теперь, для того чтобы в части 1, выражение было истинным, надо чтобы часть 1.2 была истинной:

x*x <= A

(импликация 1 → 1 = 1)

таким образом, получаем:

x <= 9
x² <= A

при любых x

так как нам необходимо найти наибольшее возможное А, то, значит, надо ограничить его значения сверху, а данная часть выражения ограничивает только снизу:

возьмем максимальное натуральное: x=9, тогда A>=81

Рассмотрим часть 2:

если 2.2 истинно (т.е. y <= 9), то часть 2 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

y > 9

теперь, для того чтобы в части 2 выражение было истинным, надо чтобы часть 2.1 была ложной:

y * y > A

(импликация 0 → 0 = 1)

таким образом, получаем:

y > 9
y² > A

при любых y

данная часть выражения ограничивает значения А сверху:

возьмем наименьшее возможное по условию натуральное: y = 10, тогда A < 100

Получаем, что наибольшее А меньшее 100: А = 99

Результат: 99

Подробное решение 15 задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

✍ Решение:

✎ Способ 1 (программный):

Pascalabc.net:

begin
  for var A := -100 to 200 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 1 to 100 do
      for var y := 1 to 100 do
        if ((y+3*x<A) or (x >20)or(y>40)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

Бейсик:	Python: for A in range(-100,200): OK = 1 for x in range(1,100): for y in range(1,100): OK = (y+3x<A) or (x > 20) or (y > 40) if OK: print(A) break
С++:

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

Определим основные части выражения, выделив отдельно неизвестную часть — с А, и, так сказать, известную часть, то есть остальную.

    1                 2
(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)

Поскольку основными операциями являются операции дизъюнкции (логического сложения) и порядок их выполнения не важен, то последней, внешней, операцией будем выполнять дизъюнкцию слева, т.к. она объединяет неизвестную и известную часть.
Сначала важно рассмотреть вторую часть выражения, известную, так как от нее будет зависеть значение A. Если вторая часть истинна, то А может быть как = 1, так и = 0. Такой вариант нам не подходит:

(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)
  ^{1 или 0?                   1               = 1}
Не подходит!

Соответственно, рассмотрим вариант, когда вторая часть ложна, тогда часть выражения с неизвестным А будет обязательно истинной, т.е.:

1. (y+3x < A) = 1
2. (x > 20) ∨ (y > 40) = 0

Дизъюнкция ложна, когда оба операнда ложны, т.е. из второго пункта имеем:

x <= 20
y <= 40

Для того, чтобы перекрыть все x и все y, возьмем наибольшие из возможных значений: x = 20, y = 40.
Выразим А:

А > 3x + y
A > 3*20 + 40
A > 100

Поскольку требуется найти наименьшее значение А, то имеем А = 101.

Результат: 101

Подробное решение досрочного ЕГЭ 2018 года смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_0:Разбор 15 задания. Демоверсия егэ по информатике 2019:

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:
✎ Решение 1 (теоретическое):

Разделим общее выражение на две части. Выделим неизвестную часть красным:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

Неизвестная часть должна быть истинной, она обязательно будет истинна, если известная часть — ложь:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y) = 1
      ⁰                  ¹

Т.е. 48 ≠ y + 2x = 0 или y + 2x = 48. На графике это уравнение представляет линию. Из условия имеем два ограничения:(x > 0) and (y > 0). Отобразим линию для 1-й четверти, соответствующей положительным x и y:

y + 2x = 48  :
при x = 0, y = 48
при y = 0, 2x = 48 => x = 24

Возьмем некоторое значение A, например, A = 25, отметим его на графике белой областью так, чтобы выполнялось (A < x) ∨ (A < y). По условию имеем, что все точки данной части отрезка прямой y + 2x = 48 должны принадлежать отмеченной белой области. Заштрихуем область для всех точек прямой (голубым цветом):

То есть все точки голубого квадрата должны находиться под отрезком линии (включая вершину (A, A)), и данный квадрат, соответствует максимальному значению A.
Наибольшее значение голубая область приобретает в точке пересечения прямой y + 2x = 48 с прямой y = x:

Далее решаем полученное линейное уравнение (для x = y):

x + 2x = 48 =>
3x = 48
x = 16

Так как значение A должно быть меньше x, то наибольшее А = 15.

✎ Решение 2 (программное):
Python:

for A in range(200,0,-1):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (48!=y+2*x) or(A<x)or (A<y) 
    if OK:
        print(A)
        break

Результат: 15

Видео решения 15 задания демоверсии ЕГЭ 2019 (аналитическое решение):
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_19:

Для какого наименьшего целого числа А формула

(y + 5x <= 34) → ((y — x > 4) ∨ (y <= A))

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:

Общая идея такова:
необходимо упростить формулу так, чтобы последняя операция (внешняя) выполнялась со скобкой, в которой находится искомое A. После чего разделить формулу на две части, в одной из которых находится искомое.
Избавимся от импликации, это даст нам возможность опустить общие скобки во второй части формулы:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A)

Разделим формулу на две части таким образом, чтобы внешняя операции отделяла часть, в которой находится искомое A:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть                  2 часть

Формула по условию должна быть истинной (=1). Внешняя операция — дизъюнкция — истинна аж в трех случаях: a=1 b=0, a=0 b=1, a=1 b=1.
Если мы допустим, что первая часть истинна, то вторая, искомая часть, может быть как истинной, так и ложной. Поэтому такой вариант не подходит.
Допустим, что первая часть ложна, тогда вторая, искомая часть, должна быть только истинной:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть = 0               2 часть = 1

С учетом, что в первой части формулу находится операция дизъюнкция, которая ложна только в одном случае (a=0 b=0), то выпишем утверждения, получившиеся из первой части:

y + 5x > 34 = 0, значит:
1. y + 5x <= 34
y - x > 4 = 0, значит:
2. y - x <= 4

Кроме того, имеем еще одно утверждение второй части:

y <= A
или
A >= y

Отобразим получившиеся уравнения прямых на плоскости:

Раз A >= y, значит, искомая область лежит выше обеих прямых. Наименьшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения двух прямых.
В точке пересечения прямых уравнения равны, т.е. имеем:

34 - 5x = 4 + x
30 = 6x
x = 5
Найдем y: 
y = 4 + 5 = 9

Поскольку имеем утверждение, что A >= y и в задании требуется найти наименьшее A, то получаем:

y = 9:
A >= 9 => наименьшее A = 9

✎ Решение 2 (программное):
Python:

for A in range(-100,100):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (y+5*x<=34)<=((y-x >4)or(y<=A)) 
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.NET:

 
begin
  for var A := -100 to 100 do
  begin
    var OK := true;
    for var x := 0 to 100 do
    begin
      for var y := 0 to 100 do
      begin
        OK := (y + 5 * x <= 34) <= ((y - x > 4) or (y <= A));
        if OK = false then break;
      end;
      if OK = false then break;
    end;
    if OK then 
    begin
      print(A);
      break;
    end;
  end;
end.

Результат: 9

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_13:

Укажите наименьшее целое значение А при котором выражение

(2y + 5x < A) ∨ (2x + 4y > 100) ∨ (3x – 2y > 70)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Python:

for A in range(-200,200):
    OK = 1
    for x in range(1,100):
        for y in range(1,100):
            OK *= (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70) 
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.NET:

begin
  for var A := -200 to 200 do
  begin
    var OK := true;
    for var x := 1 to 100 do
    begin
      for var y := 1 to 100 do
      begin
        OK := (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70);
        if OK = false then break;
      end;
      if OK = false then break;
    end;
    if OK then 
    begin
      print(A);
      break;
    end;
  end;
end.

Результат: 171

Видео разбора задания смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_14:

Укажите наибольшее целое значение А при котором выражение

(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Разделим выражение на две части: часть с неизвестным = 1, часть известная = 0:

(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31) = 1

Выпишем отдельно обе скобки известной части:

(1) 
(2x + 3y) >= 30,
y >= (30 - 2x) / 3
x = (30 - 3y) /2

(2) 
(2y – x >=–31)
y >= (x - 31) / 2
x = 2y + 31

Подберем значения координат для x и y обеих частей, и отобразим линии на графике функций:

(1)
x | y
0 | 10
15| 0

(2)
x | y
0 | -15 ( целые)
30|0

Для первого уравнения:

Для второго уравнения:

Сопоставим обе области:

Добавим на график прямую A<3y-x:

Раз A < 3y – x, то будем перемещать А снизу вверх. Наибольшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения с прямой (2).
Т.е. для уравнения (2) имеем:

если y = 1, то x = 2*1 + 31 = 33

Подставим в выражение для поиска А:

А < 3y - x
A < 3-33, A < -30, A=-31

✎ Решение (программное):
Python:

for A in range(200,-200,-1):
    OK = 1
    for x in range(1,100):
        for y in range(1,100):
            OK *= (3*y-x>A) or (2*x+3*y<30) or (2*y-x<-31) 
    if OK:
        print(A)
        break

Результат: -31

* В некоторых задачах использован метод, предложенный А.В. Здвижковой

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 354 человека из 67 регионов

Сейчас обучается 134 человека из 49 регионов

Сейчас обучается 119 человек из 41 региона

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

ЗАДАНИЕ 18

ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ

повышенный уровень
время – 3 минуты
21.04.2022
2 слайд

ПРИМЕР ЗАДАНИЯ
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2,42] и Q =[22,62]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x  A) → ( (x  P) → (x  Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Возможные варианты ответов:
[3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]

Уметь отмечать на числовой прямой 3 основные логические операции: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию.
Уметь упрощать логические выражения (сводить к отрицанию и дизъюнкции).
2
ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ И УМЕТЬ
3 слайд

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
ИНВЕРСИЯ.
Дан отрезок P=[6,15].

КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНКЦИЯ
Даны два отрезка P=[6,15] и Q=[8,25] .

3
4 слайд

ПОДРОБНЕЕ О ДИЗЪЮНКЦИИ
4
Разберем каждый из промежутков:
— на этом промежутке отрезки имеют следующие P=0, Q=0, следовательно, и дизъюнкция этих отрезков будет также равна 0.
— P=1, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток
— P=1, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток
— P=0, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток
— P=0, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 0
Объединяя найденные промежутки, получаем что искомый отрезок, обозначающий дизъюнкцию исходных отрезков – это отрезок [6,25] – зеленый цвет (рис. 2).

Дизъюнкцией — высказываем, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний. На координатной прямой такие промежутки, где есть хотя бы один из исходных наших отрезков, этот искомый промежуток будет [6,25] – зеленый цвет
5 слайд

ФОРМУЛЫ:
5
Желательно свести всё упрощение к конъюнкции.
6 слайд

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2,42] и Q =[22,62]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x  A) → ( (x  P) → (x  Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Возможные варианты ответов:
[3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]

Обозначим отдельные высказывания буквами — A: x  А, P: x  P, Q: x  Q.
Получим: A → ( P → Q ) или неА + (неР + Q)
Построим промежутки на числовой прямой:

6
Получаем, что у нас на координатной прямой есть «свободная» часть. Эту часть прямой и должен перекрыть искомый отрезок А.
7 слайд

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Рассмотрим варианты ответов:
[3, 14] – не подходит этот вариант, так как он не принадлежит совсем «свободной» части
[23, 32] – не подходит . Казалось бы, этот отрезок принадлежит «свободной» части — , но он не перекрывает его полностью. Остаются пустые части — [22, 23] и [32, 42]. Тем самым это не вариант решения задания.
[43, 54] — случай аналогичен первому варианту. Этот отрезок не входит в «свободной» часть
[15, 45]- этот вариант является верным ответом, так как полностью перекрывает «свободную» часть , даже выходит за ее пределы, но это не противоречит определению дизъюнкции и является решением данного задания.

7

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 157 031 материал в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

20.01.2017
1350
3

20.01.2017
1084
6

20.01.2017
295
0

20.01.2017
447
0

20.01.2017
1057
2

20.01.2017
363
0

20.01.2017
2636
100

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Информационные технологии в деятельности учителя физики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Сетевые и дистанционные (электронные) формы обучения в условиях реализации ФГОС по ТОП-50»
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
Курс повышения квалификации «Введение в программирование на языке С (СИ)»
Курс профессиональной переподготовки «Управление в сфере информационных технологий в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания дисциплины «Информационные технологии» в условиях реализации ФГОС СПО по ТОП-50»

Настоящий материал опубликован пользователем Епифанова Татьяна Николаевна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Удалить материал
- На сайте: 7 лет и 2 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 88549
- Всего материалов:
  
  38