Дискретная математика подготовка к экзамену

              МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ
ОБЛАСТИ 

         Государственное бюджетное профессиональное
образовательное 

             
учреждение Московской области «Одинцовский техникум»

         Учебно-методические рекомендации для
подготовки к экзамену

 по дисциплине  « Дискретная математика с
элементами математической

                        логики»  для студентов
СПО 09.02.07  ИС-17

 «
Информационные системы и программирование» технический профиль

Составитель:  Осыко Евгений
Анатольевич, преподаватель

                         ГБПОУ
МО « Одинцовский техникум»

_______________     ____________ 
               ____________

должность                             
подпись                     ФИО

УТВЕРЖДЕНО  на заседании цикловой комиссии

протокол  № _____ от
«___»_______ 20__ г.  

Председатель ____________  ____________

                                         
подпись                    ФИО

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора

по учебно-методической работе  ____________      
____________

                                                                      
              подпись                              ФИО

                                                 
Одинцово 2019г.             

                 Учебно-методические
рекомендации для подготовки

                                          к
экзамену по дисциплине

       « Дискретная математика с элементами
математической логики»

                                    для
студентов СПО 09.02.07  ИС-17

 « Информационные системы и программирование»
технический профиль

                                                         
Введение.

Учебно-методические рекомендации по дисциплине «
Дискретная математика с элементами математической логики» призваны осуществить
практическую поддержку теоретического курса.

Рекомендации содержат типичные задания и наиболее
важные задачи, необходимые для приобретения опыта практической деятельности по
этой дисциплине. Рекомендации написаны в соответствии с действующей программой
по дисциплине « Дискретная математика с элементами математической логики».

Основной задачей изучения этой дисциплины при
подготовке студентов технических специальностей и направлений является
обеспечение условий для формирования профессиональной компетентности в области
информационных систем различного назначения. Благодаря изучению дисциплины «
Дискретная математика с элементами математической логики» будущий выпускник
будет подготовлен к решению профессиональных задач в проектно-конструкторской и
производственно-технической деятельности. В свою очередь знания математической
логики будут востребованы при изучении таких спец.дисциплин как 
«Программирование на языке высокого уровня», « Основы теории управления», «
Организация ЭВМ и систем», « Базы данных», « Методы и средства защиты компьютерной
информации»  и других.

Целью рекомендаций является оказание методической
помощи студентам при выполнении практических заданий по этой дисциплине.
Поэтому каждое занятие начинается с кратких теоретических сведений, необходимых
для выполнения практических заданий. Широко представлена система упражнений:
для каждого учебного элемента в рекомендациях имеется практическое задание, и
для каждого вида заданий в рекомендациях имеется соответствующий образец
решения с подробными комментариями.

« Дискретная математика с Элементами математической
логики» является глубоко абстрактной и поэтому весьма сложно усваиваемой
студентами наукой, по которой недостаточно доступной учебно-методической
литературы. Однако структура данных рекомендаций не позволяет включить в них в
полном объёме весь теоретический материал, необходимый для осмысленного
выполнения практических заданий. Так как в этой дисциплине много новых терминов
и математических символов. Поэтому для выполнения практических заданий
рекомендуется предварительно внимательно ознакомиться с содержанием
соответствующих лекций. Вместе с тем, основные сокращения, символы и
обозначения приведены в конце пособия.

                       Раздел 1. Построение
логических исчислений.

 Занятие 1. Логика высказываний. Совершенные и
минимальные формы.

Формула F называется тавтологией, если самый правый из столбцов
таблицы истинности – столбец значений, содержит единицы ( истина), и только
единицы. Обозначение тавтологии : |=F

Теорема критерий тождественно истинной формулы алгебры
логики.

Для того чтобы формула логики высказываний была
тавтологией, необходимо и достаточно, чтобы в её КН- форме каждый дизъюнкт
содержал слагаемым хотя бы одну переменную вместе с её отрицанием.

Теорема Критерий тождественно ложной формулы алгебры логики:

Для того, чтобы формула логики высказываний была
тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в её ДН-форме каждой канъюнкт
содержал сомножителем хотя бы одну переменную вместе с её отрицанием.

                                                Упражнения.

Задание 1.1.

Докажите тождества аналитически и проверьте с помощью
таблицы истинности: а) х→1=1                    е)  0 →х=1

                       б) х | 0 =1                  
ж) х ↔ х = 1

                       в) х↓ 1 =0                   з)
х | 1 =  x̅

                       г) х →х = 1                  
и) х ↓ х = x̅

                       д) х ↔ х = 0                к)
х ↓ 0 = x̅

Задание 1.2. Докажите или опровергните:

а) А ˄ В 1 ˂=˃ А v В =1

б) (АВ) ˄ ( В → С ) = А →С

в) А → ( А → В) = 1

г)  x̅
→ х = х

д) х ↓  x̅ =
0

е) А → В = 1 ˂=˃ А v В = 1

ж) А →В = В → А

з) А → ( В → С) → (( А → В ) → ( А → С )) = 1

и) х | у = x̅
↓ ȳ

к)  х ↓ у =  x̅
| ȳ

Задание 1.3.  Задана формула ( х v ȳ ) ⃝ х z̅ (  x̅
v у)

А). Выпишите все возможные подформулы этой формулы.

Б). Постройте граф-схему этой формулы.

В). Минимизируйте формулу.

Решение:

А) Подформулами будут все переменные    х, у, z ,
входящие в данную формулу ( это подформулы с нулевым числом логических связок).

Подформулы с одной логической связкой :  x̅, ȳ, z̅.
Подформулы с двумя логическими связками : х v ȳ ,  х  z̅ ,  x̅
v у

Подформула с четырьмя логическими связками :  z̅ (  x̅
v у ).

Пять логических связок у подформулы    х  z̅ (  x̅
v у)   и т.д.

Б). Граф схема формулы ( х v ȳ ) ⃝ х  z̅ (  x̅
 v у ) имеет вид ( смотри рисунок)

В) Минимизируем формулу, используя равносильности
алгебры логики

   ( х v ȳ) ⃝  х z̅
 (  x̅ v у) =
( х v ȳ) ⃝ х  z̅  у = х
v ȳ ˑ х  z̅ у v (
х v ȳ)ˑ х  z̅ у =

= ( х v ȳ )ˑ (  x̅
v ȳ v z) = х ȳ v х z v ȳ = х z v ȳ

Задание 1.4.

Выпишите все возможные подформулы заданных формул.
Составив таблицы истинности этих формул, докажите, что они являются
тавтологиями:

а) ((( Х ˄ Y ) ˄ Z ) ↔ ( Х ˄ ( Y ˄ Z ))   (
ассоциативность конъюкции  );

б) ((( Х v Y ) v Z ) ↔ ( Х v ( Y v Z ))     (
ассоциативность дизъюнкции)

в) ( Х ˄ ( Y v Z )) ↔ (( Х v Z ) v (Х ˄ Z))  (
дистрибутивность конъюкции относительно дизъюнкции);

г) ( Х v ( Y ˄ Z )) ↔ (( Х v Z ) ˄ ( Х v Z ))     (
дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции);

д) Х  v ( Х ˄ Y ) ↔ Х      ( закон поглощения);

е) Х ˄ ( Х v Y ) ↔ Х       ( закон поглощения);

ж) Х v ( Х ˄ Y ) ↔ Х v Y   ( закон поглощения);

з) Х ˄ ( Х v Y ) ↔ Х ˄ Y   ( закон поглощения);

и) (Х  ˄ Y ) v ( Х ˄ Y ) ↔ Х   ( закон склеивания);

к) ( Х v Y ) ˄ ( Х v Y ) ↔ Х    ( закон склеивания).

Задание 1.5

Определите логическое значение последнего
высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний.

а) (А v В) → А = 1  ,           А → В = 1  ,                 Ᾱ↔
B̅  = ?

Решение:

Из первого условия ( А v В ) → А=1 заключаем, что
невозможна ситуация, когда ( А v В ) = 1, а    А = 0,  то есть А=0 и при этом
В=1.

Второе условие А v В =1 исключает ситуацию, при
которой А=1  и  В=0,

Следовательно, высказывания А и В имеют одинаковые
значения истинности. Значит, одинаковые значения истинности имеют и их
отрицания

Ᾱ  и B̅.
Отсюда высказывание  Ᾱ→B̅
 будет истинно.

б) А ↔В = 1,         (А → В ) (Ᾱ → B̅ ) = ?

Решение:

Из первого условия А ↔В = 1 следует, что А и В имеют
одинаковые значения истинности. Тогда одинаковые значения истинности имеют и их
отрицания

Ᾱ и B̅.
Значит, обе импликации А →В   и Ᾱ→ B̅ 
 истинны. Следовательно, истинна и конъюкция двух последних высказываний.

Задание 1.6.

Выполните задание по образцу задания 1.5. Определите
логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех
предыдущих высказываний.

а) А → В = 1,        А ↔В=0 ,            В→А =?

б) А → В = 1,        (¬А ˄ В ) → ( ¬А v В ) =?

в) А↔В = 0,             ¬В → А = ?

г) А ˄ В = 0,           А → В = 1,        В→ ¬А=?

д) А ↔В=0,             А→В = 1,      (¬А →В) ↔А=?

е) А v В = 1,             А → В = 1,       ¬В → А =?

ж) А ˄ В = 0,          А↔В = 0,        А→В = 1,       
А=?

з) А ˄ В = 0 ,         А ↔ В = 0,       А → В
=1,       В=?

и) А ˄ В = 0,           А v В = 1,         А→B̅  = 1,         В→А=?

к) А →( В ↔ А ) = 0,         А → В =?

Задание 1.7.

Составьте таблицу истинности для формулы (( Р v Ǭ  )
→Q) ( P̅  v Q )
и укажите, является ли она выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (
тавтологией) или тождественно ложной ( противоречием ).

Решение:

Пользуясь определениями логических связок, составим
таблицу истинности данной формулы ( логические значения этой формулы записаны в
последнем столбце таблицы, где сама формула обозначения  F(Р, Q)):

Р

Q

Ǭ

Р v Q

( Р v Ǭ) → Ǭ

 P̅ 

  P̅
v Q

 F( Р, Q )

0

0

1

   1

           0

 1

   1

         0

0

1

0

   0

           1

 1

   1

         1

1

0

1

   1

           0

 0

   0

         0

1

1

0

   1

           1

 0

   1

         1

Из построенной таблицы истинности видно, что данная
формула выполнима, так как если, например, вместо пропозициональной переменной
Р вставить в формулу ложное высказывание, а вместо Q – истинное, то вся формула
превратится в истинное высказывание. Но эта формула является также и
опровержимой, поскольку если, например, вместо пропозициональной переменной Р
вставить в формулу истинное высказывание, а вместо переменной Q – ложное, то
вся формула превратится в ложное высказывание. Следовательно, формула не
является ни тавтологией, ни тождественно ложной формулой.

Задание 1.8.

Выполните задание по образцу задания 1.7. Составьте
таблицы истинности для следующих формул и укажите, какие из формул являются
выполнимыми, какие – опровержимыми, какие тождественно истинными (
тавтологиями), какие – тождественно ложными ( противоречиями) :

а) ( Р → Q ) → (( Р → Ǭ ) → P̅ );

б) (( Р → Q ) → Р ) → Q;

в) ( Р ( Q v  P̅
)) (( Ǭ → Р ) v Q );

г) (( Р Ǭ ) → Q ) → ( Р → Q ).

Задание 1.9. ( 1.23.)

Докажите, что :

а) если l = ¬F v G,      l = ¬G v ¬H,    то      l = F
→ ¬H;

б) если l = G → F,       l = ( ¬F ˄ H ) ↔ G,      l =
H,      то        l = ¬G ˄ H.

Решение:

а) Пусть F( Х1…….Хn),    G(Х1….Хn), 
 H( Х1…..Хn)  — формулы, о которых идёт речь в этой
задаче. Предположим, что формула    F→¬H       не является тавтологией. Это
означает, что существуют такие конкретные высказывания  А1…..Аn,
что высказывание  F( А1 …. Аn ) истинно, а высказывание 
¬H(А1.….Аn) ложно. Тогда высказывание ¬F ( А1 …
Аn ) ложно. Далее, так как формула    ¬ F v G  является тавтологией,
то высказывание   G ( А1 … Аn ) истинно. Но с другой
стороны, поскольку   ¬G v ¬H    — тавтология, то высказывание    ¬G ( А1 ….
Аn ) истинно. Получили противоречие. Следовательно формула   F →
¬H   — тавтология.

Решение:

б) Предположим, что посылка данного утверждения верна,
а заключение нет, то есть формулы  G → F ,    ( ¬F ˄ H ) ↔ G   и   H  являются
тавтологиями, а формула   ¬G ˄ H   — нет. Последнее означает: найдутся такие
конкретные высказывания  А1 …. Аn , что высказывание   ¬G
( А1 …. Аn ) ˄ H ( А1 … Аn ) будет
ложным. Это в свою очередь, возможно лишь в том случае, когда по меньшей мере,
одно из высказываний    ¬G ( А1 …. Аn )    или    H ( А1
… Аn ) будет ложным. Высказывание   H ( А1 … Аn
) ложным быть не может, поскольку это противоречило бы тождественной
истинности формулы

H( Х1…..Хn)  . Следовательно,
ложно высказывание    ¬G ( А1 …. Аn )    и, значит,
истинно высказывание   G ( А1 …. Аn ). В таком случае, из
истинности высказывания    G ( А1 …. Аn ) → F( А1 ….
Аn ) вытекает истинность высказывания

F( А1 …. Аn ).

Рассмотрим высказывание ( ¬F ( А1 ….  Аn
) ˄ H (А1 ….  Аn )) ↔G ( А1. … Аn
), которое истинно, так как формула   ( ¬F ˄ H ) ↔ G, по предположению,
является тавтологией. Так как истинно высказывание    F( А1 …. Аn
), то левая часть рассматриваемой эквивалентности есть ложное
высказывание. Значит, её правая часть, то есть высказывание    G ( А1. …
Аn ), так же ложно. Но это противоречит ранее установленной
истинности этого высказывания.

Таким образом, сделанное допущение приводит к
противоречию. Следовательно, допущение неверно, а верно доказываемое
утверждение.

Задание 1.10. ( 1.36).

Докажите, что справедливо следующее логическое
следование, руководствуясь определением этого понятия:   Р Q v R l = Р v ( Q →
R ).

Выясните, будут ли верны обратные следования, то есть
будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы, стоящей справа.

Решение:

Составим таблицу истинности для формул   Р Q v R   
и   Р v ( Q → R ), участвующих в отношении следования:

        Р

       Q

       R

    РˑQ

  РˑQvR

  Q→R

Рv(Q→R)

        0

       0

       0

       0

       0

     1

      1

        0

       0

       1

       0

       1

     1

      1

        0

       1

       0

       0

       0

     0

      0

        0

       1

       1

       0

       1

      1

      1

        1

       0

       0

       0

       0

      1

      1

        1

       0

       1

       0

       1

      1

      1

        1

       1

       0

       1

       1

      0

      1

        1

       1

       1

       1

       1

      1

      1

     ( * )

   (**)

Последовательный просмотр по строкам столбцов  (*) и
(**) показывает, что как только в какой-либо строке столбца (*) появляется 1,
так сейчас же в этой строке и в столбце (**) обнаруживается 1. Значит,
требуемое логическое следование действительно выполняется.

Обратное же следование неверно, поскольку, например, в
первой же строке ( т.е. при Р=0,  Q=0,  R=0) формула Р v ( Q → R ) принимает
значение 1 ( столбец (**)), а формула РˑQ v R тем не менее принимает значение 0
(столбец (*)).

Задание 1.11. ( 1. 37).

Для следующих формул выясните, будет ли какая-либо из
них логическим следствием другой:

а) Рˑ Q → R    ,        ( Р v Q ) → R;

б) Р ˑ Q → R,           Р v ( Q → R ).

Решение:

а) Составим таблицу истинности данных формул:

        Р

       Q

       R

    РˑQ

  РˑQ → R

  Р v Q

(РvQ)→R

        0

       0

       0

       0

       1

     0

      1

        0

       0

       1

       0

       1

     0

      1

        0

       1

       0

       0

       1

     1

      0

        0

       1

       1

       0

       1

     1

      1

        1

       0

       0

       0

       1

     1

      0

        1

       0

       1

       0

       1

      1

      1

        1

       1

       0

       1

       0

      1

      0

        1

       1

       1

       1

       1

      1

      1

     ( * )

   (**)

Сопоставляя столбцы (*) и (**), видим, что во всей
строке, в которой в столбце (**) стоит 1, в столбце (*) так же стоит 1, но не
наоборот ( например, третья строка). Это означает, что первая данная формула
является логическим следствием второй, но вторая, в свою очередь, не является
логическим следствием первой.

б) Составим таблицу истинности данных формул:

        Р

       Q

       R

    РˑQ

  РˑQ → R

  Р → Q

Рv(Q→R)

        0

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        0

       0

       1

       0

       1

     1

      1

        0

       1

       0

       0

       1

     0

      0

        0

       1

       1

       0

       1

     1

      1

        1

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        1

       0

       1

       0

       1

      1

      1

        1

       1

       0

       1

       0

      0

      1

        1

       1

       1

       1

       1

      1

      1

     ( * )

   (**)

Сравнивая столбцы значений данных формул, видим, что в
третьей строке первая формула принимает значение 1, а вторая – хначение 0, в то
время как в седьмой строке вторая формула принимает значение 1 а первая 0.
Следовательно, ни одна формула из двух данных не является логическим следствием
другой.

Задание 1. 12. ( 1. 38.)

Пользуясь определением понятия логического следствия,
вясните, справедливы ли следующие логические следования:

а) Р ˑ Q,        ¬R → ¬Q l = R;

б) Рˑ Q → R,          ¬R l = ¬Q

Решение:

а) Составим сначала таблицу истинности для всех трёх
данных формул РˑQ,   ¬R → ¬Q  и   R , участвующих в рассматриваемом отношении:

        Р

       Q

       R

    РˑQ

     ¬ R

     ¬ Q

¬R→¬Q

        0

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        0

       0

       1

       0

       0

     1

      1

        0

       1

       0

       0

       1

     0

      0

        0

       1

       1

       0

       0

     0

      1

        1

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        1

       0

       1

       0

       0

      1

      1

        1

       1

       0

       1

       1

      0

      0

        1

       1

       1

       1

       0

      0

      1

   (***)

     (*)

   (**)

Отметим столбцы таблицы, отвечающие данным формулам 
РˑQ,    ¬R → ¬Q,  R, символами (*), (**), (***)  соответственно. Чтобы
проверить выполнимость определения логического следования для данных формул,
нужно найти все те строки таблицы, в которых в обоих столбцах  (*)  и (**)
стоят единицы, и убедиться, что в каждой из этих строк в столбце (***) также
стоит единица. Значит, доказываемое логическое следование справедливо ( строки,
в которых не в обоих столбцах (*)  и (**) стоят единицы, автоматически
удовлетворяют условию из определения логического следования: для них посылка
этого условия, представляющего собой импликацию, ложна, а значит , сама
импликация истинна).

Решение:

б) Составим таблицу истинности для всех трёх данных
формул.

        Р

       Q

       R

    РˑQ

  РˑQ→R

     ¬ R

    ¬Q

        0

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        0

       0

       1

       0

       1

     0

      1

        0

       1

       0

       0

       1

     1

      0

        0

       1

       1

       0

       0

     0

      0

        1

       0

       0

       0

       1

     1

      1

        1

       0

       1

       0

       0

      0

      1

        1

       1

       0

       1

       1

      1

      0

        1

       1

       1

       1

       0

      0

      0

Найдём те строки, в котором обе посылки ( РˑQ) →R   и
¬R принимают значение 1. Это 1-я, 3-я, 5-я строки. При этом в 1-й и 5-й строках
формула ¬Q  также принимают значение 1, но в 3-й строке этого не происходит: ¬Q
принимает значение 0. Именно здесь « проваливается» определение логического
следования, а значит, формула ¬Q не является логическим следствием формул ( Р
ˑQ)→R   и ¬R

Задание 1.13. (1.40.)

Методом от противного  выясните, верно ли следующее
логическое следование: F→G   ,    K→KH,       H v ¬G l = F → ¬K

Решение:

Допустим, что данное логическое следование не
выполняется, то есть существуют такие конкретные высказывания, которые
превращают все формулы-посылки в истинные высказывания, а формулу-заключение 
F→¬K   — в ложное. Тогда из F→¬K=0   следует, что F=1   и ¬K=0, то есть K=1. 
Из F→G=1   и F=1   следует, что G=1.   Далее, из Hv¬G=1  и G=1    заключаем,
что H=1, то есть  ¬H=0.   Наконец из K→¬H=1   и ¬H=0    получаем K=0.  Пришли к
противоречию. Следовательно, формула F→¬K   не может превращаться в ложное
высказывание, если все формулы   F→G,    K→¬H,  Hv¬G   превратились в истинные
высказывания. Это означает, что рассматриваемое логическое следование верно.

Задание 1.14

Докажите, что формула   РˑQ→((RvQ)→(QˑǬ))   выполнима,
не составляя для неё таблицу истинности, а указав какие-нибудь значения
входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращается
в истинное высказывание.

Решение:

Заключение второй импликации есть тождественно ложная
формула. Поэтому если посылка   RvQ второй импликации превратится при некоторой
подстановке в ложное высказывание, то эта импликация станет истинным
высказыванием и, следовательно, вся данная импликация превратится в истинное
высказывание независимо от того, в какое высказывание обратится посылка РˑQ
всей данной импликации. Посылка RvQ второй импликации обращается в ложное
высказывание, когда вместо переменных  R  и  Q  подставляется ложные
высказывания. Итак, данная формула выполнима, поскольку она обращается в
истинное высказывание, если вместо  R  и  Q подставить ложные высказывания, а
вместо Р – произвольное высказывание ( его истинностное значение в данном
случае не повлияет на истинностное значение всего высказывания).

Задание 1.15.

Докажите, что формула ( Х v Y ) → (( ¬Х ˄ Y ) v ( Х ˄
¬Y )) опровержима, не составляя для неё таблицу истинности, а указав
какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых
эта формула обращается в ложное высказывание.

 Решение:

 Импликация ложна лишь в одном случае: когда её
посылка истинна, а следствие ложно. Следствием данной импликации является
дизъюнкция, которая ложна тогда и только тогда, когда оба её слагаемых ложны.
Формула обратится в ложное высказывание, если найдутся такие высказывания А  и
В , что высказывание  А v В  истинно, а оба высказывания   ¬А ˄ В   и   А ˄ ¬В 
ложны. Если высказывания А и В имеют разные истинностные значения, то
высказывания   ¬А˄В    и    А˄¬В    не могут быть ложны оба. Поэтому А и В либо
оба истинны, либо оба ложны. Но если А и В оба ложны, то высказывание А vВ  ложно,
что нас не устраивает. Следовательно,  А и В  должны быть оба истинны. Итак,мы
доказали, что данная формула превращается в ложное высказывание в том и только
в том одном случае,  

                                             Занятие
№ 2.

          Логика предикатов. Логическое
следование.

Логическое следование. Высказывательная форма Ф2
следует из высказывательной формы Ф1, если импликация Ф1
→Ф2 обращается в истинное высказывание при любых наборах значений
переменных входящих в неё. Формула Ф2 называется логическим
следствием формулы Ф1 , если при всякой интерпретации, при которой Ф1
превращается в тождественно истинный предикат, формула Ф2 тоже
тождественно истинный предикат.

Обозначение логического следования Ф1 =˃ Ф2  
или   Ф1 l=  Ф2.

Две формулы равносильны тогда, и только тогда, когда
каждая их них является логическим следствием другой   λ —
логическое значение формулы F.

                          Равносильности логики
предикатов.

1.

$x$yQ(x, y) Û $y$xQ(x, y)

Правила перестановки одноимённых кванторов

1¢

«x«yQ(x, y) Û «y«xQ(x, y)

2.

$x«yQ(x, y) Þ «y$xQ(x, y)

3.

$xF(x) Û «xF(x)

Перенос отрицания с квантора на предикат

3¢

«xF(x) Û $xF(x)

4¢

 «xF(x) Û $xF(x)

 «xF(x) Û $xF(x)

4.

$xF(x) Û «xF(x)

5.

$x(F(x) ÚФ(х)) Û

Û $xF(x) Ú $xФ(x)

Правила

дистрибутив-

ности

кванторов

5¢

 «x(F(x) ÙФ(х)) Û

Û «хF(x) Ù «хФ(х)

6.

$х(F(x) ÙF(х))Þ

Þ$хF (х) Ù $х  ˉ ҅х҆

6¢

 «õF(õ) Ú «õÔ(õ)Þ

Þ «õ(F(x) ÚÔ(õ))

7.

$x(M Ù F(x)) Û M Ù $xF(x)

7¢

 «x(M Ù F(x)) Û M Ù «xF(x)

8.

$x(M Ú F(x))Þ M Ú $xF(x)

8¢

 «x(M Ú F(x))Þ M Ú «xF(x)

9.

$хР(х) Û»хР(х)

9¢

 «хР(х) Û $хР(х)

             
  Нормальные
формы логики предикатов.

Приведённой называется формула,
содержащая в качестве логических символов только стандартный базис :  ¬ (ˉ),
˄,  v,  где символ ¬ встречается только перед элементарными ( автомарными)
подформулами.

Нормальной называется приведённая формула,
если она содержит все символы кванторов впереди или не содержит кванторов
вообще ( то есть логические символы и символы предикатов стоят в области
действия каждого квантора).

Формула А логики предикатов
задана в предваренной ( пренексной) нормальной форме, если она имеет вид Q1
Х1 …. Qn Хn В ( х1….хn),
где

Q1 – квантор. $ 
или  «, а
формула    В ( х1….хn)
не содержит кванторов и приведена к КНФ.

Скулемовской называется такая
пренексная форма, которая содержит только квантор » .

Доказано, что любую формулу логики
предикатов можно привести к предваренной нормальной форме.

Алгоритм:

1) исключить все вхождения связок
↔ ,→ с помощью эквивалентных преобразований снятие импликации ( 13 ) а →b = a̅
v b  и снятие эквиваленции  (14) а ~b = а bva̅ b ;

2) перенести все вхождения символа
отрицания с квантора на предикат с помощью эквивалентных преобразований  3, 3¢,  4 , 4  , а так же законов де Моргана и
др. ;

3) вынести все кванторы из формул
в их начало, за скобки, с помощью эквивалентных преобразований 7, 7¢;

4) исключить кванторы
существования, а переменные, связанные этими кванторами, заменить скулемовскими
формами;

5) в стандартной форме все
кванторы общности перенести в начало формулы, область действия каждого из них
включить в формулу, так как кванторы больше не несут никакой информации ,то их
опустить;

6) формулу привести к КНФ с
помощью эквивалентных преобразований;

7) знаки конъюнкции исключить,
тогда формулы распадаются на множество дизъюнктов.

Клаузальной нормальной формой (
клауза – умозаключение) называется КНФ формулы логики предикатов.

Формула F в логике предикатов
называется выполнимой ( опровержимой) на множестве М, если хотя бы при одной
подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на
этом множестве М, она превращается в выполнимый ( опровержимый) предикат.

Формула F в логике предикатов
называется общезначимой или тавтологией, если она тождественно истинна в любой
интерпретации, то есть при всякой подстановке вместо предикатных переменных
любых конкретных предикатов, заданных на всевозможных множествах. Обозначается
тавтология символом l=F.

                                                   Упражнения.

Задание 2.1.

На множестве М  :

а) выпишите бинарные отношения,
соответствующие предикату Р «х2 ˃ 3у» ;

б) составьте таблицу истинности
для этого предиката.

Решение:

а) бинарные отношения, соответствующие
предикатами Р, имеют вид:

22 ˃ 3ˑ 2,     32
˃ 3ˑ 2,     42 ˃ 3ˑ 2,     62 ˃ 3ˑ 2

22 ˃ 3ˑ 3,     32
˃ 3ˑ 3,     42 ˃ 3ˑ 3,     62 ˃ 3ˑ 3

22 ˃ 3ˑ 4,     32
˃ 3ˑ 4,     42 ˃ 3ˑ 4,     62 ˃ 3ˑ 4

22 ˃ 3ˑ 6,     22
˃ 3ˑ 6,     22 ˃ 3ˑ 6,     22 ˃ 3ˑ 6

Решение:

б) Таблица истинности,
соответствующая предикатам, имеет вид:

ху

            2

           3

           4

           6

          2

           л

           л

           л

           л

          3

           и

           л

           л

           л

          4

           и

           и

           и

           л

          6

           и

           и

           и

           и

Задание 2.2.

Выполните задание по образцу
задания 2.1.

На множестве М =  :

а) выпишите бинарные отношения,
соответствующие заданным предикатам Р;

б) составьте таблицу истинности
для этих предикатов:

а) « х = у »
;                      е) « х ≠ у » ;

б) « х ˃ у » 
;                    ж) « х и у – взаимно простые числа» ;

в) « х ˂ у » 
;                     з) « х делитель у»  ;

г) « х ≤ у » 
;                     и) « х кратно у»  ;

д) « х ≥ у» 
;                     к) « ( х-у)  — простое число»  .

Задание 2.3.

Докажите, что заданные пары формул
логики предикатов равносильны между собой на одноэлементном множестве.
Придумайте словестную интерпретацию этих формул:

Ǝ х ( Р (х) → Р ( у))     
и      Ǝ х ( Р (х)) → Р ( у)).

Решение:

Пусть предикаты заданы на
одноэлементном множестве . На этом множестве существуют только два предиката А0
(х)   и А1 (х), причём

А1 (а) = 1    и   А0
(а) = 0.

Задание содержит две переменные:
переменная х – связанная ( предикатом существования), а переменная у –
свободная. Составим таблицу истинности для этой формулы.

  Р

  у

  Ǝх(Р(х) → Р(у))

  ƎхР (х)

   Р(у)

         ƎхР(х) →
Р(у)

 А0

  а

               1

      0

     0

                    
1

 А1

  а

               1

      1

     1

                    
1

 Подставляя в первую формулу А0
получаем высказывание  Ǝх(А0 (х) → А0 (у)).На
одноэлементном множестве  это высказывание истинно, так как тождественно истинен предикат
А0 (х) → А0 (у).

Для второй формулы сначала
найдём значения высказывания ƎхР(х). В первой строке имеем ƎхА0(х)
ложное высказывание, во второй  ƎхА1(х) – истинное. Аналогично
находим значения Р(у) и подставляя их во вторую формулу получаем результат. В
результате обе формулы тождественно истинны на одноэлементном множестве .

Задание 2.4.

Докажите, что следующие формулы
являются тавтологиями предикатов:

а)  («x) ( Р(x) →Q ) ↔ (( $х) ( Р (x)) →Q)  ;

б)  («x) ( Р(x)) → ( А х) ( Р (х) v Q (х))  ;

Решение:.

а)
Отметим, что для предикатной переменной Q в формуле  («x) ( Р(x) →Q ) ↔

↔ (( $х) ( Р (x)) →Q)  ; не указано
число переменных, так как она может быть не только 0-местной, но и любой n –
местной.

Важно
лишь, чтобы в неё не входила предметная переменная х. Пусть Q есть

Q ( у1
…уn ). Будем считать для краткости , что Q есть предикатная
переменная Q (у).

Предположим,
что данная формула не является тавтологией. Тогда существуют такие конкретные
предикаты А(х) и В(у), определённые на множествах М  и М1
соответственно, что предикат ( от у)  («x) ( А(x) →В(у) ) ↔ ( $х) ( А (x)→В (у)) опровержим,
то есть обращается в ложное высказывание при подстановке вместо предметной
переменной у  некоторого конкретного предмета  b из 1 M :

 l [ («x)( A(x)®B(b))«(($x)(A(x))®B(b)) ] = 0 .

Эта
эквивалентность ложна, если ее члены принимают разные значения

истинности,
т.е. могут представиться две возможности: первая −

l [ («x)( A(x)®B(b)) ] =1 (1),

l [($x)( A(x))®B(b) ] = 0   (2) и

вторая −

l [ («x)( A(x)®B(b)) ] = 0 (3),

l [ ($x)( A(x))®B(b)] =1 (4).

Рассмотрим
первую возможность. Из (2) по определению импликации имеем

l [ ($x)( A(x))]  =1 (5) и l [ B(b)]= 0 (6).  Далее, из (5) по
определению квантора

существования
заключаем, что предикат A(x) выполним, т.е. l [ A(a)] =1  (7) для

некоторого
 aÎM.

В
соотношении (1) по определению квантора общности предикат A(x)®B(b) −

тождественно
истинен. В частности, если вместо предметной переменной x подставить  aÎM , то получим
истинное высказывание l
[ A(a)® B(b) ]=1.

Но,
учитывая (6) и (7), получаем l [ A(a)® B(b) ] = l [ A(a) ] ®l [B(b) ] =1®0 = 0 − —противоречие.

Рассмотрим
вторую возможность, выраженную в соотношениях (3), (4). Из (3), на

основании
определения квантора общности, следует, что предикат A(x)®B(b)

опровержим,
т.е.  l [ A(a)® B(b) ] = 0 для некоторого aÎM. Тогда по
определению

импликации
 l [ A(a) ] =1, l [ B(b) ] = 0 (8). Отсюда и из
соотношения (4) заключаем, что

l [ ($x)( A(x)) ] = 0 . Последнее означает
тождественную ложность предиката A(x).  В частности, для aÎM имеем   l [ A(a) ] = 0, что противоречит первому
из соотношений (8).

Итак, в
каждом случае приходим к противоречию, доказывающему невозможность

сделанного
предположения. Следовательно, данная формула – тавтология.

б)
Предположим, что формула («x)(P(x))®(«x)(P(x)ÚQ(x)) не является

тавтологией.
Тогда существуют такие предикаты A(x) и B(x), определенные на

множестве
М, что высказывание («x)( A(x))®(«x)( A(x)Ú B(x)) ложно. Импликация ложна,
если и только если l
[ («x)( A(x)) ] =1 (1) и

 l [ («x)( A(x)Ú B(x)) ] = 0 (2).

Из (2) по
определению квантора общности следует, что предикат A(x)Ú B(x) опровержим, т.е. найдется
такое предмет aÎM, для которого

 l [ A(a)Ú B(a)] = 0,  т.е.  l [ A(a) ] = 0 и   l [ B(a) ]= 0.

Но
утверждение  l [ A(a) ] = 0 противоречит (1), так как
из него по

определению
квантора общности вытекает, что предикат A(x) тождественно истинный,  т.е.
ни при каком aÎM не превращается в
ложное высказывание. Следовательно, данная  формула – тавтология.

Задание
2.5.

Выясните,
будут ли выполняться в логике предикатов следующие

логические
следования:

а) («x)(S (x)®ØP(x))|= ($x)(P(x) ÙØS (x)) ;

 б) («x)(P(x)«Q(x))|= ($x)(Q(x)® P(x)) .

Решение:

а)
Предположим, что найдутся такие конкретные предикаты   A(x) и B(x) , заданные над конкретным
множеством M, что  l [ («x)(B(x)®ØA(x)) ] =1  (1),

 а l [ ($x)( A(x) Ù ØB (x)) ] = 0  (2).  

Из (1)
по определению квантора общности следует, что l [B(a)®ØA(a)) ] =1 (3) для любого предмета,  aÎM.  Из (2) по
определению квантора существования следует, что l [ A(b) ÙØB(b)) ] = 0 (4)  для некоторого
предмета bÎM.

Отсюда
видно, что если предикаты A(x) и B(x) взять такими, что

l [ В (х) ] =

 (l [ A(b) ] = 0 и l [ A(x) ]  произвольно, если x ¹ b), то противоречия не
получится,

соотношения
 (3)  и  (4)  будут выполняться, вместе с ними будут выполняться соотношения  (1)
 и  (2), которые и будут говорить о том, что рассматриваемое следование
неверно.

б) Решение:

Допустим,
что найдутся такие конкретные предикаты A(x)  и  B(x) , которые

заданы
над конкретным множеством M, что l [ («x)( A(x) « B(x))]  =1 (1), а

l [ ($x)( A(x) ® B(x)) ] = 0 (2).  Из (1) по
определению квантора общности следует, что  l [ A(a) « B(a)) ] =1 (3)  для любого предмета aÎM.  Из (2) по
определению квантора существования следует, что  l [ A(b)® B(b) ] = 0 (4)

 для
некоторого предмета bÎM.

Тогда из
(4) следует, что  l
[ A(b) ] =1, а   l [ B(b) ]  = 0. Два последних соотношения
противоречат соотношению (3). Значит, сделанное допущение неверно и
рассматриваемое следование справедливо.

                                                   
Раздел 2.

                                      
Формальные теории

                  
Занятие № 3. Аксиоматические системы.

    
Формальный вывод. Формальная аксиоматическая теория.

Пусть
задано множество f = á f1, f2, … , fn ñ Î Fn

–
набор формул и правило вывода R. Если существует Rl Î R, такое,
что (áf1, f2,
… , fn ñ, g)
Î Rl,
то g называется непосредственным следствием формул f1, f2,
… , fn  (безотносительно одного определенного правила вывода), что
обозначается   f1, f2, … , fn |= g        или           

Формула
h называется выводимой из формул  {f1, f2, … , fn}=Г
  или следствием  формул Г, если существует кортеж формул,
где каждая формула является либо аксиомой  теории T, либо исходной
формулой, либо непосредственно выводимой (непосредственным  следствием)
из предыдущих.

Набор
{f1, f2, … , fn} называется гипотезами или посылками,
что обозначается: Г |– h.

Секвенция
–
есть вывод или доказательство формулы f1, f2, … , fn
|– h, если Г |= h, то Г |– h.

Формула
h – теорема теории T, если существует вывод, в котором
последней

формулой
является h, т.е., если  Г =Æ   и Г |– h и формула
является следствием только аксиом.

Вместо
записи Æ|– h обычно
используют |– h.

Формула
 f Î F формальной
теории T= áA, F,
P, Rñ
называется общезначимой (или тавтологией), если она выполняется в
любой интерпретации, и противоречивой, если в любой интерпретации
ее образ ложен.

                                        
Упражнения

Задание
3.4. Выполните
в символах арифметики Пеано (задание 3.4.) примеры и

проверьте
результат в арабской системе счисления.

а)
4+7 б) 6+3 в) 8+5 г) 9+2 д) 7+8

е)
5+9 ж) 9+3 з) 6+5 и) 8+4 к) 9+6

Задание
3.5. Выполните
в символах арифметики Пеано (задание 3.4.) примеры и

проверьте
результат в арабской системе счисления.

а)
4·7 б) 6·3 в) 8·5 г) 9·2 д) 7·8

е)
5·9 ж) 9·3 з) 6·5 и) 8·4 к) 9·6

                 
Занятие №4. Исчисление высказываний

Логическое
следование.
Пусть A1, A2,…, An, B – формулы исчисления
высказываний

(ИВ).
Формула B называется логическим следствием формул A1,A2,…,An
тогда, и только тогда, когда истинна конъюнкция формул A1,
A2, … , An. ,

что
обозначается    A1,A2,…,An  =˃B.

Секвенцией
называется
формула вида A |– B , что читается: «B выводимо из A».

Формула
A выводима из формул A1,A2,…,An, если
существует последовательность формул, в которой любая формула есть либо аксиома,
либо принадлежит списку формул  A1,A2,…,An, называемых гипотезами
(Г), либо получается из предыдущих по правилу вывода mp. Обозначение
такой секвенции: A1,A2,…,An |– A.

Секвенция
Г |– A означает, что формула A выводима из Г. Выводимость
формулы A из пустого множества аксиом Æ равносильна тому,
что A – теорема ИВ, т.е. доказуема.

Обозначение
такой (пустой) секвенции: |– A, что читается: «формула A выводима».

Некоторые
теоремы ИВ:

Т1)  |– A→
A –рефлексивность импликации;

Т2)  A |– B→
A – введение импликации;

Т3)  Ᾱ ,A|– B˂=˃ Ᾱ |– (A→B)
– теорема о дедукции – связь между ├ и →;

Т4)  A |– B˂=˃
|– A→B– следствие из теоремы дедукции (при Г= Æ)

Т5)  (Г,
A |– B и Г, A |– В )=˃(Г → А)

Т6)  A→ B,
B → C |– A→C – правило транзитивности
(гипотетический силлогизм)

Т7)  A → (B →
C), B |– A→C – правило сечения

Т 8)  |– A A →
удаление и Т‘8 ) |– A→ A введение двойного
отрицания

Т9)  |–  ( B̅→Ā) →(А→В )    Т/9 ) (
B̅
→
Ā) |– (A→ B) противопоставление

обратному

Т10)  ((A→ B) ^  B̅)→ Ā – силлогизм modus tollens

Т11)  (A→B) ˂=˃ (A^ B̅)→ Ā или
  (A→B) ˂=˃ (A^ B̅)→ B .  

Правила
выводов:

1.
Правило подстановки (ms)

Если
E – выводимая формула, содержащая символ A (т.е. E(A)),
то выводима формула E(B), полученная из E заменой всех
вхождений A на

произвольную
формулу B: т.е.

2.
Правило modus ponens (mp). Если набор формул A,B,C
 является частным случаем набора формул A, A→B, то
формула C является непосредственно выводимой из формул  A и
B. Тогда теорему 2 о введении импликации можно сделать новым правилом
вывода:

A
|=
B→ A (читается: « B→ A непосредственно выводима из A»).

Общие
правила непосредственной выводимости |= и выводимости |– .

Правило
1. Общие
свойства символа |=
( |– ):

П1a : при n>1    A1,A2,…,An |= A1;    A1,A2,…,An |= A2, … , A1,A2,…,An|=An – из
набора формул непосредственно выводима каждая;

П‘b : если А1, А2,
…, Аn | =С, то А1, А2, …, Аn ,
В1 …, Вm | = С  — число гипотез можно увеличить;

П’с : если при m˃0  
и   n˃0, то    А1, А2, …, Аm |= В1
…, А1, А2, …, Аm =Вn 

и В1 , В2 …,
Вn | = С,  то справедлива транзитивность непосредственной
выводимости:  А1, А2, …, Аm |=С.

Те же свойства справедливы для
выводимости |—.

Правило 2.  Введение и удаление логических знаков:

Пусть A,B,C –
произвольные высказывания. Обозначим Ф – конечный список

формул, быть может, пустой.
Правила введения и удаления логических знаков представим в виде
таблицы :

   Таблица. Правила введения и
удаления логических знаков.

   
Операция

      
Правила введения ПВi

             Правила удаления
ПУi

    1.

   →

   ( Ф,А|-В) ˂=˃(Ф|-А→В)

                 А,А → В|-В

    2.

     ^

             А,В |- А ^В

           А ^В |-А,А ^В|-В

    3.

     ˅

              А|-А˅В

 Если
Ф,А|-С  и Ф,В|-С, то Ф,А ˅В|-С

    4.

    ¬

ЕслиФ,А|-В и Ф,А|-B̅,то Ф|=Ā

     А,Ā|-В (слабое удаление)

    5.

    ≡

    А→В, В→А |-А ≡В

      А≡В |-А→В,  А ≡В|-В→А

Правило 3 подстановки вместо элементарных формул (П3):

Пусть B –
некоторая формула, в которую входят элементарные формулы

  а1 ,…аn
;   В’   — формула, полученная из B
одновременной подстановкой формул
A1,
… , An ,  вместо  а1,…аn.   Тогда,
если |– B, то |– B‘.

Правило 4 о замене (П4):

Пусть Са – формула, содержащее в качестве своей части формулу A, а Св –
формула, полученная из A заменой A на
B. Тогда, если |– Са , то |– Св.

Логическое следование есть
конечная алгоритмическая операция в
отличие от логической выводимости.

противоречивое множество формул,
то его обозначают Г |– .

Теоремами теории T являются
тавтологии, т.е. общезначимые формулы, и только они:   |– A ˂=˃A – тавтология.

Метод резолюций в исчислении
высказываний. Выводимость
формулы B из

множества посылок F1,
F2, …, Fn  равносильна доказательству теоремы

|– (F1  ˄ F2 ˄…˄Fn
→ B),
где |– означает «верно, что B выводимо из

F1 ˄
F2 ˄…˄ Fn » .

Действительно, |– (F1 ˄
F2 ˄…˄Fn→ B)=|–  F1˄F2 ˄ …˄ Fn
˅ В =|- F1 ˄F2 ˄ …˄Fn ˄ B̅,

значит, заключение B истинно тогда и только тогда, когда формула ложна, т.е.    λ (F1 ˄F2
˄ … ˄Fn ˄ B̅ ) = 0

                                                    
Упражнения

Задание 4.1.

Докажите секвенцию и « приведение
к абсурду» : ( Ā →  B̅) ˄ ( Ā →  B̅)
|-А, противоречию. Докажем секвенцию методом от противного, то есть сведением к
противоречию. Доказательство проведём « пошагово», обосновывая каждый шаг:

1)   ( Ā → В), Ā | — В    — правило
вывода mp;

2)  ( Ā → В), Ā| — Ā — П’а :  
из набора формул непосредственно выводимая каждая;

3)  ( Ā → В), Ā| -ĀˑВ – ПВ2
:  введение конъюнкции для шага 2) ;

4)  ( Ā → В), Ā→B̅  введение → из конъюкции для шага 3) ;

5)  ( Ā→ В), ( Ā→) B̅| — А – L3 : контрпозиция для шага
40 ;

6)  ( Ā→ В) ˄ ( Ā→ B̅)
| — А   определение |— .

Более привычен и понятен иной вид
секвенции « приведение к абсурду» : если из А следует одновременно В и не-В, то
А ложно : А → В, А → B̅|-Ā

Задание 4.2.

Найдите все не равносильные между
собой и не тождественно истинные формулы алгебры высказываний, являющиеся
логическими следствиями следующей формулы ( посылок) Х → Y ˅ Z)  и Z→Y

Решение.

Составляем конъюнкцию посылок и
равносильными преобразованиями приводим её к СКН –форме : ( Х → ( Y˅Z)) ( Z→Y)
≡ ( X̅ ˅ Y ˅
Z) ( Z̅ ˅ Y )
≡

≡ ( X̅ ˅Y˅Z) ( 0 ˅ Z̅˅Y)
≡ (  X̅˅Y˅Z) (
Х X̅˅Y˅ Z̅) ≡ (  X̅˅Y˅Z)
( Х ˅Y˅ Z̅) (  X̅˅Y˅ Z̅
).

Логическими следствиями из данных
посылок будут все совершённые дизъюнкты, входящие в полученную СКН-форму, а
также всевозможные конъюнкции. Этих конъюнктивных одночленов по два , по три и
т.д.  Выписываем
получающиеся формулы, придав им более удобную равносильную форму :

 X̅ ˅ Y ˅ Z ≡ Х→( Y ˅ Z )  ( первая посылка);

Х ˅ Y ˅  Z̅ ≡ Z→ ( Х ˅ Z) ;

X̅  ˅ Y ˅  Z̅ ≡ ( Х Z ) → Y;

( Х ˅ Y ˅ Z) ( Х ˅ Y ˅  Z̅) ≡ ( Х↔Z) ˅ Y ; ↕ ;

( X̅  ˅ Y ˅ Z )( X̅
˅ Y ˅  Z̅) ≡ ( X̅ ˅ Y ) ˅ Z Z̅
≡  X̅ ˅ Y ˅
0 ≡ X̅  ˅ Y
≡Х →Y ;

( X̅ ˅ Y ˅  Z̅
)(  X̅ ˅ Y ˅ Z̅ ) ≡ Z→Y  ( вторая посылка) ;

(  X̅ ˅ Y ˅ Z ) ( Х ˅Y ˅ Z̅) (X̅
˅ Y ˅  Z̅) ≡( Х
→( Y ˅ Z)) ( Z→Y) ≡ ( Х ˅Z) →Х

Задание 4.3. ( 8.1.)

Среди следующих формул укажите те,
которые являются аксиомами :

а) ( F→ (( F→F) →F))→ ((
F→(F→F))→(F→F)) ;

б) F→ (( F̅ →G) →F ) ;

в) ( G→H) →(F→ ( G→H)).

Решение:

а) Аксиома, получающаяся из схемы
аксиом ( Р2 ), если в качестве формулы А взять F, в качестве В взять
F→F,  а в качестве С взять F.

б) Аксиома ( Р1 ), если
взять А ≡F,    В ≡ F̅ →G.

В) Аксиома ( Р 3 ),если
взять  А ≡F,   В≡
G̅.

Задание
4.4. (8.3.)

Выясните,
является ли данная последовательность формул выводом из аксиом. Если является.
То обоснуйте каждый шаг построения этой последовательности. Если не является,
то докажите это.

а) 
(1)  G → ( F → G).

    
(2)  ( G →(F→ G )) → ( G → (G → ( F→ G )) ).

    
(3)  G → (G → (F→ G )).

б) 
(1)  (G̅ →  F̅) → (( G̅ → F) → G
).

     
(2)   F̅ → ( G̅ →  F̅ ).

     
(3) F̅ → (( G̅ → F) → G).

Решение:

а)
Данная последовательность формул является выводом. Обоснуем это. Каждая из
формул (1), (2) представляет собой аксиому ( Р1 ). Формула (3)
получена из (1) и (2) по правилу МР.

б)
данная последовательность формул не является выводом. Покажем это. Хотя формулы
(1) и (2) являются аксиомами (( Р2 ) и ( Р1 )
соответственно), формула (3) не является аксиомой и не может быть получена из
(1) и (20 по правилу МР. Следовательно, раз имеется хотя бы один неверный шаг,
то последовательность выводом не является.

Задание
4.5. (8.4 а)

Докажите
, что формула F-F является теоремой формализованного исчисления высказываний,
построив последовательность формул, являющуюся выводом данной формулы из
аксиом.

Решение:

Таким
выводом является, например, следующая последовательность формул:

(1)
( F→ ((F→ F)→F )) →((F→ (F→ F )) → (F→F )).

(2) 
F→(( F→F) → F).

(3)
(F→ (F→ F ))→ ( F→ F).

(4) 
F→ ( F→ F).

(5) 
F→F.

В
самом деле, формула (1) представляет собой аксиому ( Р2), в которой
в качестве формул А и В взята формула F, а в качестве формулы С – формула F→F. 
Формула (3) получена из формул (1) и (2) по правилу МР. Формула (4) есть
аксиома ( Р1 ).Наконец, формула (5) получена из формул (3) и (4) по
правилу МР.

Задание
4.6. ( 8.8)

Выясните,
является ли данная последовательность выводом из гипотез. Если да, то укажите,
выводом из каких формул , и какой формулы является. Если нет, то объясните
почему.

а)  
(1)   G → H ;

     
(2)   G  ;

     
(3)   H ;

     
(4)   H → ( F → H ) ;

     
(5)   F→ H.

б)  
(1)   F → G ;

     
(2)   F→ G̅  ;

     
(3)   ( F→ G ) → (( F → G̅ ) → F̅ ) ;

     
(4)   ( F→ G̅ ) → F̅;

     
(5)    F̅.

Решение:

а)
Гипотезами здесь выступают формулы (1), (2). Формула (3) получена из (2), (1)
по правилу МР. Таким образом имеем вывод формулы А → В из гипотез В,В →С.

б)
Формулы (1), (2) не являются аксиомами и потому должны быть приняты за
гипотезы. Формула (3) лишь внешне похожа на аксиому ( Р1 ), но не
является ею. Формула (4) получена из (1). (3) по правилу МР. Формула (5)
получена из (2). (4) по правилу МР. Таким образом, данная последовательность
является выводом формулы (5) из формул (1), (2), (3), но не является выводом
формулы (5) из формул (1), (2).

Задание
4.7. (8.9 и,1)

Докажите
, что имеют место следующие выводимости, построив соответствующие выводы из
гипотез:

а) 
F→ G,  G → H | -F→ H;

б) 
F→ (G→H),  G | -F → H;

Решение:

а)
Вывод секвенции  F→G,  G → H | -F → H  с краткими пояснениями имеет вид:   (1)
F→G  ( гипотеза);

(2) 
G→H  ( гипотеза);

(3) 
(G → H) → ( F→ (G → H )) ( Р1 );

(4) 
F→ ( G → H ) ( МР:  (2), (3)) ;

(5) 
( F→ (G→ H )) → (( F→ G) → (F→H )) ( Р2);

(6) 
( F→ G) → ( F→ H ) ( МР : (4), (5)) ;

(7) 
F→H ( МР : (1), (6)).

(
Обоснование этой выводимости опирается на теорему о дедукции).

Решение:

б)
Приведём вывод секвенции: F→ (G → H), G | -F → H.

Обоснуйте
каждый шаг этого вывода.

(1)  
F→ (G→H ) ;

(2)  
( F→ (G→H))→ ((F→G) → (F→H)) ;

(3)  
( F→ G)→ (F→H);

(4)  
G → ( F→ G;

(5)  
G;

(6)  
F → G;

(7)  
F → H.

Задание
4.8. ( 8.10).

Докажите,
что имеют место теорема | -Ḟ→ F, обосновав возможность построения
соответствующего вывода из гипотез.

Решение:
Рассмотрим следующую последовательность формул:

(1)  
(  F̅ → F̅ ) → ((  F̅ →  F̅ ) → F );

(2)  
 F̅→ F̅;

(3)  
(  F̅→  F̅ ) → F;

(4)  
 F̅ → (  F̅ →  F̅ );

(5)  
 F̅ → F.

Формула
(1) есть аксиома ( Р 3 ). Формула (2) есть доказанная ранее теорема  (задача
4.9.а), вывод которой мы можем вставить в данную последовательность формул.
Формула (3) может быть выведена из формул (1) и (2) в силу утверждения задачи
4.12 б  или 8.9л. Этот вывод мы также могли поместить в данное доказательство.
Формула (4) есть аксиома ( Р1 ).

 Наконец,
формула (5) может быть выведена из формул (4) и (3) на основании задачи 4.12 а 
или 8.9 и, и этот вывод также можно включить в рассматриваемое доказательство.
Итак, хотя мы и не в полном объёме провели доказательство данной теоремы, но её
выводимость очевидна.

Задание
4.9. ( 8.13 а)

Докажите,
что во всяком исчислении высказываний, в котором правилом вывода является
правило МР ,и в котором справедлива теорема о дедукции, формула F→ (( F → G) →
G ) будет теоремой ( выводом из аксиом), каковы бы ни были аксиомы этого исчисления.

Решение:

Правило
МР состоит в том, что А, А→ В| -В. Применив к этому утверждению дважды теорему
о дедукции, получим сначала  F | — (F→ G ) → G, а затем

 |-F→
(( F→ G) → G).

Задание
4.10. ( 8.15.а)

Используя
теорему о дедукции, докажите, что формула ( F→ G) → (G̅  → F̅)
является теоремой ФИВ.

Решение:

Покажем
сначала, что F→ G | — G̅ → F̅,
построив для этого соответствующий вывод:

(1) 
F → G;                        (5)  F̅ → G̅;

(2)
 F̅ → F;                        
(6)  ( F̅→ G̅)→ ( G̅→ F̅);

(3)
 F̅ → G;                       
(7)   G̅ → F̅

(4) 
G → G̅;

Поясним:
(1) – гипотеза;  (2) есть теорема на основании задачи 4.15.(8.10 а).

Формула
(3) может быть выведена из (2), (1) на основании задачи 4.12 а (8.9 и) (
свойство транзитивности) ;  (4) есть терема в силу задачи 4.15 в ( 8.10в
). Формула (5)  может быть выведена из (3).  (4)  на основании  задачи  4.15 а
(8.9 и).  (6)– есть теорема « противопоставление обратному»; наконец, (7)
получена из (5), (6) по МР.  Итак, формула  G̅→ F̅ действительно
может быть выведена из F→G. Применив к этой выводимости теорему о дедукции,
получим требуемую теорему.

Задание
4.11. ( 8.17 а)

Используя
теорему о дедукции, докажите, что справедлива секвенция

F
˄ G | -F ( при этом необходимые выводы отыщите в предыдущих задачах).

Решение:

Докажем
секвенцию F ˄ G | -F. Согласно определению логической связки ˄ требуется
доказать следующую выводимость: F ˄ G̅ | -F. Строим вывод:

(1)  
F →  G̅;

(2)  
F → G̅→ ( F̅  → F→ G̅) ;

(3) 
 F̅ → F→  G̅;

(4)  
( F̅ → F→ G̅) → ((  F̅→ (F→  G̅)) →F);

(5)  
( F̅ → (F→  G̅ )) →F;

(6)  
 F̅ → (F→ G̅) F;

(7)  
F.

Для
пояснения отметим лишь , что формула (6) является теоремой 8°, а следовательно,
последовательность (1-7) превратится в вывод формулы F из гипотезы F→ G̅, как только
она будет пополнена доказательством формулы (6).

Задание
4.12. ( 8.20 г.)

Докажите,
что справедливо производное правило вывода

 , называемое правилом удаления
дизъюнкции(Генцен), где Г – некоторое множество формул, возможно пустое.

Решение:

По
теореме о дедукции из условия вытекает, что Г |-F→H  и Г|-G→H. Далее по задаче
4.193 ( 8.17з ), можно увеличить число гипотез: F˅G,  
F→H,

G→H|-H.
Так как по условию ещё  F|-F˅G, то по свойству выводимости ?, заключаем , что
Г|-H.

 Задание
4.13. Задача 1.

Проверим, правильно ли сделан вывод в умозаключении «
Все студенты факультета информатики добросовестны в учёбе или талантливы».

Если они добросовестны в учёбе , то систематически
готовятся к занятиям. Поэтому, если студенты информатики не будут готовиться к
занятиям, то они  должны быть талантливы.

Решение:

Введём обозначения:

А :  — « студенты – информатики талантливы».

В:  — « студенты-информатики добросовестно относятся к
учёбе».

С: 
— « систематически готовятся к занятиям»

Тогда
данное умозаключение примет вид формулы:

( А
v В), ( В → С )=> (C̅ → А )     или         или  (А vВ) ( В→С) => (C̅→А)

Составим
таблицу истинности для проверки справедливости этого умозаключения:

А

В

С

А
v В

В
→ С

(
А v В) ( В →С)

 C̅

 C̅  → А

(
А v В ) ( В →С ) → ( C̅ → А )

1

1

1

   
1

   
1

         
1

 
0

    
1

                        
1

1

1

0

   
1

    
0

         
0

  
1

    
1

                        
1

1

0

1

   
1

    
1

        
1

  
0

    
1

                        
1

1

0

0

   
1

    
1

         
1

  
1

     
1

                        
1

0

1

1

   
1

    
1

         
1

  
0   

     
1

                        
1

0

1

0

    
1

    
0

         
0

  
1

     
0

                        
1

0

0

1

    
0

    
1

        
0

  
0

     
1

                        
1

0

0

0

    
0

     
1

         
0

  
1

      
0

                        
1

Строки последнего столбца дали ответ на вопрос:
умозаключение истинно при любых значениях пропозициональных переменных А, В, С.

Формулу можно было упростить, используя тождество  p→q
= p v q

Тогда 
      (( А v В ) ( В → С)) → ( C̅  → А ) = ( А v В ) ( B̅ v С ) → ( C̅ v А ) =

= (Ā
v B̅ ) (  B̅ v C̅  ) v ( С v А) = Ā v B̅   v B̅ v C̅ v С v А = Ā х  B̅ v В C̅ v С v А =

= Ā
х B̅ v B̅ C̅  v С v А = B̅ v В C̅ v С= B̅  v C̅ v С = 1

Значит,
вывод верен.

Задание 4.14. Задача
2.

Проверить методом
резолюций вывод умозаключения: «Если институт приглашает на работу специалиста
в области нанотехнологий, то институт считает это направление в науке
приоритетным и развертывает работу по внедрению нанотехнологий в электронику
или включает этот раздел в учебный процесс. Конкурирующий институт тоже
приглашает на работу специалиста в области нанотехнологий. Значит, он
развертывает работу по внедрению нанотехнологий в электронику или включает этот
раздел в учебный процесс.

 Введем обозначения:

A= «Институт приглашает
на работу специалиста»,

B= «Институт считает
это направление в науке приоритетным»,

C= «Институт
развертывает работу по внедрению нанотехнологий в электронике» ,

D= «Институт включает
этот раздел в учебный процесс».

 Содержание
высказывания может быть записано в формализованном виде с помощью формулы: ((А→
(В˄ ( С˅D))) ˄А) ˄А )→(С˅D).

Решение:

Вывод истинности
умозаключения в этой задаче можно проверить:

 а) с помощью
тождественных преобразований по известным законам алгебры логики;

б) применяя метод
резолюций, доказать общезначимость формулы.

 а) Проверим истинность
умозаключения с помощью законов алгебры логики:

((А→(В˄(С˅D)))˄А)→(С˅D)=(
Ā˅В(С˅D))А˅(С˅D)=(В(С˅D))А˅(С˅D)=

= B̅ ˅ C̅
 D̅˅Ā˅С˅D= B̅ ˅
C̅ ˅D̅ ˅ Ā ˅ С ˅ D=1

 Полученная единица
означает, что мы доказали истинность умозаключения.

 б) Проверим истинность
умозаключения с помощью метода резолюций и докажем общезначимость формулы. Для
этого воспользуемся алгоритмом: 1) Сформулируем отрицание заключения: C˅ D .

2) Приведем все посылки
и отрицание заключения к КНФ:

((А→(В˄(С˅D)))˄А)˄А)˄C̅ ˅ D̅=(Ā˅(В˄(С˅D)))˄А˄( C̅ ˄D̅)=В˄(С˅D)˄А˄( C̅˄
D̅).

3) Составим множество K
из всех посылки и отрицание заключения:

K = { А,В , С˅D, C̅, D̅
} .

 4) Произведем анализ
всех возможных пар множества K по методу резолюций. Для этого объединяем в пары
дизъюнкты, содержащие контрарные литеры, используя логическую операцию
дизъюнкция. При этом получаем новый дизъюнкт, который называют «резольвента»: C
˅D ˅ D̅  .
Исключив контрарные литеры, получим резольвенту: C˅ D˅ D̅= C  .

5) Включим полученную
резольвенту во множество К:

K ={А,В , С, C̅
}. Перейдем к пункту 4.

 6) Т.к. множество K
содержит контрарные литеры, то их объединение в дизъюнкцию даст пустую
резольвенту, т.е. умозаключение C˅ D– истинно.

Задание 4.15.

Решите задачи, установив, справедливы ли проведенные рассуждения.

а) (3.32.)

Я пойду или в кино на новую кинокомедию (А),

 или на занятия по математической логике (В).

Если я пойду в кино на новую кинокомедию, то я от всей души посмеюсь
(C). Если я пойду на занятия по математической логике, то испытаю большое
удовольствие от следования по путям логических рассуждений (D). Следовательно,
или я от всей души посмеюсь, или испытаю большое удовольствие от следования по
путям логических рассуждений. Справедливо ли проведенное рассуждение?

Решение:

Учитывая символические обозначения высказываний, приведенные в условии,
запишем посылки нашего рассуждения: A Ú B, A ® С, B ® D. Покажем,
что для формул алгебры высказываний имеет место следующее логическое
следование: X ˅ Y,  X→ Z,  Y →W |= Z ˅W   , где X, Y, Z, W — пропозициональные
переменные.

В самом деле,
предположим, что это следование неверно, т.е. найдутся такие конкретные
высказывания А1, А2, А3, А4, что  l ( А1 ˅А2 ) = 1,  

l(А1 → А2 )=1,  l (А2 →А4 ) = 1, но  l ( A3  Ú A4
) = 0.

Тогда из последнего равенства следует, что  l (A3 ) =0   и   l(A4  ) = 0 .

 Далее, из l(A1  ® A3 ) = 1  и    l (A3) = 0  следует,
что l(A1 ) = 0 , а из

l(A2 ® A4 ) = 0  следует,
что   l(A2 ) = 0 . Тогда l(A1 Ú A2
) = l(A1
) Ú l(A2
) =

=0 Ú 0 = 0, что
противоречит предположению  l ( А1˅А2)
= 1 .

Таким образом,
проведенное в данной задаче рассуждение справедливо. К такому выводу можно
прийти, если в доказанном логическом следствии выполнить подстановку: X=A, Y=
В, Z= C, W= D.

Б) 3.35. Если я пойду завтра на первое занятие (А), то
должен буду рано встать (В), а если я пойду вечером на дискотеку (C), то лягу
спать поздно (D). Если я лягу спать поздно и встану рано, то буду вынужден
довольствоваться пятью часами сна. Следует ли отсюда, что я должен или
пропустить завтра занятие, или не ходить вечером на дискотеку

Решение:

Посылки запишем в символическом виде: (A ® B) Ù (С ® D),(D Ù B) ® E,ØE .
Необходимо выяснить, вытекает ли отсюда утверждение ØA Ú ØC . Рассмотрим логический способ получения вывода.

Предположим, что высказывание ØA Ú ØC  ложно, в
то время как все посылки истинны. Тогда l(ØA Ú ØC) = 0 , т. е. l(A) = 1 и l(C) = 1, в то время как l((A ® B) Ù (C ® D)) = l((D Ù B) ® E) = l(ØE) = 1. Из этих условий заключаем, что l(E) = 0, а l(D Ù B) = 0. Следовательно, l(D) = 0 или l(B) = 0 . Если l(D) = 0, то  l(C ® D) = l(C) ® l(D) =1® 0 = 0 и  l((A ® B) Ù (C ® D)) = 0, что
противоречит предположению.

 Если же l(B) = 0 , то аналогично l(A ® B) = 0 и l((A ® B) Ù (С ® D)) = 0 , что
снова противоречит предположению. Следовательно, не  может быть ложно
высказывание ØA Ú ØC , если все данные посылки истинны. Значит, вывод ØA Ú ØC верен.

 в) 3.36. Если будет холодно (А), то я надену теплое
пальто (В), если рукав будет починен (C). Завтра будет холодно, а рукав не
будет починен. Следует ли отсюда, что я не надену теплое пальто?

Решение.

 Посылки нашего
рассуждения символически записываются следующим образом: A ® (N̅→В), А˄ ¬С . Спрашивается: следует ли отсюда
утверждение ØB? Предположим, что высказывание ØB ложно, в то время как все посылки являются истинными
высказываниями. Тогда l(ØB) = 0, а l(B) =1. Значит,
первая посылка A ® (C ® B) действительно истинна, а вторая будет истинной,
если А истинно, а C ложно. Таким образом, ситуация, когда посылки все истинны,
а высказывание  ØB ложно, вполне возможна. Это означает, что
высказывание  ØB не следует из данных посылок.

г) «Если будет идти
снег, машину трудно будет вести. Если трудно будет вести машину, то я опоздаю,
если не выеду раньше. Идет снег. Вывод: я должен выехать раньше».
Проанализируйте умозаключение и найдите пропущенное высказывание (пропущенную
посылку).

 Решение:

1) Чтобы восстановить в этой цепочке высказываний пропущенное
высказывание, введем обозначения:

 C – идет снег ;

T – трудно вести машину;

 О – опоздаю;

 P – выехать раньше, тогда .

2) Запишем условия задачи с помощью логических операций

(C®T)(T®( P̅ ®O))C |= P. В
этой цепочке высказываний не хватает одной посылки.

3) Используем и здесь метод от противного. Докажем, что пропущена одна
посылка, но при этом возьмем противоположный данному вывод Ṗ . Тогда формула
примет вид (C®T)(T®(  P̅®O))C |= Р

4) Упростим новую формулу:

 (C ® T)(T ® (P̅ ® O))C P̅ = ( C̅  Ú T)( T̅
 Ú (P Ú O))C
P̅ =C P̅T( T̅
Ú P Ú O)) = C P̅TO
Высказывание будет ложным, если будет ложным каждый из множителей, в частности,
должно быть l( P̅)=0
, т.е. λ(P)=1 (выехать раньше). Но вывод будет верным, если действительно
пойдет снег. Поэтому выехать раньше достаточно для неопоздания.

 5) Для того, чтобы из этой цепочки высказываний сделать правильное и
полное умозаключение, возьмем отрицание этого вывода:

 TC P̅O =  T̅ 
 Ú C̅Ú P Ú Ō . Любой член (составляющая) этой дизъюнкции может
быть пропущенной посылкой. Соединим его с условием задачи и рассмотрим
возможные варианты.

а) Пусть дополнительная посылка –  T̅  
 , тогда C®T, T®(  P̅ ®O), C,  T̅. Но посылки C®T, C, Т – противоречивы, значит этот вариант
неудачный:

б) C̅ –
аналогичный вывод.

 в) P – выехал рано, но тогда все остальные посылки излишние, т.к. в
этом случае опоздания не будет.

 г) Ō – в соединении с первыми посылками появление этой посылки
оправдано, т.к. нельзя опаздывать на работу («точность – вежливость королей»).
Заметим, что посылку о том, что «опаздывать на работу нельзя» можно было найти
и интуитивно.

                              Занятие 5.  Исчисление предикатов.

Язык исчисления предикатов. Формальная теория S = (А,F,Р,R) называется
исчислением предикатов ( точнее говоря, исчислением предикатов первого
порядка), если заданы:

1-2. Алфавит, термы и формулы ИП описаны в лекции 2 ( стр.12).

3. Аксиомы:

а) аксиомы исчисления высказываний:

Р1 : ( А →(В→А));
Р2 : (( А → ( В → С )) → (( А → В ) → ( А → С ));

Р3 : (B̅
→ Ā ) → (( B̅  → А )
→ В ));

б) кванторные:

Р4 : →«x А(х) →А(у);

Р3 : А(х) →$у А (у).

4. Правила вывода.

R1 :   modus ponens;

R2 :  
введите квантора общности;

R3 :  
введение квантора существования.

Теоремы ИП. К числу основных равносильностей логики предикатов относят:

Т1⁰.     «x Р(х) <=>
$х Р(х);

Т2⁰.     $х Р(х)
<=> «x Р(х);

Т3⁰.      «x Р(х)
<=> $х Р(х);

Т4⁰.      $х Р(х)  <=> 
«x Р(х);

Т5⁰.      «x ( Р(х) ˄
Q (х)) <=>«x Р(х) ˄ «xQ(х);

Т6⁰      $х (Р (х) ˅
Q (х)) <=> $х Р(х) ˅ $х Q(х).

Для построения отрицания высказываний, содержащих квантор

 .
достаточно заменить его квантором  и
взять отрицание выражения, на которое этот квантор был « навешан».

Для многоместных кванторов так же применяется это правило:
осуществляется последовательный перенос отрицания с кванторного слова на
предложение, стоящее за квантором, а сам квантор заменяют на двойственный.

Например, для формулы    «х «у $z ( R (х,у, z)) построим отрицание:

«x «у $z ( R (х,у, z))
<=> $х ( «у  $z (R ( х,у,z)) <=> $х $у ($z ( R ( х,у,z))

<=> $х $у «z (Ŕ ( х,у,z )).

Так как операции конъюнкции и дизъюнкции двойственны, то для сложных
высказываний, состоящих из простых, разделённых операциями конъюнкции и
дизъюнкции, отрицание строится по следующему правилу. Все кванторы $ заменяют на    «, и наоборот, все связки и ( ˄ )заменяют на или
( ˅)  и наоборот, а затем берут отрицание утверждения.

                        Метод резолюций в логике предикатов.

Метод резолюций есть правило присоединения к рассуждению, в состав
которого входят два утверждения А =>В,  ¬А => С  их следствия –
утверждения В ˅С.

 В логике предикатов для применения метода резолюций необходимо убрать
все кванторы. Для этого существуют два способа:

1) вынос всех кванторов общности за скобки;

2) приведение к скулемовской форме, т.е. исключение всех кванторов
существования.

Отсюда метод резолюций в логике предикатов заключается в следующем:

Задача – доказать общезначимость формулы. Для этого надо:

1) перейти к формуле G = F и взять её отрицание;

2) исключить в G все кванторы существования;

3) вынести за скобки все кванторы общности, предварительно преобразовав
связанные переменные с целью отличия их от свободных переменных и между собой; 
получим G =«x «у….«z      H(
х,у,…z) ;

4) представить H( х,у,…z) в виде КНФ и применить к ней метод резолюций для высказываний.

Справедлив тезис Черча: « Любое математическое утверждение может быть
записано на языке исчисления предикатов, а любое математическое доказательство
можно провести в рамках исчисления предикатов».

Метод резолюций позволяет доказать тождественную истинность формулы
исчисления предикатов с помощью алгоритма.

Пусть А – формула исчисления предикатов. Для доказательства её
истинности достаточно доказать невыполнимость её отрицания ¬А согласно
следующему алгоритму:

1) Найдём для ¬А предварённую форму А1 .

2) Приведём безкванторную часть формулы А1 к КНФ без
одинаковых сомножителей и без повторяющихся элементарных формул в сомножителях.

3) Приведём полученную формулу к скулемовской форме S ( исключив все
кванторы существования), то есть к виду КНФ, в котором все С1 –
различные между собой дизъюнкты, не содержащие равных или противоположных
литералов.

4) В последовательности С1 …, Сr ищем такие
дизъюнкты, из которых после замены некоторых предметных переменных какими-либо
термами получаются дизъюнкты D1 , D2 с противоположными
литералами.

 Задание 5.1.

Проверьте методами логики предикатов справедливость вывода: « Все
металлы ( М) – плавятся (П). Цинк (Ц) – металл. Значит, цинк плавится».

Решение:

Формализация в логике предикатов имеет вид:

«х ( М (х) → П (х)) ˄  «х ( Ц(х) →М(х))|— «х ( Ц(х) → П(х)).

Снятие квантора общности приведёт формулу к виду:

Х ( М (х) → П(х)) ˄ ( Ц (х) → М (х)). Тогда на основании транзитивности
импликации имеем: ( Ц (х) → М(х)), ( М(х) → П (х)) |= Ц (х) → П(х).

Поэтому , вывод  «х ( Ц(х)
→ П(х)) – обобщение по R2 – верен.

Задание 5.2.

Найдите резольвенту дизъюнктов

С1 =Р(х) Q( f(х) ˅R(у,(g ( z))    и      С2 =R
(х,у) ˅ Т(у) ˅Q(х)

Решение:

1) Заменим в С2 предметную переменную  х  на терм f(х), 
получим резольвенту  Р (х) ˅ R (у, (g (z)) ˅ R (f (х),у) ˅ Т (у).

20 Заменим в С1   у на х,   а в С2  у на g(z)  и
получим  ещё одну резольвенту

Р(х) ˅ Q (f (х)) ˅ Т(g (z)) ˅ Q (х).

Задание 5.3. (в)

Докажите, что следующие формулы являются теоремами формализованного
исчисления предикатов, для чего постройте выводы этих формул из аксиомы: в)
(Ǝх) (Ǝу) ( F(х,у)) ↔(Ǝу)( Ǝх) (F(х,у)).

Решение:

в) Укажем последовательность шагов вывода:

(1)  F(и,v)→(Ǝх)(F(х,у))              ( аксиома ( РА2)) ;

(2)  F(и,v)→(Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у))   ( аксиома ( РА2));

(3)  (Ǝv)( F(и,v)) →(Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у))      ( Ǝ – правило : (2));

(4)  ( Ǝи)( Ǝv)( F(и,v)) →(Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у))      ( Ǝ – правило (3)) ;

(5)   (Ǝх) (Ǝу) ( F(х,у)) → (Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у))      ( переименование
переменных);

(6)   (Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у)) →  (Ǝх) (Ǝу) ( F(х,у))     ( доказывается
аналогично (5));

(7)  (Ǝх) (Ǝу) ( F(х,у)) ↔ (Ǝу) ( Ǝх)(F(х,у))     ( правило ˄ -вв: (5),
(6) ).

Задание 5.4.(а)

Докажите, что следующие формулы являются теоремами формализованного
исчисления предикатов, построив их выводы из аксиомы:

а) (Ǝх) ( F(х)) ↔ ¬( «х ) ( ¬F(х)) .

Решение:

а) Вывод состоит из последовательности шагов:

(1)  ( «х ) (
¬F(х)) → F(у)     ( аксиома РА1));

(2)  ¬¬F (у) → ¬  ( «х ) (¬F(х))    (
поучена из (1) по правилу ФИВ: Р→Q | — ¬Q → ¬Р);

(3)  F(у) →¬¬F(у)       ( теорема
ФИВ );

(4)  F9у) →¬ ( «х ) (→F(х))    (
получена из (3), (2) по правилу силлогизма из ФИВ );

(5)  (Ǝх) ( F(х))→¬ ( «х ) (¬F(х))      (
Ǝ – правило : (4));

(6)  (Ǝх) ( F(х))→¬ ( «х ) (¬F(х))      ( «х ) (¬F(х))      (
переименование : (5));

(7)  F(у) → (Ǝх) (
F(х))                     ( аксиома (РА2));

(8)  ¬ (Ǝх) ( F(х)) → ¬F(у)       
( получена из (7) по правилу контрапозиции из ФИВ);

(9)   ¬ (Ǝх) ( F(х)) →  («у ) (¬F(у))     (» — правило (8));

(10) ¬ (Ǝх) ( F(х)) →  («х ) (¬F(х))     (
переименование : (9));

(11)  ¬ («х ) (¬F(х)) → ¬¬
(Ǝх) ( F(х))  ( получена из (10) по правилу контрапозиции);

(12) ¬¬ (Ǝх) ( F(х))  → (Ǝх) (
F(х))   ( теорема ФИВ : ¬¬Р→Р);

(13) ¬  («х ) (¬F(х))  → (Ǝх)
( F(х))    ( получена из (11), (12) по правилу ФИВ силлогизма);

(14) (Ǝх) ( F(х)) ↔¬  («х ) (¬F(х))   (
правило ˄ -вв: (6), (13)).

Задание 5.5.

Докажите, что в ФИВ справедливы следующие выводимости, построив выводы
формул из соответствующих гипотез:

к) («х ) (F(х) ↔
G (х)) | — («х ) (F(х))
↔ («х ) (G
(х)).

Решение: к)

Вывод имеет следующий вид:

(1)   («х ) (F (х) ↔ G
(х))       ( гипотеза);

(2)   F(у) ↔ G (у)     ( правило
УКО: (1)) ;

(3)   F(у) → G (у)      ( правило ˄
-уд: (2));

(4)   G (у) → F (у)     ( правило ˄ — уд : (2))
;

(5)   («х ) (F(х)) → F
(у)      ( аксиома ( РА1));

(6)   («х ) (F(х)) → G
(у)     9 правило силлогизма: (5),(3));

(7)   («х ) (F(х)) →(«у ) (G (у))    (»  —
правило (6));

(8)   («х ) (F(х))
→(«х ) (G
(х))    (  переименование
: (7));

(9)   («х ) (G (х)) →
G(у)        ( аксиома (РА1));

(10)  («х ) (G (х))
→ F(у)         ( правило силлогизма : (6),(4) ;

(11)   («х ) (G (х))
→(«у ) (F
(у))     (»
 правило (10);

(12)  («х ) (G (х))
→(«х ) (F
(х))      ( переименование : (11));

(13)  ((«х ) (F (х)) →(«х ) (G (х)) → [((«х ) (G (х)) → («х ) (F (х)) ) →

→((«х ) (F (х)) ↔ ((«х ) (G (х))
)]        ( теорема ФИВ: А →(В→(А˄В)) );

(14)  ((«х ) (G (х)) →(«х ) (F (х))
) →((«х ) (F (х))
↔ («х ) (G (х))
)   ( МР: (8),(13));

(15)   («х ) (F (х))
↔ ((«х ) (G
(х))       ( МР: (12), (14).

Задание 5.6.

Если Г,F(х) |-G, то Г, ( Ǝх) ( F(х)) |-G при условии, что  х  не входит
свободно ни в формулу G, ни в одну формулу Г ( правило УКС – удаления квантора
существования).

Решение:

Укажем соответствующий вывод:

(1)  Г,F(х) |-G    ( условие);

(2)   Г |- F(х) → G       ( теорема о дедукции (1));

(3)   F(х) → G |- ( Ǝх) ( F(х)) →G     ( Ǝ- правило);

(4)   Г |- ( Ǝх) ( F(х)) →G     ( свойство выводимости: (2),(3)) ;

(5)   Г, ( Ǝх) ( F(х)) |- ( Ǝх) ( F(х))  →G     ( свойство выводимости
: (4));

(6)   Г, ( Ǝх) ( F(х)) |- ( Ǝх) ( F(х))      ( очевидно);

(7)   ( Ǝх) ( F(х)) , ( Ǝх) ( F(х)) →G|-G     ( правило МР);

(8)   Г, ( Ǝх) ( F(х)) |-G       ( свойство выводимости : (5), (6),
(7)).

Задание 5.7. (11.12).

Используя теорему о дедукции, докажите, что в ФИП справедлива теорема :

( Ǝх) ( F(х) v G (х)) ↔ (( Ǝх) ( F(х) v ( Ǝ(х) ( G (х)).

Решение.

Докажем сначала, что ( Ǝх) ( F(х) v G (х)) |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝ(х) (
G (х)):

(1)  (F(у) |- ( Ǝх) ( F(х))        ( правило ВКС);

(2)   ( Ǝх) ( F(х))  |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))  ( правило
v-вв);

(3)   F(у) |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))    ( получена из 91),(2));

(4)   G(у) |- ( Ǝх) ( G (х))    ( правило ВКС );

(5)   ( Ǝх) ( G (х))  |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))     ( правило
v-вв);

(6)   G (у)  |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))     ( получаем из (4),
(5));

(7)    F(у) v G (у) |- ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))      ( правило
v-уд: (3),(6);

(8)   ( Ǝх) ( F(х) v G (х))  |-  ( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝх) ( G (х))       (
УКС: (7));

Следовательно по теореме о дедукции:

|- ( Ǝх) ( F(х) v ( G (х)) → (( Ǝх) ( F(х) v ( Ǝх) ( G (х)) ).

Теперь докажем, что   

(Ǝх) (F(х))  v  (Ǝх) (G(х)) |- (Ǝх) (F(х) v (G(х)):

 (1)    F(у) |-F(у) v G(у)     ( правило v-вв);

(2)     F(у)  v G(у)  |- ( Ǝх) ( F(х) v ( G (х))        ( правило ВКС);

(3)     F(у)  |- ( Ǝх) ( F(х) v ( G (х))        ( получена из (1), (2)
);

(4)     G(у)  |-  F(у) v ( G (у))             ( правило  v-вв);

(5)     G(у)  |- ( Ǝх) ( F(х) v ( G (х))       ( получена из (4), 
(2));

(6)     (Ǝх) (F(х))  |- (Ǝх) (F(х) v G(х))      ( правило УКС: (3));

(7)     (Ǝх) (G(х)) |- (Ǝх) (F(х) v (G(х))      ( правило УКС:  (5));

(8)     (Ǝх) (F(х))  v  (Ǝх) (G(х)) |- (Ǝх) (F(х) v G(х))    ( правило
v-уд: (6), (7)).

Следовательно,  по теореме о дедукции:

|- (( Ǝх) ( F(х)) v ( Ǝ х) ( G(х))) → ( Ǝх) ( F(х) v G (х)) .

 Из теорем (*)   и (**)  по правилу ˄ -вв  получаем требуемую теорему.

                        Раздел 3. Элементы теории алгоритмов.

Занятие № 6. Формализация
понятия алгоритма. Рекурсивные функции.

Машина Тьюринга

1. Рекурсивные и вычислимые
функции.

Рекурсией называется процесс последовательного
вычисления значений некоторой функции.

Пусть требуется определить
значение некоторой функции f(n), где n ϵ N, чаще всего при n ≥0.
Рекурсивное задание функции состоит из двух этапов.

1) Функция T(n) задается непосредственно в виде числовых
значений для некоторого множества начальных значений n:  1≤
n ≤m.

2) Задается метод или формула,
которые позволяют, зная все значения функции f(n) при  n≤k (k ≥m), вычислить ее значения при n=k+1, т.е. найти f(k+1). Таким образом получают рекуррентное
соотношение, описывающее рекурсивно заданную функцию.

Обычно эти два этапа записывают в
виде рекуррентного соотношения с помощью фигурной скобки

 Простейшие ( базовые) рекурсивные функции – это три
вычислимые функции вида:

а) ноль-функция: О(x)=О,   ; «х ϵ N;

б) функция следования (функция Пеано) или S:
S(x)= x+1, или х’=х +1 ,  «х ϵ N,

 которая означает переход к
следующему элементу заданного множества;

в) функция тождества, проектирующая функция или функция
выделения аргумента ⌡nm : ⌡nm      
(х1 …, хn ) = хm  ,     1 ≤ m ≤ n

Операция получения новой
функции по имеющимся функциям.

а) Оператор суперпозиции (подстановки). В основе этого
оператора лежит способ вычисления, состоящий в том, что если известен способ
вычисления  

f(х1 …,хm
)   и   g (х1 …. хn )         (функций, зависящих от
своих наборов аргументов), то подстановка каждого набора значений   

 g1 (х1 …. хn
) …   gm (х1 …. хn )      дает способ
вычисления h=f(g(x)) как функции от  х1 …. хn .

б) Оператор примитивной рекурсии. Операция получения новой функции из

имеющихся двух функций через рекуррентную формулу   f(n+1)=h(n,f(n)) основана на приеме вычисления функции
натурального аргумента   f(n+1) по известному
значению f(n).

Пусть заданы некоторые числовые
частичные функции: n-местная функция

g  и  (n+2)- местная функция h.
Тогда (n+1)- местная частичная функция  f «конструируется» из функций h и g с помощью оператора
примитивной рекурсии f=R(g,h)по схеме:

f(x1, x2,…,xn, y)=  f(x1, x2,…,xn, k-1));

и называется примитивной
рекурсией.

Примитивно рекурсивными называются функции, полученные из трех базовых
функций при помощи двух операций – суперпозиции и примитивной рекурсии.

в) Оператор минимизации.  Операция построения новой функции µ (x) , зависящей от  n  переменных, по известной  f(x1, x2,…,xn,
y)  согласно правилу

 µ (х) =min      
называется минимизацией

             уϵN

Функции, полученные из трех
базовых функций при помощи применения конечного числа трех операций
– суперпозиции, примитивной
рекурсии и минимизации – называются частично рекурсивными.

Если частично рекурсивная функция
определена всюду, то ее называют

общерекурсивной. Так, примитивно рекурсивная функция является общерекурсивной.

Всякая примитивно рекурсивная функция является вычислимой.

Задание 6.1.

Пусть необходимо решить уравнение
0,8x = 3 с помощью компьютера,

выполняющего все действия, кроме
деления. Найдем алгоритм, позволяющий такому компьютеру решить такое и ему
подобные уравнения. Т.е. покажем, что данная задача

является «вычислимой» или
«разрешимой» в предложенной модели вычислений.

Решение:

1) Представим заданное уравнение в
виде x = 0,2x + 3.

2) Зададим значение x1=1
и рассмотрим последовательность значений хn,

определяемых соотношением:

Получили рекурсивно заданную
последовательность, в которой каждое последующее значение определяется через
предыдущее.

3) Обозначим через rn  модуль разности |хn+1 – хn|= rn
. Тогда если

хn+1  = 0.2 хn  +3  
 и  хn +2 =0,2 хn+1  +3,  то    хn +2 – хn+1   = 0,2 (хn +2 – хn+1
).

4) Отсюда rn+1= 0,2∙ rn.  Можно
доказать , что эта последовательность ограниченна и имеет
предел.

5) Пусть   z = limn→∞ хn
. Тогда     limn→∞ хn+1 = limn→∞ ( 0,2хn
+3).

 Отсюда  z =
0,2z+3, т.е. значение предела является корнем заданного
уравнения.

Так как  мы смогли найти корень
этого уравнения без операции деления, то наш компьютер сможет решать подобные
уравнения с помощью такого алгоритма.

То есть действительно данная
задача является «вычислимой» в предложенной модели вычислений. Полученный метод
решения уравнения основан на понятии рекурсии (от лат. recurro – возвращаюсь).

Задание 6.2.

Найдите функции g и h в рекурсивной формуле f(x+1)=h(x,f(x)) для

одноместной функции f(x)=sin πx.

Решение: Алгоритм решения:

1) Найдем функцию g(x), подставив в функцию f(x) значение x=0.

Имеем g(x)= f(0) = sin π 0 = 0.

2) Подставим в функцию f(x) вместо x значение
x+1.

Имеем: f(x+1)= sin π(x+1)= sin (πx+π)= – sin πx.

3) Выразим функцию f(x+1) через f(x) и x: f(x+1)= – sin πx= – f(x).

4) Найдем функцию h(x,y) из формулы f(x+1)= h(x, y), заменив f(x) на y, а затем x на y: h(x,y)= –y.

Задание 6.3.

Имеется машина Тьюринга с внешним алфавитом  А { а0,
1}, алфавитом

внутренних состояний   Q = {g0  g1}  и функциональной схемой (программой).

А                                        
Q

                     g0

                    g1

                  а0

                 g0
1R

                   1

                  g2
а0 L

                 g1
1R

В столбце g0  ничего не написано, потому что g0 − заключительное состояние
машины, то есть такое состояние, оказавшись в котором машина останавливается.

Функциональную схему или программу
кратко можно записать в виде

последовательности из двух команд:  g1 а0 → g0
1 ,     g1 1 → g1 1R    Определите, в какое
слово

перерабатывает машина каждое из
следующих слов, если она находится в начальном состоянии   g1  и обозревает указанную ячейку:

а)    1а0 11а0
а0 11    (обозревается ячейка 4, считая слева);

б)    11а0 111а0
1      (обозревается ячейка 2);

в)    1а0 а0
111          (обозревается ячейка 3);

г)     1111а0
11          (обозревается ячейка 4);

д)    11а0 1111        
 (обозревается ячейка 3);

е)    1111111             (обозревается
ячейка 4);

ж)   11111                  (обозревается
ячейка 5);

з)   111…1           (k единиц, обозревается k-я ячейка).

Изобразите схематически
последовательность конфигураций, возникающих на ленте на каждом такте работы
машины.

Решение.

а) Изобразим схематически
начальную конфигурацию (начальное

положение машины):

                                                                      
g1

    1

   а0

    1

    1

   а0

    а0

     1

    1

Схема означает, что машина
находится в состоянии  g1  и обозревает ячейку,
в которой записана буква 1, в соседней слева ячейке записана та же буква, а в
соседней справа ячейке записана буква а0    (то есть согласно нашему
соглашению ничего не записано) и т.д. Ничего не записано и во всех непоказанных
ячейках ленты.

На первом такте работы согласно
команде   g1 1 → g1 1R  машина остается в прежнем состоянии 1, в обозреваемую ячейку вписывает
букву 1 (то есть фактически оставляет уже вписанную в эту ячейку букву 1
неизменной) и переходит к обозрению следующей правой

ячейки (т.е. ячейки 5).

Изобразим схематически положение,
в котором оказалась машина:

                                                               
g1

    1

    а0

    1

    1

    а0

   а0

    1

    1

На втором такте работы согласно
команде   g1 а0 → g0
1    машина вписывает в

обозреваемую ячейку 5 букву 1,
продолжает обозревать ту же ячейку и переходит в состояние g0   , т о есть останавливается. Создавшаяся
конфигурация имеет вид:

                                                          
g0

    1

    а0

     1

     1

    1

     а0

     1

Таким образом, из данного
начального положения слово  1а0 11а0 а0 11     

перерабатывается машиной в слово  1а0
111а0 11 .  

                 Математические
символы и обозначения

ᾱ, ¬а  — отрицание а

∑ —       суммирование,

Х-         декартово произведение,

«—        квантер
общности,

Ǝ-       
квантер существования,

Е-       
универсальное множество,

ϵ-        
принадлежность элемента множеству,

˄
—       конъюнкция,

˅-     
       дизъюнкция,

→          
импликация

↔ ,  ≡ —   эквиваленция,

ð  —   логическое следование

<=>   —      равносильность
высказывательных форм,

|=    —       непосредственная
выводимость,

|-     —       выводимость

N’ –         множество натуральных
чисел, дополненное 0,

Вn –         n-ая
декартова степень множества В,

Ø  —          пустое множество,

АВ –       разность множеств А и
В,

  —     
кортеж,
 □   —         множество натуральных чисел.

                          
Математические сокращения.

ДНФ –     дизъюнктивная нормальная
форма.

КНФ –      конъюнктивная
нормальная форма.

СДНФ –   совершенная дизъюнктивная
нормальная форма.

СКНФ –   совершенная конъюнктивная
нормальная форма.

                                        Вопросы к
экзамену.

1.  Предмет дискретной математики и объекты  изучения.
Высказывания. Логические парадоксы.

2.  Булевы функции. Функции от
одной переменной. Некоторые элементарные функции от двух переменных. Число
булевых функций от

 n- переменных.

3.  Свойства элементарных функций,
правила Де-Моргана, поглощения, слияния.

4.  Принцип двойственности ( доказательство).
Формальное правило получения двойственных функций.

5.  Теорема о разложении функций
по переменным. Следствие о разложении по 1 переменной.

6.  Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма.

7.  Совершенная конъюнктивная
нормальная форма.

8.  Теорема о разложении функций
по переменным. Функционально полные системы.

9.  Теорема Жегалкина. Полиномы
Жегалкина. Метод Неопределённых коэффициентов.

10.  Диаграммы Эйлера-Венна.
Тавтология, противоречие.

11.  Методы доказательств в
алгебре логики.

12.  Элементы комбинаторики.
Размещения, перестановки, сочетания.

13.  Определение графа.
Представление графа в виде матрицы смежности и инцидентности.

14.  Эйлеров граф. Критерий
существования Эйлерова цикла  (доказательство).

15.  Алгоритм  Дейкстры нахождения
кратчайшего пути в графе.

16.  Задача о многополюсной
кратчайшей цепи. Алгоритм Флойда.

17.  Задача о максимальном потоке.
Алгоритм Форда- Фалкерсона.

18.  Метод ветвей и границ в
задаче о коммивояжере.

19.  Эвристические алгоритмы.  NP –
полнота.

20.  Метод динамического
программирования в задаче « Разбиение».

21.  Деревья. Теорема об остове
минимального веса. Алгоритм Краскала.

22.  Деревья. Теорема об остове
минимального веса. Алгоритм Прима.

23.  Гамильтоновы циклы. Метод
латинской композиции.

24.  Понятие алгоритма. Словарные
функции. Машина Тьюринга.

25.  Машина с неограниченным
числом регистров. Определение, описание работы.

26.  Вычислимые функции. Основные
функции, доказательство их вычислимости. Порождение вычислимых функций,
операции соединения, подстановки, уравнения примитивной рекурсии.

27.  Система обработки символов
Поста.

28.  Нормальные алгоритмы Маркова.

29.  Понятие об алгоритмической
неразрешимости. Проблема самоприменимости.

30.  Проблема остановки машины
Тьюринга. Проблема пустой ленты.

31.  Теория кодирования. Теорема о
разделимости префиксной  схемы.

32.  Неравенство Макмиллана.

33.  Оптимальное кодирование Хаффмана. Цена
кодирования.

                                           
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н.
Конспект лекций по дискретной математике. – М. Айрис-пресс, 2016. – 176с.

2. Ерусалимский Я.М. Дискретная
математика: теория, задачи, приложения. – 5-е изд. М.:Вузовская книга, 2012. –
268с.: ил.

3. Игошин В.И. Задачи и упражнения
по математической логике и теории алгоритмов.:учеб. пособие для студ. высш.
учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2017. – 304с.

4. Карпов Ю.Г. Теория автоматов. –
СПб.: Питер, 2012. – 224 с.: ил.

5. Круглов В.В., Дли М.И.
Интеллектуальные информационные системы. – М.:

Физматлит, 2012. – 256с.

6. Куликов.В.В. Дискретная
математика: учебное пособие. – М.: РИОР, 2017. – 174 с.

7.Лавров И.А. Математическая
логика. – М: Издательский центр Академия, 2016. – 240 с.

8. Москинова Г.И. Дискретная
математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях.: учебное
пособие. – М.: Логос, 2012. – 240с.,ил.

9. Соболева Т.С., Чечкин А.В.
Дискретная математика. – М.: Издательский центр Академия, 2016. – 256 с.         

10. Просветов Г.И. Дискретная математика:
задачи и решения: учебное пособие. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. –
222с.

11. Спирина М.С. Дискретная
математика. Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий по
математике для студентов специальности 351400. – Тольятти, ТГУС, 2016. – 88 с.

12. Судоплатов С.В., Овчинникова
Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебник. – М.: ИНФРА-М;
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 224с.

13. Судоплатов С.В., Овчинникова
Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2013. – 280с.

14. Спирина М.С. Конспект лекций
по курсу «Математическая логика и теория алгоритмов» для студентов
специальности  «Информатика и вычислительная техника».

Источник

Здравствуйте на странице расположен курс лекций по дискретной математике с примерами решения заданий и выполнением задач. В лекциях рассматриваются все темы по предмету «Дискретная математика«: теория множеств (множества, отношения, функции), комбинаторика и общая алгебра (алгебраические системы). Для краткой записи утверждений используются следующие обозначения символов:

Для любых предложений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что предложения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильны по определению (от англ. definition — определение).

Содержание:

Множества

Определение и способы задания множеств

Множество — это любое собрание вполне определенных и различимых объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это описание множества принадлежит основателю теории множеств Георгу Кантору (1845 — 1918). 

Объекты,  из  которых  состоит  множество,  называются  его  эле- ментами. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, X, Y, Z, . . .) , а элементы множеств — строчными (x, y, z, a, b, c, . . .) . Зафиксируем следующие обозначения для наиболее важных числовых множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, R — множество действительных чисел.

Множество  A  называется подмножеством множества  B  (обозначается —  A ⊆ B , знак  ⊆ называется знаком включения),если каждый элемент множества A является элементом множества B .

Множества  A  и  B  равны ( A = B ), если одновременно имеют место включения A ⊆ B и B ⊆ A . Принадлежность элемента x  множеству A обозначается x ∈ A , непринадлежность элемента   x   множеству A  обозначается x ∈/ A .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅ .

Множество, включающее элементы всех рассматриваемых в конкретной ситуации множеств, называется универсальным для данной ситуации и обозначается U . Для любого множества имеют место включения: ∅ ⊆ A ⊆ U .

Рассмотрим способы задания множеств. Множество может быть задано:

  • а) описанием характеристического свойства его элементов,
  • б) при помощи списка или перечисления элементов множества,
  • в) при помощи порождающей процедуры и т. д.

При задании множества A при помощи его характеристического свойства P (x) пишут A = {x|  P (x)}.

При помощи списка могут задаваться только конечные множества, т. е. множества, состоящие из конечного числа элементов.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или других объектов. Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств при помощи операций, которые рассмотрим ниже.

Операции над множествами и их свойства

Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B , состоящее  из  тех  и  только  тех  элементов,  которые  принадлежат хотя бы одному из множеств A или B :

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B , состоящее  из  тех  и  только  тех  элементов,  которые  принадлежат одновременно множествам A и B :

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Разностью множеств A и B называется множество A B тех и только тех элементов из  A , которые не принадлежат множеству B :

 A B = {x | x ∈ A  и  x ∈/ B}.

Дополнение  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  определяется равенством  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — универсальное множество.

Симметричной разностью множеств  A  и  B  называется множество: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти операции можно наглядно проиллюстрировать следующим образом:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведенные здесь рисунки называются диаграммами Эйлера-Венна.

Операции над множествами обладают следующими свойствами:

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= A (закон двойного отрицания);
  2. A ∪ B = B ∪ A (коммутативность объединения);
  3. A ∩ B = B ∩ A (коммутативность пересечения);
  4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (ассоциативность объединения);
  5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (ассоциативность пересечения);
  6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1-й дистрибутивный закон);
  7. A ∪ (B ∩ C)  = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (2-й дистрибутивный закон);
  8.  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  9. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  10. A ∪ (A ∩ B) = A (закон поглощения);
  11. A ∩ (A ∪ B) = A (закон поглощения);
  12. A ∪ ø = A ;
  13. A ∩ ø = ø;
  14. A ∪ U = U ;
  15. A ∩ U = A .

Мощность конечного множества

Число элементов конечного множества A называется его мощностью и обозначается |A| .

Говорят,  что  между  множествами  A   и  B   установлено  взаимооднозначное  соответствие,  если  задан  закон,  по  которому каждому элементу множества  A  соответствует один и тот же элемент множества B .

Между конечным непустым множеством A мощности n и отрезком натурального ряда {1, 2, . . . , n} существует взаимооднозначное соответствие.

Приведем очевидные свойства мощности конечных множеств:

1) | ø | = 0 ; 2) из A ⊆ B следует |A| ≤ |B| , если при этом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то |A| <  |B| , следует отметить, что обратное утверждение не верно; 3) |AOB| ≤ |A| + |B| ; 4) |A ∩ B| ≤ min{|A|, |B|}; 5) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ; 6) |A B| ≤ |A| ; 7) |AOB| = |A ∪ B| − |A ∩ B| .

Прямое произведение двух и более множеств.

Прямым произведением двух множеств A = {a1, . . . , am}  и  B = {b1, . . . , bn} называется множество A × B упорядоченных пар вида (ai, bj) , где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямым произведением k множеств A1 , A2 , . . . , Ak называется множество A1 × A2 × . . . × Ak упорядоченных наборов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  длины k , где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти определения кратко можно записать так:   A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема о мощности прямого произведения. Мощность прямого произведения конечного числа конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств

|A1 × A2 × . . . × Ak| = |A1| · |A2| · . . . · |Ak|, k ∈ N.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай двух множеств и докажем формулу |A × B| = |A| · |B| .

Пусть A = {a1, . . . , am} и B = {b1, . . . , bn}, тогда элементы A × B множества можно раcположить в виде следующей таблице:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая содержит m строк и n столбцов. Поэтому число записанных в таблице упорядоченных пар равно mn = |A | * | B |.

Для доказательства теоремы в случае произвольного k воспользуемся методом математической индукции. При k = 1 теорема, очевидно, имеет место. Предположим, что она выполняется для случая (k − 1) -го множества и докажем ее для случая k множеств. С этой целью установим взаимооднозначное соответствие между множествами:

A1 × A2 × . . . × Ak  и  (A1 × A2 × . . . × Ak−1) × Ak

по правилу: элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поставим в соответствие элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот. В силу взаимооднозначного соответствия между множествами

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

их мощности совпадают; используя утверждение теоремы для случая двух множеств, получаем:

|A1×A2×. . .×Ak| = |(A1×A2×. . .×Ak−1)×Ak| = |A1×A2×. . .×Ak−1||Ak|.

В силу предположения индукции |A1 × . . . × Ak−1| = |A1| . . . |Ak−1| , что завершает доказательство теоремы.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется  k -ой  степенью  множества  A . 

Из  теоремы  о  мощности  прямого  произведения  следует: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть E = {0, 1}, тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. мощность множества всех наборов длины n  из нулей и единиц равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Булеан множества

Булеаном  Б(A) множества A называется множество всех подмножеств этого множества: Б(A) = {X|X ⊆ A}, если  A = {a1, . . . , an}, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема о мощности булеана. Пусть A — конечное множество мощности n , тогда мощность его булеана равна 2n : |Б(A)| = 2n .

Доказательство. Установим соответствие между множествами Б(A) и En по правилу: подмножеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поставим в соответствие набор длины n  из нулей и единиц, в котором на местах с номерами i1, . . . , is стоят единицы, а на остальных местах нули. Это соответствие является взаимооднозначным, поэтому |Б(A)| = |En| = 2n . Теорема доказана.

В качестве примера приведенного в доказательстве теоремы соответствия рассмотрим случай n = 3 . Пусть A = {α, β, γ}, тогда

Б(A) = {ø, {α}, {β}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}};

E3 = (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) .

Соответствие между E3 и Б(A) может быть установлено 8! различными способами (оно равно числу перестановок из элементов множества E3 ). В данном случае элементы множества E3 записаны так, что эле- менту, стоящему на k -ом месте, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Б(A) соответствует k -ый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует (0, 0, 1) , {α, β} — (1, 1, 0) и т. д.

Отметим следующее свойство булеана: 

Б(A ∪ B) = {A1 ∪ B1|A1 ∈ Б(A), B1 ∈ Б(B)}.

Действительно, пусть произвольное множество C ∈ Б(A ∪ B) , т. е. C ⊆ A ∪ B . Обозначим через A1 = C ∩ A , B1 = C ∩ B . Тогда A1 ⊆ A , B1 ⊆ B  и C = A1 ∪ B1 , где A1 ∈ Б(A) , B1 ∈ Б(B) . Докажем обратное включение. Если A1 ∈ Б(A) , B1 ∈ Б(B) , то  A1 ⊆ A ,  B1 ⊆ B . Тогда  A1 ∪ B1 ⊆ A ∪ B ⇒ A1 ∪ B1 ∈ Б(A ∪ B) .

Рекомендации к решению задач:

Предположим, что все встречающиеся в задачах этого и следующего параграфов множества являются подмножествами некоторого универсального множества U . При решении предложенных для самостоятельной работы задач ( § 7 ) полезно использовать следующие факты.

1) Изображение множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна, при этом множества A , B , C  располагаются в в общем положении , когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №1

Проверим равенство множеств (A∪B)∩C и A∪(B∩C) .

Для этого изобразим их с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис.6 штриховкой обозначено множество (A ∪ B) ∩ C , а на рис.7 — A ∪ (B ∩ C) . Очевидно, что это разные множества.

2) Определения и основные свойства операций над множествами, а также доказанные свойства этих операций.

Пример №2

Докажем второй дистрибутивный закон,

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

используя определение операций объединения и пересечения для множеств и второй дистрибутивный закон для высказываний. При этом и в дальнейшем используется символ . . . ⇐⇒ . . . , который означает эквивалентность утверждений, стоящих слева и справа от него.

Решение. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A или x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒

⇐⇒ x ∈ A или (x ∈ B и x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A или x ∈ B) и (x ∈ A или x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A∪B) и (x ∈ A∪C) ⇐⇒ x ∈ (A∪B)∩(A∪C).

3) При рассмотрении равенств, содержащих символы операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач полезно выразить последние через дополнение, пересечение и объединение:

 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое из этих равенств непосредственно следует из определения операции   :

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе из равенств (1.1) является следствием первого.  

Пример №3

Докажем равенство  (A B) C = (A C) (B C).

Используем при этом первое из равенств (1.1), закон де Моргана, первый дистрибутивный закон и др.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №4

Докажем равенство множеств

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На первом шаге использовалось второе из равенств (1.1), на следующем шаге использовался закон де Моргана, далее первый дистрибутивный закон для множеств. Выражения в первой и третьей скобках последнего равенства есть пустые множества, поэтому

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №5

Докажем равенство  (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).

Произвольным элементом множества, стоящего справа, является упорядоченная пара (x, y) . Пусть

(x, y) ∈ (A∩B)×(C∩D) ⇐⇒ (x ∈ A∩B) и (y ∈ C∩D) ⇐⇒ (x ∈ A и x ∈ B)

и (y ∈ C и y ∈ D) ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × C) и (x, y) ∈ (B × D) ⇐⇒

⇐⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∩ (B × D).

Бинарные отношения

Определение и способы задания отношений

Подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется n -местным отношением на множестве А.

Говорят, что элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся в отношении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Одноместное отношение это просто подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такие отношения называют свойствами или признаками: свойство четности чисел, признак делимости на 3 и т.д.

Наиболее часто встречающимися являются двуместные или бинарные отношения. Ниже будем рассматривать только бинарные отношения, поэтому для краткости слово «бинарные» будем опускать. Если а и b находятся в отношении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами отношений на множестве вещественных чисел являются отношения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На множестве натуральных чисел рассмотрим отношения: а) иметь один и тот же остаток от деления на « 5 » ; б) иметь общий делитель, отличный от « 1 ». На множестве плоских прямых отметим отношения параллельности, перпендикулярности, симметричности относительно начала координат и др.

Областью определения отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется множество тех х € А, для которых существует у € А такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Областью значений отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется множество тех значений х € А, для которых существует у € А такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим способы задания отношений. Для задания отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, отношение может быть задано списком пар, для которых это отношение выполняется). Отношения на конечном множестве могут быть заданы в виде таблицы (матрицы).

Таблица бинарного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит  m  строк и столько же столбцов, на пересечении i -й строки и j-го столбца находится элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который определяется следующим образом:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так, для бинарных отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таблицы будут иметь следующий вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение также можно задать с помощью рисунка, который называют графом. Каждому элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , на плоскости ставится в соответствие точка, которую также обозначают через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Пара точек Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединяется направленным отрезком или кривой тогда и только тогда, когда пара точек Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для вышезаданного отношения  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач построим граф (см. рис. 8). Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Операции над отношениями

Поскольку отношения на множестве А являются подмножествами множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для них можно определить те же операции, что и для множеств: объединение, пересечение, дополнение, разность. Так отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве натуральных чисел является объединением отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является дополнением отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а отношение равенстваДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является пересечением отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве действительных чисел.

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется обратным к отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведением отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, состоящее из пар (х, у), для которых существует, элемент z € А, такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Транзитивным замыканием отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое определяется следующим образом:Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда существует цепочка из конечного числа элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой для каждой пары соседних элементов выполняется отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком». Оно представляет собой объединение отношений «быть сыном», «быть внуком» , «быть правнуком» и т.д. Транзитивным замыканием «жить в одном городе» является то же отношение.

Свойства отношений

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется, рефлексивным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и антирефлексивным в противоположном случае: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами рефлексивных отношений являются отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на произвольном числовом множестве.

Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, «быть сыном», «быть старше» являются примерами антирефлексивных отношений.

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется, симметричньм, если из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется антисимметричным, если из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношения «жить в одном городе», «иметь общий делитель, отличный от 1» на множестве целых чисел, «быть симметричным относительно оси» на множестве точек плоскости являются примерами симметричных отношений. Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на R, отношение включенияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Б(А) являются антисимметричными.

Таблица (матрица) симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Отношение  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрично тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Действительно, пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что означает симметричность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наоборот, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрично, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , следовательно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теорема доказана.

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется транзитивным, если для любых х, у, z из множества А из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве действительных чисел, отношение параллельности прямых, отношение «быть соседом » также являются транзитивными. Отношение перпендикулярности прямых, отношение «иметь общий делитель, отличный от 1» на множестве натуральных чисел свойством транзитивности не обладают.

Теорема. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — транзитивное отношение, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Из определения транзитивности замыкания следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда существует последовательность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из А таких, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  откуда в силу транзитивности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная пара из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и доказывает утверждение теоремы.

Отношение эквивалентности

Отношение называется отношением эквивалентности и (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивио.

Будем говорить, что имеет место разбиение множества А на классы, если существует система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непустых, попарно не пересекающихся множеств такая, что

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Между совокупностью различных разбиений множества А на классы, и семейством всех отношений эквивалент пост а на этом множестве существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство. Пусть имеет место разбиение (2.1) множества А на классы. Построим отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А но правилу: для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежат одному и тому же классу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; в представлении (2.1). Рефлексивность и симметричность этого отношения очевидны, покажем его транзитивность. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат классу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и одновременно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат классу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто получается, что элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит двум различным классам. Последнее противоречит тому, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, все элементы  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и принадлежат одному классу, откуда следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Мы доказали, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношение эквивалентности.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное отношение эквивалентности на множестве А. Построим разбиение этого множества на классы. С этой целью выберем произвольный элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определим класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не пуст, так как в силу рефлексивности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выберем элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построим класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построив классы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, выбираем элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, назовем представителем класса Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Процесс продолжается до тех пор, пока Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате получим представление Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что оно является разбиением множества А на классы, а именно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предположим, что последнее не верно: существует элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, классы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . В силу симметричности и транзитивности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а поэтому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что противоречит выбору элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теорема доказана.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношение эквивалентности на А и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответствующее ему разбиение множества А на классы, то множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются классами эквивалентности, а семейство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается, символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется фактор-множеством множества А по отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется индексом разбиения.

Фактор-множество множества N по отношению «иметь общий остаток от деления на 5» состоит из пяти счетных классов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение порядка

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве А называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на А называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Говорят, что два элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  из множества А сравнимы по отношению порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множество А, на котором задано отношение порядка (строгого или нестрогого), называется полностью упорядоченным, если любые его два элемента сравнимы, и частично упорядоченным, если это не так.

Пусть множество А упорядочено отношением порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется наибольшим элементом множества А, если для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наибольший элемент множества А обозначают mах А.

Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется, наименьшим элементом множества А, если для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьший элемент множества А обозначают minA.

Из этих определений следует, что наибольший и наименьший элементы упорядоченного множества имеет лишь такое множество, которое упорядочено рефлексивным отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для чисел являются отношениями нестрогого порядка, а отношенияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношениями строгого порядка. Оба отношения полностью упорядочивают множества R и N.

Отношение включения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве всех подмножеств Б(A) некоторого множества А задает нестрогий частичный порядок. Отношение строгого включения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задает строгий частичный порядок.

В качестве А рассмотрим множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач упорядоченных наборов длины n  из нулей и единиц. Введем отношение предшествования: набор Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предшествует набору .Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , записывается как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,• для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Построенное отношение является отношением нестрогого порядка на частично упорядоченном множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рекомендации к решению задач:

При доказательстве равенств и включений для отношений можно пользоваться методикой, разработанной в главе 1, §7 для множеств. При этом следует учитывать, что элементами отношения на множестве А являются упорядоченные пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №6

Докажем справедливость равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №7

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношения на множестве А, тогда из включений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует включение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, имеет место следующая последовательность утверждении:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая завершает доказательство.  

При решении задач на построение отношений с заданными свойствами и на исследование свойств заданных отношений следует иметь в виду, что то или иное свойство имеет место, если его характеристика, например Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае антирефлексивности, должна выполняться для всех элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества А. Отсутствие того или иного свойства можно доказать, указав но крайней мере один элемент или пару элементов из А, для которых характеристика свойства не имеет места.

Пример №8

Пусть на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Это отношение не является рефлексивным, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; оно антирефлексивно: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; не симметрично Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач антисимметрично: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не транзитивно: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №9

Покажем, что отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на R:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (2.2)

является отношением эквивалентности.

Действительно, отношение (2.2.) рефлексивно, так как

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

симметрично:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и транзитивно:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комбинаторика

Настоящая глава состоит из четырех параграфов: «Основные правила комбинаторики », «Понятие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборки », «Размещения, перестановки, сочетания», «Формула включений и исключений». Каждый из этих параграфов содержит основные определения и теоремы по соответствующей тематике. Приводимые здесь подробные доказательства теорем являются также иллюстрацией методики решения теоретических задач разного уровня, помещенных в конце каждого раздела. Для успешного овладения материалом по теме «Комбинаторика» читателю рекомендуется предварительно ознакомиться с главами «Множества» и «Бинарные отношения», результаты которых используются в настоящей главе.

Комбинаторика изучает различные комбинации элементов множества. Все задачи, вопрос в которых начинается со слов «Сколькими способами » или «Сколько», относятся к разделу математики, который называется комбинаторикой.

Итак, комбинаторика — раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из конечного числа заданных элементов.

Основные правила комбинаторики

Основными способами решения комбинаторных задач являются методы, которые мы будем именовать «правило суммы» и «правило произведения ».

Правило суммы. Правило суммы для двух объектов: Пусть объект  а можно выбрать m способами, а объект b  —  n способами, и существует к общих способа выбора объектов а и b. тогда один из объектов  а  или  b  можно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Это правило эквивалентно следующему свойству мощности:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило суммы можно сформулировать для произвольного числа объектов. Для этого достаточно использовать формулу для мощности объединения конечного числа множеств. Для случая трех множеств формула имеет вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило суммы для трех объектов: Пусть объект а  можно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, объект b — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами и объект с — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, и существует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общих способа выбора одного из объектов  а  и  b, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общих способа выбора одного из объектов а и с, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общих способа выбора одного из объектов b и с,  а также известно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общих способа выбора одного из объектов а, b и с, тогда число всех способов выбора одного из объектное а или b или с вычисляется по формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило произведения. Правило произведения для двух объектов: Пусть объект  а  можно выбрать  m способами и после каждого такого выбора объект  b  можно выбрать  n  способами, тогда выбор пары объектов  а  и b в указанном порядке можно осуществить m • n  способами.

Данное правило произведения равносильно утверждению

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило произведения является следствием теоремы о мощности прямого произведения конечного числа конечных множеств.

Правило произведения для случая произвольного числа объектов формулируется следующим образом: Пусть объект  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами,  . . . , Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, причем выбор каждого из последующих объектов не зависит от выбора предыдущих объектов, тогда общее число полученных таким образом упорядоченных наборов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Последнее правило применяется, если требуется выполнить одно за другим одновременно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач действий, на одно из которых наложено ограничение.

Понятие k-выборки

Понятие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборки

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач конечное непустое множество. Возможны два способа выбора Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов из множества А : выбор с возвращением и выбор без возвращения. Опишем их при помощи следующей таблицы.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При реализации описанных в таблице процедур мы получаем комбинацию элементов из множества А вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборкой из  а   элементов.

В случае  «выбора с возвращением» эта комбинация может содержать повторяющиеся, элементы, и называется, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборкой из n элементов с повторениями.

При реализации процедуры «выбор без возвращения» полученная комбинация не содержит повторяющихся элементов и называется r-выборкой из  n  элементов без повторений.

Выборка называется упорядоченной, если существенным является не только состав элементов в ней, но и порядок их выбора.

Две упорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения. В неупорядоченных выборках порядок расположения элементов не существенен, две различные неупорядоченныеДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборки имеют разный состав элементов.

Элементы упорядоченной выборки заключаются в круглые скобки (например (1,2)).

Элементы неупорядоченной выборки без повторений заключаются в фигурные скобки (например {1,2}), а элементы неупорядоченной выборки с повторениями в квадратные скобки (например [1,2]).

Упорядоченные выборки (3,2) и (2,3) считаются различными, хотя и составлены из одних и тех же элементов. Для тех же самых элементов «2» и «3» неупорядоченные выборки {3,2} и {2,3} (или [3,2] и [2,3]) считаются одной и той же.

Рассмотрим множество, которое содержит три элемента А — {1, 2, 3} . Составим из элементов этого множества всевозможные 2 — выборки.

Упорядоченные 2-выборки без повторений: (1,2), (2,1), (1,3), (3, 1), (2,3), (3,2).

Упорядоченные 2-выборки с повторениями: (1,2), (2, 1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3).

Неупорядоченные 2-выборки без повторений: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Неупорядоченные 2-выборки с повторениями: [1,2], [1,3], [2,3 , [1,1], [2,2], [3,3].

В следующих параграфах будут даны формулы для подсчета количества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборок из n элементов.

Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки без повторений

Размещениями из n элементов по к называются упорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборки из n элементов.

Размещениями без повторений из  n  элементов по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются упорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборки из n элементов без повторений. Их число обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Размещениями с повторениями из  n  элементов по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются упорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборки из n элементов с повторениями. Их число обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перестановками из n элементов называются размещения без повторений из  n  элементов по n . Их число обозначается, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема. Имеют место следующие равенства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное множество, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— упорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборка без повторений, составленная из элементов множества. Она представляет собой набор длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число таких наборов равно мощности прямого произведения множеств

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В силу теоремы о мощности прямого произведения имеем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим и разделим последнее выражение на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим первое равенство из (3.1).

Размещения с повторениями из элементов множества А по к представляют собой упорядоченный набор Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором каждый из элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  может быть выбран  n  способами. В силу правила произведения указанный набор может быть выбран  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачспособами, что и доказывает второе из равенств (3.1).

Третье получается из первого при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеорема доказана.

Сочетания с повторениями и без повторений

Сочетаниями из а элементов по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются неупорядоченные k-выборки из n элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются неупорядоченные k -выборки из n элементов без повторений. Их число обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называются неупорядоченные k -выборки из n элементов с повторениями. Их число обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема. Имеют место следующие равенства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (3.2)

Доказательство. Прежде чем доказать равенство для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в общем случае, рассмотрим пример. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда выборкиДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляют собой сочетания без повторений по 2, составленные из элементов множества А. Из каждого сочетания можно получить, производя в нем «перестановку» элементов, размещения без повторений по 2 из элементов множества А. Этот процесс изобразим в виде следующей схемы (см. рис. 13).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании вышеизложенного имеем равенство: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогичная ситуация имеет место в общем случае: чтобы получить все Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размещений, нужно получить всевозможные сочетания из а элементов по к (их число равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ), затем в каждом из сочетаний сделать всевозможные «перестановки». Число перестановок, которые можно получить из одного сочетания длины k, равно Р(k). Очевидно, что из разных сочетаний без повторений не могут получиться одинаковые перестановки. Поэтому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда следует первое из равенств (3.2).

Перейдем к доказательству второго равенства (3.2). Введем обозначения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — множество сочетаний с повторениями из чисел {1,2,…, n)

по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,    множество сочетаний без повторений из натуральных чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Неупорядоченная k-выборка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначно определяется комбинацией из номеров ее элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Положим, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выборка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    произвольная комбинация из  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  так как она не зависит от порядка расположения элементов, то можно считать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Положим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы установили взаимооднозначное соответствие между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда следует, что их мощности совпадают

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема доказана.

Перестановки с повторениями. Подсчет числа беспорядков

Классическая задача комбинаторики о числе разбиений с повторениями формулируется следующим образом: сколькими способами можно разбить n различных предметов на k групп, по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов в первой группе, по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второй группе, …, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — в последней группе?

Такие комбинации называются перестановками с повторениями.

Число различных перестановок из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов первого вида, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов второго вида, …, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-го вида вычисляется по формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, для первой группы можно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющихся в наличии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Для второй группы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оставшихся в наличии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Для третьей группы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оставшихся в наличии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Этот процесс продолжается вплоть до последней группы. Общее число разбиений, которое мы будем обозначать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равно:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, число разбиений обобщает число сочетаний. Действительно, если мы разбиваем а предметов на две группы, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще один вид перестановок  n  предметов — циклические перестановки.

Задача заключается в следующем: рассматриваются  n  предметов, расположенных не в ряд, а по кругу. В этом случае перестановки считаются одинаковыми, если они получаются при переходе друг в друга при вращении, т.е. при циклическом сдвиге. Число таких перестановок из различных предметов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Немаловажной является и задача о «подсчете числа беспорядков» , когда требуется найти число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перестановок из цифр {1,2,…, n} , таких, что никакая цифра не остается на своем месте. Число таких перестановок находится но формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства сочетаний. Бином Ньютона

При помощи формулы (3.2) посредством алгебраических преобразований легко получить следующие свойства сочетаний:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Биномом Ньютона называется равенство

 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем его, пользуясь методом математической индукции. При n = 1 имеем очевидное равенство:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что равенство (3.3) имеет место при  n = k  и, исходя из этого предположения, докажем его для случая n = к + 1:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства (3.3), положив сначала х = а = 1, затем х = {—а) — 1, получим новые свойства сочетаний:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как сочетание без повторений из n элементов по k представляет собой k-элементное подмножество множества мощности n, то величина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна числу различных подмножеств этого множества. В связи с этим из свойства 5) сочетаний получаем теорему о мощности булеана (см. стр. 10).

Общий случай формулы включений и исключений

Пусть имеется N элементов, каждый из которых может обладать или не обладать свойствами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается количество элементов, обладающих свойствами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если необходимо подчеркнуть, что берутся элементы, заведомо не обладающие некоторым свойством, то это свойство пишется с чертой; например, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество элементов, не обладающих свойством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обладающих свойством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача состоит в том, чтобы найти Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество элементов, не обладающих ни одним из свойств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для решения этой задачи в случае трех свойств воспользуемся следующим выражением для мощности объединения множеств А, В и С:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (3.4)

Обозначим через А, В, С множества элементов, обладающих свойствами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На приведенном рисунке множество элементов, изображенное в виде прямоугольника, имеет мощность N. Множество элементов, не обладающих ни одним из свойств (его мощность равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), представлено заштрихованной частью прямоугольника. Исходя из того, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и используя равенство (3.4), получим формулу включений и исключений для случая трех свойств:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. При сделанных ранее предположениях и обозначениях формула включений и исключений для случая  n  свойств имеет, вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Следует отметить, что алгебраическая сумма

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в (3.5) распространена на все сочетания свойств из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по s, причем, знак плюс ставится, если число s учитываемых свойств четно, и знак минус, если это число нечетно.

Доказательство равенства (3.5) будем проводить методом математической индукции но числу а свойств. В случае n — 1 равенство (3.5) приобретает вид: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оно верно, так как каждый элемент либо обладает свойством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо не обладает. Далее пусть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство верно для любого конечного множества элементов, в частности для множества элементов, обладающих свойством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Общее количество этих элементов равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, не обладающих Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач свойством на множестве элементов, обладающих свойством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вычисляется по формуле, которая следует из (3.6):

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждом слагаемом здесь присутствует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Вычтем это равенство из (3.6). В левой части результата получим выражение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а в правой части, сгруппировав слагаемые с одинаковым количеством свойств, получим правую часть равенства (3.5). Теорема доказана.

Частный случай формулы включений и исключений

Предположим, что число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, обладающих свойствами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, не зависит от характера свойств, а зависит от их числа, т.е. пусть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя введенные обозначения, получим следующие выражения для сумм в (3.5):

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив далее Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, из (3.5) получим равенство

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение формулы включений и исключений

Рассмотрим множество чисел  {1,2,… ,n}  и найдем число D(n) перестановок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этих чисел, в которых ни одно из них не остается на своем первоначальном месте а,Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— свойство перестановки, заключающее в том. что число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач стоит на своем месте, а через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим количество перестановок, обладающих этим свойством.

Нетрудно заметить, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество перестановок, в которых числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач стоят на своих местах, тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы имеем тот случай, когда величины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависят от характера свойств, а зависят только от их числа:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число элементов N  в рассматриваемом случае равно числу перестановок из n элементов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставляя найденные значения для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также выражения для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (3.7), получим равенство 

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае n =  3  из (3.8) находим, что число D(3) перестановок, в которых числа 1, 2, 3 не стоят на своих местах, равно 2.

Рекомендации к решению задач:

При решении комбинаторных задач, в которых требуется определить количество некоторых выборок (комбинаций) из данного множества элементов, основным моментом является правильное определение типа (характера) выборок — упорядоченные это выборки или нет, с повторениями или без повторений. Эти различные комбинации называются размещениями, сочетаниями и перестановками, определения которых были даны выше.

Добавим, что при решении задач комбинаторики можно пользоваться терминологией: элементы (объекты), из которых состоит k-выборка, помещаются в «ячейки». Порядок заполнения «ячеек» может быть произвольным, но нужно выбирать наиболее простой.

Пример №10

Сколько есть трехзначных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 5, 6, 8, 9?

Решение. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние его цифры образуют число, делящееся на 4. В нашем случае это числа 12, 32, 72. Для построения комбинации понадобятся две «ячейки»: в первую можно поместить одну из цифр 1, 2, 3, 7; во вторую одну из ранее перечисленных двухзначных чисел. Первый объект можно выбрать 4 способами, второй объект 3 способами. По правилу произведения ответом на поставленный вопрос является число 4 • 3 = 12.

Применяя правило произведения, следует обратить внимание на условие. Выбор каждого последующего элемента не должен зависеть от выбора предыдущего. Следующий пример является иллюстрацией к этому замечанию.

Пример №11

Сколько есть шестизначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр, а вторая и четвертая цифры нечетны?

Решение. Очевидно, что надо взять шесть «ячеек». Заполним эти «ячейки» . В первую «ячейку» поместим одну любую из 9 цифр (кроме «0»). Во вторую «ячейку» нужно поместить нечетную цифру. Так например, если на первое место мы поставили цифру 2, то на второе место можно поставить одну из цифр «1», «3», «5», «7» или «9». Если же на первом месте уже стоит цифра «9», то на второе место можно поставить только «1», «3», «5» или «7». Указанный способ выбора является неудобным, поэтому рассмотрим другой порядок заполнения «ячеек» вторая, четвертая, первая, третья, пятая, шестая. Во вторую поместить одну из 5 нечетных цифр, в четвертую любую из 4 оставшихся нечетных цифр, в первую одну из 7 (кроме «О» и тех двух, что уже стоят, в третью любую из 7 оставшихся, в пятую любую из 6 оставшихся, в шестую — любую из 5 оставшихся. В результате получим .5 • 4 • 7 • 7 • 6 • 5 = 29 400 чисел, обладающих заданным свойством.

В некоторых случаях для того, чтобы найти число элементов конечного множества, обладающих требуемым свойством, удобно найти сначала число элементов, не обладающих этим свойством, и затем вычесть это число из общего числа элементов множества.

Пример №12

Сколько есть пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение. Всего пятизначных чисел 9 • 10 • 10 • 10 • 10 = 90 000, из них

5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 3125 чисел, которые состоят только из нечетных цифр. Поэтому количество требуемых чисел равно 86 875.

Разберем типичные задачи на применение правила суммы и формулы включений и исключений.

Пример №13

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать кость, на которой есть «1» или «6»?

Решение. Выбрать кость, содержащую « 1 » , можно семью способами, содержащую «6» тоже семью способами, но среди этих способов есть один общий — это выбор кости «1 : 6 ». В соответствии с правилом суммы общее число способов нужной кости можно осуществить 7 + 7— 1 = 13 способами.

Пример №14

Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал шести различных цветов?

Решение. Нужно найти число 3-выборок из 6 элементов без повторений (так как все цвета различны). Порядок, в котором располагаются выбранные цвета, существенен. Следовательно, нужно найти число упорядоченных выборок, т.е. число размещений из 6 по 3 без повторений:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (способов).

Данную задачу можно решить и другим способом. Для выбора цвета первой полосы имеется 6 вариантов. После произведенного выбора цвет для второй полосы можно выбрать 5 из оставшихся 5 способов. Далее выбираем цвет для третьей полосы из 4 оставшихся 4 способами. По правилу произведения имеем: 6 • 5 • 4 = 120 способов.

Пример №15

Сколько существует различных наборов длины 10 из нулей и единиц?

Решение. Так как набор состоит из десяти элементов, которые принимают только два возможных значения « 0 » или « 1 » , то в этом наборе будут присутствовать одинаковые значения элементов (т.е. элементы повторяются). Следовательно, нужно найти число упорядоченных выборок с повторениями:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (наборов).

Пример №16

В магазине имеются в продаже мобильные телефоны 7 торговых марок. Сколькими способами можно купить: а) 5 аппаратов разных торговых марок; б) 4 аппарата; в) 15 аппаратов?

Решение. В случае а) нужно подсчитать число неупорядоченных 5-выборок из 7 возможных без повторений (все телефонные аппараты разных торговых марок). Их число определяется по формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (способ).

В случаях б) и в) нас интересуют неупорядоченные выборки из 7 элементов с повторениями длины 4 и 15 соответственно. Их значения определяются по формулам:

б)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (способов),

в) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (способа).  

Пример №17

Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в ряд?

Решение. Если девушки стояли бы на месте, то получилось бы 7! способов перестановок в ряду. Но так как они кружатся, то их положение относительно окружающих предметов несущественно, а важно только их взаимное расположение. Поэтому перестановки, переходящие друг в друга при кружении (циклическом сдвиге), нужно считать одинаковыми. Так как из каждой перестановки сдвигом можно получить еще 6 новых, то количество интересующих нас перестановок будет равно: 7!/7 = б!.

Пример №18

В ходе экзаменационной сессии 1 студентов получили оценки «отлично», 12 — «хорошо», 13 — «удовлетворительно», 5 — «хорошо» и «отлично», 7 «хорошо» и «удовлетворительно», 8 — «отлично» и «удовлетворительно». У трех студентов все виды оценок. Сколько студентов в группе, если известно, что все они сдали сессию? Сколько отличников в группе? Сколько в группе чистых «троечников»?

Решение. В условии задачи Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле для правила суммы трех объектов находим общее число студентов в группе:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

число отличников в группе равно:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

число чистых «троечников» равно:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теперь рассмотрим комбинаторные задачи с ограничениями на порядок элементов, когда на порядок элементов накладываются некоторые дополнительные условия. В таких задачах удобно применять следующий метод объединение нескольких одинаковых элементов в блоки.

Затем рассмотрим задачи на разбиения, где требуется разделить элементы на две и более групп в соответствии с некоторыми условиями и найти число всевозможных различных способов раздела. При этом необходимо учитывать, существенен ли порядок элементов в группах, различаем ли мы элементы, входящие в группы, и сами группы и т.д. При решении этих задач обычно элементы располагают в ряд и применяют так называемый метод введения перегородок.

Пример №19

Имеются предметы  k сортов:  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов одного сорта, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предметов другого сорта Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпредметов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -го сорта, где все предметы одного сорта все же различны друг от друга. Найти число перестановок этих предметов, в которых все предметы одного и того же сорта стоят рядом.

Решение. Из данных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сортов (блоков) можно сделать Р(k) = k!  перестановок. Но еще можно переставить предметы внутри блоков Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Далее по правилу произведения имеем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перестановок.

Пример №20

Сколькими способами можно переставить буквы слова «перелет» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

Решение. Объединим все буквы «е» в один блок «еее». Число перестановок, в которых все три буквы «е» идут подряд, равно числу перестановок из 5 объектов: «еее», «и», «р», «л», «т», т.е. Р(5) = 5! = 120. Всего же перестановок с повторениями из букв данного слова можно составить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, искомое число перестановок, где три буквы «е» не идут рядом, равно N = 840 — 120 = 720.

Пример №21

Сколькими способами можно расставить  m  нулей и k единиц, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

Решение. Выпишем сначала m  нулей. Для единиц получается m + 1 место (одно место слева, m — 1 в промежутках между нулями и одно справа). На любые из этих  m + 1  мест можно поставить одну из k единиц. Это можно осуществить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Если условие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не будет выполняться, то в результате расстановки две единицы в любом случае будут стоять рядом.

Пример №22

Найти число способов разбиения  n  одинаковых предметов по k урнам (n и k произвольные натуральные числа).

Решение. Переименуем урны, расположив их в ряд. Между ними будет (k — 1)  промежуток. Поставим в соответствии каждому разбиению предметов но урнам последовательность из нулей и единиц следующим образом: сначала последовательность имеет группу из «0», число которых равно числу предметов в первой урне, затем ставим одну перегородку, обозначив ее за «1»; далее столько «0», сколько предметов во второй урне, и опять ставим «1»; затем столько «0», сколько в третьей урне, и т.д., заканчивается последовательность группой «0»; их столько, сколько предметов в последней урне. Следовательно, в такой последовательности будет n  нулей и (k — 1) единиц, всего (n + k — 1) цифр. Тогда число способов разбиения будет равно  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №23

Комиссия состоит из  n  человек. Документы хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как распределить между членами комиссий, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся вместе не менее  m  человек комиссии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшее число членов, при котором возможен доступ к сейфу)?

Решение. Какие бы  m — 1  членов комиссии не собрались, должен найтись замок, который они не смогут открыть, но ключ от этого замка имеется у каждого из  n — (m — 1) = n — m + 1 > 0   остальных членов комиссии (появление кого-нибудь из которых дает возможность открыть сейф). Следовательно, число замков равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; число ключей равно (n — m + 1) • Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Замечание в условии задачи является существенным, так как доступ к замкам сейфа имеют только n  человек, которые являются членами комиссии.

Пример №24

Сколькими способами можно расставить в шеренгу  n  различных львов и  m  различных тигров так, чтобы никакие два тигра не шли друг за другом (Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач)?

Решение. Расставим сначала всех львов, оставив между каждыми двумя промежуток. Это можно сделать Р(n) способами, так как все львы разные, если бы все львы были одинаковы, то расставить их в ряд можно было одним способом. Теперь для расстановки тигров имеется (n + 1) место (либо одно впереди всех львов, либо одно после всех, либо между ними — (n — 1)). Так как порядок тигров существенен (они все разные), то число их способов расстановки равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Следовательно, общее число способов расстановки хищников найдем с помощью правила произведения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Замечание в условии задачи (m < n + 1)  является необходимым, в противном случае какие-нибудь два тигра окажутся рядом.

Линейные рекуррентные соотношения второго порядка

Линейным рекуррентным соотношением второго порядка (ЛРС) называется функциональное уравнение вида

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неизвестная функция, определенная на множестве натуральных чисел N со значениями в R, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вещественные числа.

Из вида ЛРС (4.1) следует, что для вычисления значения функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при фиксированном значении аргумента необходимо и достаточно знать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Условия

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (4.2)

называются начальными условиями для ЛРС (4.1).

Рассмотрим в качестве примера ЛРС

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (4.3)

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д.

Нетрудно убедиться, что и в случае произвольных начальных условий (4.3) значение функции  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при любом фиксированном n € N однозначно определяется из ЛРС.

Решением ЛРС называется функция f(n) (f : N —► R), при подстановке которой в (4-1) получается, равенство, истинное при всех n € N.

Функция  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является решением ЛРС (4.3), так как, положив Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (4.3), получим тождество: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Частным решением ЛРС (4.1) называется, решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.2).

В дальнейших рассуждениях используется очевидный факт: при любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задача (4.1), (4.2) имеет единственное решение, другими словами, частное решение всегда единственно.

Общим решением ЛРС (4-0 называется вещественная функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, зависящая, от натурального аргумента  n  и двух вещественных произвольных постоянных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, такая , что: 1) при. конкретных значениях произвольных постоянныхДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункцияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является частным решением ЛРС (4-1); любое частное решение, т. е. решение, удовлетворяющее начальным условиям (4-2) с произвольными  а  и  b, получается, из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при определенных значениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . которые зависят от а  и b.

Свойства решений

Лемма. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решения ЛРС (4-1), тогда их линейная комбинация Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольные вещественные числа, также является решением ЛРС (4.1).

Доказательство. Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются решениями ЛРС (4.1), то имеют место тождества

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим первое тождество на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второе на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сложим полученные выражения, в результате имеем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда следует, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением ЛРС (4.1). Лемма доказана.  

Алгебраическое уравнение второго порядка

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (4.4)

называется характеристическим уравнением, соответствующим ЛРС (4.1).

Случай простых корней характеристического уравнения

Теорема (об общем решении JIPC в случае простых корней характеристического уравнения). Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различные вещественные корни характеристического уравнения (4.4), тогда общее решение ЛРС (4.1) находится по формуле

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (4.5)

Доказательство. Покажем, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является решением ЛРС (4.1). При подстановке Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (4.1) получаем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (4.6)

что равносильно равенству: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, истинность которого вытекает из предположений теоремы. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенстве (4.5) представляет собой линейную комбинацию решений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в силу доказанной выше леммы также является решением ЛРС (4.1).

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное частное решение ЛРС (4.1), удовлетворяющее начальным условиям (4.2). Найдем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из равенств:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее представляет собой линейную алгебраическую систему второго порядка с неизвестными Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решая ее, находим

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы воспользовались тем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различны, поэтому

Частные решения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (4.2) и в силу единственности решения задачи (4.1), (4.2) совпадают:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема доказана.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Рассмотрим случай, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двухкратный корень характеристического уравнения (4.4). Тогда, используя формулы Виета, получим

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (4.8)

Теорема (об общем решении ЛРС в случае кратного корня).

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двухкратный корень характеристического уравнения (4.4). тогда общее решение ЛРС (4.1) находится по формуле

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (4.9)

Доказательство. Покажем, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением ЛРС (4.1). Подставляя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (4.1) и учитывая равенства (4.8), получим

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что равносильно равенству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, истинность которого при всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидна. Формула (4.9) задает решение ЛРС (4.1), так как является линейной комбинацией решений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Повторяя рассуждения предыдущей теоремы, находим постоянные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из уравнений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Мы получили, что решение задачи (4.1), (4.2) в случае кратного корня Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач характеристического уравнения (4.4) находится но формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема доказана.

Соотношение Фибоначчи

Рекуррентное соотношение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (4.10)

известно как соотношение Фибоначчи. Характеристическое уравнение для соотношения (4.10) имеет вид: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Корни характеристического уравнения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, общее решение соотношения Фибоначчи находится по формуле:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (4.11)

Числами Фибоначчи называется решение соотношения (4.10), удовлетворяющее начальным условиям F( 1) = 0, F(2) = 1. Полагая в формуле (4.11) n = 1 и n = 2, получим для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач систему уравнений:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда находим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что это последнее выражение при всех натуральных значениях а принимает целые неотрицательные значения.

Рекомендации к решению задач:

Нахождение общего и частного решений рекуррентного соотношения

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из следующих шагов:

1) выписывается характеристическое уравнение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

и находятся его корниДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, общее решение ЛРС записывается в виде:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, общее решение ЛРС также содержит две произвольные и постоянные

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4)    для нахождения частного решения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющего условию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  составляется система уравнений с неизвестными Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  В случае 2) она имеет вид

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   в случае  3) — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Затем найденное решение системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим в формулу для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) в случаях 2) или 3) соответственно, получим частное решение ЛРС.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это возможно, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решение рекуррентного соотношения имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решением в этом случае будет функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №25

Найти общее решение ЛРС  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с начальными условиями Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, его корни различны Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Общее решение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Частное решение находим, составляя систему уравнений: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Откуда получаем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3. Частное решение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №26

Найти общее и частное решение ЛРС

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с начальными условиямиДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Характеристическое уравнение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет двухкратный корень Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Общее решение в этом случае имеет вид

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее находим частное решение. Система уравнений для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, находим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 29, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = —27. Частное решение: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №27

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решение уравнения Фибоначчи 

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющее условию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Требуется доказать тождество:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (4.12)

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. При Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равенство (4.12) приобретает вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что верно, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что равенство (4.12) верно при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем его для случая n = k + 1. Действительно, по предположению индукции и из уравнения Фибоначчи получаем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  что и доказывает утверждение.

Пример №28

Построить ЛРС, частные решения которого имеют вид: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из вида частных решений искомого рекуррентного соотношения корни его характеристического уравнения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим квадратное уравнение с указанными корнями

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем его в стандартном виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда находим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и запишем ЛРС

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множества, функции, отношения

Множества и операции над ними

Основные понятия теории множеств:

Определение: Множеством М  называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые называются элементами множества.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Замечание. Вообще говоря, понятие множества считается первичным (исходным) понятием, и, как таковое, не определяется. Приведённое выше определение следует, скорее, считать уточнением понятия множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество четных однозначных чисел).

Пример №29

Некоторые примеры множеств, заданных различными способами.

а) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач б) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мощностью конечного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется количество его элементов. Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то множества A и В называются равномощными.

Определение: Если все элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются также элементами множества В, то говорят, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач включается (содержится) в множестве В.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Если A с В, то множество A называется подмножеством множества В (также говорят, что В  покрывает A). Если при этом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то множество A называется собственным подмножеством множества В  и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вхождения одного множества в другое Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Можно привести следующий пример. Пусть А — множество всех студентов данной группы, а В — множество всех учебных групп данного института. Здесь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.

Парадокс Рассела. Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. С другой стороны, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ! Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимся к тому, что Y  не является множеством.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает конъюнкцию (логическое «и»).

В заключение добавим, что Г. Кантор предложил использовать понятие «универсального множества» (универсум), как бы противоположного понятию пустого множестваДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По мысли Кантора, универсальное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит все мыслимые множества, и при этом оно само содержится во множестве своих подмножеств в качестве элемента. В дальнейшем смысл и содержание понятия универсального множества будут раскрыты более подробно.

Операции над множествами и их свойства

Определение: Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера-Вэйна.

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В. Обозначение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Разностью множеств А и В  называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение:  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дополнением множества А относительно множества Е, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера-Вэйна.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из записанных выше соотношений видно, что

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Что и требовалось доказать. Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера — Вэйна:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №31

Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если некоторый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Векторы и прямые произведения

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 — тройками и т. д.

Определение: Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Прямым произведением множеств А и В (обозначение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) называется множество всех упорядоченных пар Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, таких, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, прямым произведением множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество всех векторов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, таких, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №32

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р.Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример №33

Даны множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом случае являются словами длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в алфавите А. Например, десятичное целое число — это слово в алфавите цифр.

Определение: Проекцией вектора Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема 1.1. Мощность произведения конечных множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна произведению мощностей этих множеств:  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта простая теорема и сё следствие впоследствии широко используются в комбинаторике.

Соответствия и функции

Соответствия

Определение: Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что b  соответствует а  при соответствии G . При этом множество всех таких а называют областью определения соответствия D(G), а множество соответствующих значений b называются областью значений соответствия E(G).

В принятых обозначениях, каждый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , соответствующий данному элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется  образом  а  при соответствии G , наоборот, элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется  прообразом  элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым, если D(G) = А, то есть каждый элемент множества А имеет хотя бы один образ во множестве В;  в противном случае соответствие называется частичным.

Соответствие G называется сюрьективным, если E(G) = В, то есть если каждому элементу множества В соответствует хотя бы один прообраз во множестве А .

Соответствие G  называется функциональным (однозначным), если любому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В.

Соответствие называется иньективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества В  имеет не более одного прообраза.

Соответствие G называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръектпвным, функциональным, и при этом каждый элемент множества В имеет единственный прообраз.

Пример №34

а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимнооднозначным, так как каждому значению функции  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют два прообраза Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

г) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимнооднозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.

Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 2.1. Если мощность конечного множества А равна  n, то число всех подмножеств А равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то естьДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множество всех подмножеств множества М  называется булеаном и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для конечных множеств выполняется: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Определение: Множество А называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

  1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.
  2. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является счётным.
  3. Множество рациональных чисел R является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).
  4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.
  5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.
  6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.  

Теорема 2.2 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка [0; 1] не является счётным.

Доказательство. Допустим, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, организованную таким образом, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго — второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество М  не является счётным. Его мощность называется континуум, а множества такой мощности называются континуальными. Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Следствие 1. Множество действительных чисел R  континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально. Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является множеством максимальной мощности.

Отображения и функции

Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (обозначение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ). Каждому элементу а   из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент  b  из области значений. Это записывается в традиционной форме Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Элемент а  называется аргументом функции, элемент b — её значением.

Полностью определённая функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется отображением  А в В; образ множества А при отображении обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если при этом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из единственного элемента, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется функцией-константой.

Отображение типаДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется преобразованием множества А.

Пример №35

а) Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) ФункцияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отображением множества целых чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном случае соответствие не является взаимно однозначным.

в) Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

г) Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не полностью определена, если её тип Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но полностью определена, если её тип Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Функция типа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач аргументов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть функциями типа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Пусть дано соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таково, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют  обратным к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Если соответствие, обратное к функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функциональным, то оно называется функцией, обратной к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Очевидно, что в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функцииДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач требуется, чтобы каждый элемент из области значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратная функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример №36

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет тип Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отрезок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотображает на отрезок [ -1 ; 1 ]. Поэтому для неё на отрезке [ -1 ; 1 ] существует обратная функция. Как известно, это Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Пусть даны функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется композицией функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если имеет место равенство: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Композиция функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой последовательное применение этих функций; Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач применяется к результатуДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Часто говорят, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получена подстановкой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для многоместных функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возможны различные варианты подстановок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Например, в математическом анализе вводится понятие элементарной функции, являющейся суперпозицией фиксированного (не зависящего от значения аргумента) числа арифметических операций, а также элементарных функций (Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.).

А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом доказано, что всякая непрерывная функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных.

Замечание. Понятие функции широко используется в математическом анализе, более того, является в нём базовым понятием. В целом, подход к пониманию термина «функция» в матанализе несколько уже, чем в дискретной математике. Как правило, в нём рассматриваются так называемые вычислимые функции. Функция называется вычислимой, если задана процедура, позволяющая по любому заданному значению аргумента найти значение функции.

Отношения и их свойства

Основные понятия и определения:

Определение: Подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-местным (Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — мерным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся в отношении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Одноместное (одномерное) отношение — это просто некоторое подмножество А. Такие отношения называют признаками. Говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обладает признаком R, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Свойства одноместных отношений — это свойства подмножеств А, поэтому для случая Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1 термин «отношения» употребляется редко.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные или бинарные отношения. Если  а  и  b  находятся в отношении R , это обычно записывается в виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример:

Бинарные отношения на множестве N .

а) Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыполняется для пар (7;9), (7;7) и не выполняется для пары (9;7). б) Отношение «иметь общий делитель, не равный единице» выполняется для пар (3; 6), (4; 10) и не выполняется для пар (6; 5), (11;3). в) Отношение «быть делителем» выполняется для пар (2; 6), (5; 5) и не выполняется для пар (4;2),(6;1).

Пример:

Бинарные отношения на множестве точек координатной плоскости.

а) Отношение «быть равноудалёнными от начала координат» выполнятся для пар точек (1;-4) и (-4;1), но не выполнятся для пары точек (3;0) и (-2; 6). б) Отношение «принадлежать окружности, центр которой находится в начале координат», выполняется для первой пары точек из предыдущего примера и не выполняется для второй пары. в) Отношение «быть удалёнными на разное расстояние от начала координат» выполняется для всех точек, для которых не выполняется отношение, описанное в пункте «б».

Пусть дано отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для любого подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемое сужением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое получается из отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иначе говоря, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Строго говоря, само отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и его сужение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это разные отношения, с разными областями определения. Однако, по умолчанию, если не возникает явных разночтений, эта разница не учитывается. Например, вполне можно говорить об отношении «быть делителем», не уточняя, задано оно на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или на каком-нибудь его подмножестве.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется). Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения на конечном множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это квадратная матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , в которой каждый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется следующим образом:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример:

Для конечного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач матрицы отношении из примера 1 (а — в) приведены в следующих таблицах.

а)                         Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б)                         Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

в)                        Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку отношения на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задаются подмножествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для отношений можно определить те же операции, что и для множеств. Например, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является объединением отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется обратным к отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непосредственно из определения следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, для отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратным является отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства отношений

Определение: Отношение  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется рефлексивным, если для любого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

Определение: Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется антирефлексивным, если ни для какого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только нули.

Например, отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и «иметь общий делитель» являются рефлексивными. Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и «иметь сына» являются антирефлексивными. Отношение «быть симметричным относительно оси абсцисс» не является ни рефлексивным, ни антирсфлексив-ным: точка плоскости симметрична сама себе, если лежит на этой оси, и не симметрична себе, если не лежит на ней.

Определение: Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется симметричным, если для любой пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иными словами, отношение R является симметричным тогда и только тогда, когда для любой пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно выполняется в обе стороны (или вовсе не выполняется).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется антисимметричным, если из отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отношение «быть симметричным относительно оси абсцисс» является симметричным: если первая точка симметрична второй относительно этой оси, то и вторая точка симметрична первой. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является антисимметричным. Действительно, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, это означает, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Нетрудно убедиться в том, что отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрично тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется транзитивным, если для любых  а,b,с  из отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отношения «быть равным», «жить в одном городе», «быть параллельным» являются транзитивными. Отношения «пересекаться», «быть сыном» не являются транзитивными.

Замечание. В отличие от отношений рефлексивности и симметричности, для отношения транзитивности не формулируется противоположного понятия (антитранзитивности).

Определение: Транзитивным замыканием Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется отношение, определяемое следующим образом: если в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует цепочка из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой между каждыми двумя соседними элементами выполняется отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что существует транзитивное замыкание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание. Замыкание является весьма общим математическим понятием. Упрощенно говоря, замкнутость означает, что многократное повторение допустимых шагов не выводит за определённые границы. Например, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения, однако открыто (то есть незамкнуто) относительно операции деления.

Если отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач транзитивно, то, очевидно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (и наоборот). Например, отношение «быть делителем» транзитивно для любой цепочки элементов и само является транзитивным замыканием этого отношения.

Если отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не транзитивно, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком», включающее в себя понятия «быть сыном», «быть внуком», «быть правнуком» и так далее.

Основные виды отношений

Из содержания предыдущей лекции и рассмотренных в ней примеров видно, что понятие «отношение» следует понимать весьма широко. В данной лекции мы попытаемся ввести определённую классификацию отношений и рассмотреть наиболее значительные с точки зрения математики виды отношений — а именно отношения эквивалентности и порядка.

Отношения эквивалентности

Определение: Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 1.

а) Отношение равенства (часто обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство — это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из этого отношения (то есть любой единицы на главной диагонали матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) оно перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, состоящие из формул, соединённых знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: две формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность в данном случае, хотя и обозначена знаком Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачозначает не то же самое, что отношение равенства, так как оно может выполняться для различных формул. Впрочем, можно считать, что знак равенства в таких отношениях относится не к самим формулам, а к функциям, которые ими описываются. Для формул же отношение равенства — это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством. Кстати, чтобы в подобных ситуациях избежать разночтений, часто для обозначения отношения равносильности используют знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение «иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач » на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

е) Отношение «быть делителем» не является на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношением эквивалентности. Оно обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но является антисимметричным (см. ниже).

Пусть на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано отношение эквивалентности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Осуществим следующее построение. Выберем элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и образуем класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ), состоящий из элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и всех элементов, эквивалентных ему в рамках данного отношения. Затем выберем элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и образуем класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, состоящий из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и эквивалентных ему элементов. Продолжая эти действия, получим систему классов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (возможно, бесконечную) такую, что любой элемент из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входит хотя бы в один класс, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта система обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть классы попарно не пересекаются; 2) любые два элемента из одного класса эквивалентны; 3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, пресекались, то они имели бы хотя бы один общий элемент. Этот элемент был бы, очевидно, эквивалентен Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, в силу транзитивности отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнялось бы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Однако, по способу построения классов, это не возможно. Аналогично можно доказать другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов — подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , называется системой классов эквивалентности по отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение «входить в один класс данного разбиения».

Пример 2.

а) Все классы эквивалентности по отношению равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоят из одного элемента. б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности. в) Разбиение множества треугольников по отношению равенства имеет континуальный индекс, причём каждый класс имеет также мощность континуум. г) Разбиение множества натуральных чисел по отношению «иметь общий остаток при делении на 7» имеет конечный индекс 7 и состоит из семи счётных классов.

Отношения порядка

Определение 1. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Определение 2. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка. Элементы  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сравнимы по отношению порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если выполняется одно из двух отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы. В противном случае, множество называется частично упорядоченным.

Пример 3.

а) Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются отношениями нестрогого порядка, отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

б) Определим отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следующим образом:

1)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при этом ходя бы для одной  i — ой координаты выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, например, (1, 2, 3) < (1, 2,4), но (1,2,3) и (1,-2,4) несравнимы. Таким образом, эти отношения частично упорядочивают Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

в) На системе подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношение включения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задаёт строгий частичный порядок. Например, {l, 2}Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач {l, 2, З}, a {l, 2} и {l, 3, 4} не сравнимы.

г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).

д) В алфавите русского языка порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называется отношением предшествования. Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; ( Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предшествует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Ha основании отношения предшествования букв построено отношение предшествования слов, определяемое примерно, таким образом, как производится сравнение двух десятичных дробей. Это отношение задаёт полное упорядочение слов в русском алфавите, которое называется лексикографическим упорядочением.

Пример 4.

а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения слов является упорядочение слов в словарях. Например, лес Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лето (так как с Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач m ), поэтому слово лес расположено в словаре раньше слова лето.

б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в десятичной системе) как слова в алфавите цифр, то их лексикографическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. В общем же случае эти два вида могут не совпадать. Например, 10 < 1073  и  20 < 1073,  но  10 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1073,  а  20 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1073. Для того, чтобы они совпадали, нужно уравнять число разрядов у всех сравниваемых чисел, приписывая слева нули. В данном примере при этом получим  0020 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1073. Такое выравнивание происходит автоматически при записи целых чисел в ЭВМ.

в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 «лексикографически» старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо «перевернуть», то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ.

Введение в общую алгебру

Свойства бинарных алгебраических операций:

Определение: На множестве А  определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тринарную  и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арной операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть функцию типа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отображающая любой элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в себя, называется тождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементам Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывать не в функциональном виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, принятом для записи арифметических операций.

Определение: Операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коммутативной, если для любых элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

Определение: Операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ассоциативной, если для любых элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правда, запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является допустимой, но служит сокращением записи выражения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а не Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсокращённая запись которого — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Определение: Операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется  дистрибутивной  слева  относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

и дистрибутивной справа относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но не слева: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ниже будет показано, что операции пересечения и объединения множеств дистрибутивны относительно друг друга и слева, и справа.

Алгебраические структуры

Определение: Пусть дано некоторое множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , на котором задана совокупность операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Структура вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется алгеброй; множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется несущим множеством, совокупность операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сигнатурой, вектор «арностей» операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется типом.

Определение: Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют замкнутым относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арной операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если значения функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на аргументах Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (то сеть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнуто относительно всех операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то структура Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подалгеброй алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример 1.

а) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип — (2,2). Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — поле действительных чисел — образует подалгебру.

б) Пусть задано множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Множество всех его подмножеств — булеан, обозначается как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. АлгебраДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается булевой алгеброй множеств над множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Её тип: (2,2,1). Для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет являться подалгеброй

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одноместных функций на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (то есть функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение: Замыканием множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно сигнатуры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (обозначаетсяДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (включая сами элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Например, в алгебре целых чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Определение: Пусть даны две алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В  называется функцияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, такая, что для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется условие:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом произведено отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо сначала произведено отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом в алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнена соответствующая операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Определение: Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Определение: Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Определение: Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм — это взаимно однозначный гомоморфизм.

Замечание. Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм — автоморфизмом.

Теорема 5.2. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — две алгебры одного типа иДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — изоморфизм, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — тоже изоморфизм.

Пример 2.

а) Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество натуральных чисел, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество натуральных чётных чисел. Алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфны; изоморфизмом является отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , причём условие (*) здесь имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в себя.

б) Изоморфизмом между алгебрами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является, например, отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Условие (*) имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

в) Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

Теорема 5.3. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение «с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Различные виды алгебраических структур

Полугруппы

Определение: Полугруппой называется алгебра вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с одной ассоциативной бинарной операцией Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как правило, в качестве такой операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин «умножение» здесь является достаточно условным. Символ Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или  абелевой  полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.

а) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

в) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является коммутативной полугруппой с единицей.

Определение: Если любой элемент полугруппы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Определение: Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку любое натуральное число — это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет конечное число образующих Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Определение: Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы — это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны (то есть задают один элемент) в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов.

Группы

Определение 1. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называемый обратным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и удовлетворяющий условию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется свойство ассоциативности:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такой элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для любого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого множества выполняется равенство:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) для любого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого же множества такой, что

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0,  а роль элемента, обратного к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач играет Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

б) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с операцией сложения образует абелеву группу.

Замечание. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы (2,1). Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2.а соответствующая запись имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для группы из примера 2.б — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поля и кольца

Определение: Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы равенства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип — (2,2,1).

Определение: Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и любого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует единственный элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:  такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, для любой пары элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 3.

а) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ней неразрешимо. б) Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полем и называется полем рациональных чисел.

Решётки

До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели — множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях — решётки.

Определение: Решёткой называется множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, с двумя бинарными операциями Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (идемподентность);
  2. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (коммутативность);
  3. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ассоциативность);
  4. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Определение: Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого а выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Определение: Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема 6.1. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение: В ограниченной решётке элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дополнением элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является делителем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть наименьшее общее кратное этих чисел, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.

Введение в логику. Элементы математической логики

Математическая логика — разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение: Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или».

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1) Отрицание. Отрицанием (логическим «не») высказывания Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ложно.

Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим «и») двух высказываний Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим «или») двух высказываний Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно, a Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ложно.

Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется посылкой импликации, а высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — следствием.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Замечание. В дальнейшем мы познакомимся с принципиально иной, более широкой трактовкой тех понятий, которые мы определили в данной лекции. Мы будем их рассматривать уже не как операции над высказываниями, но как некоторые функции. Поясним на следующем примере. Запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать как обозначение бинарной операции умножения переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а, с другой стороны, так же обозначается функция двух переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №37

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данные формулы не являются эквивалентными.  

Пример №38

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим таблицы истинности для заданных формул.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны

Основные равносильности

Для любых формул А, В и С  справедливы следующие равносильности:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Булевы функции

Определение: Булевой функцией Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется произвольная п -местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вообще говоря, между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия (подробнее она рассматривается в следующей лекции). Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0  или  1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логические функции

Ниже будет подробно рассматриваться двухэлементное множество В и двоичные переменные, принимающие значения из этого множества. Его элементы часто обозначают 0  и 1, однако они, вообще говоря, не являются числами в обычном смысле (хотя и похожи на них по некоторым свойствам). Наиболее распространённая интерпретация двоичных переменных — логическая: «да» — «нет», «истинно» — «ложно». В контексте, содержащем одновременно двоичные и арифметические величины, а также функции, эта интерпретация обычно фиксируется явно. Например, в языках программирования (Pascal и др.) вводится специальный тип переменной — логическая переменная, значения которой обозначаются true и false. В данной лекции логическая интерпретация двоичных переменных не везде является обязательной, поэтому будем считать, что В — {0;l},  рассматривая 0 и 1 как формальные символы, не имеющие арифметического смысла.  

Функции алгебры логики

Определение: Алгебра, образованная множеством В вместе со всеми возможными операциями на нём, называется алгеброй логики.

Определение: Функцией алгебры логики (логической функцией) называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арная операция на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Первый термин является более точным, однако второй более распространён, особенно в приложениях. Он и будет использоваться в дальнейшем. Итак, логическая функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это функция, принимающая значения 0  или 1. Множество всех логических функций будем обозначать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, множество всех логических функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Алгебра, образованная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -элементным множеством вместе со всеми операциями на нём, называется алгеброй Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— значной логики, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арная операция на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементном множестве называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — значной логической функцией.

Множество всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-значных логических функций обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Мы в дальнейшем будем рассматривать логические функции только из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Всякая логическая функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все наборы значений переменных (которых всего Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а в правой части — значение функции на этих наборах значений. Ниже приведена таблица, задающая некоторую функцию трёх переменных.

Наборы, на которых значение функции равно 1, часто называют единичными наборами функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а множество единичных наборов называют единичным множеством функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, наборы, на которых значение функции равно 0, называют нулевыми наборами функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . В приводимой таблице три единичных набора и пять нулевых наборов.    

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что наборы в таблице расположены в определённом порядке — лексикографическом, который совпадает с возрастанием наборов, если рассматривать их как двоичные числа. Этим упорядочением будем пользоваться в дальнейшем. При любом фиксированном упорядочении наборов логическая функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных полностью определяется вектор-столбцом значений функции, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому число различных функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных равно числу различных двоичных векторов длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Переменная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется несущественной (фиктивной), если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любых значениях остальных переменных.

Иначе говоря, переменная считается несущественной, если изменение её значения в любом наборе не изменяет значения функции. В этом случае функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по существу зависит от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменной, то есть представляет собой некоторую функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменной. Говорят, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получена из функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удалением фиктивной переменной или, наоборот, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получена из функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач добавлением фиктивной переменной. Например, запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что при любых значениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимо от значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Практический смысл удаления фиктивных переменных очевиден, поскольку они не влияют на значение функции и являются с этой точки зрения лишними. Однако иногда бывает полезно вводить фиктивные переменные. Благодаря такому введению можно всякую функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных сделать функцией любого большего числа переменных. Поэтому любую конечную совокупность функций можно считать зависящей от одного и того же множества переменных (которое является объединением множеств переменных всех взятых функций).

Примеры логических функций

Логических функций одной переменной четыре; они приведены в таблице 2.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — константы  0  и  1  соответственно, значения которых не зависят от значения переменной, и, следовательно, переменная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для них несущественна. Значения функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают со значениями переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наконец, функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значения которой противоположны значениям переменной, есть ни что иное, как отрицание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (функция НЕ). Различные способы обозначения этой функции: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логических функций двух переменных — шестнадцать; они приведены в таблице 3.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как и в предыдущем случае являются константами, то есть функциями с двумя несущественными переменными. Отметим, что формально эти функции отличаются от функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из предыдущего примера, поскольку являются бинарными операциями на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Однако ранее было принято функции, отличающиеся только несущественными переменными, считать равными.

Среди представленных в таблице 3 функций отмстим те, которые уже знакомы нам в качестве логических операций, изученных в ходе предыдущей лекции.

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является конъюнкцией переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (функцией И). Она равна 1  тогда и только тогда, когда обе переменные равны 1. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Её также называют логическим умножением, поскольку таблица её действительно совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0  и 1. Поэтому, кстати, по аналогии с обычным умножением, знак операции между переменными часто опускают: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть умножением по модулю 2 (см. ниже). Она реализует произведение остатков от деления чисел 0  и 1 на число 2.

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дизъюнкцией переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (функцией ИЛИ). Она равна 1, если значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны 1. Союз «или» понимается здесь в неразделительном смысле «хотя бы один из двух». Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется неравнозначностью переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Она равна 1, когда значения аргументов различны, и равна 0, когда значения аргументов одинаковы. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Привести пример такой функции более сложно. Для этого введём следующее понятие, широко используемое в теории чисел.

Два целых числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются сравнимыми по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если при делении на это число они дают одинаковые остатки.

Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так вот, функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать, как сложение по модулю 2. Действительно, сумма остатков от деления чисел 0 и 1 на число 2 равна 1, а сумма остатков от деления чисел 0 и 0, либо 1 и 1 на 2 равна 0.

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется импликацией или логическим следованием. Обозначается. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется эквивалентностью или равнозначностью. Она равна 1, если значения переменных одинаковы и 0, если они различны. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Есть ещё две функции двух переменных, имеющие специальные названия. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется стрелкой Пирса и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется штрихом Шеффера и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Остальные функции специальных

названий не имеют и, как можно показать, легко выражаются через перечисленные выше функции.

В функциях  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, фиктивна. Из таблицы 3 видно, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, в функциях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач фиктивна: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказано, что с ростом числа переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач доля функций, имеющих фиктивные переменные, убывает и стремится к нулю.  

Суперпозиции и формулы

Ранее было введено определение суперпозиции функций, согласно которому суперпозицией нескольких функций называлась новая функция, полученная с помощью подстановок данных функцией друг в друга и переименования переменных. Выражение, описывающее эту суперпозицию, называли формулой. Поскольку понятие суперпозиции является очень важным в алгебре логики, рассмотрим его более подробно.

Пусть дано множество (конечное или бесконечное) исходных функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Символы переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , содержащихся в данных функциях, будем считать формулами глубины 0.

Определение: Говорят, что формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет глубину Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если она имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — формулы, максимальная из глубин которых равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . При этом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются подформулами формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, a Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется внешней, или главной операцией формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Соответственно, формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также могут иметь подформулы, которые являются в этом случае и подформулами формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, выражение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в наших обозначениях — это формула глубины 1. Выражение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является формулой глубины 3, содержащей одну подформулу глубины 2 и две подформулы глубины 1.

В дальнейшем конкретные формулы будем записывать в более привычном виде, при котором условные знаки функций стоят между аргументами (такую запись называют инфиксной). Например, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является конъюнкцией, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -дизъюнкцией, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— импликацией, то приведённая выше формула примет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (*).

Все формулы, построенные подобным образом, то есть содержащие только символы переменных, скобки и знаки функций из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , называются формулами над множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возможны и другие интерпретации понятия глубины. Например, считается, что расстановка отрицаний над переменными не увеличивает глубины формулы. В случае, когда множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит некоторую ассоциативную операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно считать, что применение этой операции к формулам с той же внешней операцией Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не увеличивает глубины формулы. Например, формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют одну и ту же глубину 3.

Всякая формула, выражающая данную функцию, как суперпозицию других функций, задаст способ её вычисления (при условии, что известно, как вычислять исходные функции). Этот способ определяется следующим очевидным правилом: формулу можно вычислить, только если уже вычислены значения всех её подформул. Применим, например формулу (*) к набору Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее получим

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наконец,Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, формула ставит в соответствие каждому набору значений аргументов значение функции и, значит, может наряду с таблицей служить способом задания и вычисления функции. В частности, по формуле, вычисляя её на всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наборах, можно восстановить таблицу функции. О формуле, задающей функцию, говорят также, что она представляет  или реализует  функцию.

В отличие от табличного задания представление данной функции формулой не единственно. Например, если в качестве исходного множества функций зафиксировать функции  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из предыдущего пункта (то есть функции И, НЛИ, НЕ), то функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —

штрих Шеффера — можно представить формулами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— стрелка Пирса — можно представить формулами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Формулы, представляющие одну и ту же функцию называются эквивалентными или равносильными.

Эквивалентность формул принято обозначать знаком равенства, поэтому можно записать: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Существует стандартный метод для выяснения эквивалентности двух формул. По каждой формуле восстанавливается таблица функции, а затем две полученные таблицы сравниваются. Таким способом в предыдущеё лекции мы устанавливали равносильность высказываний. Он весьма громоздок, так как требует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислений, если считать, что обе формулы зависят от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных. Более простыми методами, позволяющими устанавливать эквивалентность данных формул, а также получать новые формулы, эквивалентные исходной, являются эквивалентные преобразования, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Булевы алгебры

В данной лекции будут рассмотрены способы представления логических функций в виде суперпозиций функций И, ИЛИ, НЕ.

Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Введём обозначения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— параметр, равный 0  или 1. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Теорема 8.1. Всякая логическая функцияДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть представлена в следующем виде:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (1),

где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а дизъюнкция берётся по всем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач‘ наборам значений переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Равенство (1) называется разложением по переменным Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формула (1) достаточно громоздка на вид, однако её несложно использовать при небольших значениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Например, при значениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложение (1) имеет вид: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Практический смысл такого разложения очевиден: оно позволяет заменять функцию нескольких переменных суперпозицией конечного числа функций с меньшим количеством переменных. Особенно важен частный случай Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда разложение производится по всем переменным. При этом все переменные в правой части равенства (1) получают фиксированные значения, и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0  или 1, что даст:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где дизъюнкция берётся по всем наборам Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на которых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. СДНФ содержит ровно только конъюнкций, сколько единиц в таблице функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждому единичному набору Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует дизъюнкция всех переменных, в которых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взято с отрицанием, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и без отрицания, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и её СДНФ. Следовательно, для каждой логической функции СДНФ является единственной (с точностью до порядка переменных и конъюнкций).

Пример №39

Составить СДНФ для функции, заданной таблицей:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку данная таблица (уже встречавшаяся ранее) содержит три единичных набора, СДНФ будет конъюнкцией трёх дизъюнкций. В свою очередь, каждая дизъюнкция включает три переменных — по числу их в функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Получим: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что, подобно знаку умножения, знак дизъюнкции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в логических формулах часто опускают. Тогда полученное выражение примет более компактный вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Единственная функция, которая не имеет СДНФ — это константа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок, только знаки дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, будем называть булевыми формулами.

Теорема 8.2. Всякая логическая функция может быть представлена булевой функцией, то есть как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Булева алгебра функций

Выше мы обозначили множество всех логических операций на двухэлементном множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Булевой алгеброй логических функций называется алгебра вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, основным множеством которой является всё множество логических функций, а операциями — дизъюнкция, конъюнкция и отрицание.

Замечание. На практике мы имеем дело не самими функциями, а с представляющими их формулами, то есть с алгеброй формул, которая значительно шире, поскольку каждую функцию представляет бесконечное множество формул. Чтобы «синхронизировать» их алгебре формул придаётся следующий вид. Элементами алгебры формул объявляются не сами формулы, а классы эквивалентности формул, то есть классы формул, представляющих одну и ту же функцию. Определённая таким образом, алгебра формул называется алгеброй Линденбаума — Тарского. Она изоморфна булевой алгебре функций.

Теперь рассмотрим основные свойства булевых операций (частично уже знакомые по теме «Элементы математической логики»).

  1. Ассоциативность: a) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Коммутативность: а) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Идемпотентность: а) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  6. Двойное отрицание: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  7. Свойства констант: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  8. Правила де Моргана: а) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очень важные соотношения, которые часто будут использоваться в дальнейшем. С их помощью (а также с помощью соотношения 6) дизъюнкция заменяется конъюнкцией и наоборот.
  9. Закон противоречия: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  10. Закон «исключённого третьего»: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Все соотношения 1-10 можно проверить указанным ранее стандартным методом -вычислением обеих частей равенств на всех наборах значений переменных. Эти равенства остаются справедливыми и в случае подстановки вместо переменной любой логической функции и, следовательно, любой формулы, представляющей эту функцию. Важно лишь соблюдать следующее правило подстановки формулы вместо переменной.

При подстановке формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач все вхождения данной переменной в исходное соотношение должны быть одновременно заменены формулой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Правило подстановки позволяет получать из соотношений 1-10 новые эквивалентные соотношения. Заметим, что равенство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает в данном контексте, что формулы  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач описывают одну и ту же логическую функцию. Следовательно, если какая-то формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в качестве подформулы, то замена её на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не изменит значения формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это утверждение представляет собой правило замены подформул, которое позволяет, используя эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной. Практическое применение описанных правил будет рассмотрено ниже.

Замечание. Есть существенная разница между подстановкой и заменой. При подстановке переменная заменяется формулой; при этом формула может быть любой, лишь бы производилась одновременная замена ею всех вхождений переменной. При замене подформул может быть заменена любая подформула, однако, не на любую другую, а только на подформулу, эквивалентную ей. При этом замена всех вхождений исходной подформулы не обязательна.

Эквивалентные преобразования

Пример:

Возьмём соотношение 8а и подставим вместо переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Здесь в обеих частях стоят формулы, неэквивалентные исходным формулам, но эквивалентные между собой. Если же в правой части нового соотношения формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить формулой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, эквивалентной ей в силу соотношения 8а и затем заменить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (согласно 6), то получим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причём все формулы в полученной цепи преобразований являются эквивалентными:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие преобразования, использующие эквивалентные соотношения и правило замены, называют эквивалентными преобразованиями. Эквивалентные преобразования являются мощным средством доказательства эквивалентности формул, как правило, более эффективным, чем их вычисление на наборах значений переменных.

В булевой алгебре принято опускать скобки в следующих двух случаях: а) при последовательном выполнении нескольких конъюнкций или дизъюнкций; б) если они являются внешними скобками у конъюнкции. Оба соглашения совершенно аналогичны общепринятому опусканию скобок для операции умножения в арифметических выражениях.

Рассмотрим несколько способов упрощения формул с помощью эквивалентных преобразований, позволяющих получить формулы, содержащие меньшее количество символов.

а) Поглощение: 1) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  2)Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Докажем данное равенство подробно, используя для доказательства соотношения 3, 7а и 7в. 

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее будем опускать доказательства приводимых равенств, которые при желании можно получить из соотношений 1 — 10 и уже доказанных равенств.

б) Склеивание: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. в) Обобщённое склеивание: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач г) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Одним из главных видов упрощения формул является приведение их к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

Определение: Элементарными конъюнкциями называются конъюнкции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Заметим, что СДНФ является частным случаем ДНФ.

Приведение формулы к ДНФ выполняется так. Сначала с помощью соотношений 6 и 8 все отрицания «спускаются» до переменных. Затем раскрываются скобки. После этого с помощью соотношений 5, 9 и 10 удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях. Наконец, с помощью соотношений 7а — 7е удаляются лишние константы. При этом необходимо помнить, что ДНФ данной формулы может быть не единственной.

Пример №40

Привести к ДНФ формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Решение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В итоге получили дизъюнкцию элементарных конъюнкций, то есть ДНФ.

Доказано, что если из формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно с помощью эквивалентных преобразований получить формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то можно из формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (с помощью тех же соотношений) получить формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иначе говоря, всякое эквивалентное преобразование обратимо. Это позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема 8.3. Для любых двух эквивалентных формул Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует эквивалентное преобразование Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот с помощью соотношений 1-10.

Аналогично понятию ДНФ определяется понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ), то есть КНФ есть конъюнкция элементарных дизъюнкций. Переход от КНФ к ДНФ и обратно всегда осуществим (обычно, с помощью формул Де Моргана).

Пример №41

Привести формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к КНФ. Заменим исходную формулу её двойным отрицанием, а затем применим соотношения 8.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Булевы алгебры и теория множеств

1. Двойственность

Определение: Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется двойственной к функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если взять отрицание обеих частей равенства и подставить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получится Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двойственна к функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и, таким образом, отношение двойственности является симметричным. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная ей функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.

Пример:

Если рассматривать логические функции, то, очевидно, дизъюнкция двойственна конъюнкции и наоборот (непосредственно следует из правил Де Моргана). Отрицание является самодвойственной функцией. Функция-константа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двойственна функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ещё один традиционный пример самодвойственной функции — функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пользуясь определением двойственности нетрудно доказать следующее утверждение, называемое принципом двойственности.

Теорема 10.1. Если в формуле Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляющей функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных им функций, то полученная формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет представлять функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, двойственную функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В булевой алгебре принцип двойственности имеет более конкретный вид, вытекающий из ранее приведённых примеров: если в формуле Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, представляющей функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, все конъюнкции заменить дизъюнкциями и наоборот, все единицы заменить нулями и наоборот, то получим формулуДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, представляющую функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, двойственную функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Если функции равны, то двойственные им функции также равны. Это позволяет с помощью принципа двойственности получать новые эквивалентные соотношения, переходя от равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью указанных замен к равенству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Примером могут служить соотношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  которые могут быть получены друг из друга по указанному принципу.

Булева алгебра и теория множеств:

Ранее были описаны булевы алгебры множеств, то есть алгебры вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — булеан множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть множество всех его подмножеств. Общий термин «булева алгебра» для алгебр множеств и логических функций не является случайным.

Определение: Всякая алгебра типа (2,2,1) называется булевой алгеброй, если её операции удовлетворяют соотношениям 1-10 (см. предыдущую лекцию).

В алгебре множеств элементами являются подмножества фиксированного универсального множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этой алгебре операция пересечения соответствует конъюнкции, операция объединения соответствует дизъюнкции, а операция дополнения соответствует отрицанию. Само множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является единицей, а пустое множество — нулём. Справедливость соотношений 1-10 для этой алгебры можно доказать непосредственно, рассматривая в них переменные как множества, а знаки логических функций — как соответствующие операции над множествами.

В одной из предыдущих лекций отмечалось взаимно однозначное соответствие между множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двоичных векторов длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждому подмножеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует двоичный вектор Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Операции над векторами в булевой алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются следующим образом.

Пусть даны два вектора Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку компоненты (координаты) векторов принимают значения 0 или 1, то указанные операции — это просто логические операции над двоичными переменными, поэтому операции над векторами естественно назвать покомпонентными логическими операциями над двоичными векторами.

Пример №42

Даны векторы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что подобные операции (наряду с логическими операциями над переменными) входят в систему команд любой современной ЭВМ.

Теорема 10.2. Если мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то булева алгебра

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфна булевой алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта простая по содержанию теорема имеет огромное значение в математике. Она позволяет заменить теоретико-множественные операции над системой подмножеств данного множества поразрядными логическими операциями над двоичными векторами.

Похожая по формулировке, но значительно отличающаяся по смыслу теорема существует для множества всех логических функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим это множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оно замкнуто относительно операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, образует конечную булеву алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая является подалгеброй булевой алгебры логических функций.

Теорема 10.3. Если мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то булева алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфна булевой алгебре функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 10.3 указывает на тесную связь между множествами и логическими функциями и позволяет переходить от операций над множествами к операциям над функциями и обратно. В частности, они позволяют непосредственно производить операции над функциями, заданными не формулами, а таблицами. Пример приведён в следующей таблице, содержащей две функции трёх переменных  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и результаты операций над ними:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ДНФ, интервалы и покрытия

Теоретико-множественная интерпретация булевой алгебры предлагает очень удобный язык для изучения дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) и построения методов их упрощения. Рассмотрим кратко основные понятия, связанные с ДНФ.

Введём следующее обозначение: обозначим через  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множество всех единичных наборов функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда набор (вектор) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Множество  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется единичным множеством функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется характеристической функцией множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Легко показать, что соответствие между функциями и их единичными множествами является изоморфизмом.

Если функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляется элементарной конъюнкцией всех  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  переменных, то множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит ровно один элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если же функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— элементарная конъюнкция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двоичных наборов. Это объясняется тем, что в таком случае Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных, не входящих в эту конъюнкцию несущественны для функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда они принимают Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значений, не изменяя значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . такой функции называется интервалом.  

Пример №43

Рассмотрим функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдём её интервал. Прежде всего, заметим, что две переменных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются несущественными. Это позволяет сразу определить количество единичных наборов, содержащихся в множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (иначе говоря, его мощность). Поскольку в данном случае Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее, очевидно, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач только при значениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом переменные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут принимать любые значения. Теперь перечислим все единичные наборы для данной функции: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассматриваемом случае говорят, что конъюнкция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или, точнее, интервал  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ) покрывает множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и все его подмножества.

Представление некоторой функции в виде ДНФ соответствует представлению её единичного множества в виде объединения интервалов; в совокупности все конъюнкции ДНФ покрывают всё единичное множество функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обратное также верно: если все

элементы некоторого интервала Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то существует ДНФ данной функции, содержащая конъюнкцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полнота и замкнутость

Ранее нами рассматривались два способа задания логических функций — табличный и с помощью формул. Таблица задаёт функцию непосредственно как соответствие между двоичными наборами и значениями функции на этих наборах. Этот способ универсален, то есть, пригоден для любых функций, однако слишком громоздок. Формула — гораздо более компактный способ задания функции, но она задаёт функцию через другие функции. Поэтому для любой системы функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвозникает естественный вопрос: всякая ли логическая функция представима формулой в этой системе. В позапрошлой лекции был

получен положительный ответ для системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (теорема 8.2). В данной лекции будет показано, как решать этот вопрос для произвольной системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Функционально полные системы

Определение:  Система функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется функционально полной системой, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (является суперпозицией функций этой системы).

Из теоремы 8.2 следует, что система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функционально полной. Равным образом, функционально полна любая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, через функции которой можно выразить конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Действительно, для любой логической функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из такой системы следует составить булеву формулу (а она обязательно существует согласно теореме 8.2) и потом выразить в ней конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание через функции системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Аналогично обосновывается более общее утверждение.

Теорема 11.1. Если все функции функционально полной системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представимы формулами над системой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также функционально полна.

Пример 1.

а) Системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функционально полны. Действительно, с помощью законов Де Моргана и двойного отрицания можно выразить в каждой из этих систем функцию, недостающую до Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через остальные две:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С точки зрения функциональной полноты систему Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует считать избыточной: она сохраняет свойство полноты и при удалении из неё конъюнкции или дизъюнкции. Однако легко видеть из приведённого примера, что, хотя системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются

избыточными, зато формулы в них получаются гораздо длиннее: замена одной операции на другую вносит в формулу сразу три лишних отрицания.

б) Системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (штрих Шеффсра) и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (стрелка Пирса) являются функционально полными.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, система  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сводится к системе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к системе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

в) Система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — умножение по модулю 2, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сложение по модулю 2 -см. пункт 1 лекции № 8)) является функционально полной. Поскольку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, данная система сводится к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На свойствах этой системы остановимся подробнее.

Алгебра Жегалкина и линейные функции

Определение: Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется алгеброй Жегалкина.

Замечание. Операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вполне аналогична операции конъюнкции (логического умножения). Однако операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет совершенно другой математический смысл, чем дизъюнкция (соответствующая функция ранее была названа неравнозначностью). Поэтому никак нельзя считать алгебру Жегалкина иной формой записи булевой алгебры.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения (знак умножения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач опущен):

2.1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2.2.Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2.3  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2.4  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, выполняются соотношения, ранее сформулированные булевой алгебры, относящиеся к конъюнкции и константам. Отрицание и дизъюнкция выражаются так:

2.5 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2.6 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все упрощения по вышеуказанным соотношениям, то получится формула, имеющая вид Суммы произведений, то есть полином (многочлен) по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции.

От булевой формулы всегда можно перейти к формуле алгебры Жегалкина, используя равенства 2.5 и 2.6, а также прямое следствие из равенства 2.6: если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оно, в частности, позволяет заменять знак дизъюнкции знаком Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случаях, когда исходная формула представляет собой СДНФ.

Пример 2. Составить полиномы Жегалкина для данных функций:

а)   Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач б)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что если в полученных полиномах Жегалкина произвести обратную замену функций, то получим упрощенные формулы булевой алгебры.

Теорема 11.2. Для всякой логической функции существует полином Жегалкина и притом единственный.

Существование такого полинома, по сути, уже доказано, а для доказательства его единственности достаточно показать существование взаимно однозначного соответствия между множеством всех функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных и множеством всех полиномов Жегалкина.

Определение: Функция, у которой полином Жсгалкина имеет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где параметры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   равны нулю или единице, называется линейной.

Bee функции от одной переменной линейны. Также линейными являются функции эквивалентность и сумма по модулю 2.

Замкнутые классы. Монотонные функции

Определение: Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач снова принадлежит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Всякая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач логических функций порождает некоторый замкнутый класс, а именно класс всех функций, которые можно получить суперпозициями функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Такой класс называется замыканием Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — функционально полная система, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.

а) Множество всех дизъюнкций, то есть функций вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является замкнутым классом.

б) Множество всех линейных функций является замкнутым классом, так как подстановка формул вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после преобразований даёт формулу такого же вида.

Важнейшим примером замкнутого класса является класс монотонных функций, который будет рассмотрен далее.

Ранее рассматривалось отношение частичного порядка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве векторов одинаковой длины. Напомним, что для векторов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Здесь воспользуемся этим отношением для двоичных векторов.

Определение: Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется монотонной, если для любых двух двоичных наборов длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из того, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.

а) Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонна.

б) Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями.

в) Рассмотрим две функции от трёх переменных, заданных следующей таблицей.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, очевидно, не является монотонной, так как, например Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Монотонность функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач легко установить непосредственной проверкой.

Проверка монотонности функции непосредственно по определению требует анализа таблицы функции и может оказаться достаточно трудоёмкой. Поэтому весьма полезной для установления монотонности является следующая теорема. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Теорема 11.3. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Из данной теоремы и того очевидного факта, что подстановка нескольких формул без отрицаний в формулу без отрицаний снова даёт формулу без отрицаний, вытекает следующая теорема.

Теорема 11.4. Множество всех монотонных функций является замкнутым классом.

Но поскольку всякая булева формула без отрицаний является суперпозицией дизъюнкций и конъюнкций, из данной теоремы непосредственно получаем следствие.

Следствие. Класс монотонных функций является замыканием системы функций  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоремы о функциональной полноте

Теперь перейдём к рассмотрению основного вопроса, поставленного в рамках данной лекции: каковы необходимые и достаточные условия функциональной полноты для произвольной системы функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ? Вначале было сказано, что система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач полна, если конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются суперпозициями функций из системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поэтому будем искать свойства функций, позволяющие выразить через них булевы операции. Сначала сформулируем две леммы, позволяющие вывести соответствующие теоремы.

Лемма 1 (о немонотонных функциях). Если функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач немонотонна, то подстановкой констант из неё можно получить отрицание.

Практически данная лемма является утверждением, противоположным теореме, обратной к теореме 11.3. Смысл её заключается в том, что для функцииДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такая подстановка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач константы, что функция оставшейся одной переменной является отрицанием.

Лемма 2 (о нелинейных функциях). Если функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нелинейна, то с помощью подстановки констант и использования отрицаний из неё можно получить дизъюнкцию или конъюнкцию.

Иначе говоря, существует представление дизъюнкции и конъюнкции в виде суперпозиции констант, отрицаний и нелинейной функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Замечание. При традиционных обозначениях переменных в выражениях вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где переменные расположены в естественном порядке индексов, эти индексы играют двоякую роль: они именуют переменные и нумеруют их места в функции. Эти роли следует различать.

Две указанные леммы позволяют получить все булевы операции с помощью немонотонных функций, нелинейных функций и констант. Это ещё не полнота в точном смысле слова, так как константы с самого начала предполагались данными. Однако такое предположение часто бывает оправданным в различных приложениях (прежде всего в синтезе логических схем). Поэтому есть смысл ввести ослабленное определение полноты.

Определение: Система функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется функционально полной в слабом смысле, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть является суперпозицией констант и функций из системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Очевидно, что из обычной полноты системы следует её слабая полнота.

Теорема 11.5 (первая теорема о функциональной полноте). Для того, чтобы система функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач была функционально полной в слабом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хот бы одну немонотонную функцию и хотя бы одну нелинейную функцию. Доказательство:

1)  Необходимость. Классы монотонных и линейных функций замкнуты и содержат 0 и 1. Поэтому если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не содержит немонотонных или нелинейных функций, то их нельзя получить с помощью суперпозиций функций из системы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и констант.

2)  Достаточность. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит немонотонную и нелинейную функцию. Тогда по лемме 1 подстановкой констант из монотонной функции получаем отрицание, а затем по лемме 2 из нелинейной функции с помощью отрицаний и констант получаем дизъюнкцию и конъюнкцию.

Пример 5.

а) Система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функционально полна в слабом смысле, так как операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нелинейна (как и конъюнкция), а операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сложение по mod 2) немонотонна. б) В функционально полной системе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единственная функция — штрих Шеффера — нелинейна и немонотонна.

Для формулировки необходимых и достаточных условий «сильной» полноты (в отличие от слабой) нужно ввести ряд определений, описывающих ещё три замкнутых класса функций.

Определение: Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сохраняющей ноль, если выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сохраняющей единицу, если выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Оба данных класса функций являются замкнутыми, что проверяется подстановкой констант в суперпозиции. Равным образом замкнутый класс образуют самодвойственные функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтакие, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 11.6 (вторая — основная — теорема о функциональной полноте).  Для того чтобы система функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач была функционально полной (в сильном смысле), необходимо и достаточно, чтобы она содержала: 1) нелинейную функцию, 2) немонотонную функцию, 3) функцию, не являющуюся самодвойственной, 4) функцию, не сохраняющую ноль, 5) функцию, не сохраняющую единицу.

