Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.
Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.
Пример 1. Клиент взял в банке кредит на (2) года под (15%) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку (490,000) рублей?
Пусть кредит составил (A) рублей. Т.к. кредит взят на (2) года, значит после первой выплаты долг должен составлять (A-frac12
A=frac12 A) рублей, после второй выплаты (frac12 A-frac12 A=0) рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&A&A+0,15A½ A&0,15A+frac12A\
hline 2½A½A+0,15cdotfrac12A&0&0,15cdotfrac12A+frac12A\
hline
end{array}] То, что клиент в итоге заплатил банку, есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.
Т.е. (0,15A+frac12A+0,15cdotfrac12A+frac12A=490,000 Rightarrow
A=dfrac{490,000cdot 2}{2,45}=400,000) рублей.
Пример 2. Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?
Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot
50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]
Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.
Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)
Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:
(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).
Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на (1) млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга (10%);
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через (5) лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.
Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?
Т.к. кредит выдается на (5) лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на (frac15cdot 1) млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит (1-frac15cdot 1=frac45) млн рублей, после второй (frac45-frac15=frac35) млн рублей и т.д.
Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\
hline 1&1&1+0,1&frac45&0,1+frac15\
hline 2&frac45&frac45+0,1cdotfrac45&frac35&0,1cdot
frac45+frac15\
hline 3&frac35&frac35+0,1cdotfrac35&frac25&0,1cdot
frac35+frac15\
hline 4&frac25&frac25+0,1cdotfrac25&frac15&0,1cdot
frac25+frac15\
hline 5&frac15&frac15+0,1cdotfrac15&0&0,1cdot
frac15+frac15\
hline
end{array}]
Таким образом, переплата по кредиту составила:
(big(0,1+frac15big)+big(0,1cdot
frac45+frac15big)+big(0,1cdot
frac35+frac15big)+big(0,1cdot
frac25+frac15big)+big(0,1cdot
frac15+frac15big)-1=dfrac3{10}) млн рублей.
Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на (100%):
(dfrac{frac3{10}}{1}cdot 100%=30%)
Выведем несколько формул:
Вывод формулы для выплаты по кредиту:
Пусть взят кредит на (A) рублей, на (n) лет, годовая ставка (r%).
Значит, каждый год долг должен уменьшаться на (frac1n A) рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит (A+frac r{100}A), поэтому обозначим для удобства (frac
r{100}=y) и составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\[1ex]
hline 1&A&A+yA&frac {n-1}n A& yA+frac 1n
A\[1ex]
hline 2&frac{n-1}n A&frac{n-1}n A+ycdot frac{n-1}n A&
frac{n-2}n A&ycdot frac{n-1}n A+frac 1n A\[1ex]
hline 3&frac{n-2}n A&frac{n-2}n A+ycdot frac{n-2}n
A&frac{n-3}n A&ycdot frac{n-2}n A+frac 1nA\[1ex]
hline 4&frac{n-3}n A&frac{n-3}n A+ycdot frac{n-3}n
A&frac{n-4}n A&ycdot frac{n-3}n A+frac 1nA\[1ex]
hline dots&dots&dots&dots&dots\[1ex]
hline n-1& frac 2nA&frac 2nA+ycdot frac 2nA&frac
1nA&ycdot frac 2nA+frac 1nA\[1ex]
hline n&frac 1nA&frac 1nA+ycdot frac 1nA&0&ycdot frac
1nA+frac 1nA\[1ex]
hline
end{array}]
Таким образом, если (i) — номер года, то выплата в (i)-ый год будет равна:
(x_i=ycdot frac{n-(i-1)}nA+dfrac 1nA), или: [{large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}]
Вывод формулы для переплаты по кредиту:
Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять (A):
(big(yA+frac 1n Abig)+big(ycdot frac{n-1}n A+frac 1n
Abig)+big(ycdot frac{n-2}n A+frac 1nAbig)+big(ycdot
frac{n-3}n A+frac 1nAbig)+dots+big(ycdot frac 2nA+frac
1nAbig)+)
(+big(ycdot frac 1nA+frac 1nAbig)-A=big(yA+ycdot
frac{n-1}nA+ycdot frac{n-2}nA+ycdot frac{n-3}nA+dots+ycdot
frac 2nA+ycdot frac 1nAbig)+)
(+big(frac
1nA+frac1nA+frac1nA+frac1nA+dots+frac1nA+frac1nAbig)-A=yA
big(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig)+)
(+ncdot frac 1n
A-A=yAbig(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig))
В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой (a_1=1), последний (a_n=dfrac 1n), разность (d=-dfrac 1n), а количество членов равно (n). Сумма такой прогрессии равна:
(S_n=dfrac{a_1+a_n}{2}cdot n=dfrac{1+frac1n}{2}cdot
n=dfrac{n+1}2)
Значит, вся переплата равна (yAcdot dfrac{n+1}2), или [{large{P=dfrac r{100}cdot dfrac{n+1}2A}}]
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.
Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 322 (часть C).
1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:
— в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;
— в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;
— после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.
Но дальше все пошло не по сценарию. Наш герой решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 
от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85.
31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В начале года фирма «Жилстройсервис» выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кредитом фирма фирма планирует распорядится следующим образом: 75% кредита направить на строительство коттеджей, а остальные 25% на оказание риэлтерских услуг населению. Первый проект может принести прибыль в размере от 36% до 44% годовых, а второй — от 20% до 24% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку с процентами и при этом рассчитывает на чистую прибыль от указанных видов деятельности от не менее 13%, но и не более 21% годовых от всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157.
В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?
Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1
В январе 2020 года Василий взял кредит в банке на сумму 3 300 000 рублей. По договору с банком Василий должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 20%. В феврале 2021 года Василий сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 16%. Какую сумму сэкономит Василий на рефинансировании своего кредита?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348., Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2
Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в млн рублей) |
S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
− 1-го числа k-ого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 825 тыс рублей?
Источник: РЕШУ ЕГЭ
В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите S, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 327 тысяч рублей.
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
Как рассчитать сумму переплаты по кредиту при аннуитетных и дифференцированных платежах. Подробное описание формул и инструкция к кредитному калькулятору.
Как самостоятельно рассчитывают переплату по кредиту
Разобраться, как рассчитать сумму переплаты по кредиту, реально. Работать можно в Excel или вручную. Если формула расчета переплаты по кредиту покажется сложной, используют онлайн-калькулятор.
Что такое переплата
Переплата представляет собой сумму, что платит заемщик кредитору сверх величины займа. Ее размер напрямую зависит от типа процентов. Они могут быть дифференцированными или аннуитетными. Определяя, как рассчитать процент переплаты по кредиту, следует учитывать, какие именно ставки применяет банк.
Аннуитет
Как рассчитать переплату по кредиту – формула при аннуитетных процентах выглядит так:
Переплата = Ежемесячный платеж х Число периодов — Сумма займа
Число периодов определяется как количество месяцев кредитования. Если договор заключен на 1 год, то считаем исходя из 12 месяцев. Если срок кредитования 3 года, то 3 х 12 = 36.
Ежемесячный платеж (Пм), если процент аннуитетный, считают так:
Пм = (С х (Пр / (12 х 100%)) / (1 — (1 + Пр / (12 х 100%)) ^ (-Т))
С – размер кредита, используемый при определении платежа за 1-ый месяц. При расчетах за 2-ой и последующие периоды подставляют сумму, соответствующую остатку займа;
Пр – годовая процентная ставка, %;
12 – число месяцев в году;
T — количество периодов, оставшихся до окончательного расчета.
При аннуитете заемщик расплачивается по кредиту равными суммами. Структура платежа такова, что в первой половине срока действия договора большая часть взноса состоит из процентов. Сам долг гасится очень медленно, что существенно увеличивает переплату, поскольку процентные начисления идут на остаток.
Пример при аннуитете
Наример, потребительский займ 60 000 рублей предоставлен на срок 3 года под 15% годовых. Здесь число периодов равно 3 х 12 = 36. Ежемесячный платеж составит:
Пм = (60 000 х (15% / (12 х 100%)) / (1 — (1 + 15% / (12 х 100%)) ^ (-36)) = 2 080 рублей
Итого за весь период кредитования нужно внести: 36 х 2 080 = 74 880 рублей
Переплата: 74 880 — 60 000 = 14 880 рублей
Дифференцированные платежи
При дифференцированных платежах сумма основного долга погашается равномерными взносами. Первые выплаты будут больше последних. Так получается, потому что процент начисляется на остаток, а он при такой схеме уменьшается равномерно.
Как посчитать, сколько составит переплата по кредиту, если процент дифференцированный – сначала также считают месячный платеж. Он будет равен:
Пм = С / n + С х (Пр / (12 х 100%))
Здесь n – число месяцев кредитования. Соотношение С / n показывает, какая сумма ежемесячно будет направляться на погашение займа. Вторая часть формулы – это расчет процентов. После погашения части долга база для начислений (С) будет уменьшаться, соответственно, снизятся и затраты на обслуживание договора. Сумма этих процентов за все периоды кредитования и составит переплату.
Пример по дифференцированным платежам
При дифференцированных процентах как посчитать переплату по кредиту по указанной формуле – пример, его условия, оставим те же, что были при аннуитете, тогда в первый месяц нужно будет заплатить:
Пм = 60 000 / 36 + 60 000 х (15% / 12 х 100%) = 1 666,67 + 750 = 2 416,67 рубля
Во второй месяц, при условии соблюдения графика, банку нужно отдать:
Пм = 60 000 / 36 + (60 000 — 1 666,67) х (15% / 12 х 100%) = 1 666,67 + 729,17 = 2 395,84 рубля
По итогам вычислений согласно приведенному примеру по каждому из 36 месяцев получим переплату в размере 13 875 рублей.
Уточнения
Как рассчитать переплату по кредиту и проверить корректность начислений банка по действующим договорам:
- при определении числа периодов следует считать в днях, а не в месяцах, учитывая високосные годы, когда дней будет не 365, а 366;
- кредиторы указывают годовой процент. При реальных вычислениях используют дневной. Его получают путем деления годовой ставки на число дней в году;
- следует учитывать суммы плановых и досрочных погашений, что уменьшают остаток долга, на величину которого и начисляют процент, и впоследствии снижают переплату. Следует вносить корректировки уже на следующий день после внесения платежа.
Кредитный калькулятор
Самостоятельно вычислить аннутитет сложно. Калькулятор кредита быстро выдаст все необходимые данные. Сервис работает с аннуитетными процентами, как с наиболее часто используемыми.
Для начала вводят параметры кредитного договора, то есть указывают:
- сумму займа;
- срок;
- стоимость кредитования.
Если прожать кнопку «Рассчитать», то программа покажет:
- размер месячного платежа;
- задолженность за весь период кредитования;
- график платежей: какие суммы направляются на расчет по займу, какие на уплату процентов, каков остаток по состоянию на каждый отдельный платежный период.
Чтобы посчитать переплату, от суммы, что нужно внести за все время действия договора кредитования, отнимают размер займа.
Резюме
С точки зрения влияния инфляционных процессов, аннуитет выгоднее, поскольку при дифференцированных платежах изначально банку отдаются деньги, примерно равные по покупательской способности тем, что были получены в долг. При аннуитетных платежах по средним и долгосрочным договорам средства успевают обесцениться.
При равных условиях предоставления кредита при аннуитете переплата будет больше на 7-15%, нежели при дифференцированных платежах. Чем больше срок кредитования, тем больше заметна разница.
Перед тем, как заключить официальное соглашение с банком, рекомендуется узнать полную сумму переплаты по выбранному предложению. Это особенно важно, если речь идет об автокредите, ипотеке или другом крупном и дорогом кредитном продукте, берущимся не на один год. Провести все расчеты можно самостоятельно, используя универсальную формулу.
Что включает в себя переплата по кредиту?
В банковской сфере под полной переплатой подразумевается общая сумма, которую заемщик отдает финансовой организации «поверх» той, что получил наличными на руки или переводом на карту. Не следует думать, что в нее входят только проценты по ставке. Общие расходы на кредитование увеличивают дополнительные затраты, такие как:
- Оплата услуг независимого оценщика. Допустим, если в качестве обеспечения кредитору передается автомобиль или недвижимость.
- Комиссии за внесение ежемесячных платежей, если обязательные взносы производятся, предположим, через терминал самообслуживания стороннего банка и аппарат взимает комиссионные сборы.
- Комиссии за обналичивание кредитной линии «пластика» в «чужом» банкомате.
- Штрафы и пени, берущиеся при несвоевременном возврате кредита.
Некоторые убытки, формирующие общую переплату, заранее предугадать невозможно. Пример: должник вовремя внес ежемесячный взнос через аппарат самообслуживания. Но в платежном терминале случился технический сбой, и деньги поступили на счет финансовой организации с опозданием. За просрочку банк начислил пени, которые повысили окончательную стоимость кредита для заемщика.
В нашем примере клиент кредитной структуры может отказаться от уплаты пени, так как просрочка образовалась не по его вине. Но для этого у него на руках должны быть подтверждающие документы. Например, бумажный чек из аппарата, на котором указана дата осуществления платежа.
Что требуется для вычисления переплаты?
Чтобы самостоятельно и правильно рассчитать сумму переплаты по кредиту, никакие специальные знания или инструменты не требуются. Нужно только 15-20 минут свободного времени и несколько точных сведений о кредитном продукте:
- Вид ежемесячных взносов — дифференцированные или аннуитетные;
- Размер процентной ставки и «тела» кредита (сколько берется в долг у банка);
- Период кредитования;
- Размер сопутствующих затрат (стоимость годового обслуживания «пластика», если деньги приходят на карту, цена СМС уведомлений и страхования, и т.д.).
Посчитать сумму можно «вручную», взяв ручку и лист бумаги, на компьютере, создав таблицу в Excel, или используя онлайн калькулятор.
Получи аванс на покупки в два клика
Дифференцированные и аннуитетные взносы
Российские банки начисляют проценты ежемесячно — на остаток «тела» кредита, а не на его начальную сумму. Чтобы без ошибок рассчитать величину переплаты, заемщику нужно учитывать тип обязательных платежей по выбранному финансовому продукту. Варианты ежемесячных взносов:
Дифференцированные платежи
Погашение «тела» долга и процентов осуществляется равными частями. Поэтому сумма каждого следующего взноса меньше, чем прежнего. За счет этого уменьшается и общая величина переплаты по процентной ставке.
Пример: размер ежемесячного платежа — 10000 рублей. Предположим, 14% из этой суммы — проценты. И в начале, и по окончанию срока кредитования, 14% от величины обязательных взносов (независимо от их сумм) будут переплатой по процентной ставке.
Преимущество дифференцированных платежей — возможность существенного уменьшения общей переплаты при полном и даже частичном досрочном погашении долга в любой период кредитования.
Недостаток — в первые месяцы после заключения договора, дифференцированные взносы большие, иногда — попросту «неподъемные» для должника. Пример: первые полгода заемщику нужно платить каждый месяц по 25000 рублей, следующие 6 месяцев — по 15000 рублей, спустя год — по 10000 рублей.
Аннуитетные взносы
На протяжении всего времени возврата долга банку, клиент отдает ему равные суммы. Например, выплачивает по 9000 рублей ежемесячно в течение 3-х лет.
Особенность аннуитета заключается в том, что из этих 9000 рублей в первые месяцы средства будут идти, в основном, только на оплату процентов, а не «тела» кредита. Так как процентная ставка применяется к остатку «тела», общая переплата оказывается больше, чем была бы при той же ставке процентов и для аналогичной суммы, но при дифференцированных взносах.
Пример: первые 3 месяца из ежемесячных платежей по 9000 рублей в счет погашения процентов и «тела» кредита идет по 7000 рублей и 2000 рублей соответственно. В следующие 3 месяца — по 6500 рублей и 3500 рублей. Соотношение всегда изменяется медленно, позволяя банкам хорошо зарабатывать.
Преимущества аннуитета для заемщиков:
- «посильные» суммы ежемесячных взносов;
- большая распространенность такой схемы кредитования.
Недостатки — сравнительно большая переплата по процентной ставке и выгодность полной/частичной досрочной оплаты кредита только в первые месяцы после подписания соглашения банком.
Поясняем по последнему пункту — в конце периода кредитования заемщик отдает финансовой организации только «тело». Часть процентов по ставке в обязательных платежах есть, но она минимальная. Например, 200 рублей из ежемесячного взноса в 9000 рублей.
Как посчитать переплату по кредиту?
Чтобы рассчитать общую переплату, необходимо к сумме процентов по ставке прибавить все дополнительные расходы на кредитование. С определением последних сложностей, как правило, не возникает. Просто включите в данный список расходов все финансовые издержки, которые вы понесете в связи с обращением в банк. Сюда можно добавить даже стоимость поездки в учреждение на такси или общественном транспорте.
Для расчета суммы процентов по аннуитетным взносам можно использовать универсальную формулу:
- Переплаты по % = (Период кредитования в месяцах Х Обязательный платеж) — «Тело» кредита
Предположим, что в течение 1 года банку нужно отдавать по 13 215 рублей ежемесячно. В долг гражданин получил 100 000 рублей. Подставляем данные в формулу:
- Переплата по % = (12 х 13 215) — 100 000
Получаем 58 580 рублей — именно столько переплатит заемщик из-за наличия процентной ставки. Всего по завершению 12 месяцев он должен будет возвратить кредитору 158 580 рублей. Эта сумма не является общей переплатой, так как в нее не включены дополнительные расходы.
Допустим, что деньги должнику были предоставлены переводом на карту. Гражданин снял наличные в стороннем банкомате, заплатив 420 рублей комиссионных. Значит, переплата по его кредиту будет составлять уже 159 000 рублей. Если бы он выбрал терминал своей организации, то сэкономил бы эти 420 рублей.
В соответствии с российским законодательством, банки переводят финансы по кредитам на дебетовые, а не кредитные счета. Поэтому снимать наличные в «родных» банкоматах можно без комиссий за обналичивание. Учреждение не может выдать заемщику, например, потребительский кредит на карту под процентную ставку, и после этого заработать на нем еще раз на комиссионных сборах.
В сторонних аппаратах комиссии за снятие наличных могут браться как в случае с дебетовыми, так и кредитными картами.
Вычислять сумму переплаты процентов самостоятельно не обязательно. Другие способы получить нужные сведения:
- Использование онлайн кредитного калькулятора. Найти инструмент можно, вбив в поисковую строку соответствующий запрос. Учтите, что данные могут быть приблизительными, а не точными.
- Обращение на Горячую линию или в чат к менеджеру банка. Специалисты обязаны производить расчеты и предоставлять соответствующие консультации. При отказе с их стороны, можно подать жалобу старшему менеджеру или руководителю организации.
Чтобы посчитать переплату в нашем примере, к 158 580 рублей нужно добавить все сопутствующие кредиту расходы.
Получи лимит на покупки прямо сейчас за две минуты
Способы снижения переплаты за кредит
Самый верный метод уменьшения переплаты за любой кредитный продукт — частичное и полное досрочное погашение долга. Российские банки (требование законодательства) не могут отказывать клиентам в праве «преждевременного» закрытия кредита.
Особенно выгодно рассчитываться с задолженностью в первые месяцы после заключения договора — независимо от типа обязательных платежей. К завершению срока кредитования, привлекательность досрочного погашения по дифференцированной системе и аннуитетной схеме сохраняется и максимально снижается соответственно.
Другие способы снижения переплаты:
- Внесение ежемесячных взносов методами, не сопровождаемыми комиссионными сборами. Например, через собственные терминалы банка или онлайн переводами в его сервисе интернет-банкинга;
- Рефинансирование кредита под меньшую процентную ставку. Будьте внимательны, чтобы в конечном итоге не переплатить из-за расходов на оформление нового договора и того, что по вашему соглашению уже выплачена большая часть процентов;
- Отказ от дополнительных услуг. Например, ежемесячного страхования и SMS информирования. Не стесняйтесь обращаться к менеджерам и узнавать о таких «надбавках».
По возможности, изначально ищите продукт с дифференцированными платежами. Это особенно важно при долгосрочном кредитовании. При одинаковой величине «тела», разница между суммами процентов по дифференцированной и аннуитетной системе может составить до 15%.
Расчет переплаты по кредиту — итоги
Оценивая привлекательность разных банковских предложений, не ориентируйтесь только на процентную ставку. Выгодность кредитных продуктов во многом зависит от сопутствующих затрат. Например, от наличия и отсутствия требования о страховании жизни и здоровья.
Пример: Альфа-Банк предоставляет действующим благонадежным клиентам кредиты на 500 000 рублей под 10% годовых со страхованием и под 21% годовых без страховки. При расчете оказывается, что взять деньги в долг под 21% выгоднее — ежемесячная сумма страхования больше, чем сумма переплаты по «лишним» 11%.
Помните, что банки РФ не имеют законного права скрывать затраты, сопутствующие кредитованию. На обратное можно пожаловаться государственному регулятору — Центробанку России.
Сделать покупки максимально комфортными ты можешь уже сейчас вместе с Мокка: тебе доступна оплата частями по удобному для тебя графику без первоначального взноса. Отличная новость в том, что теперь ты можешь выпустить виртуальную карту МИР буквально в два клика. А еще ты можешь делать абсолютно любые покупки в любом магазине с помощью сервиса ин-эпп шоппинга Мокка Мегамолл прямо в нашем мобильном приложении!
Основные формулы в задачах на вклады и кредиты
12 марта 2015
Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.
Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.
Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.
Вкладываем деньги в банк
Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.
Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:
[frac{20}{3}=6,….to 7]
Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:
[Ktext{%} to 1+frac{K}{100}]
Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:
В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:
[3m]
В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:
[3mcdot 1,15+3m]
Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:
[left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]
Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:
[left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]
А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:
[begin{align}& left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =left( 3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =3mcdot {{1,15}^{3}}+3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m= \& =3mleft( {{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 right)= \& =3mleft( 1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} right) \end{align}]
Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.
Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:
[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]
Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.
Обратите внимание: формула n-го элемента звучит следующим образом:
[{{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot {{q}^{n-1}}]
Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто nдля суммы n-элементов, а сам n-й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:
[begin{align}& {{b}_{1}}=1 \& q=1,15 \end{align}]
Теперь мы можем посчитать сумму:
[{{S}_{4}}=1cdot frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}]
Посчитаем числитель отдельно:
[{{1,15}^{4}}={{left( {{1,15}^{2}} right)}^{2}}={{left( 1,3225 right)}^{2}}=1,74900625approx 1,75]
Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:
[{{S}_{4}}=1cdot frac{1,75-1}{0,15}=frac{0,75}{0,15}=frac{75}{15}=5]
В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:
4 года → 5 раз
Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:
5 лет → 6,7 раз
Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:
[6,7cdot 3=20,1]
Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.
Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.
К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.
А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:
[text{Vklad}=text{platezh}frac{{{text{%}}^{n}}-1}{text{%}-1}]
Сам по себе % считается по следующей формуле:
[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]
Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.
Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?
У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.
Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.
Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.
Проценты по кредитам
С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.
Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.
Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.
Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:
[2m]
Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:
[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]
В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:
[1+frac{20}{100}=1,2]
Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:
[2mcdot 1,2- x]
Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:
[left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2-x]
И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.
Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:
[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2- x]
И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:
[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2 — x=0]
Давайте решать:
[begin{align}& left( 2mcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- xright)cdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}- xcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot {{1,2}^{2}}+cdot 1,2+ \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=left( {{1,2}^{2}}+1,2+1 right) \end{align}]
Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:
[2mcdot {{1,2}^{3}}=left( 1+1,2+{{1,2}^{2}} right)]
Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:
[begin{align}& {{b}_{1}}=1; \& q=1,2 \end{align}]
Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:
[{{S}_{3}}=1cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]
Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $left( {{b}_{1}};q right)$ считается по формуле:
[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]
Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:
[2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]
Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:
[begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[2mcdot 1,728=cdot frac{0,728}{0,2}]
Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:
[2cdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]
По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:
[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]
Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.
Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.
Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.
Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.
Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике
Пример № 1
Итак, первая задача:
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т .е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т .е. за четыре года)?
Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:
[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]
Кредит нам известен — 9282000 рублей.
С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:
[10text{%}to 1+frac{10}{100}=1,1]
Мы можем составить уравнение:
[9289000cdot {{1,1}^{4}}=xcdot frac{{{1,1}^{4}}-1}{1,1-1}]
У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:
$begin{align}& {{1,1}^{4}}={{left( {{1,1}^{2}} right)}^{2}} \& 1,1cdot 1,1=1,21 \& {{1,1}^{4}}=1,4641 \end{align}$
Теперь перепишем уравнение:
[begin{align}& 9289000cdot 1,4641=xcdot frac{1,4641-1}{0,1} \& 9282000cdot 1,4641=xcdot frac{0,4641}{0,1}|:10000 \& 9282000cdot frac{14641}{10000}=xcdot frac{4641}{1000} \& frac{9282cdot 14641}{10}=xcdot frac{4641}{1000}|:frac{4641}{1000} \& x=frac{9282cdot 14641}{10}cdot frac{1000}{4641} \& x=frac{2cdot 14641cdot 1000}{10} \& x=200cdot 14641 \& x=2928200 \end{align}][]
Все, наша задача с процентами решена.
Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.
Пример № 2
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.
Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:
[][kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]
Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:
[20%to 1+frac{20}{100}=1,2]
Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:
[4004000cdot {{1,2}^{3}}=xcdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]
Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:
[begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2cdot {{1,2}^{2}} \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[begin{align}& 4004000cdot 1,728=xcdot frac{1,728-1}{0,2} \& 4004000cdot frac{1728}{1000}=xcdot frac{728}{200}|:frac{728}{200} \& x=frac{4004cdot 1728cdot 200}{728} \& x=frac{4004cdot 216cdot 200}{91} \& x=44cdot 216cdot 200 \& x=8800cdot 216 \& x=1900800 \end{align}]
Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:
[3x=5702400]
Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.
Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:
[begin{align}& 4004000cdot {{1,2}^{2}}=xcdot frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \& 4004000cdot frac{144}{100}=xcdot frac{11}{5}|cdot frac{5}{11} \& x=frac{40040cdot 144cdot 5}{11} \& x=3640cdot 144cdot 5=3640cdot 720 \& x=2620800 \end{align}]
Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:
[2x=5241600]
Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:
[5702400-5241600=460800]
Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.
Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.
Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.
Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.
Пример № 3
Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?
Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:
[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]
Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:
[13%to 1+frac{13}{100}=1,13]
Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:
[xcdot {{1,13}^{2}}=5107600cdot frac{{{1,13}^{2}}-1}{1,13-1}]
Знаменатель мы можем тут же посчитать — это будет 1,13, а вот в числителе, а также слева перед переменной $x$ у нас стоит коэффициент ${{1,13}^{2}}$. Предлагаю посчитать данное выражение отдельно:
[{{1,13}^{2}}=1,2769]
Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:
[begin{align}& xcdot frac{12769}{10000}=5107600cdot frac{1,2769-1}{0,13} \& xcdot frac{12769}{10000}=frac{5107600cdot 2769}{1300}|:frac{12769}{10000} \& x=frac{51076cdot 2769}{13}cdot frac{10000}{12769} \& x=4cdot 213cdot 10000 \& x=8520000 \end{align}]
Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.
Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.
В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.
Смотрите также:
- Задача на производительность труда
- ЕГЭ по математике 2016: задача про кредиты с фиксированным платежом
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
- Комбинированные задачи B12
- Как решать задачи про летающие камни?
- Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант
