Загрузить PDF
Загрузить PDF
Геометрия — это наука о фигурах и углах, она может оказаться сложной для многих учащихся. При первом ознакомлении многие идеи геометрии кажутся абсолютно новыми, что может вызвать замешательство. Для геометрии характерно большое количество аксиом, теорем, определений и символов, которые необходимо выучить, прежде чем у вас начнет формироваться стройная картина. Тем не менее правильные привычки в учебе и несколько полезных правил помогут вам преуспеть в изучении геометрии.
-
1
Посещайте все занятия. В классе вы сможете усвоить новый материал и закрепить то, что изучали на предыдущих уроках. Если вы не будете посещать занятия, вам будет намного сложнее вовремя усваивать весь изучаемый материал.
- Задавайте на уроках вопросы. Учитель присутствует в классе для того, чтобы помочь вам как следует разобраться в изучаемом материале. Если у вас возник какой-либо вопрос, не стесняйтесь задать его. Возможно, некоторых присутствующих интересует тот же вопрос.
- Готовьтесь к занятиям: заранее читайте соответствующие разделы и разбирайтесь в формулах, теоремах и аксиомах.
- Внимательно слушайте учителя во время уроков. У вас будет время поговорить с одноклассниками на перемене или после занятий.
-
2
Рисуйте схемы. Геометрия изучает фигуры и углы.[1]
Чтобы легче понять материал, представьте задачу, а затем нарисуйте схему или чертеж. Если речь идет об углах, нарисуйте их. Например, свойства вертикальных углов намного легче понять с помощью рисунка. Если в задаче не приведен рисунок, сделайте его самостоятельно.- Чтобы продвинуться в изучении геометрии и понять свойства фигур, представляйте их на схемах и рисунках.
- Потренируйтесь распознавать фигуры в различных ориентациях на основании их геометрических свойств (величин углов, количества параллельных и перпендикулярных линий и тому подобного).
-
3
Организуйте учебную группу. Объединитесь с некоторыми другими одноклассниками в группу — это хороший способ изучить новую информацию и выяснить неясные моменты. Регулярно собирайтесь вместе, чтобы вовремя усваивать пройденный материал и как можно лучше понимать его. Совместные занятия с одноклассниками помогут вам, когда вы перейдете к изучению более сложных разделов. Вы сможете вместе прорабатывать их.
- Скорее всего, кто-нибудь из ваших одноклассников понимает то, в чем вы не разобрались, и поможет вам. Вы также сможете объяснить своим друзьям какой-то материал и при этом лучше усвоите его сами.
-
4
Научитесь пользоваться транспортиром. Транспортир представляет собой полукруглый инструмент для измерения углов. Кроме того, с его помощью можно чертить углы. Узнайте, как пользоваться транспортиром — это необходимый навык при изучении геометрии. Чтобы измерить угол, поступите следующим образом:
- совместите центральное отверстие транспортира с вершиной (острием) угла;
- покрутите транспортир до тех пор, пока его основание (прямая часть) не совпадет с одной из сторон угла;
- продолжите вторую сторону угла до дуги транспортира и запишите угол, при котором они пересекаются. Это будет величина измеряемого угла.
-
5
Выполняйте все домашние задания. Домашняя работа помогает как следует закрепить пройденный материал. Если вы будете выполнять домашние задания, то действительно поймете то, что изучали в классе и узнаете, каким разделам следует уделить больше внимания.
- Во время домашней работы вы сможете неспешно повторить пройденный материал и обратить особое внимание на трудные моменты, чтобы лучше понять их. Если у вас возникнут вопросы, попросите о помощи одноклассников или учителя.
-
6
Объясняйте пройденный материал кому-то другому. Если вы как следует усвоите какую-то тему или идею, то сможете рассказать о ней непосвященному человеку. Если же вы не в состоянии ясно объяснить материал, так чтобы другой человек понял его, возможно, вы недостаточно усвоили его сами. Кроме того, когда вы объясняете какой-либо вопрос, то лучше запоминаете его.[2]
- Попробуйте обучать геометрии своего брата, сестру или одного из родителей.
- Объясняйте в учебной группе темы, в которых вы хорошо разобрались.
-
7
Решайте побольше задач. Геометрия — это не только область знаний, но и своего рода искусство. Простого изучения правил и теорем геометрии недостаточно для того, чтобы получить высокую оценку, для этого необходимо уметь решать задачи. Решайте все задачи, которые учитель задает на дом, а также дополнительные задачи по темам, которые трудно даются.
- Старайтесь решать как можно больше задач из других источников. Помните о том, что схожие задачи могут по-разному формулироваться.
- Чем больше задач вы решите, тем легче сможете решать их в будущем.
-
8
Поищите дополнительную помощь. Иногда посещений занятий и общения с учителем бывает недостаточно. Не исключено, что вам потребуется репетитор, который сможет уделить больше внимания трудным для вас темам. Индивидуальные занятия очень полезны при изучении сложного материала.
- Спросите у своего учителя, нет ли у него знакомых репетиторов.
- Посещайте дополнительные занятия и спрашивайте о том, что вы не до конца поняли.
Реклама
-
1
Запомните пять аксиом евклидовой геометрии. Геометрия основывается на системе постулатов, или аксиом, которые были собраны вместе древнегреческим математиком Евклидом.[3]
Знание и понимание этих аксиом поможет вам усвоить множество различных идей и концепций.- 1. Между любыми двумя точками можно провести прямую линию.
- 2. Ограниченный прямой отрезок можно бесконечно продолжать по прямой.
- 3. Из всякого центра любым размахом циркуля может быть описан круг, причем размах циркуля будет составлять его радиус.
- 4. Все прямые углы равны между собой.
- 5. Если даны прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
-
2
Изучите используемые в геометрии символы. Когда вы приступите к изучению геометрии, вам покажется, что в ней используется слишком большое количество символов. Однако со временем вы с легкостью сможете распознавать их, что облегчит дальнейшую учебу. Ниже перечислены некоторые из символов, которые наиболее часто используются в геометрии:[4]
- небольшой треугольник обозначает треугольник;
- небольшой угол обозначает угол;
- буквы с линией над ними обозначают конечный отрезок;
- буквы с линией над ними, которая с обеих сторон заканчивается стрелками, обозначают прямую линию;
- горизонтальный отрезок и проведенный из его центра вертикальный отрезок обозначают две взаимно перпендикулярные прямые линии;
- два вертикальных отрезка обозначают две взаимно параллельные линии;
- знак равенства с волнистой линией поверх него означает, что две фигуры конгруэнтны;
- волнистая линия означает, что две фигуры подобны;
- три точки в форме треугольника означают “следовательно”.
-
3
Изучите свойства прямых линий. Прямая линия продолжается бесконечно в обоих направлениях. На концах такой линии ставятся стрелки, чтобы обозначить, что линию можно продолжить дальше. Отрезок имеет начало и конец. Еще один вид прямых линий называется лучом: луч имеет только начало и бесконечно продолжается во втором направлении. Прямые линии, отрезки и лучи могут быть параллельными, перпендикулярными или пересекающимися.[5]
- Параллельные линии никогда не пересекаются друг с другом.
- Перпендикулярными называются линии, которые пересекаются под углом 90°.
- Пересекающимися называются линии, которые пересекаются друг с другом. Пересекающиеся линии могут быть перпендикулярными, но они никогда не могут быть параллельны друг другу.
-
4
Узнайте о разных видах углов. Существует три типа углов: тупые, острые и прямые. Тупыми называются углы, величина которых превышает 90°. Величина острых углов меньше 90°, а прямые углы в точности равны 90°.[6]
При изучении геометрии необходимо знать разницу между различными видами углов.- Угол 90° называют также прямым, или говорят, что образующие его линии пересекаются под прямым углом.
-
5
Изучите теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, a2 + b2 = c2.[7]
Это соотношение позволяет рассчитать длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длины двух других сторон. Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90°. В приведенной выше формуле a и b обозначают две прилежащие к прямому углу стороны (катеты), а c соответствует противолежащей стороне (гипотенузе).- Предположим, необходимо найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если даны длины катетов a = 2 и b =3.
- a2 + b2 = c2
- 22 + 32 = c2
- 4 + 9 = c2
- 13 = c2
- c = √13
- c = 3,6
-
6
Научитесь распознавать типы треугольников. Треугольники бывают трех видов: разносторонние, равнобедренные и равносторонние. У разностороннего треугольника нет конгруэнтных (равных) сторон или углов. В равнобедренных треугольниках конгруэнтны по крайней мере две стороны и два угла. Равносторонний треугольник имеет три равных стороны и три равных угла. Зная различные типы треугольников, вы сможете определять их свойства и правильно использовать аксиомы и теоремы.[8]
- Помните, что равносторонний треугольник обязательно является и равнобедренным, поскольку в нем есть две равных стороны. Все равносторонние треугольники являются равнобедренными, однако не все равнобедренные треугольники являются равносторонними.
- Треугольники можно классифицировать по их углам: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. В остроугольных треугольниках каждый из трех углов меньше 90°; в прямоугольных треугольниках один из углов равен 90°; в тупоугольных треугольниках величина одного из углов превышает 90°.
-
7
Узнайте о разнице между подобными и конгруэнтными фигурами. Фигуры называются подобными, если их соответствующие углы равны, а стороны одной фигуры пропорционально больше или меньше, чем соответствующие стороны второй фигуры. Иными словами, один многоугольник может иметь такие же углы, что и второй, но длина его сторон будет другой. Конгруэнтные фигуры идентичны, их соответствующие стороны и углы равны.[9]
- Соответствующими углами называются равные углы в двух фигурах. Например, два прямоугольных треугольника имеют соответствующие прямые углы. Чтобы фигуры имели соответствующие углы, их стороны не обязательно должны быть равными.
-
8
Изучите понятия дополнительных и смежных углов. Дополнительными углами называются такие углы, сумма которых составляет 90 градусов. Сумма смежных углов составляет 180 градусов. Помните, что вертикальные углы всегда конгруэнтны. Схожим образом, внутренний накрест лежащий и внешний накрест лежащий углы также всегда конгруэнтны. Прямые углы равны 90 градусов, а развернутые — 180 градусов.
- Вертикальные углы — эта пара углов с общей вершиной, которые образованы двумя пересекающимися прямыми, причем стороны одного угла являются продолжением сторон другого.[10]
- Внутренние накрест лежащие углы образуются в том случае, когда две прямые линии пересекают третью. Они находятся на противоположных сторонах пересекаемой линии, но с внутренней стороны двух пересекающих ее линий.[11]
- Внешние накрест лежащие углы также образуются, когда две прямые линии пересекают третью. Они находятся на противоположных сторонах пересекаемой линии и с внешней стороны двух пересекающих ее линий.[12]
- Вертикальные углы — эта пара углов с общей вершиной, которые образованы двумя пересекающимися прямыми, причем стороны одного угла являются продолжением сторон другого.[10]
-
9
Запомните формулы для синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике. Синус, косинус и тангенс угла можно определить по следующим формулам: Синус = Противолежащий катет/Гипотенуза, Косинус = Прилежащий катет/Гипотенуза, Тангенс = Противолежащий катет/Прилежащий катет.[13]
- Предположим, необходимо найти синус, косинус и тангенс угла 39° в прямоугольном треугольнике со сторонами AB = 3, BC = 5 и AC = 4.
- sin(39°) = противолежащий катет/гипотенуза = 3/5 = 0,6
- cos(39°) = прилежащий катет/гипотенуза = 4/5 = 0,8
- tg(39°) = противолежащий катет/прилежащий катет = 3/4 = 0,75
Реклама
-
1
После того, как вы прочитаете условие задачи, сделайте чертеж. Иногда задача не сопровождается рисунком, и в этом случае следует сделать чертеж, чтобы лучше понять условие. Сначала можно сделать примерный эскиз, а затем нарисовать более точный чертеж, который более или менее правильно отображает все линии и углы.
- Ясно укажите на рисунке все, что дано в задаче и что требуется найти.
- Чем понятнее получится рисунок, тем легче вам будет решить задачу.
-
2
Рассмотрите получившийся рисунок. Обозначьте на нем прямые углы и равные отрезки. Если есть параллельные линии, также обозначьте их на чертеже. Если в условии не указано явно, что два отрезка равны, можно ли доказать это? Не забывайте доказывать все свои предположения.
- Запишите соотношения между длинами различных отрезков и величинами углов, которые можно получить из сделанного рисунка и ваших предположений.
- Запишите, что дано в задаче. Условие любой задачи по геометрии содержит исходные данные. Запишите все исходные данные, чтобы иметь их перед глазами при решении задачи.
-
3
Попробуйте при доказательстве двигаться в обратном направлении. В задачах по геометрии приводятся какие-то исходные данные, и на их основании необходимо доказать определенные утверждения о свойствах фигур и углов. Иногда наиболее простой способ заключается в том, чтобы начать решать задачу с конца.
- Подумайте, каким образом исходные данные могут привести к конечному результату?
- Есть ли очевидные предположения, доказательство которых позволяет получить конечный результат?
-
4
Составьте таблицу из двух колонок: в одну колонку записывайте утверждения, а во вторую — их обоснования. Чтобы получить строгое доказательство, необходимо сделать ряд промежуточных предположений и доказать их истинность. Ниже колонки с предположениями вы запишете конечное утверждение, например, угол ABC = углу DEF. Колонка обоснований будет содержать доказательства соответствующих утверждений и предположений. Если какое-то утверждение дано в условии задачи, просто напишите в соответствующей ячейке колонки обоснований “дано”, в противном случае запишите доказательство данного утверждения (например, укажите использованную теорему).
-
5
Определите, какие теоремы подходят для решения данной задачи. В геометрии существует масса отдельных теорем, которые можно использовать при решении задач. В этих теоремах доказываются различные свойства треугольников, пересекающихся и параллельных линий, окружностей и так далее. Определите, с какими геометрическими фигурами вы имеете дело в данной задаче, и найдите подходящие теоремы. Посмотрите, не решали ли вы подобные задачи ранее. Для треугольников есть множество теорем, и среди них наиболее важными являются следующие:[14]
- соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны между собой;
- если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны;
- если два треугольника имеют две равные стороны и угол между ними, то эти треугольники конгруэнтны;
- если одна сторона одного треугольника и два прилежащих к ней угла равны соответствующим стороне и двум углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны;
- треугольники с тремя равными углами подобны, но не обязательно конгруэнтны.
-
6
На пути к конечному результату не пропускайте промежуточные шаги. Запишите краткую схему доказательства. Напишите обоснование для каждого шага. При этом добавляйте приведенные в условии данные там, где они используются, а не пишите их все в начале таблицы. Если необходимо, поменяйте шаги местами.
- Чем подробнее вы запишете доказательство, тем легче вам будет разместить отдельные шаги в правильном порядке.
-
7
В последней строке запишите выводы. Хотя последний шаг должен завершать доказательство, его также следует обосновать. Когда вы завершите доказательство, просмотрите его еще раз и убедитесь в том, что в нем нет пробелов. Удостоверьтесь, что ваше решение правильно, после чего запишите в нижней правой ячейке “что и требовалось доказать”. Таким образом вы укажете, что задача решена.
Реклама
Советы
- УЧИТЕСЬ КАЖДЫЙ ДЕНЬ. Просматривайте свои записи за текущий и предыдущий дни и всегда повторяйте пройденный материал, пока вы не забыли изученные накануне аксиомы, теоремы, определения, символы и обозначения.
- Если вы чего-то не понимаете, поищите дополнительную информацию и учебные ролики в интернете.
- Заведите карточки и записывайте на них формулы. Почаще просматривайте карточки, чтобы запомнить изученные формулы.
- Запишите номера мобильных телефонов и адреса электронной почты своих одноклассников, чтобы в случае необходимости вы могли обратиться к ним за помощью.
- Занимайтесь на летних каникулах. Это облегчит вашу работу в течение учебного года.
- Медитируйте. Это помогает.
Реклама
Предупреждения
- Не откладывайте все на последний момент.
- Не занимайтесь зубрежкой.
Реклама
Что вам понадобится
- Линейка-треугольник
- Циркуль
- Научный калькулятор
- Тетрадь в клетку
- Транспортир
- Простые карандаши (записи и чертежи необходимо делать карандашами)
- Маркер
- Цветные карандаши
Об этой статье
Эту страницу просматривали 38 838 раз.
Была ли эта статья полезной?
Материалы для
сдачи экзамена по геометрии за курс 7 класса
Составитель:
учитель математики
Кидалова Лариса
Леонидовна
Пояснительная
записка
Цель: определить уровень усвоения учащимися
курса геометрии за 7 класс.
Форма
проведения: устный зачет по билетам.
Билет
содержит 4 задания.
№1.
Сформулировать определение, свойство, признаки геометрических объектов.
Сделать чертеж.
№2.
Сформулировать и доказать теорему.
№3.
Практическое задание на построение с помощью циркуля и линейки.
№4.
Решение геометрической задачи на нахождение неизвестных величин (отрезков,
углов).
Учащиеся должны
проявить следующие умения:
·
пользоваться языком геометрии для описания
предметов окружающего мира;
·
распознавать геометрические фигуры, различать их
взаимное расположение;
·
распознавать на чертежах и моделях геометрические
фигуры (отрезки, углы, треугольники и их частные виды); изображать указанные
геометрические фигуры;
·
выполнять чертежи по условию задачи;
·
владеть практическими навыками использования
геометрических инструментов для изображения фигур, а также для нахождения длин
отрезков и величин углов;
·
уметь решать несложные задачи на вычисление
геометрических величин (длин, углов), опираясь на изученные свойства фигур и
отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический
аппарат;
·
проводить доказательные рассуждения при решении
задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их
использования;
·
владеть алгоритмами решения основных задач на
построение;
использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
·
описания реальных ситуаций на языке геометрии;
·
решения практических задач, связанных с нахождением
геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические
средства);
построений
геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Критерии оценивания:
Оценка устных ответов учащихся по геометрии:
Оценка
«5» ставится, если:
·
работа
выполнена полностью;
·
в
логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
·
в
решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не
являющаяся следствием незнания или недопонимания учебного материала)
Оценка
«4» ставится, если:
·
работа
выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение
обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
·
допущена
одна ошибка или два-три недочета в выкладках, чертежах (если эти работы не
являлись специальным объектом проверки).
Оценка
«3» ставится, если:
·
допущены
более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах, но
учащихся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка
«2» ставится, если:
·
Допущены
существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями
по проверяемой теме в полной мере.
Оценка
«1» ставится, если:
·
Работа
показала полное отсутствие у учащихся обязательных знаний и умений по
проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
Самостоятельные
и контрольные работы в 7 классах проверяются в течение двух рабочих дней после
написания работы.
Оценка устных ответов учащихся по математике.
Ответ
оценивается «5», если ученик:
·
полно
раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренной программой и учебником;
·
изложил
материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно
используя математическую терминологию и символику;
·
правильно
выполнил чертежи, сопутствующие ответу;
·
показал
умение иллюстрировать теоретическое положение конкретными примерами;
·
применять
их в новой ситуации при выполнении практического задания;
·
продемонстрировал
усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и
устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
·
отвечал
самостоятельно без наводящих вопросов учителя;
·
возможны
одна-две неточности при освещении второстепенных вопросов или выкладках,
которые ученик легко исправил по замечанию учителя.
Ответ
оценивается «4», если он удовлетворяет в основном требованиям на отметку «5»,
но при этом имеет один из недостатков:
·
в
изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание
ответа;
·
допущены
один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по
замечанию учителя;
·
допущены
ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или
выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.
Отметка
«3» ставится в следующих случаях:
·
неполно
или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее вопроса
и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного
материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);
·
имелись
затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании
математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких
наводящих вопросов учителя;
·
ученик
не справился с применением в теории в новой ситуации при выполнении
практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по
данной теме;
·
при
знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность
основных умений и навыков.
Отметка
«2» ставится в следующих случаях:
·
не
раскрыто основное содержание учебного материала;
·
обнаружено
незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного
материала;
допущены ошибки в определении понятий, при
использовании математической терминологии, в рисунках, в выкладках, которые не
исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
Билет №1 №1. №2. №3. |
|
Билет №2 №1. №2. №3. |
|
Билет №3 №1. №2. №3. |
|
Билет №4 №1. №2. №3. |
|
Билет №5 №1. №2. №3. |
|
Билет №6 №1. №2. №3. |
|
Билет №7 №1. №2. №3. |
|
Билет №8 №1. №2. №3. |
|
Билет №9 №1. №2. №3. |
|
Билет №10 №1. №2. №3. |
|
Билет №11 №1. №2. №3. |
|
Билет №12 №1. №2. №3. |
Часть №2. Практические задания
№1. На отрезке АВ отмечена точка С так, что
отрезок ВС в 2 раза меньше отрезка АС. Найдите АС, если АВ=18см.
№2. Точка С – середина отрезка АВ, точка Д –
середина отрезка ВС. Найдите АВ, если АД=21см.
№3. При пересечении двух прямых образовались
четыре угла, сумма двух из которых равна 2500. Найдите остальные
углы.
№4. Один из смежных углов в 2 раза больше
другого. Найдите величину этих углов.
№5. Основание равнобедренного треугольника
равно 8см, а периметр равен 20см. Найдите боковую сторону треугольника.
№6. Основание равнобедренного треугольника на
2см больше боковой стороны, а его периметр равен 11см. Найдите основание.
№7. В треугольнике АВС проведена медиана ВЕ.
Найдите длину АЕ, если АВ=6см, периметр треугольника АВС равен 18см, а ВС на
2см больше АВ.
№8. В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС на медиане ВД отмечена точка К. Докажите, что треугольник АКС –
равнобедренный.
№9. На боковых сторонах равнобедренного
треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и ВР. ВД – высота треугольника
АВС. Докажите, что МД=РД.
№10. Один из смежных углов составляет 0,8
другого. Найдите эти смежные углы.
№11. Сумма двух углов, образованных при
пересечении двух прямых, равна 780. Найдите эти углы.
№12. На отрезке MN длиной 36см взята
точка К. Найдите длины отрезков MK и NK, если MK:NK=7:5.
№13. Одна из сторон равнобедренного
треугольника равна 8см, а периметр равен 26см. Какими могут быть стороны
равнобедренного треугольника?
№14. Периметр равнобедренного треугольника
равен 48см. Найдите стороны этого треугольника, если его основание составляет
0,4 боковой стороны.
№15. Периметр равнобедренного треугольника
равен 30см. Какими могут быть стороны равнобедренного треугольника, если одна
из них на 3см меньше другой?
№16. В треугольнике АВС проведена медиана AM. Найдите
периметр треугольника АВС, если BM=4см, АВ=5см, а АС в 2 раза больше
АВ.
№17. В треугольнике проведена медиана длиной
8см. Медиана делит данный треугольник на два треугольника с периметрами 25см и
27см. Найдите периметр данного треугольника.
№18. В равнобедренном треугольнике с
периметром 48см основание относится к боковой стороне как 2:3. Найдите стороны
треугольника.
№19. В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС на высоте BD отмечена
точка К. Докажите, что треугольник АКС – равнобедренный.
№20. Боковая сторона равнобедренного
треугольника в 2 раза больше основания и на 12см меньше периметра треугольника.
Найдите стороны треугольника.
№21. Один из внутренних углов треугольника в 3
раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен
1000. Найдите все внутренние углы треугольника.
№22. Найдите углы треугольника АВС, если угол
В на 400 больше угла А, а угол С в 5 раз больше угла А.
№23. В треугольнике АВС угол А меньше угла В
на 800, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при
вершине В в 2 раза. Найдите внутренние углы треугольника АВС.
№24. Высота прямоугольного треугольника,
опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол 550.
Найдите острые углы этого треугольника.
№25. Угол между биссектрисой и высотой,
проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 220.
Найдите острые углы прямоугольного треугольника.
Ответы
ДЯ
Дмитрий Яковцов
Учить только самое важное. 90% этих билетов вода. 10% — тезисы их и учи. Выбрось лишнее. Например выучи только формулы и общие положения. А еще лучше сделай шпоры на прозрачной бумаге, с мелким-мелким шрифтом и положи под руку.
не прокатит комиссия из 5 человек
Нина Халтурина
Решать задачи, повторяя правила. А вообще-то надо учить в течении года. Да еще совет: попробуй посимаронить, придумай какой нибудь смешной ритуал и выполни его.
Azat _A
не есть, не спать, не звонить, никуда не ходить, и к утру можно выучить все. Составить план: например 1 билет — 15 минут. Начало в 21.00, К 22.00 уже можно 4 билета выучить
Azat _A
ну тогда не сдавай экзамен, ну его
Azat _A
тогда борись! Дерзай, ускоряйся! Кровь из носа сдай! Есть хороший девиз: «Черт побери, делай не п..ди!»
Виктор Журавлев
Билеты по геометрии надо не выучивать,а понимать! Ты их не учи,а просто просмотри:у тебя есть 4 часа,следовательно, 17 минут на билет-это не мало.
Виктор Журавлев
Бедненькая! Ну,тогда тебе нужно нанять репетитора.Найми,например,меня.И мы совместим приятное с полезным!
Z1982Z
Принять душь прохладный желательно.выпить колпачек аптечного спирта.и приниматься за дело.можно сьесть мятную конфету или шеколадку
ИР
Ирина Ромашина
Геометрия крайне логичный предмет. Стоит только понять логику и запомнить основные тезисы, остальное можно вывести по ходу пьесы
ИР
Ирина Ромашина
Ну как же. Это свойство медианы. Если провести три медианы, то они пересекутся в точке которая поделит каждую медиану в отношении 2:1, и будет являться центром тяжести треугольника
ИР
Ирина Ромашина
Ну это и есть программа школы. Я со школы помню. Ну да ладно, просто запомни, где медианы пересеклись, там и центр тЯжести
ТМ
Татьяна Молчанова
боюсь, что это очень индивидуально… Если осталось мало времени, может понадеяться на везение и выучить хоть один билет?
Антонина Гончарук
сначала прорабатываешь все вопросы,которые ты знаешь.остальные откладываешь.и так далее.учи по темам также.
Антонина Гончарук
вот и работайте с этими доказательствами,в начале которые знаете,а потом другие.рисуйте,чертите,проговаривайте все больше вслух
Андрей Мягков
ПОЗДНОВАТО СПОХВАТИЛАСЬ. СПОСОБ ЕСТЬ, НО 4 ЧАСА- МАЛО.ИМПРОВИЗИРУЙ. МЕНЬШЕ 3- КИ НЕ ПОСТАВЯТ. УДАЧИ В БОЮ. 
Светлана Астапенкова
надо было в течение года разбираться в своих пробелах. Я учила посредством подключения зрительной памяти
ТА
Татьяна Алхимова
фигня вопроса!бери и учи сначала. Там же все друг за дружку цепляется.Самое главное это-ТИКАЙ ОТ СЮДА!!! 
Соня Солнечная
е могу выучить очень прошу помогите осталось часов 5 до экзамена шпора не прокатит (
ТА
Татьяна Алхимова
как же тебе помочь? это же твоя голова, твои знания. Я то свое уже отбарабанила много лет назад…
Г*
Гюрза *****
Пиши шпоры еще, 2-й, 3-й, 4-й комплект, сколько успеешь… Пока будешь писать, многое успеешь запомнить…
Бася Басевич
геометрию в принципе выучить нельзя-ее надо понимать
Юрий Баранчиков
Г-в-о вопрос 5х60=300, 300/14~30мин на билет…Осилишь! Не теряй времени-вперёд! И не пуха-ни пера!!!!
Юрий Максимов
Надо извлечь квадратный корень из 14 и их станет меньше ( не забыть дробь отбросить)
СХ
София Холявко
Насколько я помню со школы,то у меня был какой то алгоритм быстрого запоминания.
СХ
София Холявко
Так 30 лет прошло. Теперь у меня алгоритмы ,что бы все успевать.
ЛС
Лена Савекина
учить.. Мне помогало несколько раз прочитать- и запоминалось автоматом
Ярослава Савина
3 раза читаешь ..на 4тый уже выучил……..только вдумчиво надо читать)))
Влад Чепкасов
а вы лекции прогуливали? если да, то никак! придется сидеть долго!
Людмила Аверина
каждый день по 3 билета учить))потом их повторять и учить новые
Соня Солнечная
не могу выучить очень прошу помогите осталось часов 5 до экзамена шпора не прокатит (
Экзамен по геометрии в 7 классе, на мой взгляд, является неотъемлемой частью курса изучения геометрии. Что же семиклассники должны получить в первый год знакомства с новым, по сути, предметом.
Обучающиеся на уровне 7класса научатся:
Геометрические фигуры
-
Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур:
-
— определение точки, прямой, отрезка, луча, угла;
-
— единицы измерения отрезка, угла;
-
— определение вертикальных и смежных углов, их свойства;
-
— определение перпендикулярных прямых;
-
— определение треугольника, виды треугольников, признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, определение медианы, биссектрисы, высоты;
-
— определение параллельных прямых, их свойства и признаки;
-
— соотношение между сторонами и углами треугольника, теорему о сумме углов треугольника;
-
— определение прямоугольного треугольника, его свойства и признаки.
-
извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;
-
применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;
-
решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.
Измерения и вычисления
-
Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;
-
применять формулы периметра, площади и объема, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;
Геометрические построения
-
Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.
Геометрические преобразования
-
Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.
Обучающиеся на уровне 7класса получат возможность научиться:
Геометрические фигуры
-
Свободно оперировать геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;
-
самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новые классы фигур, проводить в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;
-
исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;
-
решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;
-
формулировать и доказывать геометрические утверждения.
Измерения и вычисления
-
Свободно оперировать понятиями длина, площадь, объем, величина угла как величинами, использовать равновеликость и равносоставленность при решении задач на вычисление, самостоятельно получать и использовать формулы для вычислений площадей и объемов фигур, свободно оперировать широким набором формул на вычисление при решении сложных задач, самостоятельно формулировать гипотезы и проверять их достоверность.
Геометрические построения
-
Оперировать понятием набора элементов, определяющих геометрическую фигуру,
-
владеть набором методов построений циркулем и линейкой;
-
проводить анализ и реализовывать этапы решения задач на построение.
История математики
-
Понимать математику как строго организованную систему научных знаний, в частности владеть представлениями об аксиоматическом построении геометрии и первичными представлениями о неевклидовых геометриях;
рассматривать математику в контексте истории развития цивилизации и истории развития науки, понимать роль математики в
-
Владеть знаниями о различных методах обоснования и опровержения математических утверждений и самостоятельно применять их;
-
владеть навыками анализа условия задачи и определения подходящих для решения задач изученных методов или их комбинаций;
-
характеризовать произведения искусства с учетом математических закономерностей в природе, использовать математические закономерности в самостоятельном творчестве.
Целью устного экзамена является проверка уровня предметной компетентности учащихся за курс 7 класса по геометрии в рамках проведения переводной аттестации. Ниже предложены билеты, которые содержат один теоретический вопрос и три задачи, две из них по готовым чертежам.
Билет №1
-
Прямая, взаимное расположение прямых, аксиома прямой. Луч, угол, виды углов, биссектриса угла. Смежные и вертикальные углы, свойства(доказать одно из свойств).
-
3.
3. 4. При пересечении двух прямых, образовалось четыре угла. Один из них больше другого на18 
. Найдите величину каждого из четырех углов.
Билет №2.
-
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой. Расстояние от точки до прямой. Доказать, что две прямые, перпендикулярные третьей не пересекаются.
-
3.
3.4. Периметр равнобедренного треугольника равен 45см, а одна из его сторон больше другой на 9см. Найдите стороны треугольника.
Билет №3.
-
Окружность (определение, радиус окружности, диаметр, хорда, дуга). Построение перпендикулярных прямых. Построение треугольника по трем элементам (построить треугольник, используя три элемента).
-
3.
3. 4. Две окружности различных радиусов с центрами О и М пересекаются в точках А и В. Докажите , что угол ОАМ равен углу ОВМ.
Билет №4.
-
Треугольники. Классификация треугольников по углам и сторонам. Признаки равенства треугольников. Доказать один из признаков.
-
3.
3. 4. Даны три точки М,Р и К.. известно, что МР = 2,7см, а расстояние РК составляет 2/3 расстояния МР. Каким должно быть расстояние МК, чтобы точка р лежала между точками М и К.
Билет №5.
-
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства (доказать одно из свойств).
-
3.
3. 4. В треугольнике АВС 
1000.Биссектоиссы СС1 и ВВ1 пересекаются в точке D. Найдите угол ВDС.
Билет № 6.
-
П
араллельные прямые. Углы при двух прямых и секущей. Признаки параллельных прямых. Доказать один из признаков. -
3.
араллельные прямые. Углы при двух прямых и секущей. Признаки параллельных прямых. Доказать один из признаков.
3. 4.В треугольнике АВС, где угол С равен 90
,проведена высота СD. Угол DСВ равен 41 Найдите 
А, В и угол АСD.
Билет №7.
-
Аксиомы параллельных прямых. Свойства параллельных прямых (доказать одно из свойств). Расстояние между параллельными прямыми.
-
3.
3.
4. В треугольнике АВС, где угол А равен 45 , угол С равен 30 проведена высота ВD. Найдите ВС, если АD = 7,5см.
Билет №8.
-
Теорема о сумме углов треугольника. Внешний угол треугольника, свойство внешнего угла треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника (доказать любое утверждение).
-
3.
4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.
Билет № 9.
-
П
рямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника. Доказать любое свойство. -
3.
рямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника. Доказать любое свойство.
3. 4. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45 .
Билет №10.
-
Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать любое утверждение.
-
3.
3. 4. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны, б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Здравствуйте! В статье мы расскажем, как подтянуть оценки по геометрии, выучить теоремы или термины с определениями. Разберемся, как лучше заниматься — самостоятельно или на курсах, и узнаем, что можно выучить за день вечер или час.
Выучить самостоятельно всю геометрию возможно, но это будет долго и сложно, так как нужно тщательно продумать план занятий и правильно подобрать задания. Главный минус — никто не проверит ваши знания и не объяснит непонятый материал.
Есть два эффективных способа, с помощью которых можно с нуля понять геометрию или подтянуть уже изученный материал:
- Заниматься с репетиром — например, в онлайн-формате. Дистанционные занятия обычно стоят дешевле, чем обычные, можно подобрать удобный для себя график.
На нашем сайте есть детский раздел, где вы сможете выбрать подходящую программу обучения под свои требования.
- С помощью онлайн-курсов — это самый быстрый способ! Готовую программу можно пройти не выходя из дома, самостоятельно просматривая записи уроков прямо со своего компьютера или телефона либо подключаясь к онлайн-занятиям. Все видео сохраняются в личном кабинете, их можно просмотреть несколько раз. Учитель проверяет домашние задания и отвечает на вопросы.
Подборка курсов
Онлайн-курсы по математике (алгебре и геометрии) 7 класса в 2023 году
Посмотреть подборку
ТОП-7 советов, которые облегчат изучение геометрии:
- не нужно пропускать занятия, так как некоторые правила и теоремы, могут быть взаимосвязаны и недостаток информации приведет к пробелам в других темах;
- всегда рисуйте схемы, делайте чертежи, наглядно намного проще запомнить формулы или найти решение задачи;
- нужно своевременно учить определения и термины, чтобы они не накапливались и не пришлось перед экзаменом заучивать все за ночь;
- выполняйте домашние задания, они дают возможность самостоятельно закрепить материал всего за 1 день;
- решайте много разных задач, это возможность набраться опыта и сделать «разминку» для мозга даже за 5 минут до урока;
- развивайтесь, ищите дополнительные источники знаний.
С помощью онлайн-курсов можно быстро выучить всю теорию по геометрии, закрепить материал на практике и получить дополнительные знания. На занятиях готовят к контрольным, экзаменам и олимпиадам за небольшие сроки. Они длятся от 1 месяца до года. Но если смотреть уроки в записи, по 1-2 часа за один вечер, можно освоить предмет за более короткое время.
Для того чтобы любое правило отложилось в голове, его обязательно нужно понять, так как наизусть заученные строки не смогут помочь на практике. В геометрии большую роль играет именно логика, при решении любой задачи нужно вспомнить и применить подходящее правило, теорему или аксиому.
Чтобы легко выучить правила по геометрии, нужно в первую очередь разобраться в чертеже, запомнить его и понять, что и за чем следует. Лучше, чтобы материал объяснял преподаватель, который сможет доходчиво ответить на все вопросы.
Геометрию начинают изучать с 7 класса, и чтобы не было проблем с оценками, лучше всего сразу вникнуть в предмет и не допускать пробелов в знаниях. Учите все теоремы последовательно, читайте параграфы и делайте домашние задания. Если что-то непонятно, не нужно бояться тут же подойти к учителю с вопросом.
Если какая-то информация не закрепилась в голове и самостоятельно изучить ее уже не получается, лучшим вариантом будет обращение к репетитору или записаться на онлайн-курсы — здесь за небольшой срок могут помочь подтянуть оценки по геометрии, не важно, будь то 7 или 10 класс.
Если у ребенка есть проблемы с изучением геометрии, можно попробовать самостоятельно разобрать с ним непонятый материал. Но только в том случае, если вы сами хорошо знаете эти правила и готовы уделить много времени на занятия.
Помогите ребенку ощутить практическую сторону геометрии, приводите в примеры окружающие предметы и явления, рассуждайте о том, какие формулы и теоремы могли бы подойти для них. Это поможет развить логические способности ребенка при решении задач.
Помогайте ребенку учить аксиомы, теоремы и доказательства. В геометрии нужно многое знать на память.
Еще одним правильным вариантом будет получение помощи от специалистов. Чтобы подтянуть ребенка по геометрии, можно записать его на онлайн-курсы, преподаватели помогут пройти весь материал и привьют интерес к предмету. Тогда вам не придется контролировать его и заставлять учиться.
Систему зачетов в зависимости от склонностей
учителя, стиля его работы, особенностей класса и
т.д. можно строить по-разному.
С помощью зачетов проверяют овладение
различными порциями учебного материала. В
соответствии с этим их можно разделить на
тематические и текущие. Тематические зачеты
проводятся в конце изучения темы и направлены на
проверку усвоения ее материала в целом. Текущие
зачеты проводятся систематически в ходе
изучения темы по небольшим, законченным по
смыслу порциям учебного материала.
Оба вида зачетов можно проводить в открытой или
закрытой форме. В первом случае учащиеся
предварительно знакомятся со списком задач
обязательного уровня. Во втором случае этот
список в явном виде учащимся не предъявляется.
Однако, это не означает, что учащимся совсем
неизвестно, какие типы задач относятся к
обязательным. В ходе изучения материала учитель
акцентирует внимание учеников на задачах
обязательного уровня, подчеркивая, что подобные
им необходимо будет решить на зачете.
Итак, можно выделить, например, следующие
четыре вида зачетов:
- открытый тематический зачет,
- закрытый тематический зачет,
- открытый текущий зачет,
- закрытый текущий зачет.
Требования к проведению зачетов:
- зачет не должен содержать большой объем
информации - зачет должен быть дифференцированным
- с вопросами и задачами учащиеся должны быть
предварительно ознакомлены - на зачете должна быть возможность улучшения
оценки - четкая организация зачета.
Приведу пример открытого тематического зачета
по геометрии в 7 классе.
(учебник под ред. Л.С.Атанасяна).
Цель проведения зачета:
- Обобщение и систематизация знаний учащихся
по изученной теме; - Проверка умений и навыков решения задач по
изученной теме.
Зачет №1 (глава первая)
Вопросы к зачету по теме “Треугольники”:
- Определение треугольника, элементы
треугольника, периметр. - Первый признак равенства треугольников.
- Второй признак равенства треугольников.
- Третий признак равенства треугольников.
- Определение биссектрисы угла треугольника.
- Определение высоты треугольника.
- Определение медианы треугольника.
- Определение равнобедренного треугольника.
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Какие треугольники называются равными.
В проведении зачета на уроке мне помогают
консультанты. Обычно, это
3-4 человека, имеющие по предмету оценку “5”.
Консультанты сдают такой зачет заранее.
Класс распределяется на группы по числу
консультантов. Консультанты объ-
являются на зачете. Каждый консультант
опрашивает учащихся своей группы и заполняет
следующую карточку:
| Консультант
Алферов А. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1.Бубнов А. | + | + | + | — | + | + | — | + | + | + 4 |
| 2.Андреева О. | — | + | — | + | — | + | + | + | + | + 3 |
| 3.Киреев С. | — | — | — | + | + | + | + | + | + | + 3 |
| 4.Власова Т. | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + 5 |
| 5.Никитин М. | + | — | + | + | + | + | + | + | + | + 4 |
Каждому ученику выставляется оценка за
вопросы:
- “5”- 10 вопросов
- “4”- 9-8 вопросов
- “3”- 7-6 вопросов
- “2”- менее 6 вопросов.
Ученик, сдавший теорию, приступает к решению
задач.
Предлагаются следующие виды задач:
1.На “3”:
Отрезки АС и ВД пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Докажите, что треугольник АВС равен
треугольнику СДА.
2.На “4”:
В равнобедренном треугольнике основание в два
раза меньше боковой
стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны
треугольника.
3. На “5”:
Докажите, что в равных треугольниках медианы,
проведенные к равным
сторонам, равны.
Зачет №2
Зачет по теме “Параллельные прямые” (глава
третья)
Вопросы к зачету:
- Определение параллельных прямых
- Что такое секущая?
- Назовите углы, образованные при пересечении
двух прямых и секущей. - Признаки параллельности двух прямых.
- Условие и заключение теоремы; определение
теоремы, обратной данной. - Теоремы, обратные признакам параллельности
прямых. - Что такое аксиома ?
- Аксиома параллельных прямых.
Примерные типы задач к зачету №2:
1.На оценку “3”:
При пересечении двух параллельных прямых
третьей прямой сумма двух
накрест лежащих углов равна 130 градусов.
Найдите остальные углы.
2.На оценку “4”:
Разность двух односторонних углов при
пересечении двух параллельных
прямых секущей равна 50 градусам. Найдите эти
углы.
3.На оценку “5”:
Две параллельные прямые пересечены секущей.
Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов
параллельны.
Зачет №3 (глава 4)
Зачет по теме “Соотношения между углами и
сторонами треугольника”
Вопросы к зачету:
- Теорема о сумме углов треугольника.
- Виды треугольников (по типу углов).
- Определение прямоугольного треугольника;
стороны прямо угольного треугольника. - Теорема о соотношениях между сторонами и углами
треугольника. - Следствия из теоремы.
- Неравенство треугольника.
- Свойства прямоугольных треугольников.
- Признаки равенства прямоугольных
треугольников.
Примерные типы задач к зачету №3:
1.На оценку “3”:
а)Найдите угол А треугольника АВС, если угол В
равен 78 градусам, а
угол С на 23 градуса больше угла В.
б) Найдите угол при основании равнобедренного
треугольника, если
угол при вершине 84 градуса.
2.На оценку “4”:
а) В равнобедренном треугольнике СДЕ с
основанием СЕ проведена высота
СК .Найдите угол ЕСК, если угол Д равен 54
градуса.
б) Постройте треугольник по катету и
противолежащему углу.
3.На оценку “5”:
а) Высота, проведенная к основанию
равнобедренного треугольника, равна
7,6 см , а боковая сторона треугольника равна 15,2
см. Найдите углы это-
го треугольника.
б) Периметр равнобедренного треугольника равен
25 см, а разность двух
сторон равна 4 см. Один из его углов — острый.
Найдите стороны
треугольника.
Зачет считается сданным, если ученик сдал
теоретическую часть и решил задачу.
Учитель может выставить за зачет две или одну
оценку. При спорных ситу-
ациях (например, задача решена верно, а теория
на оценку “3”) учитель может задать
дополнительный вопрос, либо выставить среднее
арифметическое.
Консультанты могут оказывать помощь в решении
задач только слабым учащимся, либо решают
дополнительную задачу. Решение задач на “3” и
“4” могут проверить консультанты, задачи на “5”
проверяет учитель.
Т.о., помощь консультантов значительно экономит
время и позволяет проводить небольшие по объему
зачеты во время урока.
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
«Якутская городская национальная гимназия им. А.Г. и Н.К. Чиряевых»
ГО «город Якутск»
Методическое пособие для проведения устного экзамена по геометрии
Автор: Габышевой Ольги Ксенофонтовны
2021 г.
Предисловие
Данное методическое пособие предназначено для учителей математики как общеобразовательных школ, так и в школах с углубленным изучением математики при работе с любым учебником.
О проведении экзамена по геометрии в 7-11 классах
Цель: проверка уровня предметной компетентности учащихся за курс 7-11 класса по геометрии в рамках проведения переводной аттестации.
Отличие геометрии от всех других общеобразовательных предметов состоит в том, что ее содержание практически не меняется в течение многих веков и основные цели ее изучения остаются неизменными:
1. Развитие пространственных представлении, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:
- читать и делать чертежи, необходимые для решения;
- выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;
- определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;
- различать взаимное расположение геометрических фигур.
2. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами
доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т. д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.
Билеты по геометрии составлены на основе Требований к результатам освоения основной общеобразовательной программы основного общего образования, представленных в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования.
В билетах представлен материал, изучаемый в курсе геометрии 7-11класса. Практические задания составлены аналогично заданиям ГИА по математике. Устная форма проведения экзамена выбрана не случайно, именно она позволяет более правильно и глубоко оценить предметные знания и все виды умений (практические, теоретические, интеллектуальные, организационно – коммуникативные), которыми должен владеть учащийся, охватить все изучаемые темы.
Структура экзаменационного билета.
Билеты содержат два вопроса по различным темам курса геометрии 7-11 класса (один теоретический и один практический).
Теоретическая часть. В первом вопросе обучающиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать её свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему.
При ответе на первый вопрос обучающиеся должны:
- дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертёж;
- правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав её выполнением чертежа по условию теоремы;
- привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если обучающийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, ещё и ход доказательства.
Практическая часть. Второй вопрос билета – задача. Цель включения этих заданий – проверка овладения обучающимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса.
Целью является проверка уровня сформированности логического мышления или логической интуиции. При выполнении второй части работы обучающиеся должны продемонстрировать умение геометрически грамотно записывать условие (что дано) и заключение (что требуется найти или доказать) задачи, её решение, сопровождая само решение необходимой аргументацией и доказательными рассуждениями. Кроме того, обучающиеся должны показывать умение геометрически грамотно выполнять чертежи.
Ответы на два практических задания билета позволяют судить об уровне сформированности предметной компетентности обучающегося.
Время подготовки учащегося. Система оценивания ответа.
Примерное время, отводимое на подготовку обучающегося к ответу, ‒ 20-25 минут. Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. В одних случаях устный опрос производится по вопросам теории, а решения задач предъявляются комиссии без комментариев в письменной форме, в других случаях у доски рассматривается подробное решение задач со ссылками на все используемые факты, а теория оценивается по представленным записям. Поэтому и даны общие рекомендации по оцениванию ответов обучающихся.
Отметка «5» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос и решил задачу.
Отметка «4» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос не достаточно хорошо и решил задачу.
Отметка «3» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос и ли решил задачу
Во всех остальных случаях ставится отметка «2».
Билеты устного экзамена по геометрии
7 класс
Билет № 1
1. Первый признак равенства треугольников.
2. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если угол 
.
Билет № 2
1. Второй признак равенства треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике АВС (уголС=90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке О. Угол АОС равен 105°. Найдите острые углы треугольника АВС.
Билет № 3
1. Смежные углы (определение). Теорема о сумме смежных углов.
2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В. Найдите углы В и С.
Билет № 4
1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них).
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.
Билет № 5
1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу.
Билет № 6
1.Вертикальные углы (определение). Свойства вертикальных углов.
2. В треугольнике АВС угол 
а угол 
. Высота ВВ1 равна 2 см.
Найдите АВ.
Билет № 7
1.Третий признак равенства треугольника
2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 35°,CD – высота. Найдите углы треугольника ACD.
Билет № 8
1. Неравенство треугольника.
2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, 
– высота, 
. Найдите угол САВ.
Билет № 9
1. Свойства равнобедренного треугольника (доказательство одного из них).
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а один из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.
Билет № 10
1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника.
2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.
Билет № 11
1. Теорема о свойстве катета, лежащего против угла в 30º.
2. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точку Dпроведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найти углы треугольника ADF, если угол ВАС равен 72°.
Билет № 12
1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5:2. Найдите стороны треугольника.
Билет № 13
1. Признаки равенства прямоугольных треугольников
2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 70° больше другого. Найдите эти углы.
Билеты устного экзамена по геометрии
8 класс
Билет №1
1. Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24 см, угол А равен 35о. Найдите второй острый угол. Выразите катеты через гипотенузу и угол А.
Билет№2
1. Трапеция. Определение, виды, средняя линия.
2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если угол ОАВ равен 30о, АВ=5см.
Билет №3
1. Прямоугольник. Определение, свойства, признак.
2. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол АМС равен трем углам ВМС.
Билет№4
1. Ромб. Определение, свойства, признак.
2. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.
Билет№5
1. Квадрат. Определение, свойства, признак.
2. Зная , что 
, найдите косинус и тангенс данного угла.
Билет№6
1. Теорема Пифагора.
2. Через точку А проведены касательные АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Найдите СД, если АВ = 4см и АС = 2см.
Билет№7
1. Средняя линия треугольника.
2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Билет№8
1. Свойство медиан треугольника.
2. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большой стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Билет№9
1. Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике.
2. В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, угол ВАС равен углу САД. Найдите АД, если периметр трапеции равен 20 см, а угол Д равен 60о.
Билет№10
1. Касательная к окружности.
2. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140о и 52о.
Билет№11
1. Центральные и вписанные углы.
2. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
Билет№12
1. Вписанная окружность.
2. Диагонали прямоугольной трапеции АВСД с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона АД равна 4см. Найдите ДС, ДВ и СВ.
Билет№13
1. Описанная окружность.
2. Диагональ АС квадрата АВСД равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и СД соответственно в точках М и N. Найдите MN.
Билеты устного экзамена по геометрии
9 класс
Билет № 1
1. Первый признак равенства треугольников.
2. Найдите координаты точки А(х; у), если она симметрична точке В(–20; 11) относительно точки М (0; –5).
Билет № 2
1. Второй признак равенства треугольников.
2. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.
Билет № 3
1. Третий признак равенства треугольников.
2. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат АВСD при повороте вокруг точки D по часовой стрелке на угол 45°.
Билет № 4
1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.
2. В треугольнике АВС углы А и С равны. На стороне АС взяты точки D и Е такие, что АD = СЕ. Докажите, что треугольник DВЕ — равнобедренный.
Билет № 5
1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника.
2. В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 из вершин прямых углов С и С1 проведены высоты СН и С1Н1; СН = С1Н1, АН = А1Н1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.
Билет № 6
1. Теорема о средней линии треугольника.
2. Точки М и М1 симметричны относительно точки А. Точки М1 и М2 симметричны относительно точки В. Докажите, что отрезок ММ2 = 2АВ.
Билет № 7
1. Теорема о средней линии трапеции.
2. Окружность разделена тремя точками на части, которые относятся между собой как 2:3:5. Через точки деления проведены хорды. Определите вид получившегося треугольника.
Билет № 8
1. Теорема Фалеса.
2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ = 16 см, СЕ = 5 см.
Билет № 9
1. Теорема Пифагора.
2. На отрезке АВ взята произвольная точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от данного отрезка параллельные лучи. На них соответственно взяты точки D и Е таким образом, что АD = АС и ВЕ = ВС. Найдите угол DСЕ.
Билет № 10
1. Теорема синусов.
2. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30° и делится им на части, равные 12 см и 6 см. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.
Билет № 11
1. Теорема косинусов.
2. Даны точки М(–2; 6), К(1; 2) и L(4; –2). Определите, принадлежат ли данные точки одной прямой.
Билеты устного экзамена по геометрии
10 класс
Билет №1.
- Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.
- Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани
10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
Билет №2.
- Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
- В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Билет №3.
- Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Сделайте чертежи и пояснения.
- Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы
Билет №4.
- Опишите взаимное расположение прямых в пространстве. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве? Сделайте пояснения и чертежи.
- В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60º. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет №5.
- Перпендикулярность прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет №6.
- Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей. Сделайте чертежи и пояснения.
- Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см,
FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.
Билет №7.
- Сформулируйте лемму о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Сделайте пояснения и чертежи.
- В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60º. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет №8.
- Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
- Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки К, М и Т – середины ребер СС1, В1С1 и С1D1соответственно. Найдите АС1, если периметр сечения куба плоскостью КМТ равенсм.
Билет №9.
- Тетраэдр и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
- В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна высоте и равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Билет №10.
- Параллелепипед и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения.
- Дан куб ABCDA1B1C1D1. Диагональ АС1 равна .Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н – середины ребер ВС, ВВ1 и АВ соответственно.
Билет №11.
- Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
- Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной и боковой поверхности призмы.
Билет №12.
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
- Через вершину угла Е прямоугольного треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ проведена прямая МЕ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН, если ЕР = 5 см, а расстояние от точки М до прямой РН равно 10.
Билет №13.
- Угол между прямой и плоскостью. Приведите примеры величины угла между прямой и плоскостью. Сделайте чертежи и пояснения.
- Через вершину прямого угла С равнобедренного треугольника DСЕ проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой DЕ, если СК = 35 см, CD = см.
Билет №14.
- Признак перпендикулярности двух плоскостей.
- Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
Билет №15.
- Призма и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро пирамиды равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билеты устного экзамена по геометрии
11 класс
Билет № 1
1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
2. Каждый из четырех равных шаров радиуса 6 касается двух других шаров и касается некоторой плоскости. Найдите радиус пятого шара, который касается той же плоскости и каждого из данных четырех шаров.
Билет № 2
1. Цилиндр. Боковая и полная поверхности цилиндра. Объем цилиндра.
2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 сечение BDD1B1 – квадрат и образует с сечением ACC1A1 угол 60°. Диагональ параллелепипеда равна 
. Найдите объем параллелепипеда.
Билет № 3
1. Параллелепипед. Виды параллелепипеда. Формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и объема наклонного параллелепипеда. Площадь полной поверхности.
2. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Первый шар вписан в этот тетраэдр. Второй шар касается вписанного шара и трех граней тетраэдра. Найдите объем второго шара.
Билет № 4
1. Призма. Виды призм. Формулы для вычисления объема прямой призмы и объема наклонной призмы.
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 
см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет № 5
1. Пирамида. Виды пирамид. Формула для вычисления объема пирамиды.
2. Найдите угол развертки конуса, осевое сечение которого правильный треугольник.
Билет № 6
1. Цилиндр и его элементы. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра.
2. Основания наклонной призмы АВСА1В1С1 – правильные треугольники ABC и A1B1C1. Боковое ребро призмы вдвое больше ребра ее основания, а основанием высоты призмы, опущенной из вершины А1 на плоскость АВС, является точка В. Найдите косинус угла между скрещивающимися прямыми АВ и СС1.
Билет № 7
1. Конус и его элементы. Объем конуса. Формула для вычисления объема конуса.
2. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Вершина А1 удалена от прямой ВС на расстояние 5 и от плоскости ВСС1 на расстояние 3. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, описанного около этого тетраэдра.
Билет № 8
1. Векторы в пространстве. Задание вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Определение суммы двух векторов в пространстве.
2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.
Билет № 9
1. Усеченный конус и его элементы. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
2. Через образующую АВ цилиндра проведены осевое сечение ABCD и сечение ABFH, образующее с плоскостью АВС угол в 30°. Радиус цилиндра равен 5. Найдите расстояние между прямыми AF и CD.
Билет № 10
1. Правильный тетраэдр. Объем правильного тетраэдра.
2. Точка М, равноудаленная от вершин А1, В1, С правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, лежит в плоскости АВС. Высота призмы равна ребру ее основания и равна 
. Найдите объем пирамиды МА1В1С.
Билет № 11
1 . Усеченный конус и его элементы. Объем усеченного конуса.
2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1, АВ = 1, AD = 2, AA1 = 3. Точка М лежит на диагонали параллелепипеда и не совпадает ни с одной вершиной параллелепипеда. Докажите, что сумма расстояний от точки М до всех граней параллелепипеда не зависит от ее расположения на диагонали. Найдите эту сумму.
Билет № 12
1. Усеченная пирамида. Виды усеченных пирамид. Формула для вычисления объема усеченной пирамиды.
2. Точки А и В лежат в различных гранях двугранного угла, равного 60°, на расстояниях а и b от ребра t двугранного угла соответственно (а < b). Расстояние между ортогональными проекциями этих точек на ребро t равно d. Найдите АВ.