Как найти площадь четырехугольника егэ - Exhelper.top

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 54 1–20 | 21–40 | 41–54

Добавить в вариант

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см  times  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Всего: 54 1–20 | 21–40 | 41–54

Источник

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab


Параллелограмм


Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2


Ромб




Трапеция
	S = m h


Дельтоид		S = ab sin φ



Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник



Параллелограмм



Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2


Ромб





Трапеция




Дельтоид

	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .


Произвольный выпуклый четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Как найти площадь четырехугольника из егэ

Задание 3. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1-й способ. Площадь четырехугольника вычислим как разность между площадью прямоугольника, охватывающий четырехугольник и площадями четырех треугольников и одного прямоугольника (см. рисунок ниже).

Площади треугольников равны

Площадь прямоугольника (малого) равна

Таким образом, суммарная вычитаемая площадь составляет

Площадь большого прямоугольника равна

Следовательно, площадь четырехугольника равна

2-й способ. Для вычисления площади сложной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, можно воспользоваться формулой Пика:

где M – число точек на гранях фигуры (на сторонах и вершинах – синие точки на рисунке); N – число точек внутри фигуры (красные точки на рисунке). Причем точки выбираются только на пересечении линий (см. рисунок ниже).

Из рисунка видно, что M = 10, а N = 12. Имеем площадь:

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-3-zadachi-na-kletchatoj-bumage-ili-koordinatnoj-ploskosti/

http://self-edu.ru/ege2016_36.php?id=27_3

Источник

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге. В статье «Нахождение площади треугольника» я обещал рассмотреть задачи на вычисление площади четырёхугольника, построенного на листе в клетку. Как вы знаете, к четырёхугольникам относятся: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция, ромб, а также произвольный четырёхугольник (выпуклый или вогнутый).

Мы с вами рассмотрим единый подход к решению всех типов таких заданий. Вот примеры рисунков из интересующих нас задач:

Фигуры построенные на листе в клетку (1×1 см)

Фигуры построенные на координатной плоскости

Запомните! Вокруг любого выпуклого четырёхугольника мы можем описать прямоугольник. А далее для решения необходимо воспользоваться всего двумя формулами: площади прямоугольника и площади треугольника.

Рассмотрим примеры:

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Около данного четырёхугольника описываем прямоугольник:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников:

Ответ: 51

Рассмотрим пример вогнутого четырёхугольника:

Найдите площадь четырёхугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Также описываем прямоугольник, но здесь ещё строим дополнительный отрезок, соединяющий левый верхний угол прямоугольника с вогнутым углом данного четырёхугольника:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх треугольников:

Ответ: 31

Если четырёхугольник задан на координатной плоскости, то его легко можно построить на листе в клетку по заданным координатам вершин и применить изложенный выше подход к решению.

Конечно, данный способ нерационален абсолютно для всех задач. Но в вашем арсенале он быть должен, и им владеть необходимо, его удобно использовать во многих задачах

Например, для нахождения представленного четырёхугольника

целесообразно воспользоваться формулой площади параллелограмма, где основание будет равно 2, а высота 7. Но и представленным способом её также решать можно.

Напомню формулы площадей фигур, которые необходимо знать:

На этом всё. Надеюсь, информация была полезной. В будущем рассмотрим с вами задачи на нахождение площади круга, площади части круга и другие, где используются формулы площади круга и окружности. Также есть ещё один интересный приём, который целесообразно использовать для нахождение площади четырёхугольников вида (взяты из прототипов задач):

Мы его тоже рассмотрим, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Download Article

Quickly calculate the area of any 4-sided figure, including squares, rectangles, parallelograms, kites, and rhombuses

Download Article

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

Square

Rectangle

Parallelogram

Trapezoid

Rhombus

Kite

Any Quadrilateral Shape

Tips

If you’re stuck on your geometry homework trying to figure out the area of a quadrilateral, you’ve come to the right place! Remember—the «area» of a shape is just how much 2-dimensional space it takes up. For some quadrilaterals, there’s a handy formula you can use to calculate the area. But what if all the sides are different? Just divide it into triangles! Read on to follow along with some examples and see how this works.

Things You Should Know

Area of Square, Rectangle, and Rhombus Cheat Sheets

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

Use ${displaystyle A=s^{2}}$ to find the area of a square. In the formula, «s» is the length of one side. Since all sides are equal, you only need the length of one of them to quickly find the area of any square. Then, express the area in units squared.

Use the formula to find the area of a rectangle. Since a rectangle has sides of 2 different lengths, you multiply one value by the other to find out how much space the rectangle covers. Just get the length of one of the short sides and one of the long sides.

Find the area of a parallelogram with . A parallelogram has 2 parallel sides—those are the bases (b). The height (h) is the distance from one base to the other. Multiply those 2 values together and you’ve got the area of a parallelogram.^[1]

Use ${displaystyle A={frac {b_{1}+b_{2}}{2}}*h}$ to calculate a trapezoid’s area. Since the 2 bases (b) of a trapezoid aren’t the same length, the average is used for the area of this shape. Once you have the average length of the two bases, multiply that by the height (h)—the distance between the two bases—to easily find the area of a trapezoid.^[2]

Find the area of a kite with ${displaystyle A={frac {(d_{1}*d_{2})}{2}}}$ . A kite’s orientation can throw you off because your «diagonal» lines (d1 and d2) might not look diagonal at all—they might actually be vertical and horizontal. But as long as they’re connecting opposing corners, they’re still called diagonals. Multiply them together and then divide by to get your area.

1
Divide the quadrilateral into 2 triangles. If you draw a diagonal line from one corner to the other, you create 2 triangles within the quadrilateral. The 2 triangles might not be the same size, but they share a common base—the diagonal that divides the quadrilateral.^[4]
- If you’re working on a homework problem, the diagonal line might already be drawn for you. In fact, if you have a quadrilateral with a diagonal line, that’s a pretty big clue that you’ll use triangles to find the area.
2
Get the measurements for the base and heights of your triangles. To find the area of a triangle, you need to know the size of the base (b) and the height (h). Your diagonal line is serving as the base of your triangles, so they’ll both have the same measurement for the base. They might not be the same height, though, depending on the quadrilateral. The height isn’t the length of a side (unless you’re working with a right triangle). It’s the length from the base to the top point of the triangle.^[5]
- If you’re working a problem for homework and you’re not given any way to measure these values, you can’t use triangles to find the area of that quadrilateral.
3

Find the area of each triangle. Recall that the formula for the area of a triangle is $A={frac {1}{2}}bh$ . All you have to do is plug in the measurements you got for the base and the height, then simplify the equation to find the area of each triangle.^[6]
4

Add the areas of the 2 triangles together to get the area of the quadrilateral. Since you originally divided your quadrilateral into 2 triangles, all you have to do is add those 2 areas together and you’ll have the total area of the quadrilateral. You could also think of the area of one of the triangles as being half the area of the quadrilateral.^[7]

Add New Question

Question

Could I divide the quadrilateral into two triangles, find the area of each, and add them to find the area of the quadrilateral?

Yes. If you know the base and height of each triangle, you can just add the two areas together. It’s not always possible, however, to know the bases and heights.
Question

How do I calculate the area of a parallelogram?

Calculate as follows: Area = base multiplied by height.
Question

How would I know the angle for quadrilateral?

Assuming you’re not given the angle(s), you either have to use a protractor or analyze the quadrilateral and use trigonometry.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Since a square is also a rhombus, if you only know the measurement of a diagonal, you can also find the area of a square using the rhombus formula.

References

About This Article

Article SummaryX

Before you can find the area of a regular quadrilateral, start by identifying the type of quadrilateral in the problem, since different types of quadrilaterals require different equations. For rectangles or rhombuses, simply multiply the base by the height to find the area. For squares, multiply one side by itself to get the area. If you have a parallelogram, multiply the diagonals and divide by 2 to get the area. To find the area of a trapezoid, add the base and the height together, and divide that number by 2 times the height. If you want to find the area of an irregular quadrilateral, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,683,496 times.

Reader Success Stories

«It has greatly improved my learning, thanks.»

Did this article help you?

Источник

Download Article

Quickly calculate the area of any 4-sided figure, including squares, rectangles, parallelograms, kites, and rhombuses

Download Article

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

Square

Rectangle

Parallelogram

Trapezoid

Rhombus

Kite

Any Quadrilateral Shape

Tips

Things You Should Know

Area of Square, Rectangle, and Rhombus Cheat Sheets

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

Use ${displaystyle A=s^{2}}$ to find the area of a square. In the formula, «s» is the length of one side. Since all sides are equal, you only need the length of one of them to quickly find the area of any square. Then, express the area in units squared.

Use the formula to find the area of a rectangle. Since a rectangle has sides of 2 different lengths, you multiply one value by the other to find out how much space the rectangle covers. Just get the length of one of the short sides and one of the long sides.

Find the area of a parallelogram with . A parallelogram has 2 parallel sides—those are the bases (b). The height (h) is the distance from one base to the other. Multiply those 2 values together and you’ve got the area of a parallelogram.^[1]

Use ${displaystyle A={frac {b_{1}+b_{2}}{2}}*h}$ to calculate a trapezoid’s area. Since the 2 bases (b) of a trapezoid aren’t the same length, the average is used for the area of this shape. Once you have the average length of the two bases, multiply that by the height (h)—the distance between the two bases—to easily find the area of a trapezoid.^[2]

Find the area of a kite with ${displaystyle A={frac {(d_{1}*d_{2})}{2}}}$ . A kite’s orientation can throw you off because your «diagonal» lines (d1 and d2) might not look diagonal at all—they might actually be vertical and horizontal. But as long as they’re connecting opposing corners, they’re still called diagonals. Multiply them together and then divide by to get your area.

1
Divide the quadrilateral into 2 triangles. If you draw a diagonal line from one corner to the other, you create 2 triangles within the quadrilateral. The 2 triangles might not be the same size, but they share a common base—the diagonal that divides the quadrilateral.^[4]
- If you’re working on a homework problem, the diagonal line might already be drawn for you. In fact, if you have a quadrilateral with a diagonal line, that’s a pretty big clue that you’ll use triangles to find the area.
2
Get the measurements for the base and heights of your triangles. To find the area of a triangle, you need to know the size of the base (b) and the height (h). Your diagonal line is serving as the base of your triangles, so they’ll both have the same measurement for the base. They might not be the same height, though, depending on the quadrilateral. The height isn’t the length of a side (unless you’re working with a right triangle). It’s the length from the base to the top point of the triangle.^[5]
- If you’re working a problem for homework and you’re not given any way to measure these values, you can’t use triangles to find the area of that quadrilateral.
3

Find the area of each triangle. Recall that the formula for the area of a triangle is $A={frac {1}{2}}bh$ . All you have to do is plug in the measurements you got for the base and the height, then simplify the equation to find the area of each triangle.^[6]
4

Add the areas of the 2 triangles together to get the area of the quadrilateral. Since you originally divided your quadrilateral into 2 triangles, all you have to do is add those 2 areas together and you’ll have the total area of the quadrilateral. You could also think of the area of one of the triangles as being half the area of the quadrilateral.^[7]

Add New Question

Question

Could I divide the quadrilateral into two triangles, find the area of each, and add them to find the area of the quadrilateral?

Yes. If you know the base and height of each triangle, you can just add the two areas together. It’s not always possible, however, to know the bases and heights.
Question

How do I calculate the area of a parallelogram?

Calculate as follows: Area = base multiplied by height.
Question

How would I know the angle for quadrilateral?

Assuming you’re not given the angle(s), you either have to use a protractor or analyze the quadrilateral and use trigonometry.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Since a square is also a rhombus, if you only know the measurement of a diagonal, you can also find the area of a square using the rhombus formula.

References

About This Article

Article SummaryX

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,683,496 times.

Reader Success Stories

«It has greatly improved my learning, thanks.»

Did this article help you?

Источник

Загрузить PDF

Вам дана задача, в которой требуется найти площадь четырехугольника, а вы даже не знаете, что такое четырехугольник? Не волнуйтесь, эта статья вам поможет! Четырехугольник — это любая фигура с четырьмя сторонами. Для вычисления площади четырехугольника нужно определить тип четырехугольника, который вам дан, и воспользоваться соответствующей формулой.

1
Определение параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это параллелограммы.
- Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
- Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
- Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
2
Площадь прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его ширину (короткая сторона; представьте ее как высоту) и длину (длинная сторона; представьте ее как сторону, к которой проведена высота). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
- ‘Площадь = длина х высота, или S = a х h.
- Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
- Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).
3
Площадь квадрата. Квадрат — это частный случай прямоугольника, поэтому используйте ту же формулу, что и для нахождения площади прямоугольника. Но в квадрате все стороны равны, поэтому площадь квадрата равна любой из его сторон, возведенной в квадрат (то есть умноженной саму на себя).^[1]
- Площадь = сторона х сторона, или S = a².
- Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a² = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
4
Площадь ромба равна произведению его диагоналей, разделенной на два. Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины ромба.^[2]
- Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d₁ × d₂)/2
- Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.
5
Площадь ромба также можно найти, если умножить его сторону на высоту, опущенную на эту сторону. Но не путайте высоту со смежной стороной. Высота — это прямая, опущенная из любой вершины ромба на противоположную сторону, и пересекающая противоположную сторону под прямым углом.
- Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.
6
Формулы для вычисления площадей ромба и прямоугольника применимы к квадратам, так как квадрат — это частный случай как прямоугольника, так и ромба.
- Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
- Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d₁ × d₂)/2
- Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
- Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.
Реклама

1
Определение трапеции. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Каждая из четырех сторон трапеции может быть разной длины.
- Есть два способа вычисления площади трапеции (в зависимости от данных значений).
2
Найдите высоту трапеции. Высота трапеции — отрезок, соединяющий параллельные стороны (основания) и пересекающий их под прямым углом (высота не равна боковым сторонам). Вот как найти высоту трапеции:^[3]
- Из точки пересечения меньшего основания и боковой стороны проведите перпендикуляр к большему основанию. Этот перпендикуляр и есть высота трапеции.
- Чтобы вычислить высоту, используйте тригонометрию. Например, если вы знаете боковую сторону и прилегающий к ней угол, то высота равна произведению боковой стороны на синус прилегающего угла.
3
Найдите площадь трапеции, используя высоту. Если вы знаете высоту трапеции и оба основания, используйте следующую формулу для вычисления площади трапеции:
- Площадь = (основание1 + основание2)/2 × высота, или S = (a+b)/2 × h
- Пример: если высота трапеции равна 2 см, а основания трапеции равны 7 см и 11 см, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 11)/2 * 2 = 18 квадратных сантиметров.
- Если высота трапеции равна 10, а основания трапеции равны 7 и 9, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80.
4
Найдите площадь трапеции, используя среднюю линию. Средняя линия — это отрезок, параллельный основаниям и делящий боковые стороны пополам. Средняя линия равна среднему значению от обоих оснований (a и b): средняя линия = (a+b)/2.
- Площадь = средняя линия х высота, или S = m × h
- По сути, здесь вы используете формулу для нахождения площади трапеции по двум основаниям, но вместо (a+b)/2 подставлена m (средняя линия).
- Пример: если средняя линия трапеции равна 9 см, то площадь этой трапеции: S = m*h = 9 х 2 = 18 квадратных сантиметров (вы получили тот же ответ, что и в предыдущем шаге).
Реклама

1
Определение дельтоида. Дельтоид — это четырехугольник с двумя парами сторон одинаковой длины.
- Есть два способа вычисления площади дельтоида (в зависимости от данных значений).
2
Найдите площадь дельтоида, используя формулу для нахождения площади ромба (с использованием диагоналей), так как ромб — это частный случай дельтоида, у которого все стороны равны. Напомним, что диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины.
- Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d₁ × d₂)/2
- Пример: если диагонали дельтоида равны 19 см и 5 см, то площадь этого дельтоида: S = (19 х 5)/2 = 47,5 квадратных сантиметров.
- Если вы не знаете длины диагоналей и не можете их измерить, используйте тригонометрию, чтобы вычислить их. Прочтите эту статью, чтобы узнать больше информации.
3
Найдите площадь дельтоида, используя неравные стороны и угол между ними. Если вы знаете неравные стороны и угол между этими сторонами (θ), то площадь дельтоида вычисляется с помощью тригонометрии по формуле:^[4]
- Площадь = (сторона1 х сторона2) х sin (угол), или S = (a × b) × sin(θ), где θ — угол между неравными сторонами.
- Пример: Если стороны дельтоида равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 120 градусам, то площадь дельтоида равна (6 х 4) х sin120 = 24 х 0,866 = 20,78 квадратных сантиметров.
- Обратите внимание, что вы должны использовать две неравные стороны и угол между ними; если вы используете две равные стороны и угол между ними, вы получите неправильный ответ.
Реклама

1
Если вам дан четырехугольник произвольной формы, то даже для таких четырехугольников существуют формулы для вычисления их площадей. Обратите внимание, что такие формулы требуют знания тригонометрии.
- Во-первых, найдите длины всех четырех сторон. Обозначим их через a, b, c, d (а напротив с, а b напротив d).
- Пример: дан четырехугольник произвольной формы со сторонами 12 см, 9 см, 5 см и 14 см.
2
Найдите угол А между сторонами а и d и угол С между сторонами b и с (вы можете найти любые два противолежащих угла).
- Пример: в нашем четырехугольнике А = 80 градусов и C = 110 градусов.
3
Представьте, что существует отрезок, соединяющий вершины, образованные сторонами а и b и сторонами с и d. Этот отрезок разделит четырехугольник на два треугольника. Так как площадь треугольника равна 1/2absinC, где C — угол между сторонами a и b, вы можете найти площади двух треугольников и сложить их, чтобы вычислить площадь квадрата.
- Площадь = 0,5 х сторона1 х сторона4 х sin(угол между стороной1 и стороной4) + 0,5 х сторона2 х сторона3 х sin(угол между стороной2 и стороной3), или
- Площадь = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
- Пример: вы нашли стороны и углы, поэтому просто подставьте их в формулу.
  
  = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110)
  
  = 84 × sin (80) + 22,5 × sin (110)
  
  = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939
  
  = 82,66 + 21,13 = 103,79 квадратных сантиметров.
- Обратите внимание, что если вы пытаетесь найти площадь параллелограмма (у которого противоположные углы равны), то формула примет вид: площадь = 0.5*(ad + bc) * sin A
Реклама

Советы

Этот калькулятор для вычисления площади треугольника пригодится вам при вычислении площади четырехугольника произвольной формы.^[5]
Чтобы получить дополнительную информацию, прочитайте статьи по вычислению площади квадрата, площади прямоугольника, площади ромба, площади трапеции и площади дельтоида.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 433 502 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Площади четырехугольников

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Как найти площадь четырехугольника из егэ

Things You Should Know

Area of Square, Rectangle, and Rhombus Cheat Sheets

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Things You Should Know

Area of Square, Rectangle, and Rhombus Cheat Sheets

Area of Trapezoid and Kite Cheat Sheets

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Новое и интересное на сайте: