Егэ по математике 2 июня 2017

Категория: ЕГЭ (диагностич. работы)

Разбор отдельных заданий части С. Основная волна, 2 июня 2017 

13.1. а) Решите уравнение 8cdot 16^{cosx}-6cdot 4^{cosx}+1=0.

б) Найдите корни уравнения из отрезка [frac{3pi}{2};3pi].

Решение: + показать


13.2. а) Решите уравнение log_4(2^{2x}-sqrt3cosx-sin2x)=x.

б) Найдите корни уравнения из отрезка [-frac{pi}{2};frac{3pi}{2}].

Решение: + показать


14.1. Дана пирамида PABCD, в основании которой – трапеция ABCD, причём angle BAD+angle ADC=90^{circ}.
Плоскости (PAB)  и (PCD) и  перпендикулярны плоскости основания пирамиды.

Прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что (PAB)perp (PCD).
б) Найти V_{PKBC}, если AB=BC=CD=3, а высота пирамиды равна 8.

Решение:+ показать

14.2. На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N

соответственно, причем AM:MB =CN:NB=1:3. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Решение: + показать

14.3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.

а) Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды AA_1C_1B.

Решение: + показать


15.1. Решить неравенство

frac{log_2(4x^2)+35}{log_2^2x-36}geq -1.

Решение: + показать


15.2. Решить неравенство

frac{log_4(64x)}{log_4x-3}+frac{log_4x-3}{log_4(64x)}geq frac{log_4x^4+16}{log_4^2x-9}.

Решение: + показать


16.1. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CKparallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет frac{9}{64} площади трапеции ABCD.

Решение: + показать


16.2. Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите AD, если angle DAE=angle BAC,  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  AB=3.

Решение: + показать

16.3.  Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Решение: + показать

17.1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение:+ показать

17.2.  В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли в кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156060 рублей больше суммы взятого кредита.

Решение:+ показать

17.3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн. рублей на неко- торый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом преды- дущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн. рублей?

Решение:+ показать

 18.1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

sqrt{5x-3}cdot ln(x^2-6x+10-a^2)=0

имеет ровно один корень на отрезке [0;3].

Решение:+ показать

19.1. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Решение: + показать



Источник

Просмотр

ВАРИАНТЫ ЕГЭ (2 июня 2017):

A,
B,
C,
D,
E,
F,
H,
G,
K,
L,
M,
N,
O,
P,
Q,
R,
S,
T,
U,
V,
X,
X,
Z

Задача №1:
1.475
2. 31500
3. 185
4. 120
5. 120
6. 160
7. 90
8. 26100
9. 1300
10. 15000
11. 1900
12. 1400

Задача №2:
1) 50
2) 38
3) 12
4) 11
5) 72

Задача №3:
1) 2.5
2) 2
3) 8
4) 12
5) 9
6) 18
7) 5

Задача №4:
1) 0.6
2) 0.75
3) 0.997
4) 0.4
5) 0.1
6) 0.25
7) 0.16
8) 0.04
9) 0.5
10) 0.1
11) 0.1
12) 0.3

Задача №5:
1) 9
2) 5
3) 15
4) 3
5) 100
6) -8
7) -1
8) 4
9) 2
10) 1
11) 4

Задача №6:
1) 45
2) 70
3) 18
4) 15
5) 6
6) 25
7) 30
8) 5
9) 11.25
10) 3
11) 21
12) 40
13) 32

Задача №7:
1) 3
2) 1
3) 5
4) 3
5) -1

Задача №10
1. 826
2. 60
3. 5000
4. 315
5. 7

Задания №11
1. 35
2. 18
3. 24
4. 19
5. 20
6. 22
7. 728
8. 874
9. 5
10. 770
11. 874
12. 5
13. 10
14. 33
15. 24

Задача №12:

Тип 1
1. 8
2. -3
3. 6
4. -9
5. -16
6. -4
Тип 2
1. 4.2
2. 6.5
3. 4.25
Тип 3
8. -9
Тип 4
12.
9. 2
10. 2
11. 7
Тип 4
12. 6
13. 7
14. -5

Этот материал на 4pda

Решения

Решения к заданиям доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

Источник

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Ответ:

2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат  — крутящий момент в Н · м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v =0,036n, где n  — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н · м? Ответ дайте в километрах в час.

Ответ:

3

На клетчатой бумаге с размером клетки корень из 5 times корень из 5 изображен треугольник АВС. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.

Ответ:

4

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов  — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ:

5

Найдите корень уравнения левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка =4.

Ответ:

6

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7

8

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ:

9

Найдите значение выражения корень из 3 минус корень из 12 синус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .

Ответ:

10

11

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:

12

Найдите точку максимума функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x.

Ответ:

13

а)  Решите уравнение: 9 умножить на 81 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 28 умножить на 9 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 3=0.

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

14

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM  =  CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q  — середины ребер DA и DC соответственно.

а)  Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б)  Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

15

Решите неравенство дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x минус 3, знаменатель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x в степени 4 плюс 16, знаменатель: логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 9 конец дроби .

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

16

Точка E  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а)  Докажите, что CO  =  KO.

б)  Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет дробь: числитель: 9, знаменатель: 100 конец дроби . площади трапеции ABCD.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

18

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

корень из 2x минус 1ln левая круглая скобка 4x минус a правая круглая скобка = корень из 2x минус 1ln левая круглая скобка 5x плюс a правая круглая скобка .

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

19

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Источник

Реальные варианты ЕГЭ 2017


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

а) Решите уравнение [left(dfrac14right)^{sin(x+pi)}=
2^{2sqrt3sinleft(dfrac{pi}2-xright)}]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (left[-dfrac{9pi}2;-3piright])

а) По формулам приведения (sin (x+pi)=-sin x) и (sin
left(frac{pi}2-xright)=cos x), следовательно, уравнение перепишется в виде [left(2^{-2}right)^{-sin x}=2^{2sqrt3cos x}
quadLeftrightarrowquad 2^{2sin x}=2^{2sqrt3cos x}
quadLeftrightarrowquad 2sin x=2sqrt3cos x] Заметим, что в полученном уравнении не может быть (cos x=0), так как в этом случае из уравнения будет следовать, что и (sin x=0), а это противоречит основному тригонометрическому тождеству: (sin^2x+cos^2x=1). Следовательно, можно разделить обе части уравнения на (2cos x): [mathrm{tg},x=sqrt3 quadLeftrightarrowquad x=dfrac{pi}3+pi n,
ninmathbb{Z}]

б) Отберем корни.
[-dfrac{9pi}2leqslant dfrac{pi}3+pi nleqslant -3pi
quadLeftrightarrowquad -dfrac{29}6leqslant nleqslant
-dfrac{10}3 quadRightarrowquad n=-4 quadRightarrowquad
x=-dfrac{11pi}3]

Ответ:

а) (dfrac{pi}3+pi n, ninmathbb{Z})

б) (-dfrac{11pi}3)

Дана четырехугольная пирамида (PABCD), в основании которой лежит трапеция (ABCD) с большим основанием (AD). Известно, что сумма углов (BAD) и (CDA) равна (90^circ). Грани (PAB) и (PCD) перпендикулярны плоскости основания. (K) – точка пересечения прямых (AB) и (CD).

а) Докажите, что грани (PAB) и (PCD) перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды (PBCK), если известно, что (AB=BC=CD=2), а высота пирамиды (PABCD) равна (12).

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости. Так как (PABperp
ABC), то в плоскости (PAB) можно провести прямую (PHperp ABC) (тогда (Hin AB)). Аналогично в плоскости (PCD) можно провести (PLperp ABC) ((Lin CD)). Следовательно, из одной точки к плоскости проведены две прямые, перпендикулярные ей, что возможно только в том случае, если эти прямые совпадают, то есть (H=L). Следовательно, (PH) – общая прямая для двух плоскостей (PAB) и (PCD). Следовательно, (PH) совпадает с (PK).

Таким образом, (PKperp (ABC)). Следовательно, (PK) – высота пирамиды (PABCD).
Так как (angle BAD+angle CDA=90^circ), то (angle AKD=90^circ). Следовательно, (AKperp PK) и (AKperp KD), то есть (AK) перпендикулярна двух пересекающимся прямым из плоскости (PCD), значит, (AKperp (PCD)). Тогда плоскость (PAB) проходит через прямую, перпендикулярную плоскости (PCD), следовательно, ((PAB)perp
(PCD)), чтд.

б) По теореме Фалеса [dfrac{KB}{KC}=dfrac{BA}{CD}=1] Следовательно, (triangle BKC) прямоугольный и равнобедренный, следовательно, [KB=KC=dfrac{BC}{sqrt2}=sqrt2] Тогда [V_{PBKC}=dfrac13cdot PKcdot dfrac12cdot KBcdot KC=4]

Ответ:

б) 4

Решите неравенство [dfrac{log_3(81x)}{log_3x-4}+dfrac{log_3x-4}{log_3(81x)}geqslant
dfrac{24-log_3(x^8)}{log_3^2x-16}]

ОДЗ неравенства: (x>0). Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену (log_3x=t). Тогда на ОДЗ (log_3(81x)=log_3(81)+log_3x=4+t), (log_3(x^8)=8log_3x=8t) и неравенство примет вид: [dfrac{4+t}{t-4}+dfrac{t-4}{4+t}geqslant dfrac{24-8t}{t^2-16}
quadLeftrightarrowquad dfrac{2t^2+8t+8}{(t-4)(t+4)}geqslant 0
quadLeftrightarrowquad dfrac{2(t+2)^2}{(t-4)(t+4)}geqslant 0] Решим данное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением будут [tin (-infty;-4)cup{-2}cup(4;+infty)] Сделаем обратную замену: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&log_3x<-4\
&log_3x=-2\
&log_3x>4
end{aligned}end{gathered}right.quadRightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned}
&x<dfrac1{81}\[1ex]
&x=dfrac19\[1ex]
&x>81
end{aligned}end{gathered}right.] Учитывая ОДЗ (x>0), получаем окончательный ответ [xinleft(0;frac1{81}right)cup{frac19}cup(81;+infty)]

Ответ:

(left(0;frac1{81}right)cup{frac19}cup(81;+infty))

Сумма оснований трапеции равна (13), диагонали равны (5) и (12).

а) Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Пусть дана трапеция (ABCD), (BC+AD=13), (AC=5), (BD=12). Достроим к трапеции (ABCD) такую же трапецию (A’B’CD), как показано на рисунке:

Тогда (BD=A’C), (AC=B’D), (AD=B’C), (BC=A’D). Следовательно, (ACB’D) – параллелограмм, следовательно, (ACparallel B’D). Аналогично (BDparallel A’C). Рассмотрим (triangle BDB’). По теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоугольный: (BB’^2=BD^2+B’D^2), то есть (angle BDB’=90^circ). Тогда (angle COD=180^circ-angle
ODO’=90^circ), так как (angle COD) и (angle ODO’) – односторонние углы при (ACparallel B’D) и (BD) секущей.

б) Проведем (DHperp BB’).

Тогда (DH) – высота (triangle BDB’) и высота трапеции (ABCD). Так как, с одной стороны, площадь (S_{BDB’}=0,5DHcdot BB’), а с другой стороны, равна (S_{BDB’}=0,5BDcdot B’D), то: [BDcdot B’D=DHcdot BB’ quadRightarrowquad
DH=dfrac{60}{13}]

Ответ:

б) (frac{60}{13})

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на (r%) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите (r), если известно, что если ежегодно выплачивать по (777,600) рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по (1,317,600) рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

Пусть (A) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за (t=frac{100+r}{100}), (x=777,600) и (y=1,317,600) и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года): [begin{array}{|l|l|l|c|}
hline text{Номер года} & text{Долг до начисления }%
& text{Долг после начисления }% & text{Платеж}\
hline 1 & A & tA & x\
hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\
hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\
hline 4 & t(t(tA-x)-x)-x& t(t(t(tA-x)-x)-x) &x\
hline end{array}] Тогда после последнего платежа долг будет равен [t(t(t(tA-x)-x)-x)-x=0 quadLeftrightarrowquad t^4A=x(t^3+t^2+t+1)
quadRightarrowquad A=dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}quad(*)] [begin{array}{|l|l|l|c|}
hline text{Номер года} & text{Долг до начисления }%
& text{Долг после начисления }% & text{Платеж}\
hline 1 & A & tA & y\
hline 2 & tA-y & t(tA-y) &y\
hline end{array}] Тогда после последнего платежа долг будет равен [t(tA-y)-y=0 quadLeftrightarrowquad t^2A=y(t+1)
quadRightarrowquad A=dfrac{y(t+1)}{t^2}quad(**)] Приравняем правые части уравнений ((*)) и ((**)): [dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}=dfrac{y(t+1)}{t^2}
quadRightarrowquad dfrac{x(t^2+1)}{t^2}=y] Сделаем подстановку и найдем (t): [t^2=dfrac{x}{y-x}=dfrac{777,600}{1,317,600-777,600}=
dfrac{7776}{5400}=1,44] Тогда [t=sqrt{1,44}=1,2
quadRightarrowquad r=20.]

Ответ: 20

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{x-a}cdot sin x=sqrt{x-a}cdot cos x]

имеет ровно один корень на отрезке ([0;pi]).

Преобразуем уравнение: [sqrt{x-a}cdot (sin x-cos x)=0
quadLeftrightarrowquad begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x-a=0\
&sin x-cos x=0 end{aligned} end{gathered}right.\
x-ageqslant 0 end{cases}quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x=a\
&mathrm{tg},x=1 end{aligned} end{gathered}right.\
xgeqslant a end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_1=a\
&x_2=dfrac{pi}4+pi n, ninmathbb{Z}
end{aligned} end{gathered}right.\
xgeqslant a end{cases}] Назовем решение неравенства (xgeqslant
a) ОДЗ.
Заметим, что из серии корней (x_2) в отрезок ([0;pi]) попадает только корень (x_2=dfrac{pi}4). Следовательно, найдем, при каких значениях (a) система будет иметь одно решение на ([0;pi]): [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_1=a\
&x_2=dfrac{pi}4
end{aligned} end{gathered}right.\
xgeqslant a end{cases}] Заметим, что если (a>pi), то ОДЗ пересекается с отрезком ([0;pi]) по пустому множеству, следовательно, система не будет иметь ни одного решения на отрезке ([0;pi]). Значит, как минимум, (aleqslant pi). Рассмотрим три случая:

1) (0<aleqslant pi). Тогда ОДЗ: (xin [a;+infty)). ОДЗ в пересечении с отрезком ([0;pi]) дает отрезок ([a;pi]). Следовательно, нужно, чтобы система имела одно решение на ([a;pi]). Заметим, что в этом случае (x_1=a) всегда попадает в ([a;pi]). Значит, нужно, чтобы (x_2=frac{pi}4) не лежал на отрезке ([a;pi]) (то есть (frac{pi}4<a)), либо совпадал с точкой (a). Тогда система будет иметь на ([0;pi]) ровно один корень (x_1=a). Следовательно, обобщая все вышесказанное: [begin{cases}
0<aleqslant pi\[1ex]
dfrac{pi}4leqslant a
end{cases} quadLeftrightarrowquad dfrac{pi}4leqslant
aleqslant pi]

2) Если (a=0), то ОДЗ: (xin [0;+infty)) и система имеет два корня (x_1=0) и (x_2=frac{pi}4) на ([0;pi]), следовательно, этот случай нам не подходит.

3) Пусть (a<0). Тогда ОДЗ: (xin [a;+infty)) и ОДЗ в пересечении с отрезком ([0;pi]) дает отрезок ([0;pi]). Тогда корень (x_1=a) не попадает в отрезок ([0;pi]), (x_2=frac{pi}4) попадает и система имеет на этом отрезке ровно одно решение.

Таким образом, искомые (a): [ain (-infty;0)cupleft[dfrac{pi}4;piright]]

Ответ:

((-infty;0)cupleft[dfrac{pi}4;piright])

На доске написано (30) натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то — зеленые. Все красные числа кратны (8), а зеленые – кратны (3). Все красные числа отличаются друг от друга, все зеленые числа также отличаются друг от друга. Но между красными и зелеными числами могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше (1395=3+6+dots+90), если на доске написаны только кратные (3) числа?

б) Может ли на доске быть написано только одно красное число, если сумма всех записанных на доске чисел равна (1066)?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть написано на доске, если сумма всех чисел равна (1066)?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные (3). Например, число (24) может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй – как зеленое.

Так как (1395=3+6+dots+90), и чисел (3, 6, dots, 90) – ровно тридцать штук, и они все кратны (3), то уберем из них, например, число (90), а вместо него возьмем число (24) (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: (3, 6, dots, 87) и одно красное (24) (кратное (3)), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше (1395).
Ответ: да.

б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа – это (3), второго – это (6) и т.д. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это (87). Сумма всех этих чисел равна (1305) – и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна (1066), то красное число должно быть отрицательным, что невозможно. Ответ: нет.

в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел – это 7.
Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице: [begin{array}{|c|c|c|}
hline text{зеленые} & text{красные}
& text{минимальная сумма}\
hline 28 text{чисел} & 2 text{числа}
& 1242\
3, 6, dots, 84 & 8, 16
& \
hline 27 text{чисел} & 3 text{числа}
& 1182\
3, 6, dots, 81 & 8, 16, 24
&\
hline 26 text{чисел} & 4 text{числа}
& 1133\
3, 6, dots, 78 & 8, 16, 24, 32
&\
hline 25 text{чисел} & 5 text{чисел}
& 1095\
3, 6, dots, 75 & 8, 16, 24, 32, 40
&\
hline 24 text{числа} & 6 text{чисел}
& 1068\
3, 6, dots, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48
&\
hline end{array}] То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше (1066). Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем (1066).

Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна (1068). Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна (1066). Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на (2). Теперь смотрим: если мы добавим красное (56), то нам нужно убрать зеленое (58). Но такого числа среди зеленых нет.
Перебираем дальше: если добавить красное (64), то убрать нужно зеленое (66), которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел: [begin{array}{|c|c|c|}
hline text{зеленые} & text{красные}
& text{сумма}\
hline 23 text{числа} & 7 text{чисел}
& 1066\
3, 6, dots ,63, 69, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48, 64
& \
hline end{array}]

Ответ:

а) да

б) нет

в) 7

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Условия и видеоразбор некоторого варианта части С (задания 13-19) основной волны ЕГЭ-2017 по математике (профильный уровень), который проходил 02.06.2017.

13. а) Решите уравнение $9 cdot 81^{cos x} — 28cdot 9^{cos x} + 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[dfrac{5pi}{2}; 4piright]$.

14. На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM : BM = CN : NB = 1 : 2$. Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

15. Решите неравенство $$dfrac{log_4(64x)}{log_4 x — 3} + dfrac{log_4 x — 3}{log_4(64x)} geqslant dfrac{log_4 x^4 + 16}{log_4^2 x — 9}.$$

16. Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO = KO$.
б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет 0,09 площади трапеции $ABCD$.

17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.

18. Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$sqrt{2x-1} ln(4x-a) = sqrt{2x-1} ln(5x+a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;, 1]$.

19. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Источник

11 класс

ЕГЭ

Условия задач

Часть 1

  1. Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
  2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v=0,036n где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час. 
  3. На клетчатой бумаге с размером клетки sqrt{5} x sqrt{5} изображен треугольник АВС. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС. 
  4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
  5. Найдите корень уравнения (frac{1}{2})^{6-2x}=4
  6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105o, угол CAD равен 35o. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 
  7. На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9]. 
  8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
  9. Найдите значение выражения sqrt{3}-sqrt{12}cdotsin^2displaystylefrac{5pi}{12}
  10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение displaystylefrac{1}{d_1}+frac{1}{d_2}=frac{1}{f}. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
  11. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
  12. Найдите точку  максимума функции y=ln(x+5)^5-5x.
  13. а) Решите уравнение 25^{sin x}=(frac{1}{5})^{-sqrt{2}sin 2x}; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2pi;7pi/2].
  14. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ = CN:NB = 3:1. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
    а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости;
    б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
  15. Решите неравенство displaystylefrac{log_5(25x)}{log_5x-2}+frac{log_5x-2}{log_5(25x)}gefrac{6-log_5x^4}{log_5^2x-4}
  16. Точка Е – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На её стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки СК и ВЕ пересекаются в точке О.
    а) Докажите, что СО=КО.
    б) Найдите отношение оснований трапеции BС : АD, если площадь треугольника ВСК составляет 9/64 площади всей трапеции ABCD.
  17. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    ‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
    Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей , то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?
  18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt{x-a}cdotsin x=-sqrt{x-a}cdotcos x имеет ровно один корень на отрезке [0;pi].
  19. Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
    а) Приведите пример, когда S<14
    б) Могло ли значение S быть равным 17?
    в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

смотрите также Досрочный ЕГЭ по математике 2015

Источник

  • Видеокурсы Инны Фельдман

  • Рубрики

    • 01 Задание (2022)
    • 02 Задание (2022)
    • 03 Задание (2022)
    • 04 Задание (2016)
    • 05 Задание (2022)
    • 06 Задание (2022)
    • 07 Задание (2022)
    • 08 Задание (2022)
    • 11 Задание (2022)
    • 12 Задание (2022) (C1)
    • 13 Задание (2022) (C2)
    • 14 Задание (2022) (C3)
    • 15 Задание (2022) (C4)
    • 16 Задание (2022)
    • 17 Задание (2022) (C6)
    • 18 Задание (2022) (С7)
    • АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
    • База ЕГЭ Задание 19
    • База ЕГЭ Задание 20
    • БЕЗ РУБРИКИ
    • ВИДЕОЛЕКЦИИ
    • ВИДЕОТЕКА
    • ВИДЕОУРОКИ
    • Вопросы для повторения
    • Диагностические работы
    • Задание 01 (2016)
    • Задание 02 (2016)
    • Задание 03 (2016)
    • ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
    • Задачи с практическим содержанием
    • ИНТЕГРАЛ
    • Интерактивные модели
    • ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
    • Комбинаторика
    • ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
    • МГУ, ДВИ
    • НОВОСТИ
    • ОГЭ (ГИА) Задание 11
    • ОГЭ (ГИА) Задание 15
    • ОГЭ (ГИА) Задание 15
    • ОГЭ (ГИА) Задание 24
    • ОГЭ (ГИА) Задание 25
    • ОНЛАЙН КУРСЫ
    • Оплата
    • ПЛАНИМЕТРИЯ
    • ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
    • ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ
    • ПРЕЗЕНТАЦИИ
    • ПРОГРЕССИИ
    • ПРОИЗВОДНАЯ
    • РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ
    • СТЕРЕОМЕТРИЯ
    • ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
    • Теория вероятностей
    • ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
    • Тесты
    • Тренировочные варианты
    • ТРИГОНОМЕТРИЯ
    • УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
    • ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2017-06-03

Главная » СТАТЬИ » 13 Задание (2022) (C2) » Задание 14 из из реального ЕГЭ по математике 2.06.2017 (2)

Инна |
Отзывов (7)

Отзывов (7)


  1. Лена

    2017-06-06 в 03:43

    Почему в пункте «б», в самом начале, берется прямая параллельная A1B1, а не AB1?

    Ответить


    • Инна

      2017-06-06 в 07:32

      Лена, спасибо, изменила условие и добавила решение с прежним условием.

      Ответить


  2. Бениамин

    2017-06-06 в 06:33

    Добрый день, Инна Владимировна! А почему Вы находите расстояние от прямой АВ до (А1СВ1), ведь по условию прямая АВ1?

    Ответить


    • Инна

      2017-06-06 в 07:32

      Вениамин, спасибо. Исправила. И добавила новое решение.

      Ответить


      • Бениамин

        2017-06-07 в 05:49

        Благодарю за Ваши интересные решения! Получилось два случая пункта б)

        Ответить


  3. Лена

    2017-06-14 в 22:42

    Добрый день, Инна Владимировна! При решении системы уравнений в пункте «б`» a=-7c/4.

    Ответить


    • Инна

      2017-06-15 в 05:08

      Спасибо!

      Ответить

Добавить комментарий

  • ПАРОЛЬ ДЛЯ БИБЛИОТЕКИ 010101

  • Подпишитесь на рассылку сайта и ВЫБЕРИТЕ В ПОДАРОК ЛЮБУЮ ВИДЕОЛЕКЦИЮ!

  • репетитор по информатике

  • Видеокурсы Анны Малковой.

  • Рекомендую:

  • ЕГЭ-ТРЕНЕР, видеоуроки по математике Ольги Себедаш

  • ЕГЭ-Студия: подготовка к ЕГЭ и олимпиадам

  • Репетитор по математике. Подготовка к ЕГЭ и ДВИ в МГУ.

  • Простая физика — сайт Анны Денисовой

  • EgeMaximum — сайт Елены Репиной

  • ЕГЭ-ШАНС — сайт Ларисы Гайковой

  • Последние записи

    • Условная вероятность. Формула Байеса
    • Новые задачи по теории вероятностей
    • Видеолекция «Решение задач на оптимизацию на ЕГЭ по математике»
    • Тренировочный вариант №51
    • Тренировочный вариант №50

  • архив записей

    архив записей

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Егэ по математике 11 класс 2023 год профильный уровень
  • Егэ по математике 11 класс 2023 год базовый уровень
  • Егэ по математике 11 класс 2022 год базовый уровень
  • Егэ по математике 1024
  • Егэ по математике 1011

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии