а) Решите уравнение 2cos3x = –sin(frac{3pi}{2} + x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 4π]
Источник: statgrad
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.2 / 5. Количество оценок: 5
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
- Запись опубликована:02.03.2023
- Рубрика записи12. Уравнения
- Автор записи:Andrei Maniakin
Решим тригонометрическое уравнение cos (2 * x) = sin (3 * pi/2 — x) и найдем его корни на отрезке [3 * pi/2; 5 * pi/2].
cos (2 * x) = sin (3 * pi/2 — x);
cos (2 * x) = -cos x;
Перенесем все на одну сторону и получим:
cos (2 * x) + cos x = 0;
Упростим уравнение, используя формулы суммы тригонометрии.
2 * cos ((2 * x + x)/2) * cos ((2 * x – x)/2) = 0;
2 * cos (3 * x/2) * cos (x/2) = 0;
1) cos (3 * x/2) = 0;
3 * x/2 = pi/2 + pi * n;
3 * x = pi/2 * 2 + 2 * pi * n;
x = pi/3 + 2 * pi/3* n, n принадлежит Z;
x(0) = pi/3 + 0 = pi/3 – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(1) = pi/3 + 2 * pi/3 = pi – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(2) = pi/3 + 4 * pi/3 = 5 * pi/3 — принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(3) = pi/3 + 6 * pi/3 = 7 * pi/3 — принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(4) = pi/3 + 8 * pi/3 = 3 * pi – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(-1) = pi/3 — 2 * pi/3 = -pi/3 – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2].
2) cos (x/2) = 0;
x/2 = pi/2 + pi * n;
x = 2 * pi/2 + 2 * pi * n;
x = pi + 2 * pi * n, n принадлежит Z;
x(0) = pi + 0 = pi/3 – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(1) = pi + 2 * pi = 3 * pi – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];
x(-1) = pi — 2 * pi = -pi – не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2].
Ответ: х = 5 * pi/3 и x = 7 * pi/3.
Радислава
28 сентября, 10:56
0
Cos2x = sin (3pi/2 — x)
cos2x = — cosx
cos2x + cosx = 0
2cos^2x + cosx — 1 = 0
пусть cosx = t, t ∈ [ — 1; 1]
2t^2 + t — 1 = 0
D = 1 + 4*2 = 9
t1 = (- 1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2
t2 = (- 1 — 3) / 4 = — 4/4 = — 1
cosx = 1/2
x = ± arccos (1/2) + 2pik
x = ± pi/3 + 2pik. k ∈ Z
cosx = — 1
x = pi + 2pik. k ∈ Z
Ответ:
x = ± pi/3 + 2pik. k ∈ Z
x = pi + 2pik. k ∈ Z
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка
Условие
2cos^2(3pi/2+x)+sin2x=0
математика 10-11 класс
22884
Решение
Все решения
cos(3pi/2 + x) = sin x, поэтому
2cos^2(3pi/2 + x) + sin 2x = 0
2sin^2 x + 2sin x*cos x = 0
2sin x*(sin x + cos x) = 0
1) sin x = 0; x = pi*k
2) sin x + cos x = 0
sin x = -cos x
tg x = -1
x = -pi/4 + pi*n
На промежутке [-3pi; -3pi/2] находятся корни
x1 = -3pi; x2 = -2pi; x3 = -2pi — pi/4 = -9pi/4
Написать комментарий
а) Используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение так, чтобы в нём была только одна тригонометрическая функция с одинаковым аргументом. Сделав замену sin x=t, получим квадратное уравнение, решив которое, вернёмся к переменной x.
3-2(1-sin^{2}x)+3 sin (x-pi)=0,
2sin^{2}x-3sin x+1=0.
Пусть sin x=t, тогда 2t^{2}-3t+1=0,
t_{1}=1, t_{2}=frac{1}{2}.
sin x=1, тогда x=frac{pi}{2}+2 pi k, k in mathbb Z.
sin x=frac{1}{2}, тогда x=(-1)^{n}frac{pi}{6}+pi n, n in mathbb Z.
б) Корни, принадлежащие промежутку left [ frac{7 pi}{2}; frac{11 pi}{2}right ), найдём с помощью тригонометрической окружности.
4pi+frac{pi}{2}=frac{9pi}{2};
4pi+frac{pi}{6}=frac{25pi}{6};
4pi+frac{5pi}{6}=frac{29 pi}{6}.