Как выучить тригонометрию для егэ

Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.

Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:

^New Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Измерение углов: градусы и радианы

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрические формулы

Формулы приведения

Все формулы тригонометрии

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения, 1

Простейшие тригонометрические уравнения, 2

Тригонометрические уравнения. Методы решения

Повторим самое главное в тригонометрии.

— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.

Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.

— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.

— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.

— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!

— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Чуть больше 30% выпускников справляется с тригонометрией на ЕГЭ по математике. И неудивительно: для решения заданий из базы и профиля надо знать очень много формул, которые сложно освоить за 1-2 года. На самом деле, это миф! Чтобы решить задания по тригонометрии, нужно знать всего 5 формул — и просто уметь ими пользоваться.

Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы

Чаще всего тригонометрию начинают изучать в 10 классе — но в некоторых школах оставляют до 11. В первом случае у учеников есть 2 года, чтобы освоить новую тему. А во втором, к сожалению, всего год. И это проблема. Дело в том, что в тригонометрии очень много формул, которые нужно знать, чтобы успешно решать задания. Если за 2 года их можно успеть выучить, то за год это будет сделать проблематично.

Ситуация осложняется ещё двумя факторами. Во-первых, в самой математике много формул, признаков, теорем и т.д. Во-вторых, кроме математики есть и другие экзамены, для которых нужно выучить большой объём информации.

Именно поэтому я всегда советую своим ученикам не учить формулы для тригонометрии на ЕГЭ, а выводить! Но об этом мы поговорим чуть позже, а сейчас давайте обсудим, почему тригонометрия так важна и где в ЕГЭ ее можно встретить.

Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ

Так как ЕГЭ по математике делится на базовый и профильный, а тригонометрия встречается в обоих, то давайте рассмотрим оба уровня экзамена.

Тригонометрия в базе

Что касается Базового уровня, то в нём всего 3 задания, в которых можно столкнуться с тригонометрией:

В № 7 в виде простейшего выражения

Как правило, для успешного решения таких заданий достаточно воспользоваться формулами из справочного материала.

В № 8 в виде формулы прикладной задачи

Стоит отметить, что в базовом ЕГЭ в прикладных задачах тригонометрия попадается редко, но нужно быть готовыми.

В № 15 как тригонометрия в геометрии

В справочном материале есть вся необходимая информация для успешного решения данного задания, а именно определение всех тригофункций в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрия в профиле

Базовый уровень мы рассмотрели, теперь перейдём к профильному. Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2.

В № 3 как тригонометрия в геометрии (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ, вот только в справочном материале уже нет необходимой информации.

В № 4 в виде выражения (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ.

В № 7 в виде формулы прикладной задачи (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией.

В № 11 как часть функции (Часть 1)

Функцию нужно проанализировать для поиска наибольшего/наименьшего значения или точек максимума/минимума.

Если с Частью 1 профиля всё более-менее очевидно, то во второй части бывают сюрпризы, о которых ученики даже не подозревают. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания.

В № 12 (Часть 2)

Тут сюрпризов нет. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!

В № 13 — стереометрия (Часть 2)

Да, тригонометрия может встретиться здесь в виде теоремы синусов или теоремы косинусов, а ещё в виде формул в методе координат (для любителей решать этим методом).

В № 16 — планиметрия (Часть 2)

Здесь всё аналогично стереометрии: есть геометрические формулы, в которых прячется тригонометрия. Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает!

5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ

А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.

Именно поэтому я рекомендую не учить формулы, а выводить. Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные.

Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.

Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:

Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса

Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.

С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:

Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:

Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).

Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin² и cos²:

Теперь можно легко найти:

• котангенс, зная синус,
• или тангенс, зная косинус.

Формула № 2 и что из нее можно вывести

С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):

Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.

Формула № 3 и что из нее можно вывести

А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:

в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):

А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):

Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:

Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести

Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:

Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):

Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!

Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из демоверсий ЕГЭ по математике 2022.

Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ

Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие:

• некоторые можно вывести из вышеуказанных,
• некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило.

Но мне кажется, что пока этого и так много!

А чтобы отрабатывать выведение было не так скучно, держите моего котика, который любезно согласился позировать в позе котангенса:

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть (16) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи, можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен (1), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

Поэтому:  (cos0=1) и (sin0=0);
                   (cos⁡frac{π}{2}=0) и (sin⁡frac{π}{2}=1);
                   (cos⁡{π}=-1) и (sin{⁡π}=0);
                   (cos⁡frac{3π}{2}=0) и (sin⁡frac{3π}{2}=-1).

Шаг 3. Запомните, что координаты остальных точек могут быть только (±frac{1}{2}), (±frac{sqrt{2}}{2}), (±frac{sqrt{3}}{2}). Причем (frac{1}{2}<frac{sqrt{2}}{2}<frac{sqrt{3}}{2}) и соответственно (-frac{sqrt{3}}{2}<-frac{sqrt{2}}{2}<-frac{1}{2}) (в этом можно убедиться, вычислив данные числа на калькуляторе).

Шаг 4. Правильно расставьте эти числа на осях:
Координата точки (frac{π}{6}) ((30^°)) на оси косинусов будет (frac{sqrt{3}}{2}) – так как она максимально близка к (1);
Координата точки (frac{π}{3}) ((60^°) ) на оси косинусов будет (frac{1}{2}) – так как ближе к нулю;
Ну и соответственно (frac{sqrt{2}}{2}) посередине, то есть (cosfrac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}).

Аналогично рассуждаем, расставляя числа на оси синусов.
(sin⁡frac{π}{3}=frac{sqrt{3}}{2}) – так как координата (frac{π}{3}) наиболее близка к (1),
(sin{frac{π}{6}}=frac{1}{2}), потому что координата (frac{π}{6}) находится ниже, чем две другие точки.
(sin⁡frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}) – так как (frac{π}{4}) — посередине.

Уже очевидно, что (sin⁡frac{2π}{3}=frac{sqrt{3}}{2}),     (sin⁡frac{3π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}),     (sin⁡frac{5π}{6}=frac{1}{2}).
Осталось найти косинусы. Они все будут отрицательны, потому что по оси абсцисс эти точки находятся слева от (0). Значит,
(cos⁡frac{2π}{3}=-frac{1}{2}) – точка (frac{2π}{3}) наиболее близка к (0) на оси косинусов;
(cos⁡frac{5π}{6}=-frac{sqrt{3}}{2}) – так как точка (frac{5π}{6}) наиболее близка к (-1),
(cos⁡frac{3π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}), потому что (frac{3π}{4}) посередине.
Применяя туже логику, расставляем числа на оси синусов.

Получается, что:
(cos⁡frac{4π}{3}=-frac{1}{2}),     (sin⁡frac{4π}{3}=-frac{sqrt{3}}{2})
(cos⁡frac{7π}{6}=-frac{sqrt{3}}{2}),   (sin⁡frac{7π}{6}=-frac{1}{2}),
(cos⁡frac{5π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}),   (sin⁡frac{5π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}),
(cos⁡frac{5π}{3}=frac{1}{2}),         (sin⁡frac{5π}{3}=-frac{sqrt{3}}{2}),
(cos⁡frac{7π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}),       (sin⁡frac{7π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}),  
(cos⁡frac{11π}{6}=frac{sqrt{3}}{2}),     (sin⁡frac{11π}{6}=-frac{1}{2}).

К счастью, аккуратно рисовать круг, каждый раз подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно понимать логику и применять её к каждому значению отдельно.

Пример. Найдите а) (cos⁡frac{3π}{4}), б) (cos⁡(-frac{π}{6})).
Решение:(frac{5π}{4}=frac{4π+π}{4}=π+frac{π}{4})

(sin⁡frac{5π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2})
(cos⁡(-frac{π}{6})=frac{sqrt{3}}{2})

Как запомнить расположение чисел на оси тангенсов и котангенсов?

Шаг 1. Запомните, что (0) на оси тангенсов совпадает с нулем на окружности, а (0) на оси котангенсов — с (frac{π}{2})  ((90^°)) на окружности.

Шаг 2. Проводим прямые через точки и начало координат (почему так – смотри здесь) и убеждаемся, что на каждой оси у нас должно быть по семь чисел, одно из которых (ноль) – уже есть.

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

Шаг 4. Значение «(1)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, (-1) находятся на одном уровне с (-1) на оси синусов и косинусов.

Шаг 5. Дальше стоит понять, что (±frac{1}{sqrt{3}})  находится ближе к (0), чем (±sqrt{3}).

Шаг 6. (±sqrt{3}) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (36sqrt{6}, tg,frac{π}{6} sin⁡,frac{π}{4}).
Решение:

(36sqrt{6}cdotfrac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{1}{sqrt{3}}=frac{36sqrt{6}sqrt{2}}{2sqrt{3}}=frac{18sqrt{12}}{sqrt{3}}=frac{18sqrt{4}}{1}=18cdot2=36).

Ответ: (36).

Легкие
приемы запоминания не легкой тригонометрии

(статья
адресована обучающимся 9 – 11 классов и молодым учителям математики,
преподающим в старших классах)

Математика
– это один из самых сложных школьных предметов. Математика – наука абстрактная,
именно поэтому многие учащиеся испытывают большие трудности при ее изучении.

Особенно
тяжело приходится выпускникам 11-х классов, которые для сдачи экзамена по
выбору взяли математику профильного уровня. Если при сдаче базового уровня
математики разрешается использовать справочные материалы, то на экзамене по
математике уровня профильного, выпускники остаются один на один со своей
памятью. А она у всех разная, как, впрочем, и способности к математике.

Поэтому,
задача учителя изыскать все способы, приемы запоминания формул учениками.

Остановимся
на мнемонических правилах.

Мнемо́ника
(др.-греч.
μνημονικόν — искусство запоминания), мнемоте́хника —
совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание
нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций
(связей): замена абстрактных объектов и фактов на понятия и представления,
имеющие визуальное,
аудиальное или кинестетическое
представление, связывание объектов с уже имеющейся информацией в памяти различных типов
модификации для упрощения запоминания (Википедия).

Все
мнемонические правила основаны на внесении ясности в, кажущийся бессмысленным,
материал, т.е. хаос преобразуется в порядок посредством некоторой
систематизации.

Вернемся
к нашим старшеклассникам и поможем им легко запомнить некоторые тригонометрические
формулы.

1.    
Значения синуса, косинуса, тангенса и
котангенса основных углов.

Основное тригонометрическое тождество

       sin²x
+ cos²x = 1, а также формулы

 запоминаются
учениками довольно легко.

Трудности
начинаются, когда перед обучающимися ставится задача запомнить значения синуса,
косинус, тангенса и котангенса основных углов:

Чтобы
избавиться от этой проблемы можно (учитывая, что значения углов идут в порядке
возрастания) записать цифры 1, 2, 3 сначала в прямом порядке, потом в обратном
порядке в столбик:

1  
2   3

 3  
2   1,

разделить
все записанные числа на 2:

и
извлечь квадратный корень из числителей

Значения
тангенса углов можно не запоминать, т.к. их вычисляем по известной формуле: 

А
значения котангенса записываются в обратном порядке.

2.    
Расположение углов на единичной
окружности.

Расположение
углов на единичной окружности запомнится легко, если записать их так:

3.    
Запоминаем оси координат для синуса и
косинуса.

При
запоминании, какая из осей координат является осью синуса, а какая косинуса,
можно воспользоваться следующим приемом:

При
произношении слова «синус» акцентируем внимание на первой букве слова –
СССинус. СССинус – СССверху

Подписываем
ось ординат —  (соответственно ось
абсцисс —

4.                    
Знаки тригонометрических функций.

4.1 Все тригонометрические функции
в 1 четверти принимают положительные значения (знак «+»).

Учащиеся
легко запоминают, что у тангенса и котангенса знаки располагаются
крест-накрест.

Для
синуса и косинуса – следующее правило:

при
произнесении слова «синус» ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении
«↔», значит, у синуса знаки расположены горизонтально. Аналогично, при
произнесении слова

«косинус»,
ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у косинуса знаки
расположены вертикально.

4.2
 При
решении простейших тригонометрических уравнений

 sinx = a, cosx =a

 ученики
забывают, какую хорду и в каком случае нужно рассматривать. Опять поможет
произнесение слов «синус» и «косинус». Ударная гласная
«и» вытягивает рот в направлении «↔», значит на круге при решении уравнения sinx
= a
надо провести горизонтальную хорду, ударная «о» вытягивает рот в направлении
«↕», значит при решении уравнений вида cosx=a
будем проводить вертикальную хорду.

5.     Формулы
приведения.

5.1
Чтобы запомнить формулы приведения необходимо знать следующее:

1).
Какие формулы являются формулами приведения;

2).
Когда нужно менять синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот (функцию
на кофункцию);

3).
Какой знак поставить в итоге.

Помогает
«правило слона».

Мы
сами (наше тело) себе становимся подсказкой, если вытянем руки в стороны.

Наше
туловище и руки, в таком положении, можно принять за оси координат:

Таким
образом можно ответить на 1 вопрос: «Какие формулы являются формулами
приведения».

Это
формулы, аргумент тригонометрической функции в которых имеет вид:

А,
когда «слон» начинает кивать головой, то появляется ответ на 2 вопрос: «Когда
нужно менять функцию на кофункцию».

Если
он кивает головой сверху вниз           (что
означает «да»), то в

формуле
(при значениях аргумента , 
 )
функция

меняется на кофункцию,
если же слева направо                            (что означает «нет»), то (при
значениях аргумента     ,
    )
функцию на кофункцию не меняем.

Остается
в правой части формулы поставить правильный знак приведенной функции (о
знаках говорилось выше).

5.2     
Еще одно шуточное правило для запоминания формул приведения:

Если ГО, то
О,
        Если ВЕ, то МЕ.

Если ось
ГОризонтальная, то функция Остаётся неизменной, например: sin (π+x) = -sin (x).
Если ось ВЕртикальная, то функция МЕняется на кофункцию, например: tg (3π/2-x)
= ctg (x).

 (Не
забываем определять знак приведенной функции)

6.                    
Формулы сложения.

6.1
Для запоминания формул сложения вновь делаем акцент на первую букву в слове
«синус». СССинус – СССвой («свой парень», правильный). Дружит с косинусом и
знака не меняет.

У косинуса все наоборот: не дружит с
синусом и знак меняет.

6.2                  
 Можно воспользоваться другим приемом
запоминания этих формул:

Произносим:
синус(a+/-b) равен: синус(1 аргумента)косинус(2 аргумента) тот же знак,
поменять синус и косинус местами‘

Формулы

запоминаются абсолютно аналогично: косинус(а+/-b)
равен: косинус косинус(аргументов) противоположный знак, синус
синус(аргументов).

6.3 И еще, для запоминания этих длинных
тригонометрических формул, можно делать акцент на то, что там, где косинус
слева, справа находится произведение одинаковых функций. Там, где слева синус,
справа произведения разных функций.

7.    
Формулы
синуса и косинуса двойных углов.

Легко
запомнив формулы синуса и косинуса суммы, можно перейти к быстрому выводу
формул двойных углов.

Поставляя в эти
формулы α + β, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

Синус двойного угла: sin2a
= sin(a+a) = sinacosa+cosasina
= 2sinacosa

Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a)
= cosacosa—sinasina = cos²a—sin²a

Вспоминая основное
тригонометрическое тождество

sin²x
+ cos²x = 1,

легко выводим еще
2 формулы для косинуса двойного угла:

8.                    
Связь
тангенса и косинуса.

Основное тригонометрическое тождество
позволяет установить связь тангенса и косинуса.

Возьмём
основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a
= 1 и разделим его на cos²a. Получим:

8.1 Связь тангенса
и косинуса:

8.2 Аналогично
получаем связь котангенса и синуса:

8.3 Формула
тангенса суммы – ещё одна формула, которую сложно запомнить. Выведем эту
формулу так:

Формула тангенса
суммы:

.

Разделим числитель
и знаменатель на произведение косинусов, получим:

8.4 Мгновенно
выводится и формула тангенса двойного угла:

8.5 Из формулы косинуса двойного угла можно получить
формулы синуса и косинуса половинного угла. Для этого к левой части
формулы косинуса двойного угла: cos2a = cos²a—sin²a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму
квадратов синуса и косинуса.

cos2a+1 = cos²a—sin²a+cos²a+sin²a
2cos²a = cos2a+1

Выражаем cosa через cos2a и выполняя замену
переменных, получаем:

косинус
половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отнимая от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов
синуса и косинуса, получаем:

cos2a-1 = cos²a—sin²a—cos²a—sin²a
2sin²a = 1-cos2a

синус
половинного угла:

8.6 А. чтобы преобразовать сумму тригонометрических
функций в произведение, будем использовать следующий приём:

допустим, что нам нужно представить сумму синусов sina+sinb
в виде произведения. Введём переменные x и y так, что a = x+y, b+x-y.

 Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny
= 2sinxcosy.

Выразим
теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то .  

Представление суммы
синусов в виде произведения:

9.     Формулы понижения степени.

                           
1−cos2α = 2sin²α ,

                           
1+ cos2α = 2cos²α

     Важно
понять структуру этих формул, в частности, такой момент –«степень понижается,
а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи
друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания  следует применять
правило: «Единица минус – получаем синус, единица плюс – вот он — косину́с».

В
заключении хочется сказать, что использование
простого «нематематического» запоминания сложных математических формул (или их
быстрое выведение  с помощью уже известных) на уроках математики (на всех
ступенях обучения) позволяет решить сразу несколько задач:

во-первых,
математика перестает быть для обучающихся предметом абстрактным и непонятным;

во-вторых,
повышается интерес к математике;

в
– третьих, применение мнемотехники на уроках математики повышает качество
знаний обучающихся.

Литература

1.
Энциклопедия Википедия.

2.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 — 11 классов Изд.
«Мнемозина», 2012 год

                                          
Грошева Н.В. – заместитель директора по УВР

                                          
МОБУ СОШ №13 г. Сочи,

                                          
учитель математики высшей категории