Язык логики предикатов

1. Предикаты.

Определение: Предикатом  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное множество, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — определённое ранее двоичное множествоДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Иначе говоря, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-местным предикатом, определённым на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется двузначная функция от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач аргументов из произвольного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предметной областью предиката, переменные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — предметными переменными. В принципе, можно определить предикат как функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть допустить, что переменные принимают значения из различных множеств — в некоторых случаях это оказывается удобным.

Для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует взаимно однозначное соответствие между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — местными отношениями и о-местными предикатами на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , определяемое следующим образом. Каждому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-местному отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; всякий предикат  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задаёт область истинности предиката.

Всякой функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно поставить в соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — местный предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку функция должна быть однозначной, то это соответствие требует, чтобы для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнялось Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поэтому обратное соответствие (от предиката к функции) возможно только при выполнении указанного условия.

В дальнейшем, в случаях, не вызывающих разночтения, будем употреблять одинаковые обозначения для предикатов и соответствующих им отношений. При этом, помимо функциональных обозначений вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для двухместных предикатов будем пользоваться обозначениями вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые употреблялись ранее для бинарных отношений.

Пример 1.

а) Предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание 6 > 5 истинно, а высказывание 3 > 10 ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее.

б)    Великая теорема Ферма (до сих пор не доказанная) утверждает, что для любого натурального числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует натуральных чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые удовлетворяли бы равенству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этому равенству можно поставить в соответствие предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, истинный тогда и только тогда, когда оно выполняется.

в)    В описаниях вычислительных процедур и, в частности, в языках программирования, часто встречаются указания типа «повторять цикл до тех пор, пока переменные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не станут равными или прекратить вычисление цикла после ста повторений». Если обозначить через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач счётчик повторений, то описанное здесь условие примет вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а само указание в целом описывается выражением: «повторять, если».

Кванторы

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — предикат, определённый на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Высказывание «для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно» обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Здесь множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входит в обозначение, но когда оно ясно из контекста пишут просто Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется квантором общности.

Высказывание «существует такое значение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно» обозначаетсяДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется квантором существования. Переход от предиката РДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к выражениям вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается связыванием  переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также навешиванием квантора на переменную Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или на предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной.

Смысл связанных и свободных переменных в предикатах принципиально различен. Свободная переменная — это обычная переменная, которая может принимать различные значения из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; выражение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменное высказывание, зависящее от значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выражение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет вполне определённое значение. Это, в частности, означает, что переименование связанной переменной, то есть переход от выражения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к выражению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот не меняет истинности выражения. Переменные, являющиеся, по существу, связанными, встречаются не только в логике. Например, в выражениях Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связана: при фиксированной функцииДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первое выражение равно определенному числу, а второе становится функцией от пределов интегрирования.

Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения, которые при этом заключаются в скобки. Выражение, на которое навешивается квантор Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется областью действия квантора. Все вхождения переменной в это выражение являются связанными. Навешивание квантора на многоместный предикат уменьшает в нём количество свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.

Пример 2.

а) Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — предикат «Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— чётное число». Тогда высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно на любом множестве чётных чисел и ложно, если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит хотя бы одно нечётное число. Высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно чётное число и ложно на любом множестве нечётных чисел.

б)  Рассмотрим двухместный предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множествах Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с отношением нестрогого порядка. Предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) есть одноместный предикат от переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество неотрицательных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Предикат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (можно записать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ) высказывание истинное на множестве, состоящем из одного элемента и ложное на всяком другом множестве. Высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач утверждает, что в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется максимальный элемент (для любого у существует такой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Оно истинно на любом конечном множестве целых чисел. Высказывание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач утверждает, что для любого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, не меньший его. Оно истинно на любом непустом множестве ввиду рефлексивности отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Последние два высказывания говорят о том, что перестановка кванторов меняет смысл высказывания и условие его истинности.

Истинные формулы и эквивалентные соотношения

При логической (истинностной) интерпретации формул логики возможны три основные ситуации.

1. Если в области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такая подстановка констант вместо всех переменных, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится истинным высказыванием, то эта формула называется выполнимой в области  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Если существует область Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , в которой формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнима, то формула называется просто выполнимой. Пример выполнимой формулы — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Если формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнима в области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любых подстановках констант, то она называется тождественно истинной в области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формула, тождественно истинная в любых множествах называется просто тождественно истинной, или общезначимой, или тавтологией. Например, формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тождественна для всех множеств, состоящих из одного элемента, а формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является тавтологией.

3. Если формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач невыполнима в области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любых подстановках констант, то она называется тождественно ложной в области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формула, тождественно ложная в любых множествах называется просто тождественно ложной или противоречивой. Формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является противоречивой.

Определение: Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках одинаковых констант они принимают одинаковые значения. В частности, все тождественно истинные (и все тождественно ложные) формулы являются эквивалентными.

Отмстим, что если формулы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны в соответствии с этим определением, то формула Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является тождественно истинной.

Замечание. Исследование формул логики предикатов имеет огромное значение потому, что эти формулы входят практически в любую формальную теорию. В связи с этим возникают две проблемы: получение истинных формул и проверка имеющихся формул на истинность. Поскольку предикатные переменные имеют, в общем случае, бесконечное множество значений, то установить истинность формул простым перебором значений на всех наборах переменных, как это иногда делалось для логических функций, просто невозможно. В связи с этим, приходится использовать различные косвенные приёмы.

Пример 3. Рассмотрим соотношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть для некоторого предиката Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и области Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая часть истинна. Тогда не существует такого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно. Следовательно, для любых значений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ложно, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и правая часть истинна. Если же левая часть ложна, то всегда существует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , для которого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно и, следовательно, правая часть ложна.

Аналогично доказывается истинность соотношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Большое значение имеют следующие свойства, которые могут быть доказаны способом, рассмотренным в примере 3.

1)    Дистрибутивность квантора Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно конъюнкции:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)    Дистрибутивность квантора 3 относительно дизъюнкции:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же кванторы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  поменять местами, то получатся соотношения, верные только в одну сторону:

3)    Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 4)    Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В таких случаях говорят, что левая часть является более сильным утверждением, чем правая, поскольку она требует для своего выполнения более жёстких условий. Так, например, в соотношении 3 в левой части требуется, чтобы оба предиката были истинны для одного и того же значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда как в правой части они могут быть истинны при различных значениях переменной. Пример случая, когда соотношения 3 и 4 в обратную сторону неверны: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — «Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— чётное число», Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — «Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— нечётное число».

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое переменное выражение, не содержащее переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда выполняются соотношения:

5)    Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6)    Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

7)    Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

8)     Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти соотношения означают, что формулу, не содержащую переменной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно выносить за область действия квантора, связывающего эту переменную.

Доказательства в логике предикатов

Метод доказательства формул, содержащих переменные, путём непосредственной подстановки в них констант называется методом интерпретаций или методом моделей. Подстановка констант позволяет интерпретировать формулу как осмысленное утверждение об элементах конкретного множества. Поэтому такой метод, выясняющий истинность формулы путём обращения к её возможному смыслу называется семантическим (смысловым). Метод интерпретаций удобен для доказательства выполнимости формул или их неэквивалентности, поскольку и в том, и в другом случае достаточно найти одну подходящую подстановку. Он удобен также для исследования истинности формул на конечных областях. Дело в том, что если область Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач конечна, то кванторы переходят в конечные формулы логики высказываний:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменяя все кванторы по этим соотношениям, любую формулу логики предикатов можно перевести в формулу, состоящую из предикатов, соединённых логическими операциями. Истинность такой формулы на конечной области проверятся конечным числом подстановок и вычислений. Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называются финитными.

Для бесконечных же областей, в общем случае, при доказательстве тождественной истинности формул метод интерпретации связан с большими трудностями. Поэтому для построения множества истинных формул в логике предикатов выбирается иной путь. Это множество порождается из неких исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода. Используются лишь формальные (а не содержательные), внешние свойства последовательности символов, образующих формулы, причём эти свойства полностью описываются правилами вывода. Множества, порождённые таким формальным методом, называются формальными.

Комбинаторика

В этой лекции даются основные начальные сведения из комбинаторики. Это служебный раздел математики, занимающийся исследованием различных комбинаций элементов всевозможных множеств. Формулы комбинаторики широко используются теории вероятностей, в теории вычислительных машин, в некоторых разделах экономике, в статистике и других прикладных дисциплинах.

Правила суммы и произведения

Будем в дальнейшем оперировать только с множествами, содержащими конечное число элементов. На бесконечные множества все нижеприведённые правила и формулы не распространяются.

Теорема 13.1. Пусть даны непересекающиеся конечные множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда мощность объединения этих множеств равна сумме мощностей данных множеств:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство этой теоремы очевидно. Но для нас представляет интерес другая интерпретация этой теоремы, которую мы сформулируем для двух множеств.

Если некоторый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, причём любой способ выбора элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличается от любого способа выбора элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выбор «Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач» можно сделать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Это правило называется правилом суммы.

Пусть даны непересекающиеся конечные множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим число элементов в этих множествах (их мощности) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим декартово произведение этих множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напомним, что элементами этого произведения будут векторы (кортежи) длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 13.2. Число элементов в декартовом произведении множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно произведению мощностей этих множеств:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и в предыдущем случае, сформулируем данную теорему упрощенным образом для двух множеств. Если элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, причём любой способ выбора элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличается от любого способа выбора элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выбор «Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач» (то есть, пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) можно сделать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Это правило называется правилом произведения, или умножения.

Оба сформулированных правила верны для любого конечного числа конечных множеств, и, в соответствующей форме, называются обобщёнными.

Пример 1.

а) В некоторой средней школе имеется три пятых класса, в которых обучаются соответственно 28, 31 и 26 учащихся. Требуется одного из них выбрать для участия в совете школы. Сколькими способами можно сделать выбор?

По правилу суммы получаем 28 + 31 + 26 = 85.

б) В секции фигурного катания занимаются 14 мальчиков и 18 девочек. Сколькими различными способами из детей, занимающихся в секции, можно образовать спортивные па-

По правилу произведения получаем 14 -18 = 252.

Размещения

Определение: Любой вектор длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленный из элементов  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором все элементы различны, называется размещением без повторений по к элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число всех размещений без повторений по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 2. Куплено различных 12 книг. На полке можно поставить в ряд ровно 6 книг. Сколькими различными способами можно это сделать?

Будем считать различными не только те случаи, когда берутся разные книги, но и когда они по-разному расставлены на полке (в различном порядке). Тогда речь идёт о перестановках по 6  из 12. Получаем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим существенно другой случай, а именно когда элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в векторах могут повторяться.

Определение: Любой вектор длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленный из элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , состоящего из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, в котором все элементы различны, называется размещением с повторениями по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число всех размещений с повторениями по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 3. Сколько различных комбинаций может получиться при одновременном бросании трёх игральных костей?

Каждая игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого нанесено от одного до 6 очков. При каждом бросании мы будем получать наборы вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество очков, выпавших на соответствующей кости. Речь идёт о перестановках с повторениями по 3 элемента из 6. Получаем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Очевидно, что размещения без повторений являются частным случаем размещений с повторениями.

Перестановки

Определение: Любой вектор длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленный из элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором все элементы различны, называется перестановкой без повторений из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов. Число всех перестановок без повторений из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из определения и формулы видно, что перестановки без повторений есть частный случай размещений без повторений, при условии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №44

Сколькими различными способами можно расставить на полке 10 различных книг?

Здесь, в отличие от примера 2, значение имеет только порядок расставляемых книг. Поэтому речь идёт о перестановках из 10 элементов. Получаем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачРассмотрим случай, когда элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач повторяются по нескольку раз. Для определённости пусть 1-й элемент повторяется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, 2-й элемент — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз и так далее. Тогда векторы длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, образованные из элементов данного множества называются перестановками из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов с повторениями. Число таких перестановок обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и равно — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив в последней формуле Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим формулу для перестановок без повторений.

Пример №45

Сколько различных шестизначных чисел могут быть записано с помощью цифр 1, 2, 2, 2, 3, 3?

Имеется набор из шести цифр, в котором цифра 2 повторяется трижды и цифра 3 -дважды. Полученные числа будут представлять собой перестановки с повторениями из 6  элементов. Получаем:  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сочетания. Бином Ньютона

Прежде всего, отметим одно существенное отличие перестановок от размещений. Если в размещениях векторы различаются и по составу элементов, и по их расположению (порядку) в наборе, то в перестановках векторы различаются только по расположению элементов. Естественно рассмотреть случай, когда векторы, наоборот, будут различаться только по составу элементов.

Определение: Любые различные векторы длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленные из элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -элементного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, различающиеся между собой по набору элементов, но не по их расположению в наборе, называются сочетаниями по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Если все элементы, образующие сочетания, различны, то их называют сочетанием без повторений. Обозначение всех сочетаний без повторений  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формула для вычисления Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если некоторые (или все) элементы, образующие сочетания, могут повторятся, то их называют сочетаниями повторениями. Обозначение всех сочетаний без повторений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формула для вычисления Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Запоминать последнюю формулу нет необходимости.

Замечание 1. Сочетания являются частным случаем размещений. Разница между сочетаниями и размещениями из определения неочевидна, но на конкретных примерах её легко видеть. Так, например, векторы (1,2,3) и (3,2,1) являются различными размещениями, но обозначают одно и то же сочетание.

Замечание 2. Для сочетаний без повторений обязательно требование Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причём в случае равенства получим естественный результат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но для сочетаний с повторениями это требование необязательно, как будет видно из приведённого ниже примера.

Пример 6.

а) В отделе работают 10 сотрудников. Требуется отобрать трёх из них для того, чтобы направить в командировку. Сколькими способами можно это сделать?

Поскольку имеет значение только то, какие именно сотрудники отобраны, то речь идёт о сочетаниях без повторений по 3 элемента из 10. Получаем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) В цветочном магазине имеются в продаже 5 различных видов цветов. Покупателю требуется составить букет из 7 цветов. Сколькими способами можно это сделать?

Будем считать различными те букеты, которые отличаются друг от друга по подбору цветов. Поскольку цветы в букете могут повторяться, то речь идёт о сочетаниях с повторениями по 7 элементов из 5. Тогда получим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Одним из наиболее известных примеров использования комбинаторных формул является так называемый бином Ньютона. В общем виде формула бинома (двучлена) Ньютона выглядит так:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С частными случаями применения этой формулы ( для случаев Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — 2  и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — 3) сталкиваются ещё в школе при изучении формул сокращённого умножения:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На практике для удобства применении бинома Ньютона применяют так называемый треугольник Паскаля, который содержит числовые коэффициенты полинома в правой части формулы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория графов

Теорию графов начали разрабатывать для решения некоторых задач о геометрических конфигурациях, состоящих из точек и линий. В дальнейшем оказалось, что понятие графа можно применять не только при исследовании геометрических конфигураций. Особенно часто определяют графы при анализе функционирование неких систем.

Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов

Определение: Если на плоскости задать конечное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек и конечный набор линий Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, соединяющих некоторые пары из точек Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются вершинами графа, а элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ребрами.

Определение: Если вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является концом ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачинцидентны.

В множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями (на рисунке 1.4 при вершине 5 имеется петля). Одинаковые пары в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых парДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется кратностью ребра (v, w). Например, на рисунке 1.1 все рёбра имеют кратность 1, а на рисунке 1.2 есть два ребра, соединяющих одни и те же вершины 1 и 4, следовательно, их кратность равна двум.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и набор Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют граф с кратными ребрами — псевдограф.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Если в наборе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

Ниже, на рисунке 1.1 изображен граф, на рисунке 1.2 мультиграф, на рисунке 1.4 -псевдограф.

Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра — линиями, соединяющими соответствующие вершины. На рисунке 1 изображены некоторые неориентированные графы.

Рисунок 1.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Слово «линия», которое мы используем, подразумевает несущественность того, какая конкретно линия используется для соединения двух вершин графа, то есть её геометрические характеристики не имеют значения.

Замечание 2. Граф можно определить, также как совокупность двух множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, между элементами которых установлено отношение инцидентности, при котором каждый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач инцидентен ровно двум элементам Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Определение: Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ребро графа, то вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются концами ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Если пары в наборе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются упорядоченными, то граф называется ориентированным или орграфом.

Если пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дуга орграфа, то вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начало, а вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конец дуги Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение: Вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются смежными, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Определение: Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется висячей, если ее степень равна единице и изолированной, если ее степень равна нулю.

На рисунке 1.5 все вершины, кроме вершины 1, являются висячими. На рисунке 1.3 вершина 4 является изолированной. Если граф состоит только из таких вершин, его называют пустым. В некоторых случаях пустым называют граф, не имеющей ни одной вершины.

Рисунок 2.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 2 представлены различные типы ориентированных графов.

Заметим, что каждому неориентированному графу можно поставить в соответствие ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя противоположными рёбрами, инцидентными тем же вершинам. Такое соответствие называется каноническим.

Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа

Обычно рассматриваемые графы конечны, то есть, конечны множества их элементов -вершин и рёбер. Поэтому в дальнейшем конечность графов не будет оговариваться, тем более, что важнейшие понятия и результаты, приводимые ниже относятся к произвольным графам.

Задать граф — значит, описать множества его вершин и рёбер и задать между ними отношение инцидентности. Когда граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачконечный, для описания его вершин и рёбер достаточно их занумеровать. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вершины графа, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его рёбра.

Отношение инцидентности можно определить матрицей Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размерности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Столбцы этой матрицы будут соответствовать вершинам графа, а строки — его рёбрам. Если ребро Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, инцидентно вершине Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в противном случае — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такая матрица называется матрицей инцидентности неориентированного графа, поскольку по способу её задания невозможно различить начало и конец каждого ребра.

Пример №46

Составить матрицу инцидентности неориентированного графа, изображённого на рисунке 3.

Рисунок 3.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Строим матрицу инцидентности в виде таблицы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для ориентированного графа матрица инцидентности составляется иначе. Это матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размерности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начало ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конец ребра  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если вершине Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач инцидентна петля Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— любое число, кроме чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (обычно берут 2). В любом противном случае — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №47

Построить матрицу инцидентности для графа, изображённого на рисунке 4.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Строим матрицу инцидентности в виде таблицы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ещё проще задавать граф с помощью таблицы рёбер. Она состоит из двух столбцов; в левых содержатся названия рёбер, а в правых — инцидентные им вершины (для ориентированных графов обязательно сначала указывается начало ребра, потом конец). Ниже приведены таблицы рёбер для графов из примеров 1 и 2.

Для примера 1:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для примера 2:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, по списку ребер можно построить его таблицу инцидентности. Действительно, каждая строка этого списка соответствует строке матрицы с тем же номером; аналогично можно выполнить обратную процедуру.

Ещё одним способом представления графа является построение для него матрицы смежности. Это квадратная матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой количество строк и столбцов равно количеству вершин графа. Для неориентированного графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта матрица определяется следующим образом. Если вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются смежными, то есть если выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В противном случае, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для графа из примера 1 таблица смежности имеет вид:  

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрица смежности неориентированного графа обязательно симметрична. Размерность матрицы указывает на количество вершин, а число рёбер равно половине единиц, имеющихся в матрице.

Матрица смежности ориентированного графа отличается только тем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в том

и только в том случае, когда в паре смежных вершин Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является началом, а вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — концом ребра. Для графа из примера 2 матрица смежности выглядит следующим образом:    

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что вся информация об ориентированном графе, порождающем некоторую матрицу смежности, содержится в верхнем (относительно главной диагонали) её треугольнике.

Ориентированный граф с симметричной матрицей смежности канонически соответствует неориентированному графу, имеющему ту же таблицу смежности (но не наоборот).

Идентификация графов, заданных своими представлениями

Итак, граф может быть представлен различными способами. Он может быть задан рисунком, матрицей инцидентности, списком рёбер или матрицей смежности. Вид чертежа зависит от формы линий и взаимного расположения вершин. Иногда, даже для пары достаточно простых графов, непонятно, одинаковы ли они (см. рисунок 5 «а» и «б»). Вид матриц, также как списков рёбер зависит от нумерации вершин и рёбер графа. В связи с этим возникает весьма существенный вопрос о том, как определять равенство графов.

Рисунок 5.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Строго говоря, граф считается полностью заданным, если нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными.

Определение: Графы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняющее смежность.

Перенумерация вершин графа задаётся строкой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач новых номеров вершин, расположенных в исходном порядке. Новая матрица смежности получается из исходной матрицы перемещением каждого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— ю строку, в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —й столбец. Поэтому, чтобы узнать, представляют ли две таблицы смежности изоморфные графы, можно, например, перевести всевозможные одинаковые перестановки строк и столбцов первой матрицы. Если одна из таких перестановок даст матрицу, тожественно совпадающую со второй матрицей, то представляемые ими графы изоморфны. Однако эта процедура может оказаться очень трудоёмкой, так как всего возможно выполнение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перестановок.

Маршруты, цепи и циклы

Основные определения

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неориентированный граф. Рассмотрим конечную последовательность рёбер Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такую, что любые два соседние ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют одну общую инцидентную вершину Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эту последовательность называется маршрутом графа.

Определение:  Маршрутом (путем) для графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется последовательность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).

Любой отрезок конечного или бесконечного маршрута Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вида Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является маршрутом и называется участком маршрута Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Заметим, что одно и то же ребро может встречаться не один раз. Вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, инцидентная первому ребру маршрута Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и не инцидентная следующему ребру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется началом маршрута. Причём если эти рёбра кратные, то необходимо указать, какая именно из двух инцидентных им вершин является началом маршрута. Аналогично определяется конец маршрута. Вершины, инцидентные ребрам маршрута, за исключением первой и последней, называются промежуточными. Причём, поскольку одной вершине может быть инцидентно несколько рёбер, начало и конец маршрута могут быть в то же время промежуточными точками. Таков, например, маршрут  abedef   на рисунке 1, где вершина 1 является началом маршрута и, в то же время, промежуточной точкой.

Рисунок 1.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть начало и конец маршрута совпадают. Отметим, что в этом случае маршрут может быть только конечным..

Определение: Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.

В простой цепи любая вершина маршрута инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Определение: Замкнутый маршрут (путь) называется циклическим маршрутом или циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.

Иначе говоря, простой цикл — это циклический маршрут, в котором любые два соседние ребра имеют одну инцидентную вершину. Последовательности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляют один и тот же цикл (рисунок 2). Часто считается, что можно менять порядок рёбер цикла на противоположный, то есть, например, последовательность  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпредставляет тот же цикл.

Рисунок 2.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Участок цепи или цикла является цепью; соответственно, участок простой цепи или простого цикла является простой цепью.

Связные компоненты графов

Определение: Вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются связанными, если существует маршрут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наоборот, маршрут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется связывающим эти вершины.

Очевидно, что при существовании маршрута Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен также существовать маршрут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором рёбра идут в противоположном порядке. Можно показать, что любые две связанные маршрутом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершины можно связать маршрутом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющимся простой цепью, состоящей из участков маршрута Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Если вершинаДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связана с какой-то вершиной vm маршрутом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то она, естественно связана с собой маршрутом, состоящим из маршрутов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Более того, принято считать, что изолированная вершина также связана сама с собой, то есть отношение связности, заданное на множестве вершин данного графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рефлексивно. Оно также симметрично и транзитивно, а поэтому является отношением эквивалентности. Тогда оно порождает разбиение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на непересекающиеся подмножества такие, что вершины одного подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны между собой и не связаны с вершинами другого подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это, в свою очередь, означает, что граф может быть разложен в прямую сумму подграфов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой.

Поэтому все подграфы связного графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связны и называются связными компонентами графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — связный неориентированный граф, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любые две его вершины. Тогда существует связывающая их простая цепь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если количество этих рёбер Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не минимальное из возможных, существует цепь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причём Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Штрихи в обозначении используются, потому что не обязательно рёбра под одинаковыми индексами будут совпадать.

Если же и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не минимально, то найдётся связывающая эти вершины цепь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с ещё меньшим количеством рёбер и так далее. Однако этот процесс не бесконечен, его можно повторить не более, чем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз. Тогда существует цепь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связывающая вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с минимальным количеством рёбер Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Определение: Минимальная длина простой цепи с началом в вершине Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом в вершине Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется расстоянием между этими вершинами. Обозначается: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между любой вершиной и ею самой равно 0. Ему соответствует нулевой маршрут, не содержащий рёбер. Для любой пары различных вершин Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как связывающая их цепь состоит хотя бы из одного ребра. Вообще, расстояние Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет аксиомам метрики:

1)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , причём Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2)  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также для расстояния Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство треугольника: для любых трёх вершин Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это позволяет, для простоты рассуждений, измерять расстояние между вершинами по числу рёбер простой цепи, соединяющей их (тем более, что геометрические характеристики рёбер мы не учитываем).

Определение: Диаметром конечного графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется наибольшее из расстояний между парой его вершин:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Кратчайшие простые цепи, связывающие две вершины графа с максимальным расстоянием между ними, называются диаметральными простыми цепями.

Пусть  Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рассматриваемая вершина данного графа, a Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная вершина графа. Максимальным удалением в графе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от фиксированной вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется величина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение: Вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется центром графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если максимальное удаление от неё до остальных вершин графа принимает минимальное значение: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальное удаление от центра графа называется его радиусом и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а любая кратчайшая цепь от центра до наиболее удаленной от него вершины — радиальной цепью.

Замечание. Граф может иметь более одного центра. Например, в полном неориентированном графе, в котором две любые различные вершины соединены ребром, радиус равен единице, а любая вершина является центром.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечный, связный граф, число рёбер которого равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из соображений, изложенных при изучении комбинаторики, можно сделать очевидный вывод. Количество последовательностей рёбер этого графа конечно и равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, конечно и количество простых цепей, в которых рёбра не повторяются.

Определение: Протяжённостью Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется максимальная из длин связывающих эти вершины простых цепей.

Эйлеровы графы

Определение: Цепь (цикл) в графе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Эйлеровым, если она проходит по одному разу через каждое ребро графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 15.1. Для того, чтобы связный граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными.

Рисунок 3

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача, которая привела к появлению понятия Эйлерова цикла, широко известна в истории математики. Это так называемая задача о кенигсбергских мостах. Расположение семи мостов в городе Кенигсбергс в начале XVIII века приведено на рисунке За. Требуется обойти город, пройдя через каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.

Можно представить описанную задачу следующим образом. Имеется связный неориентированный граф с четырьмя вершинами и семью рёбрами. Требуется выяснить, существует ли простой цикл, позволяющий обойти данный граф по маршруту, включающему в себя по одному разу каждое ребро графа.

Именно решение данной задачи привело Л. Эйлера к доказательству приведённой выше теоремы. Кстати, согласно ей, данная задача неразрешима, поскольку степени всех вершин графа нечётны.

Теорема 15.2. Для того, чтобы связный граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

По сути дела, теоремы 15.1 и 15.2 описывают условия, при которых можно построить геометрическую фигуру «не отрывая карандаша от бумаги», одной сплошной линией. Только в первом случае начало и конец этой линии будут совпадать, а во втором случае они будут различны.

Определение: Цикл (цепь) в графе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ровно один раз.

Пример №48

а)                      Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач         — в графе есть и Эйлеров и Гамильтонов циклы

б)                      Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           — в графе есть Эйлеров цикл, но нет Гамильтонова в)                     Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              — в графе есть гамильтонов, но нет Эйлерова цикла г)                      Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               — в графе нет ни Эйлерова, ни Гамильтонова цикла Граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется полным, если каждая его вершина является смежной со всеми остальными вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы циклы.

Также необходимым условием существования гамильтонова цикла является связность графа.

Некоторые классы графов и их частей

Деревья

Определение: Связный неориентированный граф без циклов называется неориентированным деревом или просто деревом.

Из определения следует, что дерево не может содержать ни петель, ни кратных ребер.

Определение: Несвязный неориентированный граф без циклов называется лесом; связные компоненты леса являются деревьями.

Очевидно, что люба часть дерева или леса также не имеет циклов. В таком графе любая цепь является простой — в противном случае, она содержала бы цикл.

Теорема 16.1. Любые две вершины дерева связаны одной и только одной цепью. Обратно, если две любые вершины графа можно связать только одной цепью, то он является деревом.

Определение: Вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется концевой или висячей вершиной графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если её степень равна единице. Ребро, инцидентное концевой вершине, также называется концевым.

Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро.

Пусть в дереве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отмечена некоторая вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эту вершину называют корнем дерева Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а само дерево — деревом с корнем. В таком дереве можно естественным образом ориентировать рёбра. Любую вершину Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно соединить с корнем единственной простой цепью. Если эта цепь не содержит ребра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то вводится ориентация от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  если цепь содержит данное ребро, то вводится ориентация от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ориентированное таким образом дерево называется ориентированным деревом с корнем.

В нём все рёбра имеют направление от корня (см. рисунок 1).

Рисунок 1.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же изменить направления всех рёбер ориентированного дерева на противоположные (к корню), то получится ориентированный граф, который называется сетью сборки. В общем случае, такой граф тоже является ориентированным деревом. В каждую вершину ориентированного дерева, за исключением корня, входит только одно ребро. Иначе говоря, эта вершина является концом только одного ребра. Отсюда прямо следует, что в конечном дереве число вершин на один превышает число рёбер.

Замечание. Любое дерево можно ориентировать, выбрав в качестве корня любую его вершину.

Пусть дано конечное дерево Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Назовём его концевые вершины вершинами типа 1. Отметим, что если дерево имеет более двух вершин, то среди них есть неконцевые.

Далее удалим из дерева все вершины типа 1 и инцидентные им рёбра. Останется связный граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, также являющийся деревом. Дерево Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также имеет концевые вершины, которые будем называть вершинами типа 2 в дереве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Аналогичным образом определяются вершины типа 3 и так далее.

Легко видеть, что в конечном дереве имеются лишь вершины конечного числа типов, причём число вершин максимального типа равно одному или двум, так как в соответствующем дереве каждая вершина является концевой.

Теорема 16.2. Центрами дерева являются вершины максимального типа и только они.

Из данной теоремы прямо следует, что дерево имеет либо один, либо два центра. Диаметральные цепи в деревьях проходят через центр дерева, либо, если их два, через оба центра. В первом случае длина диаметральной цепи равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , во втором — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — максимальный тип дерева.

Определение: Цикломатическим числом конечного неориентированного графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется число, равное Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Здесь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество связных компонентов графа, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество рёбер, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество вершин.

Цикломатическое число дерева равно нулю. Цикломатические числа остальных конечных графов положительны.

Ориентированные графы

Понятие ориентированного графа (орграфа) было определено ранее. Сейчас рассмотрим подробнее, как выглядят в таком графе пути и циклы.

Пусть дан ориентированный граф Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждое ребро имеет начало Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и конец Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; также говорят, что данное ребро выходит из вершины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и входит в вершину Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дадим определение пути в ориентированном графе. Сразу оговоримся, что это понятие можно определять различными способами; мы приводим только один.

Определение: Путь из вершин и рёбер — это такая последовательность рёбер и вершин графа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является началом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— го ребра, а вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его концом. Вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется началом пути Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вершина Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его концом, число рёбер Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — длиной пути.

Путь, состоящий из одной вершины, имеет нулевую длину. Каждому пути Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ненулевой длины взаимно однозначно соответствует последовательность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рёбер этого пути. Её называют путём из рёбер. Такое понятие пути — аналог соответствующего понятия для неориентированного графа. Наконец, для графа, не содержащего кратных рёбер, можно указать взаимнооднозначное соответствие с последовательностьюДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершин пути. В зависимости от ситуации удобнее использовать тот или иной способ обозначения пути.

Определение: Путь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ориентированным циклом, если состоит более, чем из одного элемента, и его начало совпадает с его концом.

Начало цикла обычно не фиксируется, иначе говоря, все пути, получающиеся друг из друга циклическими сдвигами — это один и тот же цикл. Определение простого ориентированного цикла аналогично соответствующему определению для неориентированного цикла — это цикл, в котором каждая вершина инцидентна ровно двум его рёбрам. Любой граф, содержащий циклы, можно «укоротить» до простого. Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим.

Определение: Вершина ориентированного графа называется начальной, если в неё ни входит ни одно ребро и конечной, если из неё не выходит ни одно ребро.

Во всяком ациклическом графе есть хотя бы одна начальная и хотя бы одна конечная вершина. Максимальным рангом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершины ориентированного графа называется максимальная из длин путей этого графа с концом в вершине Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ранг вершины равен нулю тогда и только тогда, когда вершина является начальной. Если же через вершину проходит какой-нибудь цикл, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть вершины конечного ориентированного графа пронумерованы от 1 до Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Нумерация вершин называется правильной на ребре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и правильной на графе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если она правильна на всех его ребрах. Правильная нумерация вершин графа возможна только в том случае, если он ациклический.

Понятия длины путей, протяжённости и расстояния между вершинами определяются для ориентированного графа так же, как для неориентированного графа.

Графы с помеченными вершинами и рёбрами.

Нередко приходится иметь дело с различиями между вершинами графа. Тогда их разбивают на классы. Каждый класс состоит из вершин, имеющих обще свойство. Примером таких свойств могут быть следующие из уже описанных ранее свойств: иметь данную степень, иметь данное расстояние от корня, иметь данный ранг и так далее. В других случаях разбиение определяется свойствами объектов, описываемых при помощи графа. Например, структурная формула химического соединения — это граф, в котором вершины соответствуют атомам, рёбра — валентным связям, а классы состоят из вершин, соответствующих атомам одного и того же элемента.

Пусть дано разбиение графа на классы (всё равно, по какому признаку). Каждой вершине можно соотнести метку, указывающую, какому именно классу она принадлежит. Такая вершина называется помеченной. Метки являются элементами заданно множества. Иногда они явно указывают на свойства, определяющие классы: например, степени, ранги вершин, и их расстояния от корня можно метить соответствующими числами. Однако часто абстрагируются от конкретного характера отличий между вершинами, и тогда метки указывают только на сам факт сходства вершин или их различия. Соотнесение таких меток вершинам называют раскраской их в разные цвета. Аналогичным образом говорят о раскраске рёбер графа и вообще о раскраске элементов произвольного множества.

Справочный материал по дискретной математике

Понятие «дискретный» (от лат. discretus — разделенный, прерывный) является противоположным понятию «непрерывный». С содержательной точки зрения дискретный объект представляет собой нечто, состоящее из строго ограниченных, отделенных друг от друга неделимых частей.

Дискретная математика (или дискретный анализ) — совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, которые возникают в математике и в ее приложениях. Эти объекты могут носить как конечный характер, так и бесконечный — в случае отделимости составляющих их элементов или скачкообразности происходящих в них процессов.

Деление математики на дискретную и классическую (непрерывную) математику достаточно условно. Так, например, методы теории множеств используются при изучении и дискретных, и непрерывных объектов. Дискретная математика также использует методы, разработанные в классической математике. Однако характер исследуемых дискретной математикой объектов настолько своеобразен, что методов классической математики не всегда достаточно для их изучения. Важными отличиями дисциплин дискретной математики от классических разделов непрерывной математики являются отсутствие понятия непрерывности и предела последовательности.

В настоящее время методы дискретной математики находят широкое применение в различных областях знаний, наиболее значимой из которых является область компьютерных технологий.

К разделам дискретной математики обычно относятся: теория множеств, комбинаторика, общая алгебра, теория графов, математическая логика, теория алгоритмов, теория кодирования, теория автоматов и многие другие.

Множества

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики. Оно было введено в математику создателем теории множеств немецким ученым Георгом Кантором (1845 — 1918).

Множества и их элементы. Способы задания множеств

Под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Это описание понятия множества нельзя считать логическим определением, а всего лишь пояснением. Понятие множества принимается как исходное, первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.

Примерами множеств могут служить множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество всех одноклеточных организмов и т.п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

Элементы множества будем обозначать строчными латинскими буквами: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предложения вида «объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач «объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющие один и тот же смысл, кратко записывают в виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Символ Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется знаком принадлежности.

Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Например, множество всех корней уравнения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, то будем писать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМощность бесконечного множества является более сложным понятием. Оно будет рассмотрено в главе 3.

Замечание 1.1. Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве групп некоторого факультета университета.

Элементы этого множества — группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2. Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется универсальным множеством, или универсумом, и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать следующими способами.

  1. перечислением всех его элементов (списком);
  2. характеристическим свойством элементов множества;
  3. порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — обозначения различных объектов, то множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этих объектов записывают так: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Запись читают: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество, элементы которого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.2. Порядок перечисления элементов множества не имеет значения. Так, множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Обозначив символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач характеристическое свойство элементов множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем писать: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1.

Определим различными способами множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех нечетных чисел, не превышающих 10:

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. порождающая процедура определяется правилами:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подмножества

Определение 1.4. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подмножеством множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят также, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержится в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач включено в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Символ Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению подмножества каждое множество является подмножеством самого себя: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Различают два вида подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Само множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются несобственными подмножествами множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Любые подмножества множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличные от Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются собственными подмножествами множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.5. Множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если они состоят из одних и тех же элементов.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.3. Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства равенства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является элементом множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и каждый элемент из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является элементом множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то делают вывод, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Говорят, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строго включено в множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, по-другому, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строго включает Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Символ Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется знаком строгого включения.

Пример 1.3.

Имеют место следующие строгие включения числовых множеств: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.6. Множество всех подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется его булеаном (или множеством-степенью) и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Операции над множествами

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся двух множеств новые множества.

Определение 1.7. Объединением (суммой) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что в объединение двух множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут входить элементы из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежащие множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементы из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежащие множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и элементы, принадлежащие множествам Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно. Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.8. Пересечением (произведением) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачили множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно.

Таким образом, по определению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.4. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в этом случае множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются непересекающимися.

Из определения пересечения следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.9. Разностью Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.5. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в этом случае разность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют дополнением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим, опираясь на определения 1.7-1.9, операции симметрической разности и дополнения множества.

Определение 1.10. Симметрической разностью (кольцевой суммой) Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач либо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но не являются их общими элементами.

Таким образом, по определению,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.11. Дополнением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (до универсума Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.5.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем некоторые обобщения вышеприведенных определений. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -любое конечное или бесконечное множество индексов. Тогда объединение или пересечение произвольного семейства множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется следующим образом:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач хотя бы для одного Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то используются записи Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.12. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое семейство подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Семейство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется покрытием множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит хотя бы одному множеству семейства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — покрытие множества

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.6.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выяснить, какие из следующих семейств являются покрытиями множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Семейства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — покрытия множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а семейства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются покрытиями множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.13. Покрытие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется разбиением множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит в точности одному множеству семейства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — разбиение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.7.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выяснить, какие из следующих семейств образуют разбиения множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Среди перечисленных семейств только Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют разбиения множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Семейство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является разбиением множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а семейство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим основные, наиболее важные свойства операций объединения, пересечения и дополнения над множествами.

Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (идемпотентность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (идемпотентность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. коммунативность:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (коммутативность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (коммутативность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. ассоциативность:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ассоциативность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ассоциативность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4.дистрибутивность:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (дистрибутивность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (дистрибутивность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. поглощение: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6.свойства нуля: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

7. свойства единицы: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 8. инволютивность (свойство двойного дополнения): Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 9. законы де Моргана: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 10. свойства дополнения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 11. выражение для разности: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3.

В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Надо доказать, что множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда возможны два случая: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В случае Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из произвольности элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предложим теперь, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из произвольности элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытекает, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует равенство Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Диаграммы Эйлера — Венна

Для графического (наглядного) изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера — Венна (Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик, механик и физик; Джон Венн (1834 — 1923) — английский логик). На них множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображается множеством точек некоторого прямоугольника.

Проиллюстрируем с помощью диаграмм Эйлера — Венна введенные определения. На рисунках 1.1 — 1.5 результат выполнения операции выделен штриховкой.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямое произведение множеств

При задании некоторого конечного множества списком его элементов порядок указания элементов этого множества не имеет значения. Например, множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, так как они состоят из одних и тех же элементов, хотя порядок указания элементов в этих записях различен. Кроме этого, каждый элемент входит в множество в точности один раз, то есть среди элементов множества нет повторяющихся. Так, запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает множество, состоящее из единственного элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем новое исходное понятие — понятие упорядоченной пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая представляет собой набор двух объектов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не обязательно различных, первым элементом которого является Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вторым — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.14. Упорядоченные пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сравните: из равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (вектора) — упорядоченного набора произвольных, не обязательно различных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач объектов. Кортеж, состоящий из элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются координатами или компонентами кортежа. Число координат называется длиной кортежа (размерностью вектора). Кортежи длины 2 называют также упорядоченными парами, кортежи длины 3 — упорядоченными тройками и т.д., кортежи длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — упорядоченными Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ми («энками»).

Определение 1.15. Два кортежа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем еще одну операцию над множествами.

Определение 1.16. Прямым {декартовым) произведением

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество всех кортежей длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определению,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.8.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-кратным прямым произведением множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач степенью множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом будем считать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим геометрическую интерпретацию прямого произведения двух числовых множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество всех точек координатной плоскости Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такими, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда для двух заданных числовых множеств можно наглядно изображать их прямое произведение и, обратно, по изображению прямого произведения двух множеств определять их элементы.

Пример 1.9.

Изобразить на координатной плоскости Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.10.

Определить, прямое произведение каких множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачизображено на рисунках:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Он основан на так называемом принципе математической индукции (одна из аксиом формальной теории натуральных чисел): утверждение «для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считается доказанным, если оно доказано для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для любого натурального числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из предположения, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдоказана его истинность для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запись принципа математической индукции в символической форме выглядит так: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства утверждений методом математической индукции используется схема рассуждений, состоящая из следующих этапов:

  1. База индукции. Доказывается истинность утверждения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (обычно это удается сделать непосредственной проверкой).
  2. Индуктивное предположение. Допускается, что утверждение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач верно для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Индукционный переход. Исходя из индуктивного предположения, доказывается истинность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Вывод. На основании первых трех этапов и принципа математической индукции делается вывод о справедливости утверждения для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.6. Если требуется доказать утверждение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то база индукции начинается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.7. Иногда бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависящего от натурального параметра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции можно записать в виде:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.8. С помощью принципа математической индукции можно давать индукционные определения. При этом для определения понятия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во-первых, задается значение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во-вторых, для любого натурального числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задается правило получения значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по числу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и значению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.11.

Доказать, что для любого натурального числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Обозначим через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левую часть равенства, а через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачправую: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем истинность данного равенства методом математической индукции.

1. База индукции. Проверим истинность равенства при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, данное равенство верно для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Индуктивное предположение. Предположим истинность равенства при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Индукционный переход. Докажем истинность равенства при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Преобразуем левую часть этого равенства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в силу индуктивного предположения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем дроби к общему знаменателю, сложим их и, воспользовавшись формулой сокращенного умножения, выполним сокращение:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили, что из истинности равенства при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное натуральное число) следует его истинность при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. На основании пунктов 1 — 3, приведенных выше, и принципа математической индукции следует, что данное равенство истинно для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соответствия

Определение 1.17. Соответствием между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (между элементами множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проиллюстрировать соответствия между двумя различными множествами можно с помощью диаграмм, которые в дальнейшем будут называться графами соответствий. На них множества изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств — точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

Пример 1.12.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано списком его элементов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 1.7 представлен граф соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.18. Множество всех первых элементов упорядоченных пар, входящих в соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется его областью определения и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь и далее знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменяет слова «такой, что».

Определение 1.19. Множество всех вторых элементов упорядоченных пар, входящих в соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется его областью значений и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.13.

Найдем область определения и область значений соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 1.12: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.20. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется всюду (полностью) определенным. В противном случае соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется частичным (частично определенным).

Определение 1.21. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сюрьективным (сюръекцией).

Пример 1.14.

На рис. 1.7 изображен граф частичного соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач граф которого представлен на рис. 1.8, является всюду определенным и сюръективным, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.22. Множество всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующих элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается образом элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.23. Множество всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которым соответствует элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается прообразом элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.24. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то образом множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется объединение образов всех элементов множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.25. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то прообразом множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствии Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется объединение прообразов всех элементов множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.15.

Рассмотрим соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 1.8). Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.26. Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется инъективным (инъекцией), если прообразом любого элемента из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является единственный элемент из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.27. Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является единственный элемент из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.28. Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется взаимно однозначным (биекцией), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Другими словами, соответствие между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является взаимно однозначным, если каждому элементу множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сопоставляется единственный элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и каждый элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственному элементу множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.16.

На рис. 1.7 — 1.10 изображены графы соответствий Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 1.8) не является инъективным, так как, например, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.9) инъективно, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Среди соответствий Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциональными являются соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.7), Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.10), и только Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — взаимно однозначное соответствие между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 1.2. Если между конечными множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда либо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существуют по крайней мере два различных элемента, которым соответствует один и тот же элемент из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как соответствие всюду определено. Это означает, что соответствие не является инъективным, что противоречит условию утверждения.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует по крайней мере два различных элемента, соответствующих одному и тому же элементу из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как соответствие сюръективно. Следовательно, соответствие не является функциональным, что также противоречит условию утверждения.

Замечание 1.9. На основании утверждения 1.2 можно выполнить следующие действия:

  1. установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей;
  2. вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Задачи, связанные с определением мощности конечного множества

Теорема 1.1. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечное множество, то мощность его булеана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем использовать математическую индукцию по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. База индукции. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Индуктивное предположение. Пусть для любого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтеорема справедлива, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Индукционный переход. Докажем справедливость теоремы для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачРассмотрим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Между элементами множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно установить следующее взаимно однозначное соответствие: каждому элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сопоставить элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, по утверждению 1.2, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, по индукционному предположению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, теорема верна для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечные множества и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна произведению мощностей Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДоказательство. Воспользуемся методом математической индукции по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. База индукции. Очевидно, что для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач теорема верна.
  2. Индуктивное предположение. Пусть теорема справедлива для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Индукционный переход. Докажем справедливость теоремы для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем произвольный кортеж Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и припишем справа элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то это можно сделать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разными способами. В результате получим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различных кортежей из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По индуктивному предположению,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, из всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кортежей из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приписыванием справа элемента из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кортежей из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем все они различны, и никаких других кортежей в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не содержится. Поэтому теорема верна для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, верна для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поставим задачу подсчитать мощность объединения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач конечных множеств, которые могут иметь непустые пересечения между собой.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — два конечных множества. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли теперь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждый элемент из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет учтен два раза. Следовательно,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем случае имеет место следующая теорема.

Теорема 1.3 (включений и исключений). Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечные множества. Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. База индукции. Для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формула (2) совпадает с (1).
  2. Индуктивное предположение. Пусть формула (2) верна для случая Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачмножеств, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Индукционный переход. Докажем справедливость формулы (2) для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств. Для этого разобьем множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две группы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда согласно формуле (1) получаем

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По индуктивному предположению, имеем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из (3), учитывая (4) и (5), получаем формулу (2).

Формула (2) называется формулой включений и исключений. Ее частный случай при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечное множество, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Рассмотрим множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда согласно формуле (1)

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя (2) в (8), получаем формулу (7).

Пример 1.17.

Студенты третьего курса, изучающие информационные технологии в университете, могут изучать и дополнительные дисциплины по выбору. В этом году 30 из них выбрали дисциплину «Информационные технологии моделирования интерьера», 35 предпочли дисциплину «Информационные технологии в рекламе», а 20 решили изучать дисциплину «Информационные технологии моделирования ландшафта». Кроме того, 15 студентов изъявили желание посещать «Информационные технологии моделирования интерьера» и «Информационные технологии в рекламе», 7 — «Информационные технологии в рекламе» и «Информационные технологии моделирования ландшафта», 10 — «Информационные технологии моделирования интерьера» и «Информационные технологии моделирования ландшафта», 3 — все три дисциплины. Сколько студентов выбрали по крайней мере одну дополнительную дисциплину? Сколько из них предпочли только дисциплину «Информационные технологии в рекламе»?

Решение:

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество студентов, выбравших дисциплину «Информационные технологии моделирования интерьера», Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИнформационные технологии в рекламе», Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — «Информационные технологии моделирования ландшафта». Для составления математической модели задачи удобно использовать диаграммы Эйлера — Венна. Из диаграммы (рис. 1.11) видно, что на теоретико-множественном языке формулировка первого вопроса — «Чему равна мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второго — «Какова мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании формулы (6), имеем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя последовательно формулы (8) и (1), получаем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, 56 студентов выбрали по крайней мере одну дополнительную дисциплину и 16 — только дисциплину «Информационные технологии в рекламе».

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел дискретной математики, который посвящен решению задач пересчета и перечисления элементов множества (обычно конечного), обладающих заданным набором свойств.

Если требуется найти число элементов, принадлежащих данному множеству и обладающих заданными свойствами, то это задача пересчета. Если необходимо выделить все элементы множества, удовлетворяющие заданным свойствам, то это задача перечисления.

Решение многих комбинаторных задач основано на следующих двух правилах.

Правила суммы и произведения

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечное множество такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда говорят, что объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможет быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — попарно непересекающиеся множества, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, очевидно, выполняется равенство

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно формулируется следующим образом: «Если объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — другими Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, то выбор либо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач либо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть осуществлен Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами».

Другим часто применяемым в комбинаторике правилом является правило произведения. Сформулируем и докажем частный случай этого правила для кортежа длины 2: «Если объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами и после каждого из таких выборов объект у в свою очередь может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, то выбор упорядоченной пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть осуществлен Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачспособами».

Доказательство. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество элементов, из которых выбирается объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда множество всех пар Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по правилу суммы, имеем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем случае правило произведения формулируется следующим образом: «Если объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, после чего объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами и для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после выбора объектов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач объект Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выбран Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, то выбор кортежа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть осуществлен Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами».

Правило произведения в общем случае доказывается методом математической индукции.

Пример 2.1.

В одной группе учится 25 человек, в другой — 20. Сколькими способами можно выбрать на конференцию:

а) одного делегата от двух групп;

б) по одному делегату от каждой группы?

Решение:

Начальный этап решения обеих задач состоит в выборе делегата от первой группы, следующий этап — определение представителя второй группы. В задании под буквой а) существенным является то, что оба действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга. Должен быть выполнен либо первый этап, либо второй. Рассуждения соответствуют правилу сложения, по которому получают 20 + 25 = 45 способов. Аналогично, для решения задания под буквой б) необходимо применить правило произведения, согласно которому выбрать по одному делегату от каждой группы можно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Размещения и сочетания

Определение 2.1. Набор элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется выборкой объема Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборкой.

Определение 2.2. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов.

Таким образом, упорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборка представляет собой кортеж длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач составленный из элементов множества мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, две различные упорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборки различаются лишь порядком расположения элементов в них.

Определение 2.3. Выборка называется неупорядоченной, если порядок следования элементов в ней не является существенным.

Две различные неупорядоченные Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -выборки обязательно отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Определение 2.4. Упорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещением с повторениями.

Определение 2.5. Упорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборка, элементы которой попарно различны, называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещением без повторении.

Определение 2.6. Перестановкой без повторений из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов (или перестановкой множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещение без повторений.

Определение 2.7. Неупорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—сочетанием с повторениями.

Определение 2.8. Неупорядоченная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборка, элементы которой попарно различны, называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—сочетанием без повторений.

Заметим, что любое Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетание без повторений можно рассматривать как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементное подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементного множества.

Пример 2.2.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещений с повторениями обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач без повторений — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число перестановок без повторений из п элементов обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -сочетаний с повторениями обозначаем через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а без повторений — Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 2.1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Каждое Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещение с повторениями является кортежем длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждая координата которого может быть выбрана любым из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способов. Следовательно, по обобщенному правилу произведения получаем требуемую формулу.

Соглашение. В дальнейшем для общности формул условимся считать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 2.2. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Случай Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевиден. Рассмотрим случай, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждое Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещение без повторений является кортежем длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координаты которого попарно различны и выбираются из множества мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда первая координата кортежа может быть выбрана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, после каждого выбора первой координаты вторая координата может быть выбрана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами и так далее. Соответственно, после каждого выбора первой и так далее Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координаты кортежа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координата может быть выбрана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Следовательно, по обобщенному правилу произведения, получаем требуемую формулу.

Следствие. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 2.3. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Случай Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевиден. Рассмотрим случай, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждое Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -сочетание можно упорядочить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещений для всех возможных Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетаний, очевидно, даст все Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-размещения. Тогда по правилу суммы, имеем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число всех Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетаний без повторений, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Утверждение 2.4. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Каждому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетанию с повторениями Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач составленному из элементов множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поставим в соответствие кортеж Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдлины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач составленный из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нулей и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц так, что число нулей, находящихся между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицами, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равно числу элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входящих в сочетание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число нулей, стоящих перед первой единицей (после Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицы), равно числу элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(соответственно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входящих в сочетание Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Иначе говоря, единицы играют роль разграничителей между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементами исходного множества, и, очевидно, их число равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число нулей между единицами (границами) равно числу вхождений соответствующего элемента в Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-выборку. При этом суммарное число нулей равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотренное соответствие между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетаниями с повторениями и кортежами с Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицами и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нулями является взаимно однозначным. С другой стороны, число кортежей с Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицами и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нулями равно числу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементных множеств (номеров нулевых координат в кортежах), являющихся подмножествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (множества всех номеров координат в кортежах), то есть числу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -сочетаний без повторений. Таким образом, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-сочетание с повторениями. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратно, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то однозначно получаем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.1. При определении выборки предполагалось, что она содержит, по крайней мере, один элемент. Однако для общности рассуждений в число выборок часто включают и пустую выборку, не содержащую элементов. Она единственна для всех рассмотренных нами случаев. Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом формулы, приведенные в утверждениях

2.1-2.4 остаются справедливыми. Выше мы определили понятие перестановки без повторений из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов. Понятие перестановки с повторениями рассматривается в случае, когда имеется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, которые можно разбить на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач групп, так что элементы, входящие в одну группу, неразличимы между собой и отличны от элементов, входящих в другие группы. Пусть число элементов в каждой группе равно соответственно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 2.9. Пусть имеется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, которые можно разбить на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач групп так, что элементы, входящие в одну группу, неразличимы между собой и отличны от элементов, входящих в другие группы. Перестановкой с повторениями из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов называется кортеж длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач составленный из этих элементов.

Если число элементов в каждой группе равно соответственно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то число всех перестановок с повторениями из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 2.5 Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Согласно правилу произведения число перемещений элементов, не меняющих данную перестановку равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число всех перестановок без повторений из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренный в параграфах 2.1 и 2.2 теоретический материал можно представить в виде схемы, использование которой может быть полезно при решении задач (рис. 2.1).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры решения задач:

Пример 2.4.

Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой грани выпадет четное число очков, либо на каждой грани выпадет нечетное число очков?

Решение:

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число способов выпадения на каждой кости четного числа очков, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число способов выпадения на каждой кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы, искомое число равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число способов выпадения четного числа очков на первой кости, a Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число способов выпадения четного числа очков на второй кости. Ясно, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а по правилу произведения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогично, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а искомое число равно 18.

Пример 2.5.

Сколькими способами три награды (за первое, второе и третье места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

Решение:

Требуется найти число способов, сколькими из 10 человек можно выбрать троих, без повторений, так как один человек не может занимать сразу два призовых места. Разные варианты искомых выборок могут быть одинаковыми по составу, но отличаться лишь порядком следования элементов или, иначе говоря, способом распределения призовых мест между выбранными тремя участниками. Задача сводится к нахождению числа всех (10, 3)-размещений без повторений. Следовательно, три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнований Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Пример 2.6.

Имеется 10 различных книг. Сколькими способами их можно расставить на полке?

Решение:

Расстановке подлежат все имеющиеся 10 книг, и вариант от варианта отличается только порядком следования книг на полке. Искомое число способов равно числу всех (10, 10)-размещений без повторений или числу всех

перестановок без повторений из 10 элементов. Получаем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач3 628 000 способов.

Пример 2.7.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение:

Порядок следования цифр в числе важен. Например, 47 и 74 -две различные выборки, удовлетворяющие условию задачи. Кроме этого, комбинация, например, 77 также является одним из решений. Значит, речь идет о размещениях с повторениями из трех по два. Следовательно, количество чисел равно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.8.

Сколькими способами можно вытянуть 5 карт трефовой масти из стандартной колоды, содержащей 52 карты?

Решение:

Всего в колоде 13 карт трефовой масти. Из этих 13 карт надо выбрать 5, причем без повторений и учета порядка следования карт в выборке. Разные варианты должны отличаться по составу. Следовательно, требуется найти число всех (13,5)-сочетаний: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.9.

В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?

Решение:

Каждая покупка — это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех (4, 7)-сочетаний с повторениями: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.10.

У врача 3 таблетки одного лекарства, 2 таблетки — другого и 4 таблетки — третьего. Сколькими способами он может распределить прием имеющихся таблеток по одной в день?

Решение:

Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств, то есть все таблетки входят в выборку, но присутствуют повторяющиеся неразличимые элементы — таблетки одного лекарства. Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Бином Ньютона

Исторически название бином Ньютона несправедливо, поскольку формулу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач знали еще среднеазиатские математики, начиная с Хайяма (Омар Хайям (около 1048 — 1131) — персидский поэт, математик и философ), а в Европе до Ньютона (Исаак Ньютон (1643 — 1727) — английский физик, астроном и математик) ее знал Паскаль (Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик). Однако заслуга Ньютона заключается в том, что он обобщил эту формулу для нецелого показателя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. замечание 2.2).

Для натурального показателя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формула бинома Ньютона имеет вид: /1

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Для доказательства формулы (9) применим метод математической индукции.

  1. База индукции. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Индуктивное предположение. Предположим, что формула (9) верна для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Индукционный переход. Докажем справедливость формулы (9) для Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном случае получаем

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим индекс суммирования Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и следующая формула принимает вид:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выровняем пределы изменения индексов суммирования в обеих суммах. Для этого введем дополнительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, формула (9) верна для любого натурального Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.2. Для нецелого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формула имеет вид

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул. Например:

1. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементных

подмножеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементного множества, то сумма в левой части есть число всех подмножеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементного множества. Таким образом, получили еще одно доказательства того, что мощность булеана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-элементного множества равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и на нечетных местах, равны между собой, и каждая равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. В ходе доказательства формулы (9) мы получили

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождество (10) позволяет вычислить значения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зная Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами, с помощью тождества (10) можно последовательно вычислить Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем при Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строке по порядку стоят числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрасполагаются в этой таблице строкой выше, чем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и находятся в этой

строке слева и справа от него, то для получения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо сложить находящиеся справа и слева от него числа предыдущей строки. Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4 и 6 пятой строки.

Эту таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блеза Паскаля, в трудах которого она встречается. Это название так же, как и бином Ньютона, исторически неточно, поскольку такую таблицу уже знал упомянутый ранее Омар Хайям.

Отношения. Отображения

Понятие отношения

Определение 3.1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множествах Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется любое подмножество прямого произведения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется унарным (одноместным) и является подмножеством множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бинарным (двуместным) отношением или соответствием. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то также говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть отношение между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (между элементами множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано (определено) на паре множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бинарное отношение на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарное отношение и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда говорят, что элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в отношении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВместо записи Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часто пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем речь будет идти о бинарных отношениях, так как они наиболее часто встречаются и хорошо изучены. Если не будет специально оговорено, то под «отношением» будем понимать бинарное отношение. Частично бинарные отношения (соответствия) уже были рассмотрены в параграфе 1.7. Введем еще несколько определений.

Определение 3.2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами, отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны как множества.

Определение 3.3. Для любого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается тождественным отношением (диагональю), а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — полным отношением (универсальным отношением).

Определение 3.4. Графиком бинарного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество всех точек координатной плоскости Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такими, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.5. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Матрицей бинарного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размера Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которой определяются следующим образом: 1, если

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.1.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конечное множество мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то матрица тождественного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой единичную матрицу, а матрица полного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой матрицу, все элементы которой равны 1: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3.1. Матрица бинарного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит полную информацию о связях между элементами множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и позволяет представить эту информацию в графическом виде на компьютере. Любая матрица, состоящая из нулей и единиц} является матрицей некоторого бинарного отношения.

Способы задания бинарных отношений

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Списком входящих в отношение элементов (см. пример 1.12).

2. Характеристическим свойством.

Пример 3.2.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3.Графиком {только для подмножеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.

График, изображенный на рис. 3.1, задает отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 3.2.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Графом. Понятие графа отношения (или графа соответствия) между двумя различными множествами было введено в параграфе 1.7. Граф, изображенный на рис. 1.7, задает отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 1.12. Если отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то его ориентированным грифом (или просто графом) называется следующая геометрическая фигура: точки плоскости (вершины), представляющие элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ориентированные ребра — каждой паре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставится в соответствие линия (прямая или кривая), соединяющая точки Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на которой стрелкой указано направление от точки Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ориентированное ребро, соответствующее паре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается петлей. Направление обхода петли при изображении графа фиксируется (например, всегда против часовой стрелки).

Любое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, любой ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 3.4.

Граф, изображенный на рис. 3.2, задает отношение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Матрицей.

Пример 3.5.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

задает отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Операции над бинарными отношениями

Бинарные отношения — это множества упорядоченных пар. Следовательно, над ними можно выполнять любые теоретико-множественные операции, в частности, операции объединения и пересечения. Определим еще две операции над отношениями.

Определение 3.6. Отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратным к отношению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подмножество прямого произведения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.6.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.7. Композицией (суперпозицией) отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.3). Здесь и далее знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменяет союз «и».

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.7.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 3.1. Для любых бинарных отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются следующие свойства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ассоциативность композиции).

Доказательство. Каждое из свойств 1 — 3 представляет собой равенство

двух множеств. Следовательно, доказательство можно провести на основании определений 1.5, 3.6 и 3.7.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства матриц бинарных отношений

1.Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом сложение и умножение элементов определяются по правилам: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2.Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где матрицы умножаются по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при перемножении матриц находится по правилам п. 1.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.8.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— соответственно матрицы отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства бинарных отношений

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.8. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется рефлексивным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами рефлексивных отношений являются отношение делимости на множестве целых чисел, отношение включения на булеане непустого множества.

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая вершина графа имеет петлю.

Определение 3.9. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется антирефлексивным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, отношение неравенства на некотором числовом множестве, отношение перпендикулярности на множестве всех прямых евклидовой плоскости являются антирефлексивными.

Отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда ни одна вершина графа не имеет петли.

Определение 3.10. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется симметричным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами симметричных отношений являются отношение равенства на некотором числовом множестве, отношение параллельности на множестве всех прямых евклидовой плоскости.

Отношение симметрично тогда и только тогда, когда всякий раз вместе с ребром Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач граф содержит ребро Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.11. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется антисимметричным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, отношение меньше Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве действительных чисел, отношение включения на булеане непустого множества.

Отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда вместе с каждым ребромДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач граф не содержит ребро Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Граф антисимметричного отношения может содержать петли.

Замечание 3.2. Свойство антисимметричности не совпадает со свойством несимметричности. Например, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не симметрично, поскольку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не антисимметрично, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Диагональ непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется примером симметричного и антисимметричного отношения. Вообще, любое подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обладает одновременно свойствами симметричности и антисимметричности.

Определение 3.12. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется транзитивным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, отношение параллельности на множестве всех прямых евклидовой плоскости, отношение включения на булеане непустого множества являются транзитивными.

Отношение транзитивно тогда и только тогда, когда вместе с каждой парой ребер Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач граф содержит ребро Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 3.2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда справедливы следующие соотношения:

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— рефлексивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — антирефлексивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — симметрично Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — антисимметрично Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  5. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — транзитивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение свойств бинарного отношения по его матрице

На основании утверждения 3.2 и свойств матриц бинарных отношений можно выяснить, как определять свойства бинарного отношения по его матрице.

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рефлексивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач главная диагональ матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из одних единиц.
  2. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— антирефлексивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач главная диагональ матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из одних нулей.
  3. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — симметрично Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрична относительно главной диагонали.
  4. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— антисимметрично Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вне главной диагонали содержит только нули.
  5. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— транзитивно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.9.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Изобразить графы отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти матрицу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выяснить с помощью матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач какими свойствами обладает отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Изобразим графы отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем матрицу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним с помощью матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач какими свойствами обладает отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не рефлексивно, так как главная диагональ матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не состоит из одних единиц.

2. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не антирефлексивно, так как главная диагональ матрицы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне состоит из одних нулей.

3. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не симметрично, так как матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является симметричной относительно главной диагонали. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач антисимметрично, так как матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вне главной диагонали содержит только нули.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач транзитивно, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение эквивалентности

Определение 3.13. Бинарное отношение на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности обычно обозначают символами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами отношения эквивалентности являются отношение равенства на множестве действительных чисел, отношение параллельности на множестве прямых евклидовой плоскости.

Определение 3.14. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение эквивалентности на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачКлассом эквивалентности, порожденным элементом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Класс эквивалентности, порожденный элементом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем обозначать через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Совокупность всех классов эквивалентности отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.15. Представителем класса эквивалентности называется любой элемент этого класса.

Определение 3.16. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество. Фактор- множеством множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по отношению эквивалентности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех классов эквивалентности.

Теорема 3.1 (прямая). Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение эквивалентности на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда фактор-множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является разбиением множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Так как отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рефлексивно, то для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что каждый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит классу эквивалентности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, имеем семейство непустых классов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит по крайней мере один элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Осталось доказать, что пересечение любых двух различных классов пусто. Для этого достаточно показать, что классы эквивалентности, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — классы эквивалентности, имеющие общий элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В силу симметричности отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любой элемент из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, в силу транзитивности отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач транзитивно. Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачАналогично доказывается, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из теоремы 3.1 непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение эквивалентности на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — разбиение непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарное отношение, определяемое следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат одному и тому же подмножеству семейства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.2 (обратная). Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее разбиению Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отношением эквивалентности на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем фактор-множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с разбиением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1. Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть разбиение, то Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, по определению отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— рефлексивно.

2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные элементы из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, по определению отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — симметрично.

3. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные элементы из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, по определению отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но тогда, по определению разбиения, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, по определению отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -транзитивно.

Из п. 1-3 следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение эквивалентности. Фактор множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсовпадает с разбиением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.10.

На множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано отношение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отношением эквивалентности на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти классы эквивалентности, на которые разбивается множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Построим граф отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4), на основании которого заключаем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, по определению, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение эквивалентности. В один класс эквивалентности входят элементы, попарно связанные отношением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между собой. Значит, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбивает множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на три класса эквивалентности: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3.3. Частным случаем отношения эквивалентности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отношение равенства элементов некоторого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое определяет разбиение множества на одноэлементные классы эквивалентности:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае классов эквивалентности оказывается столько же, сколько элементов содержится в множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как каждый элемент из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентен только самому себе.

В другом частном случае все элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны друг другу. При этом фактор-множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит всего из одного класса — самого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В любом другом случае среди классов эквивалентности имеется хотя бы один класс, который содержит больше одного элемента и в то же время не совпадает с самим множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3.4. Понятие отношения эквивалентности имеет большое значение в математике. Дело в том, что элементы, входящие в один класс эквивалентности неразличимы с точки зрения рассматриваемого отношения эквивалентности. Поэтому считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем (произвольным элементом этого класса). Это позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей каждого класса эквивалентности. Свойства, которыми обладают все элементы некоторого класса эквивалентности, изучаются на одном его представителе.

Отношения эквивалентности играют важную роль в определении математических понятий.

Счетные и несчетные множества

Определение 3.17. Множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются изоморфными (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Утверждение 3.3. Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности.

По теореме 3.1 все множества относительно отношения «быть изоморфными» разбиваются на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из попарно изоморфных между собой множеств.

Определение 3.18. То общее, что есть у всех множеств одного и того же класса эквивалентности по отношению «быть изоморфными» (количество элементов), называется кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса.

Таким образом, мощность множества представляет собой обобщение понятия «число элементов» на случай произвольного (конечного или бесконечного) множества. Как и для конечного множества, мощность бесконечного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.19. Множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равномощными, если они изоморфны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. При этом пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.11.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество действительных чисел, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество точек координатной прямой. Установим между ними следующее соответствие: каждому действительному числу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сопоставим точку Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатной прямой. Это соответствие является взаимно однозначным, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и, наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует только одному числу. Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.12.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество точек отрезка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— множество точек отрезка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем длины отрезков Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различны. Между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно установить взаимно однозначное соответствие так, как показано на рис 3.5. Следовательно: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В теории конечных множеств имеет место утверждение: «часть меньше целого».

Пример 3.13.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Между конечным множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно-однозначное соответствие.

Определение 3.20. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется конечным, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равно-мощно никакому его собственному подмножеству.

В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 3.21. Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечным, если из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выделить равномощное ему собственное подмножество.

Пример 3.14.

Рассмотрим Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число}. Имеем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСобственное подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномощно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно следующим образом установить взаимно однозначное соответствие:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

Определение 3.22. Кардинальное число называется конечным, если оно является мощностью конечного множества.

Определение 3.23. Кардинальное число называется бесконечным, если оно является мощностью бесконечного множества.

Определение 3.24. Конечные ненулевые кардинальные числа называются натуральными числами.

Другими словами, натуральное число — это общее свойство класса конечных непустых равномощных множеств.

Наименьшей бесконечной мощностью является Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (алеф-нуль) — мощность множества натуральных чисел. Итак, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.25. Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называют счетными.

Другими словами, множество является счетным, если его элементы можно перенумеровать. Мощность любого счетного множества равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.15.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач счетно. Покажем, как можно перенумеровать элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде двух строк и будем нумеровать по столбцам:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, все положительные числа и нуль нумеруются нечетными числами, а все отрицательные целые числа — четными.

Пример 3.16.

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач счетно. Покажем, как можно перенумеровать элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перенумеруем сначала все положительные рациональные числа. Для этого выпишем в виде таблицы сначала все положительные дроби со 5 знаменателем 1, потом все положительные дроби со знаменателем 2, далее со знаменателем 3 и т.д. Нумерацию будем проводить по квадратам. При этом если некоторая дробь занумерована, то последующие дроби, выражающие то же число, будем пропускать. Получим следующую нумерацию: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После того как занумерованы все положительные рациональные числа, все рациональные числа нумеруются аналогично целым числам. Для этого надо перенумерованные положительные и отрицательные рациональные числа записать отдельно в виде двух строк, и числа одной строки нумеровать четными номерами, а второй — нечетными, оставив еще один номер для нуля.

Теорема 3.3 (Кантора). Множество всех действительных чисел несчетно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть все действительные числа занумерованы: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Известно [5], что между множеством всех действительных чисел и множеством допустимых десятичных дробей (то есть бесконечных десятичных дробей, не имеющих периода 9) существует взаимно однозначное соответствие. Запишем числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью допустимых десятичных дробей:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В равенствах Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число с тем или иным знаком, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из цифр 0, 1,2,…, 9.

Выберем цифру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда дробь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется допустимой. Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач С другой стороны, действительного числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нет среди чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как десятичная дробь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач хотя бы одним десятичным знаком отличается от каждой из десятичных дробей (11). Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и множество действительных чисел несчетно.

Мощность множества всех действительных чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют мощностью континуума (от лат. continuum — непрерывное) и обозначают древнееврейской буквой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (алеф). Все множества, изоморфные множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют мощность континуума. Примерами множеств мощности континуума являются множества точек любого отрезка, луча, прямой.

На множестве кардинальных чисел введем отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфно некоторому подмножеству множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Говорят, что мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше мощности множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Известно, что мощность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач счетных множеств меньше мощности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Есть ли между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач другие кардинальные числа — знаменитая проблема (гипотеза) континуума в математике, которая в 1963 г. была решена американским математиком П. Коэном. Он доказал независимость гипотезы континуума от других аксиом теории множеств. Проблема континуума решается аналогично проблеме пятого постулата Евклида в геометрии. Ни утверждение проблемы, ни отрицание ее из аксиоматики теории множеств доказать нельзя. Если в качестве аксиомы взять, что между Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть другие кардинальные числа, то возникает одна ветвь математики, если нет, то другая, совершенно независимая.

Рассмотрим без доказательства несколько теорем, относящиеся к теории бесконечных множеств.

Теорема 3.4. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Теорема 3.5. Объединение счетного числа счетных множеств счетно.

Теорема 3.6. Всякое бесконечное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит счетное подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бесконечное множество.

Теорема 3.7. Всякое бесконечное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтакое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бесконечное множество.

Теорема 3.8. (Кантора — Бернштейна). Если каждое из двух множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфно подмножеству другого, то множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изоморфны между собой, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3.5. Сергей Натанович Бернштейн (1880 — 1966) — советский математик.

Теорема 3.9. Для произвольного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мощность его булеана Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.10. Булеан Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольного непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет мощность, большую, чем мощность множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение порядка. Диаграммы Хассе

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество.

Определение 3.26. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предпорядком (квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно.

Пример 3.17.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является предпорядком (рис. 3.6).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что симметричный предпорядок является отношением эквивалентности.

Определение 3.27. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Таким образом, частичный порядок представляет собой антисимметричный предпорядок. Частичный порядок обозначается символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а обратное ему отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — символом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.28. Отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется строгим порядком, если оно определяется по следующему правилу: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение строгого порядка не является частичным порядком, так как оно не рефлексивно.

Пример 3.18.

Отношение из примера 3.17 не является частичным порядком, а отношение делимости на множестве целых чисел — является.

Определение 3.29. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются несравнимыми, если нельзя сказать, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.19.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отношение включения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на булеане Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является частичным порядком. Элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются несравнимыми, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.30. Частичный порядок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется линейным порядком, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.31. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — частичный (линейный) порядок на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУпорядоченная пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется частично {линейно) упорядоченным множеством.

Другими словами, частично (линейно) упорядоченным множеством является непустое множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на котором зафиксирован некоторый частичный (линейный) порядок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.20.

Пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношение делимости на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является частичным, но не линейным порядком. Пары Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с обычными отношениями Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют линейно упорядоченные множества.

Определение 3.32. Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частично упорядоченного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется максимальным (минимальным), если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.33. Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частично упорядоченного множества

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется наибольшим (наименьшим), если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наибольший (наименьший) элемент частично упорядоченного множества

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если он существует) обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Наибольший элемент часто называют единицей, а наименьший — нулем множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.11. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является частично упорядоченным множеством, где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое и конечное множество. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит хотя бы один минимальный элемент, и если он является единственным, то он также является и наименьшим. Аналогично, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит хотя бы один максимальный элемент, и если он является единственным, то он также является наибольшим.

Пример 3.21.

Частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а граф отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рис. 3.7, имеет единственный минимальный и он же наименьший элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач максимальные элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но не имеет наибольшего элемента.

Пример 3.22.

Частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а граф отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рис. 3.8, имеет минимальные элементы 1 и 2, единственный максимальный и он же наибольший элемент 4, но не имеет наименьшего элемента. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Замечание 3.6. Всякий наибольший элемент частично упорядоченного множества является максимальным, а всякий наименьший элемент — минимальным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. примеры 3.21 и 3.22).

Определение 3.34. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — частично упорядоченное множество и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется верхней (нижней) гранью подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.23.

Рассмотрим частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда любое число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является верхней гранью Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а любое число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— нижней гранью Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.35. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точкой верхней (нижней) гранью подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точная верхняя грань подмножества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (супремум), а точная нижняя грань — через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (инфимум).

Пример 3.24.

В условиях примера 3.21 имеем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.36. Линейный порядок Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется полным, если каждое непустое подмножество множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет наименьший элемент.

Определение 3.37. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — полный порядок на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУпорядоченная пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вполне упорядоченным множеством.

Пример 3.25.

Упорядоченная пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является вполне упорядоченным множеством, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является, так как, например, полуинтервал Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляющийся подмножеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не содержит наименьшего элемента.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Говорят, что элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач покрывает элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи не существует такого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое конечное множество, то частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач покрывает элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то точки, изображающие элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединяют отрезком, причем точку, соответствующую элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач располагают ниже точки, соответствующей элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такие схемы называются диаграммами Хассе.

Пример 3.26.

Диаграммы Хассе частично упорядоченных множеств Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 3.21 и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 3.22 изображены соответственно на рис.3.9 и 3.10. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.27.

а) Рассмотрим частично упорядоченное множество

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 3.11 изображена диаграмма Хассе, соответствующая

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — обычное отношение порядка на множестве натуральных чисел, не превосходящих восьми. Диаграмма Хассе, соответствующая линейно упорядоченному множеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображена на рис. 3.12.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции

Определение 3.38. Соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется функцией из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциональное и полностью определенное. Соответствие / называется частичной функцией, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциональное и частично определенное.

Таким образом, соответствие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует единственный элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом элемент у обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется значением функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для аргумента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то используется общепринятая запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (означает, что функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставит в соответствие элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область определения и область значений функции, равные функции определяются так же, как и для соответствий.

Пример 3.28.

Какие из соответствий, графы которых изображены на рис. 3.13, являются функциями? Найдите для каждой функции ее область определения и область значений. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Соответствия Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются функциями, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не является, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее имеем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аргументами функции могут являться элементы произвольной природы, в частности, кортежи длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—местной функцией из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть значение функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при значении аргументов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции называются также отображениями. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть отображение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть отображение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.39. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется инъективной, или инъекцией, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.40. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сюръективной, или сюръекцией, если для каждого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует хотя бы один элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что сюръективная функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отображением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.41. Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется биективной (биекцией) или взаимно однозначным соответствием между множествами Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если она одновременно инъективна и сюръективна.

Пример 3.29.

Какие из соответствий, графы которых изображены на рис. 3.13, являются инъективными, сюръективными, биективными функциями?

Решение:

Функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются инъективными; Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сюръективными; Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — биективной.

Определение 3.42. Если соответствие, обратное к функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функциональным и полностью определенным, то оно называется функцией, обратной к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо и достаточно, чтобы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и каждый элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имел единственный прообраз.

Утверждение 3.4. Для функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует обратная к ней функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — биекция.

Определение 3.43. Пусть даны функции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается композицией (суперпозицией) функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачесли Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Композиция функций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часто опускается.

Алгебраические структуры

Алгебраические операции и их свойства

Бинарные и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-местные алгебраические операции

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач – непустое множество.

Определение 4.1. Отображение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бинарной алгебраической операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примерами бинарных алгебраических операций являются обычное сложение и умножение на множестве целых чисел, объединение и пересечение на булеане непустого множества.

Определение 4.2. Отображение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—арной (Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—местной) алгебраической операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рангом операции. Выделение (фиксация) некоторого элемента множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется нульарной (нульместной) операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число 0 — рангом нульарной операции.

Определение 4.3. Частичная функция из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется частичной Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-арной алгебраической операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.1.

1. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отображение, ставящее в соответствие каждому подмножеству Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его дополнение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является унарной алгебраической операцией на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Операция деления рациональных чисел является частичной бинарной алгебраической операцией на множестве рациональных чисел.

3. Операция, ставящая в соответствие каждому кортежу натуральных чисел длины Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольший общий делитель этих чисел, является Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-арной алгебраической операцией на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для обозначения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-арной алгебраической операции используется та же форма записи, что и для произвольных отображений. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-арная алгебраическая операция на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является значением операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при значениях аргументов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства бинарных алгебраических операций

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные бинарные алгебраические операции на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.4. Бинарная алгебраическая операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коммутативной, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.5. Бинарная алгебраическая операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ассоциативной, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ассоциативна, то можно опускать скобки и писать Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвместо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.6. Бинарная алгебраическая операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дистрибутивной относительно бинарной операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.2.

1. Сложение и умножение действительных чисел являются коммутативными и ассоциативными бинарными алгебраическими операциями. Умножение действительных чисел дистрибутивно относительно сложения, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, так как условие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняется.

2. Операции объединения и пересечения подмножеств непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны относительно друг друга на булеане Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Композиция функций есть ассоциативная бинарная алгебраическая операция. Композиция функций не коммутативна, так как условие

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняется.

Нейтральные элементы

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарная алгебраическая операция на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.7. Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется нейтральным относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.1. Если нейтральный элемент относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует, то он единственен.

Доказательство. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральные элементы относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.3.

1. Число 0 есть нейтральный элемент относительно сложения действительных чисел. Число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения действительных чисел.

2. На булеане Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения подмножеств непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральным элементом относительно пересечения подмножеств.

Симметричные элементы

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бинарная алгебраическая операция на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.8. Элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется симметричным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется симметрируемым, а элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно симметричными.

Пример 4.4.

1. Любое целое число имеет симметричный к нему элемент относительно сложения — то же число, взятое со знаком минус.

2. Любое ненулевое действительное число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет симметричный к нему элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число нуль не имеет симметричного элемента относительно умножения.

Теорема 4.2. Если операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ассоциативна и элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть элементы, симметричные к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в силу ассоциативности операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подмножества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарная алгебраическая операция на непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.9. Подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется замкнутым относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пустое множество замкнуто относительно любой операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.5.

Сложение и вычитание являются бинарными алгебраическими операциями на множестве всех действительных чисел. Множество всех положительных действительных чисел замкнуто относительно сложения, но не замкнуто относительно вычитания.

Аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной алгебраической операции

Для обозначения бинарной алгебраической операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наиболее часто используются аддитивная и мультипликативная формы записи. При аддитивной форме записи операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют сложением, а ее результат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — суммой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом вместо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нейтральный элемент относительно сложения называют нулевым элементом (или нулем) и обозначают символом 0.

Элемент, симметричный к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют противоположным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При мультипликативной форме записи операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют умножением, а ее результат Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— произведением Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом вместо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нейтральный элемент относительно умножения называют единичным элементом (или единицей) и обозначают символом 1. Элемент, симметричный к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют обратным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие алгебраической структуры

Определение 4.10. Алгебраической структурой (универсальной алгеброй или просто алгеброй) называется упорядоченная пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— множество алгебраических операций на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, алгебра представляет собой непустое множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с заданной на нем совокупностью операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ранг операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется основным (несущим) множеством или основой (носителем) алгебры; упорядоченная последовательность рангов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется типом алгебры; множество операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сигнатурой алгебры.

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — алгебра, то также говорят, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть алгебра относительно операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наиболее частым является случай, когда сигнатура конечна. Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то вместо записи Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обычно употребляется запись Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.1. Для обозначения алгебры везде, где это необходимо, используется рукописная прописная буква латинского алфавита, а для обозначения ее носителя — соответствующая печатная прописная буква.

Определение 4.11. Алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются однотипными, если их типы совпадают, то есть ранг операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с рангом соответствующей ей операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.6.

1. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сложение и умножение) — арифметические операции на множестве действительных чисел. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является алгеброй типа (2, 2).

2. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — булеан непустого множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — операции пересечения, объединения и дополнения над подмножествами множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является алгеброй типа (2, 2, 1).

Определение 4.12. Пусть алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — однотипные алгебры. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подалгеброй алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и любая операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующая ей операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют условию: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ранг операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (12)

Определение 4.13. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -алгебра и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подмножество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется замкнутым в алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнуто относительно каждой операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть выполняется условие: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -ранг операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (13)

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нульарная операция, которая выделяет элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то условие (13) принимает вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определений 4.12 и 4.13 непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — алгебра и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое подмножество множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнутое в алгебре Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подалгеброй алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.7.

Рассмотрим алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — обычные операции сложения и умножения натуральных чисел. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество четных чисел, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнуто относительно операций сложения и умножения натуральных чисел. Действительно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнуто относительно сложения и умножения. Следовательно, по теореме 4.3 алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подалгеброй алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией

Рассмотрим алгебры, наиболее часто используемые в теории и на практике.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество.

Определение 4.14. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарная алгебраическая операция, называется группоидом.

Таким образом, группоид определяется непустым множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и правилом, по которому можно найти значение операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых двух элементов из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач конечно, то эту информацию можно записать в виде таблицы.

Определение 4.15. Пусть на конечном множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена бинарная операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таблица, состоящая из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строк и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач столбцов, в которой на пересечении Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строки и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач столбца располагается значение операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется таблицей Кэли:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.2. Артур Кэли (1821 — 1895) — английский математик.

Замечание 4.3. 1. Если операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативна, то таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали.

2. Если для некоторого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является нейтральным элементом относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то соответствующие этому элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачстрока и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач столбец таблицы Кэли имеют вид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Пусть элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральный элемент относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует симметричный к нему элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если в таблице Кэли среди элементов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строки и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач столбца есть элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.16. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ассоциативная бинарная алгебраическая операция, называется полугруппой.

Пример 4.8.

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полугруппой, так как бинарная операция + (обычная операция сложения натуральных чисел) ассоциативна.

Определение 4.17. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ассоциативной бинарной алгебраической операцией и существует нейтральный элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется моноидом.

Другими словами, моноидом является полугруппа с нейтральным элементом.

Пример 4.9.

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует моноид, так как бинарная операция умножения ассоциативна и натуральное число 1 является нейтральным элементом относительно умножения.

Определение 4.18. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется группой, если выполняются условия (аксиомы):

  1. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ассоциативная бинарная операция;
  2. существует нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. для каждого элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует симметричный к нему элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотносительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, группа — это моноид, в котором каждый элемент симметризуем.

Определение 4.19. Полугруппа, моноид или группа называется коммутативной (коммутативным) или абелевой (абелевым), если бинарная алгебраическая операция коммутативна.

Замечание 4.4. Нильс Абель (1802 — 1829) — норвежский математик.

Определение 4.20. Если носитель группы имеет конечную мощность, то группа называется конечной, а мощность ее носителя — порядком группы. В противном случае группа называется бесконечной.

Пример 4.10.

Полугруппы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются группами, так как в первой из них не существует нейтральный элемент относительно сложения, а во второй для любого элемента, за исключением числа 1, не существует симметричный к нему элемент.

Пример 4.11.

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коммутативную аддитивную группу целых чисел. Действительно, бинарная алгебраическая операция сложения ассоциативна, число 0 есть нейтральный (нулевой) элемент, а симметричным (противоположным) к любому Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.12.

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть коммутативная мультипликативная группа действительных чисел, так как бинарная алгебраическая операция умножения ассоциативна, нейтральным (единичным) элементом является число 1 и для всякого ненулевого действительного числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует симметричный (обратный) к нему элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.13.

Доказать, что множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коммутативную группу относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Покажем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнуто относительно операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее проверим выполнение аксиом группы.

1. Докажем, что операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ассоциативна, то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим левую и правую части этого равенства:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, первая аксиома группы выполняется. Легко видеть, что операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативна, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Покажем, что существует нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равенство

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выразим из этого равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативна.

3. Докажем, что для каждого элемента из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует симметричный к нему, то есть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Деиствительно, в противном случае получаем

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует симметричный к нему элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть коммутативная группа.

Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями

Среди алгебр с двумя бинарными алгебраическими операциями особо выделяются кольца и поля.

Определение 4.21. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ассоциативным кольцом с единицей, если выполняются следующие условия (аксиомы):

  1. алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть коммутативная аддитивная группа;
  2. алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть мультипликативный моноид;
  3. умножение дистрибутивно относительно сложения, то естьДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.5. В дальнейшем под словом «кольцо» будем подразумевать ассоциативное кольцо с единицей.

Элементы множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются элементами кольца Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.22. Группа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется аддитивной группой кольца Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нейтральный элемент относительно сложения называется нулем кольца и обозначается через 0 или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.23. Моноид Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется мультипликативным моноидом кольца Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нейтральный элемент относительно умножения называется единицей кольца Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через 1 или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.24. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.14.

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коммутативное кольцо целых чисел.

Определение 4.25. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль кольца отличен от единицы кольца и для каждого ненулевого элемента существует обратный к нему относительно операции умножения.

Пример 4.15.

Кольцо целых чисел Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач полем не является, так как ни один ненулевой элемент, кроме 1, не обладает обратным к нему.

Пример 4.16.

Множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют бесконечные поля относительно обычных операций сложения и умножения, которые соответственно называются полем рациональных чисел, полем действительных чисел и полем комплексных чисел.

Пример 4.17.

Выяснить, образует ли алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кольцо, поле?

Решение:

Докажем сначала, что операции сложения и умножения матриц являются бинарными алгебраическими операциями на множестве

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДля этого достаточно показать замкнутость множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно этих операций. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бинарные алгебраические операции на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение произвольных матриц (если оно определено) коммутативно и ассоциативно. Значит, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативно и ассоциативно на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что

матрица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач противоположный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коммутативная группа.

Умножение произвольных матриц (если оно определено), а значит и матриц из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ассоциативной операцией. Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная матрица из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполним преобразования:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное действительное число, то и в этом случае получаем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нейтральный элемент относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моноид.

Известно, что умножение дистрибутивно относительно сложения для произвольных матриц (если операции имеют смысл), в частности, и для матриц из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — кольцо.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коммутативно. Следовательно, кольцо коммутативно. Выясним, для каждого

Нуль кольца отличен от единицы кольца: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выясним для каждого ли ненулевого элемента из множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует обратный к нему. Легко видеть, что роль обратного элемента к матрице из Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач играет обратная к ней матрица.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит, множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит ненулевые матрицы, например матрицу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля которых не существуют обратные к ним.

Итак, алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коммутативное кольцо, но не является полем.

Конечные поля

Наряду с бесконечными полями, существуют конечные поля, называемые полями Галуа в честь французского математика Эвариста Галуа (181 1 — 1832), который в возрасте около 20 лет создал основы современной алгебры и, в частности, открыл конечные поля. Конечные поля играют центральную роль в криптографии, в математических моделях микромира и др. Рассмотрим основные построения теории конечных полей Галуа.

Определим сначала бинарное отношение делимости на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.26. Целое число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на целое число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если существует Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и говорят, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предложение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают также в виде Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее рассмотрим еще одно бинарное отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.27. Целые числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются сравнимыми но модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если разность Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если целое число Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сравнимо с целым числом Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что отношение сравнимости по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то есть является отношением эквивалентности. Действительно:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рефлексивное отношение;

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрично.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как если

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтранзитивно.

По теореме 3.1 отношение эквивалентности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет разбиение множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на классы эквивалентности, которые называются классами вычетов по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обладают следующими свойствами:

1) любые два класса вычетов по модулю п либо совпадают, либо не пересекаются. Объединение всех классов вычетов по модулю п совпадает с множеством Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — классы вычетов по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Классы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — класс вычетов по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольный элемент множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.18.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — класс вычетов по модулю 2, и целое число 5 является представителем этого класса. Тогда

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним, какова мощность фактор-множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть сколько существует классов вычетов по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 4.1. Целые числа Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сравнимы по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда при делении на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач они дают одинаковые остатки.

Существуют Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различных остатков при делении целых чисел на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно утверждению 4.1 получаем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, множество целых чисел по отношению сравнимости по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбивается на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач классов эквивалентности, которые обозначим следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Фактор-множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим через Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.28. Введем на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач бинарные операции сложения и умножения следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение операций сложения и умножения на множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корректно, так как если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является коммутативным кольцом, которое называется кольцом вычетов по модулю Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.19.

Рассмотрим кольцо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приведем таблицы Кэли операций сложения и умножения в кольце Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где для простоты вместо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем писать 0 и 1 :

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кольцо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативно, нулем кольца является класс вычетов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который отличен от единицы кольца — класса вычетов Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, единственный ненулевой элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кольца Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет обратный к нему — этот же класс Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полем. Оно имеет большое значение для приложений.

Следующая теорема говорит о том, что существует много конечных полей.

Теорема 4.4. Кольцо Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полем тогда и только тогда, когда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-простое число.

Булевы алгебры

Рассмотрим понятие булевой алгебры, имеющее большое число приложений в программировании и вычислительной технике. Оно возникло в трудах ирландского математика и логика Джорджа Буля (1815 — 1864) как аппарат символической логики.

Определение 4.29. Алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач типа (2, 2, 1) называется булевой алгеброй, если выполняются следующие условия (аксиомы):

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Существуют различные элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являющиеся нейтральными относительно бинарных операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ассоциативны, то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативны, то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дистрибутивны относительно друг друга, то есть

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.6. Аксиома Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может побудить к ошибочному заключению о том, что элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является симметричным к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однако это неверно. Если бы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач был симметричным элементом к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая с аксиомой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заключаем, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является симметричным элементом к Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни для одной из бинарных операций.

Бинарную операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют сложением, бинарную операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— умножением, элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — суммой и произведением, соответственно. Унарную операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют дополнением, а элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дополнением к элементу Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Существует несколько альтернативных способов записи бинарных операций сложения и умножения: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.30. Для любого выражения булевой алгебры двойственным выражением (или дуализмом) называется выражение, полученное из исходного, заменой Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что каждая из аксиом булевой алгебры — это пара аксиом. Внутри каждой пары каждая аксиома является двойственным выражением по отношению к другой.

Пример 4.20.

Наиболее простой из булевых алгебр является алгебра Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой две бинарные операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (дизъюнкция), Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (конъюнкция) и одна унарная операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (отрицание) задаются таблицами Кэли:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта булева алгебра носит название двоичной алгебры логики. В ней роль операции сложения играет дизъюнкция, роль операции умножения — конъюнкция, роль операции дополнения — отрицание. Элемент 0 является нейтральным элементом относительно дизъюнкции, а элемент 1 — нейтральным элементом относительно конъюнкции.

Пример 4.21.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество. Тогда Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть булева алгебра, носящая название алгебры множеств (или алгебры Кантора). Носителем ее является булеан множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сигнатурой — операции объединения, пересечения подмножеств множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дополнения данного подмножества до множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач играющих соответственно роли сложения, умножения и дополнения. Пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения, а само множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нейтральным элементом относительно пересечения.

Свойства булевой алгебры

Утверждение 4.2 (принцип двойственности). Для любой теоремы булевой алгебры двойственная теорема также верна.

Теорема 4.5. Нейтральные элементы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно единственны.

Теорема 4.6. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.7. Знак Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает слово «единственный».

Теорема 4.7 (закон идемпотентности).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.8 (закон идентичности).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.9 (закон абсорбции или поглощения).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.10 (закон инволюции).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.11 (законы де Моргана).

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.12. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, например, теорему 4.11, в частности, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из аксиомы Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что для этого достаточно показать выполнение равенства Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второй закон де Моргана верен по принципу двойственности.

Гомоморфизмы алгебр

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — однотипные алгебры, то есть для любого Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующая ей операция Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют одинаковые ранги. Говорят, что отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач носителя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в носитель Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняет операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ранг операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.31. Гомоморфизмом алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (на) однотипную алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач носителя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (на) носитель Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое сохраняет все операции алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть для любой операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется условие Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.32. Гомоморфизм Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется мономорфизмом (или вложением), если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является инъективным отображением носителя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в носитель Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.33. Гомоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется эпиморфизмом.

Определение 4.34. Гомоморфизм Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют изоморфизмом, если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть инъективное отображение носителя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на носитель Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.35. Алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом пишут Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является изоморфизмом алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — биективное отображение носителя Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на носитель Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.36. Гомоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в себя называется эндоморфизмом.

Определение 4.37. Изоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на себя называется автоморфизмом.

На рис. 4.1 представлена схема определения частного случая гомоморфизма. Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.22.

Дано отображение

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выяснить, является ли Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач гомоморфизмом. Если да, то какой частный случай гомоморфизма имеет место.

Решение:

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проверим, сохраняет ли Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть выполняется ли условие:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуя левую и правую части равенства, получим:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из (15) и (16) следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гомоморфизм алгебры

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее выясним, является ли отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач инъективным или сюръективным.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это условие не выполняется, так как для любых Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является инъективным.

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сюръекция.

Таким образом, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эпиморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.1).

Пример 4.23.

Дано отображение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-множество положительных действительных чисел).

Решение:

Проверим, сохраняет ли Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач операцию Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть выполняется ли условие: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуя левую и правую части равенства, получим:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из (17) и (18) следует, что Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гомоморфизм алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — инъекция.

Имеем: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сюръекция.

Значит, Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является изоморфизмом алгебры Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на алгебру Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебраические системы. Решетки

На непустом множестве Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наряду с алгебраическими операциями, можно рассматривать и множество отношений.

Определение 4.38. Алгебраической системой называется упорядоченная пара Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и — множество алгебраических операций на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество отношений на Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется основным множеством или носителем алгебраической системы, а множество операций и отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сигнатурой алгебраической системы.

Если множество отношений Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пусто, то алгебраическая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является алгеброй. Следовательно, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем. Если множество алгебраических операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пусто, то алгебраическая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется моделью.

Рассмотрим пример алгебраической системы, который широко используется в математической информатике.

Определение 4.39. Решеткой называется алгебраическая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сигнатура которой состоит из одного бинарного отношения Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичного порядка и двух бинарных алгебраических операций Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и (объединения) и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (пересечения), где бинарные операции определяются следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, решеткой является частично упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в котором определены две бинарные алгебраические операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по вышеуказанным правилам.

Замечание 4.8. Операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач здесь понимаются как абстрактные операции алгебраической системы и отличаются от теоретико-множественных операций объединения и пересечения, определенных в параграфе 1.3, хотя в частных случаях могут с ними совпадать (см. пример 4.24).

Замечание 4.9. Операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коммутативны и ассоциативны.

Замечание 4.10. Если в алгебраической системе Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ведены операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то отношение Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно по этим операциям восстановить следующим образом: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наименьший элемент решетки (если он существует) называют нулем и обозначают через 0. Наибольший элемент решетки (если он существует) называют единицей и обозначают через 1. В конечных решетках всегда имеются 0 и 1.

Пример 4.24.

Пусть Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непустое множество, а Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его булеан. Алгебраическая система Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решеткой. Здесь Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются обычными теоретико-множественными операциями объединения и пересечения.

Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображена на рис. 4.2. По диаграмме легко видеть, что в этом случае нулем решетки Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а единицей — само множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.25.

Любое линейно упорядоченное множество Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в частности Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решеткой, если в нем определить операции Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по правилам:

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.40. Решетка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дистрибутивной, если операции объединения и пересечения дистрибутивны относительно друг друга: Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.26.

Рассмотрим решетку, диаграмма Хассе которой изображена на рис. 4.3. Она не является дистрибутивной, так как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда как Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.27.

Решетка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 4.24 является дистрибутивной, так как обычные теоретико-множественные операции объединения и пересечения дистрибутивны относительно друг друга.

Понятие булевой алгебры является частным случаем понятия решетки.

Определение 4.41. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой имеются различные нуль и единица и

Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом элемент Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дополнением элемента Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.28.

Решетка Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 4.24 является булевой алгеброй, так как в ней имеются нуль Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и единица Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Дискретная математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Лекции по предметам:

  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Геометрия
  6. Аналитическая геометрия
  7. Высшая математика
  8. Математический анализ
  9. Теория вероятностей
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика
Источник

Дискретная математика на экзамене в ШАД

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 6.4K

Привет! Меня зовут Азат, я создаю курсы по подготовке к экзамену в ШАД. Недавно мы запустили курс по дискретной математике, поэтому наша команда активно прорешивает задачки по соответствующей теме. После разбора экзамена в ШАД 2019 года мы увидели большой интерес пользователей Хабра к занимательным задачкам из экзамена. Поэтому выкладываем здесь 4 избранных по дискретной математике. Наслаждайтесь!

Задача 1 (26 мая 2018, №5)

Случайная величина $X$ равна длине цикла, содержащего одновременно элементы 1 и 2, при случайной перестановке множества ${1, 2, ldots, n}$. Если такого цикла нет, то $X = 0$. Найдите распределение случайной величины $X$ и ее математическое ожидание.

Решение

По сути, задача больше на комбинаторику, чем на теорвер. По определению, распределение $X$ — это значения $P(X = k)$ для всех возможных $k$. Каждое из таких значений — это отношение количества перестановок, в которых есть требуемый цикл длины $k$, к количеству всех перестановок, что равно $n!$

Займемся подсчетом перестановок. Сначала нужно выбрать элементы для цикла. Два из них мы уже знаем (1 и 2), осталось выбрать $k - 2$ из оставшихся $n - 2$, можно сделать $C_{n - 2}^{k - 2}$ способами. Элементы, не вошедшие в цикл, можно расставить как угодно, это можно сделать $(n - k)!$ способами. Наконец, нужно расставить выбранные элементы в цикл. Единицу можно сопоставить любому числу, кроме её самой же, иначе цикл тут же оборвется. Пусть $a$ — наш цикл и $a_1 = b$, тогда на позицию $a_b$ можно поставить любой элемент, кроме 1 и $b$ (по аналогичным причинам). Продолжая расставлять элементы, получаем, что всего существует $(k -1)!$ способов сделать цикл. Итог:

$P(X = k) = frac{C_{n - 2}^{k - 2} cdot (n - k)! cdot (k - 1)!}{n!} = frac{k - 1}{n(n - 1)}$

Заметим, что наши рассуждения не работали при $k = 0$ и $k = 1$. При $k = 1$, однако, мы все равно получили верный ответ ($P(X = 1) = 0$, т.к. если цикл и существует, его длина не меньше двух). Также очевидно, что если $k > n$, то $P(X = k) = 0$ (цикл не может быть длиннее самой перестановки). Значит, $P(X = 0)$ можно посчитать как дополнение к полученным результатам:

$P(X = 0) = 1 - sum_{k = 1}^n frac{k - 1}{n(n - 1)} = 1 - frac{1}{n(n - 1)} cdot frac{n(n - 1)}{2} = 1 - frac{1}{2} = frac{1}{2}$

Как только мы нашли распределение $X$, мы можем посчитать ее матожидание:

$E(X) = sum_{k = 1}^n k cdot frac{k - 1}{n(n - 1)} = frac{1}{n(n - 1)} left( sum_{k = 1}^n k^2 - sum_{k = 1}^n k right) = $

$ = frac{1}{n(n - 1)} cdot left( frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) - frac{1}{2}n(n + 1) right) = frac{n + 1}{3}$

Задача 2 (4 июня 2016, №3)

Случайные величины $X$ и $Y$ принимают по два значения и $cov(X, Y) = 0$. Доказать, что они независимы.

Решение

Эта задача, в противовес предыдущей, уже действительно на теорвер, хоть и дискретный.

Сначала рассмотрим частный случай: пусть обе величины принимают значения 0 и 1, при этом $P(X = 1) = p$, $P(Y = 1) = q$, а $P(X = 1, Y = 1) = r$. Покажем, что $r = pq$. Действительно, $E(X) = P(X = 0) cdot 0 + P(X = 1) cdot 1 = P(X = 1) = p$, $E(Y) = P(Y = 0) cdot 0 + P(Y = 1) cdot 1 = P(Y = 1) = q$, $E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = r$. Но по условию $cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$, откуда $E(XY) = E(X)E(Y)$ и $r = pq$.

Заметим, что этого достаточно для независимости $X$ и $Y$: действительно, все остальные вероятности можно выразить через введенные (для самих величин это очевидно, для их комбинации: $P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - P(X = 1, Y = 1) = p - r$, $P(X = 0, Y = 1) = P(Y = 1) - P(X = 1, Y = 1) = q - r$, $P(X = 0, Y = 0) = 1 - P(X = 1, Y = 1) - P(X = 0, Y = 1) - P(X = 1, Y = 0)$). Можно проверить, что условие независимости верно для любой из четырех комбинаций, соответственно частный случай можно считать доказанным.

Пусть в общем случае $P(X = a) = p, P(X = b) = 1 - p, P(Y = c) = q, P(Y = d) = 1 - q$, где $a < b$ и $c < d$. Введем новые случайные величины $X' = dfrac{X - a}{b - a}$ и $Y' = dfrac{Y - c}{d - c}$. Заметим, что $X$ принимает значения $a$ и $b$ тогда и только тогда, когда $X'$ равна 0 и 1 соответственно, аналогично для $Y$. Если мы докажем, что $cov(X', Y') = 0$, то по вышедоказанному исходные величины также будут независимы.

$E(X') = frac{E(X) - a}{b - a} E(Y') = frac{E(Y) - c}{d - c}$

$E(X'Y') = Eleft( frac{X - a}{b - a} cdot frac{Y - c}{d - c} right) = frac{E(XY) - cE(X) - aE(Y) + ac}{(b - a)(d - c)}$

$cov(X', Y') = E(X'Y') - E(X')E(Y') = frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{(b - a)(d - c)} = frac{cov(X, Y)}{(b - a)(d - c)}$

Но по условию $cov(X, Y) = 0$, откуда $cov(X', Y') = 0$ и требуемые величины независимы, ч.т.д.

Задача 3 (26 мая 2018, №8)

В волшебной стране Ляляндии 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что из каждого города выходит более 90 авиалиний. Докажите, что найдется 11 городов, попарно соединенных авиалиниями друг с другом.

Решение

Построим граф, где вершины — это города, а ребра — авиалинии. Рассмотрим произвольную вершину, она соединена с хотя бы 91 вершиной, и потому из нее может отсутствовать не более 8 ребер. Уберем из графа все вершины, не соединенные с выбранной, и ее саму, после чего выберем другую вершину в оставшемся графе и повторим процесс.

Выбранные вершины образуют полный граф (то есть граф, в которым каждая пара вершин соединена ребром). Действительно, на первом шаге мы оставили только те вершины, которые связаны с первой выбранной, на втором удалили все, что не связаны со второй и т.д., в итоге на каждом шаге новая выбранная вершина будет связана со всеми предыдущими. Оценим размер этого подграфа. Каждая итерация процесса увеличивает его на 1 и выкидывает не более 9 вершин, следовательно, полученный подграф будет иметь размер хотя бы $lfloor frac{100}{9} rfloor = 11$ городов, что и требовалось.

Задача 4 (3 июня 2017, №4)

В компании «Тындекс» у каждого сотрудника не менее 50 знакомых. Оказалось, что есть два сотрудника, знакомые друг с другом лишь через 9 рукопожатий (то есть кратчайшая соединяющая их цепочка из попарно знакомых людей содержит 8 промежуточных людей). Докажите, что в этой компании хотя бы 200 сотрудников.

Если у вас есть другие идеи решения задач или какие-то замечания, смело пишите мне в телеграм @Azatik1000. Всегда рад ответить!

Азат Калмыков, куратор в «ШАД Helper»

Источник

Вопросы для
подготовки к экзамену по дискретной
математике.

1.
Дискретные множества. Способы задания
и операции над множествами. Мощность
прямого произведения множеств.

2.
Элементы комбинаторики. Выборки. Куб.
Число размещений, перестановок и
сочетаний, число разбиений на множества
заданной мощности.

3.
Булевые переменные и функции. Операции
булевой алгебры. Эквивалентные формулы,
основные эквивалентности. Дизъюнктивная
и конъюнктивная нормальные формы (ДНФ,
КНФ) формул и их построение. Совершенные
ДНФ, КНФ. Минимизация ДНФ, КНФ. Полиномиальное
разложение: СПНФ, канонический полином
Жегалкина, арифметический полином.

4.
Основы теории алгоритмов. Понятие
алгоритма и оценка сложности алгоритма.
Эвристические алгоритмы. «Жадные»
алгоритмы.

5.
Основные понятия теории графов. Вершины,
рёбра. Понятие инцидентности. Способы
задания графов. Матрицы графов и их
свойства.

Виды графов. Простой
граф, мультиграф, псевдограф.
Неориентированный и ориентированный
графы (орграф). Полный граф, звёздный
граф и т.д. Двудольный граф, критерий
двудольности.

Степени вершин
графа. Теорема о вычислении вершин
нечётной степени в графе (лемма о
рукопожатиях).

Понятие изоморфности
графов. Инварианты.

Части графа.
Подграфы. Дополнение графа. Реберный
граф. Основные операции над графами.

Пути в графах. Меры
графов (эксцентриситет, диаметр, радиус,
сумма расстояний, центр и центр тяжести).

Связность графов.
Компоненты графов. Теорема Менгера.

Деревья и их
свойства. Остовные (каркасные) деревья
в графе, алгоритмы построения. Теорема
Кирхгоффа о количестве всех остовных
(каркасных) деревьев в графе.

Подструктуры
графов. Клика. Нахождение клики с помощью
«жадного» алгоритма. Независимое
множество вершин. паросочетания графов.
Вершинные и реберные покрытия.

Циклы в графах.
Базовые (фундаментальные) циклы в графах.
Обходы графов: Эйлеров и Гамильтонов
циклы в графе. Алгоритм Флери. Теоремы
о существовании Эйлерова и Гамильтонова
циклов в графе.

Понятие «почти
все» графы. Теоремы о «почти всех»
графах.

Планарные графы.
Теоремы Эйлера и Куратовского о планарных
графах. Алгоритм определения планарности
в гамильтоновом графе (метод цикла).

Раскраски.
Хроматическое число. Теорема о четырех
цветах. Алгоритмы раскраски (точные и
приближённые).

Направленные,
ориентированные графы. Полустепени
вершин. Способы задания. Операции над
направленными графами. Связность, типы
связности направленных графов.
Достижимость. Матрица достижимости.

Взвешенные графы.
Взвешенные направленные графы (сети).
Кратчайшее остовное дерево в графе
(алгоритмы Краскала и Прима). Деревья
Штейнера.

Нахождение
кратчайших путей в графах. Алгоритм
Флойда.

Потоки в сетях.
Задача о нахождении максимального
потока в графе. Теорема и алгоритм
Форда-Фалкерсона.

Паросочетания в
двудольных взвешенных графах. Задача
о назначениях.

Метод ветвей и
границ. Задача о коммивояжёре. «Жадные»
алгоритмы.

Соседние файлы в папке Дискретная математика

  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Экзаменационная контрольная работа

 по учебной дисциплине дискретная математика

специальности 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям)

Ф.И.О. обучающегося_________________________

 Преподаватель Дураков С.Г._________

 Дата _________________Оценка______________

Вариант

Задание №1

Пусть А={x, y} и B={1, 2, 3}. Найдите декартовы произведения: .

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1);  .

2)  ;  

.

3)  ;  

.

4)  ;  .

Задание №2

Пусть –универсальное множество. Выпишите характеристические векторы множеств  и , а затем определите характеристические векторы множеств .

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) a=(1,0,1,0,1), b=(0,0,1,1,0)

2) a=(1,0,1,0,1), b=(0,0,1,1,0)

3) a=(1,0,1,0,1), b=(0,0,1,1,0)

4) a=(1,0,1,0,1), b=(0,0,1,1,0)

Задание №3

Найдите среди графов G, H, K, L, изображенных на рисунке ниже подграфы графа G.

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) H, L

2) H, K

3) K, L

4) H, K, L

Задание №4

Найдите общее количество циклов разной длины в графе G изображенном на рисунке:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)5

2)6

3)7

4)8

Задание №5

Обозначим через Р высказывание «логика-забава», а через Q – «сегодня пятница». Требуется выразить каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.

А) логика-не забава, и сегодня пятница.

Б) Сегодня не пятница, да и логика-не забава.

В) Либо логика-забава, либо сегодня пятница.

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) А) Р и Q; Б) (не Р) или (не Q); В) Р или Q.

2) А) (не Р) или Q; Б) (не Р) и (не Q); В) Р и Q.

3) А) (не Р) и (не Q); Б) (не Р) или (не Q); В) Р или Q.

4) А) (не Р) и Q; Б) (не Р) и (не Q); В) Р или Q.

Задание №6

Что можно сказать об истинности составного высказывания: «либо луна делается из зеленого сыра и Генрих VIII имел шесть жен, или не верно что дронт вымер»?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) не является высказыванием

2) истинно

3) ложно

4) не является сложным высказыванием

Задание №7

Какие из следующих высказываний истины, а какие ложны?

А) Сумма внутренних углов любого треугольника равна 1800.

Б) У всех кошек есть хвост.

В) Найдется целое число х, удовлетворяющее

Г) Существует простое четное число

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) А) Истинно; Б) Ложно; В) Ложно; Г) Истинно.

2) А) Ложно; Б) Ложно; В) Ложно; Г) Истинно.

3) А) Истинно; Б) Истинно; В) Ложно; Г) Истинно.

4) А) Истинно; Б) Ложно; В) Истинно; Г) Истинно.

Задание №8

Пусть заданы числа А=312 и В=98. Определить контрольные коды этих чисел, их суммы и разности, если модуль р=15.

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 11; 8; 5; 4

2) 11; 9; 5; 4

3) 12; 8; 6; 4

4) 12; 8; 5; 4

Задание №9

Нарисуйте граф G(V, E) с множеством вершин V={a, b, c, d, e} и множеством  ребер E={ab, ae, bc, bd, ce, de}. Выпишите его матрицу смежности.

Напишите развернутое решение задачи.

Задание №10

Докажите закон дистрибутивности:

Напишите развернутое решение задачи.

Шкала оценки образовательных достижений (для всех заданий)

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка)

вербальный аналог

90 ÷ 100

5

отлично

70 ÷ 89

4

хорошо

50 ÷ 69

3

удовлетворительно

менее 50

2

не удовлетворительно
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Дискотека авария этот экзамен
  • Дискотека авария это экзамен текст
  • Дискотека авария это экзамен слушать
  • Дискотека авария это экзамен скачать
  • Дискотека авария экзамен слушать бесплатно

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии