Поиск
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 136.
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите все корни уравнения sin(2x) = 1, удовлетворяющие неравенству 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Решите систему неравенств 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.
Решите систему неравенств 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 133.
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91.
Решите неравенство 
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
Найдите значение выражения 
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 88.
Найдите значение выражения 
Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений логарифмических выражений
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений логарифмических выражений
| Задача 1. Найдите значение выражения ({2^{3 + {{log }_2}15}})
Ответ
ОТВЕТ: 120. Решение
({2^{3 + {{log }_2}15}} = {2^3} cdot {2^{{{log }_2}15}} = 8 cdot 15 = 120.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 120. |
| Задача 2. Найдите значение выражения ({8^{2{{log }_8}3}})
Ответ
ОТВЕТ: 9. Решение
({8^{2{{log }_8}3}} = {left( {{8^{{{log }_8}3}}} right)^2} = {3^2} = 9.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 9. |
| Задача 3. Найдите значение выражения ({9^{{{log }_3}4}})
Ответ
ОТВЕТ: 16. Решение
({9^{{{log }_3}4}} = {left( {{3^2}} right)^{{{log }_3}4}} = {left( {{3^{{{log }_3}4}}} right)^2} = {4^2} = 16.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 16. |
| Задача 4. Найдите значение выражения (left( {{{log }_5}125} right) cdot left( {{{log }_4}16} right))
Ответ
ОТВЕТ: 6. Решение
(left( {{{log }_5}125} right) cdot left( {{{log }_4}16} right) = 3 cdot 2 = 6.) Ответ: 6. |
| Задача 5. Найдите значение выражения (7 cdot {5^{{{log }_5}4}})
Ответ
ОТВЕТ: 28. Решение
(7 cdot {5^{{{log }_5}4}} = 7 cdot 4 = 28.) Ответ: 28. |
| Задача 6. Найдите значение выражения ({log _{0,2}}125)
Ответ
ОТВЕТ: — 3. Решение
({log _{0,2}}125 = {log _{{5^{ — 1}}}}{5^3} = frac{3}{{ — 1}}{log _5}5 = — 3.) Ответ: — 3. |
| Задача 7. Найдите значение выражения ({log _4}64)
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
({log _4}64 = {log _4}{4^3} = 3{log _4}4 = 3.) Ответ: 3. |
| Задача 8. Найдите значение выражения ({log _6}90 — {log _6}2,5)
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
({log _6}90 — {log _6}2,5 = {log _6}frac{{90}}{{2,5}} = {log _6}36 = 2.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b — {log _a}c = {log _a}frac{b}{c}). Ответ: 2. |
| Задача 9. Найдите значение выражения ({log _{25}}25 + {log _{0,2}}625)
Ответ
ОТВЕТ: — 3. Решение
({log _{25}}25 + {log _{0,2}}625 = 1 + {log _{{5^{ — 1}}}}{5^4} = 1 + frac{4}{{ — 1}}{log _5}5 = 1 — 4 = — 3.) Ответ: — 3. |
| Задача 10. Найдите значение выражения ({log _{0,3}}10 — {log _{0,3}}3)
Ответ
ОТВЕТ: — 1. Решение
({log _{0,3}}10 — {log _{0,3}}3 = {log _{frac{1}{{10}}}}frac{{10}}{3} = {log _{frac{3}{{10}}}}{left( {frac{3}{{10}}} right)^{ — 1}} = — 1{log _{frac{3}{{10}}}}frac{3}{{10}} = — 1.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b — {log _a}c = {log _a}frac{b}{c}.). Ответ: — 1. |
| Задача 11. Найдите значение выражения (frac{{{{log }_4}27}}{{{{log }_4}3}})
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
(frac{{{{log }_4}27}}{{{{log }_4}3}} = frac{{{{log }_4}{3^3}}}{{{{log }_4}3}} = frac{{3 cdot {{log }_4}3}}{{{{log }_4}3}} = 3.) Ответ: 3. |
| Задача 12. Найдите значение выражения (frac{{{{log }_3}17}}{{{{log }_{81}}17}})
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
(frac{{{{log }_3}17}}{{{{log }_{81}}17}} = frac{{{{log }_3}17}}{{{{log }_3}{4^{17}}}} = frac{{{{log }_3}17}}{{frac{1}{4}{{log }_3}17}} = 4.) Ответ: 4. |
| Задача 13. Найдите значение выражения ({log _5}9 cdot {log _3}25)
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
({log _5}9 cdot {log _3}25 = {log _5}{3^2} cdot {log _3}{5^2} = 2 cdot 2 cdot {log _5}3 cdot {log _3}5 = 4.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b cdot {log _b}a = 1.) Ответ: 4. |
| Задача 14. Найдите значение выражения (frac{{{9^{{{log }_5}50}}}}{{{9^{{{log }_5}2}}}})
Ответ
ОТВЕТ: 81. Решение
(frac{{{9^{{{log }_5}50}}}}{{{9^{{{log }_5}2}}}} = {9^{{{log }_5}50 — {{log }_5}2}} = {9^{{{log }_5}frac{{50}}{2}}} = {9^{{{log }_5}25}} = {9^2} = 81.) Ответ: 81. |
| Задача 15. Найдите значение выражения (left( {1 — {{log }_2}12} right)left( {1 — {{log }_6}12} right))
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
(left( {1 — {{log }_2}12} right) cdot left( {1 — {{log }_6}12} right) = left( {{{log }_2}2 — {{log }_2}12} right) cdot left( {{{log }_6}6 — {{log }_6}12} right) = {log _2}frac{2}{{12}} cdot {log _6}frac{6}{{12}} = ) ( = {log _2}frac{1}{6} cdot {log _6}frac{1}{2} = {log _2}{6^{ — 1}} cdot {log _6}{2^{ — 1}} = — 1 cdot left( { — 1} right){log _2}6 cdot {log _6}2 = 1.) При решении воспользовались свойствами: ({log _a}b — {log _a}c = {log _a}frac{b}{c}) и ({log _a}b cdot {log _b}a = 1.) Ответ: 1. |
| Задача 16. Найдите значение выражения (6{log _7}sqrt[3]{7})
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
(6,,{log _7}sqrt[3]{7} = 6,,{log _7}{7^{frac{1}{3}}} = 6 cdot frac{1}{3},,{log _7}7 = 2.) Ответ: 2. |
| Задача 17. Найдите значение выражения ({log _{sqrt[6]{{13}}}}13)
Ответ
ОТВЕТ: 6. Решение
({log _{sqrt[6]{{13}}}}13 = {log _{{{13}^{frac{1}{6}}}}}13 = frac{1}{{frac{1}{6}}}{log _3}13 = 6.) Ответ: 6. |
| Задача 18. Найдите значение выражения (frac{{{{log }_2}48}}{{3 + {{log }_2}6}})
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
(frac{{{{log }_2}48}}{{3 + {{log }_2}6}} = frac{{{{log }_2}left( {8 cdot 6} right)}}{{3 + {{log }_2}6}} = frac{{{{log }_2}8 + {{log }_2}6}}{{3 + {{log }_2}6}} = frac{{3 + {{log }_2}6}}{{3 + {{log }_2}6}} = 1.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b + {log _a}c = {log _a}left( {bc} right).) Ответ: 1. |
| Задача 19. Найдите значение выражения (frac{{{{log }_2}20}}{{{{log }_2}12}} + {log _{12}}0,05)
Ответ
ОТВЕТ: 0. Решение
Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: (frac{{{{log }_a}b}}{{{{log }_a}c}} = {log _c}b) и свойством: ({log _a}b + {log _a}c = {log _a}left( {bc} right).) (frac{{{{log }_5}20}}{{{{log }_5}12}} + {log _{12}}0,05 = {log _{12}}20 + {log _{12}}0,05 = {log _{12}}left( {20 cdot 0,05} right) = {log _{12}}1 = 0.) Ответ: 0. |
| Задача 20. Найдите значение выражения ({log _{0,5}}5 cdot {log _5}2)
Ответ
ОТВЕТ: — 1. Решение
({log _{0,5}}5 cdot {log _5}2 = {log _{{2^{ — 1}}}}5 cdot {log _5}2 = frac{1}{{ — 1}}{log _2}5 cdot {log _5}2 = — 1.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b cdot {log _b}a = 1.) Ответ: -1. |
| Задача 21. Найдите значение выражения ({3^{{{log }_{81}}16}})
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
({3^{{{log }_{81}}16}} = {3^{{{log }_{{3^4}}}{2^4}}} = {3^{frac{4}{4}{{log }_3}2}} = {3^{{{log }_3}2}} = 2.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 2. |
| Задача 22. Найдите значение выражения ({log ^2}_{sqrt 8 }8)
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
(log _{sqrt 8 }^28 = {left( {{{log }_{{8^{frac{1}{2}}}}}8} right)^2} = {left( {frac{1}{{frac{1}{2}}}{{log }_8}8} right)^2} = {2^2} = 4.) Ответ: 4. |
| Задача 23. Найдите значение выражения ({49^{{{log }_7}sqrt 5 }})
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
({49^{{{log }_7}sqrt 5 }} = {left( {{7^2}} right)^{{{log }_7}sqrt 5 }} = {7^{2{{log }_7}sqrt 5 }} = {7^{{{log }_7}{{left( {sqrt 5 } right)}^2}}} = {7^{{{log }_7}5}} = 5.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 5. |
| Задача 24. Найдите значение выражения ({log _4}{log _5}25)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. Решение
({log _4}{log _5}25 = {log _4}2 = {log _{{2^2}}}2 = frac{1}{2}{log _2}2 = 0,5.) Ответ: 0,5. |
| Задача 25. Найдите значение выражения (frac{{24}}{{{3^{{{log }_3}2}}}})
Ответ
ОТВЕТ: 12. Решение
(frac{{24}}{{{3^{{{log }_3}2}}}} = frac{{24}}{2} = 12.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 12. |
| Задача 26. Найдите значение выражения ({log _{frac{1}{{13}}}}sqrt {13} )
Ответ
ОТВЕТ: — 0,5. Решение
({log _{frac{1}{{13}}}}sqrt {13} = {log _{{{13}^{ — 1}}}}{13^{frac{1}{2}}} = — frac{1}{2}{log _{13}}13 = — 0,5.) Ответ: — 0,5. |
| Задача 27. Найдите значение выражения ({log _{11}}24,2 + {log _{11}}5)
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
({log _{11}}24,2 + {log _{11}}5 = {log _{11}}left( {24,2 cdot 5} right) = {log _{11}}121 = 2.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b + {log _a}c = {log _a}left( {bc} right).) Ответ: 2. |
| Задача 28. Найдите значение выражения (frac{{{{log }_2}sqrt[5]{{27}}}}{{{{log }_2}27}})
Ответ
ОТВЕТ: 0,2. Решение
(frac{{{{log }_2}sqrt[5]{{27}}}}{{{{log }_2}27}} = frac{{{{log }_2}{{27}^{frac{1}{5}}}}}{{{{log }_2}27}} = frac{{frac{1}{5}{{log }_2}27}}{{{{log }_2}27}} = 0,2.) Ответ: 0,2. |
| Задача 29. Найдите значение выражения ({left( {{7^{{{log }_5}3}}} right)^{{{log }_7}5}})
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
({left( {{7^{{{log }_5}3}}} right)^{{{log }_7}5}} = {left( {{7^{{{log }_7}5}}} right)^{{{log }_5}3}} = {5^{{{log }_5}3}} = 3.) При решении воспользовались основным логарифмическим тождеством: ({a^{{{log }_a}b}} = b.) Ответ: 3. |
| Задача 30. Найдите значение выражения ({log _a}left( {a{b^3}} right)), если ({log _b}a = frac{1}{7})
Ответ
ОТВЕТ: 22. Решение
1 Вариант ({log _a}left( {a{b^3}} right) = {log _a}a + {log _a}{b^3} = 1 + 3{log _a}b = 1 + frac{3}{{{{log }_b}a}} = 1 + frac{3}{{frac{1}{7}}} = 22.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b + {log _a}c = {log _a}left( {bc} right).) 2 Вариант ({log _b}a = frac{1}{7},,,,, Leftrightarrow ,,,,,a = {b^{frac{1}{7}}}) ({log _a}left( {a{b^3}} right) = {log _{{b^{frac{1}{7}}}}}left( {{b^{frac{1}{7}}} cdot {b^3}} right) = {log _{{b^{frac{1}{7}}}}}{b^{frac{1}{7} + 3}} = {log _{{b^{frac{1}{7}}}}}{b^{frac{{22}}{7}}} = frac{1}{{frac{1}{7}}} cdot frac{{22}}{7}{log _b}b = 22.) Ответ: 22. |
| Задача 31. Найдите ({log _a}frac{a}{{{b^3}}}), если ({log _a}b = 5)
Ответ
ОТВЕТ: — 14. Решение
1 Вариант ({log _a}frac{a}{{{b^3}}} = {log _a}a — {log _a}{b^3} = 1 — 3,,{log _a}b = 1 — 3 cdot 5 = — 14.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b — {log _a}c = {log _a}frac{b}{c}). 2 Вариант ({log _a}b = 5,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = {a^5}) ({log _a}frac{a}{{{b^3}}} = {log _a}frac{a}{{{{left( {{a^5}} right)}^3}}} = {log _a}frac{a}{{{a^{15}}}} = {log _a}{a^{ — 14}} = — 14,,{log _a}a = — 14.) Ответ: — 14. |
Задача 32. Найдите ({log _a}left( {{a^6}{b^{10}}} right)), если ({log _a}b = 
Ответ
ОТВЕТ: 86. Решение
1 Вариант ({log _a}left( {{a^6}{b^{10}}} right) = {log _a}{a^6} + {log _a}{b^{10}} = 6{log _a}a + 10{log _a}b = 6 + 10 cdot 8 = 86.) При решении воспользовались свойством: ({log _a}b + {log _a}c = {log _a}left( {bc} right).) 2 Вариант ({log _a}b = 8,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = {a^8}) ({log _a}left( {{a^6}{b^{10}}} right) = {log _a}left( {{a^6} cdot {{left( {{a^8}} right)}^{10}}} right) = {log _a}left( {{a^6} cdot {a^{80}}} right) = {log _a}{a^{86}} = 86,,{log _a}a = 86.) Ответ: 86. |
14 января 2018
В закладки
Обсудить
Жалоба
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление значений числовых логарифмических выражений.
При подготовке следует обратить внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Материал для проведения самостоятельных работ. 15 вариантов по 28 заданий. Ответы прилагаются.
log-sm.docx
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание
22
#1629
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите неравенство
[begin{aligned}
log_{4}^2(64 — x^2) — 5log_{4}(64 — x^2) + 6 geqslant 0.
end{aligned}]
(ЕГЭ 2015)
ОДЗ: [64 — x^2 > 0 qquadLeftrightarrowqquad xin (-8; 8).] Сделаем замену (y = log_4(64 — x^2)), тогда [y^2 -5y + 6geqslant 0.] Решим это неравенство методом интервалов:
откуда (y in (-infty; 2] cup [3; +infty)).
(log_4(64 — x^2) in (-infty; 2] cup [3; +infty)), что можно представить в виде
(log_4(64 — x^2) leqslant 2) или (log_4(64 — x^2)geqslant 3).
Решим первое из этих неравенств: [log_4(64 — x^2) leqslant 2.] Это неравенство на ОДЗ равносильно: [64 — x^2 leqslant 16quadLeftrightarrowquad x^2 geqslant 48quadLeftrightarrowquad xin(-infty; -4sqrt{3}]cup[4sqrt{3}; +infty)]
Решим второе из этих неравенств: [log_4(64 — x^2) geqslant 3.] Это неравенство на ОДЗ равносильно: [64 — x^2 geqslant 64qquadLeftrightarrowqquad x^2 leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0] Объединенное решение двух неравенств: (xin(-infty; -4sqrt{3}]cup{0}cup[4sqrt{3}; +infty)).
Пересечем ответ с ОДЗ: [xin(-8; -4sqrt{3}]cup{0}cup[4sqrt{3}; 8).]
Ответ:
(xin(-8; -4sqrt{3}]cup{0}cup[4sqrt{3}; 8))
Задание
23
#2702
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите неравенство
[begin{aligned}
log^2_{2}(4+3x-x^2)+7log_{0,5}(4+3x-x^2)+10>0.
end{aligned}]
(ЕГЭ 2015)
ОДЗ: [4 + 3x — x^2 > 0.] При помощи метода интервалов находим, что ОДЗ: [xin (-1; 4).] По свойству логарифма [log^2_{2}(4+3x-x^2)-7log_{2}(4+3x-x^2)+10>0.] Сделаем замену (y = log_{2}(4+3x-x^2)), тогда [y^2 -7y + 10 > 0.] Решим это неравенство методом интервалов:
откуда (y in (-infty; 2) cup (5; +infty)).
(log_{2}(4+3x-x^2) in (-infty; 2) cup (5; +infty)), что можно представить в виде
(log_{2}(4+3x-x^2) < 2) или (log_{2}(4+3x-x^2) > 5).
Решим первое из этих неравенств: [log_{2}(4+3x-x^2) < 2.] Это неравенство на ОДЗ равносильно: [4+3x-x^2 < 4qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 3x > 0qquadLeftrightarrowqquad xin(-infty; 0)cup(3; +infty).]
Решим второе из этих неравенств: [log_{2}(4+3x-x^2) > 5 ,Leftrightarrow , 4+3x-x^2 > 32 ,Leftrightarrow , x^2 — 3x + 28 < 0 ,Leftrightarrow , x in varnothing.] Объединенное решение двух неравенств: (xin(-infty; 0)cup(3; +infty)).
Пересечем ответ с ОДЗ: [xin(-1; 0)cup(3; 4).]
Ответ:
(xin(-1; 0)cup(3; 4))
Задание
24
#2778
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите систему [begin{cases}
log_3left(dfrac{x^2}4-dfrac{16}{x^2}right)leqslant 1\[2ex]
dfrac{2x^2+x-28}{(x-6)^2+(x-5)^3-1}leqslant 0
end{cases}]
(ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: [begin{aligned}
&dfrac{x^2}4-dfrac{16}{x^2}>0quadLeftrightarrowquad
dfrac{x^4-64}{4x^2}>0
quadLeftrightarrow\[2ex]
Leftrightarrowquad
&dfrac{(x-2sqrt2)(x+2sqrt2)(x^2+8)}{x^2}>0quadLeftrightarrowquad
xin (-infty;-2sqrt2)cup(2sqrt2;+infty)end{aligned}]
На ОДЗ данное неравенство равносильно: [begin{aligned}
&dfrac{x^2}4-dfrac{16}{x^2}leqslant 3quadLeftrightarrowquad
dfrac{x^4-12x^2-64}{4x^2}leqslant 0quadLeftrightarrowquad
dfrac{(x^2+4)(x^2-16)}{4x^2}leqslant 0quadLeftrightarrow\[3ex]
Leftrightarrowquad & dfrac{(x^2+4)(x-4)(x+4)}{4x^2}leqslant
0quadLeftrightarrowquad xin [-4;0)cup(0;4]
end{aligned}]
Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: (xin [-4;-2sqrt2)cup(2sqrt2;4].)
2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов ((x-5)^3-1=(x-5-1)((x-5)^2+x-5+1)=(x-6)(x^2-9x+21)). Следовательно, знаменатель можно разложить на множители ((x-6)^2+(x-6)(x^2-9x+21)=(x-6)(x^2-8x+15)=(x-6)(x-3)(x-5)).
Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде [dfrac{(2x-7)(x+4)}{(x-6)(x-3)(x-5)}leqslant 0] Решив полученное неравенство методом интервалов, получим [xin
(-infty;-4]cupleft(3;frac72right]cup(5;6).]
3) Пересекая решения обоих неравенств, получим (xin
{-4}cupleft(3;frac72right])
Ответ:
({-4}cupleft(3;frac72right])
Задание
25
#2777
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите систему [begin{cases}
16^{x-frac54}-3cdot 4^{x-frac32}+1geqslant 0\[2ex]
log_2dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}leqslant 1
end{cases}]
(ЕГЭ 2014, вторая волна)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство перепишем в виде [dfrac{16^x}{16^{frac54}}-3cdot dfrac{4^x}{4^{frac32}}+1geqslant 0] Заметим, что (16^{frac54}=left(2^4right)^{frac54}=2^5), а (4^{frac32}=left(2^2right)^{frac32}=2^3). Сделаем замену (4^x=t>0): [dfrac{t^2}{2^5}-3dfrac{t}{2^3}+1geqslant 0quadLeftrightarrowquad
t^2-12t+32geqslant 0quadLeftrightarrowquad (t-4)(t-8)geqslant
0quadLeftrightarrowquad tin (-infty;4]cup[8;+infty).] Сделаем обратную замену: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&4^xleqslant 4\
&4^xgeqslant 8 end{aligned}
end{gathered}right.quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned}
&xleqslant 1\
&xgeqslant frac32end{aligned}
end{gathered}right.]
2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно [begin{cases}
dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}leqslant 2\[2ex]
dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 end{cases}quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
dfrac{2x^2-x-3}{3x-2}leqslant 0\[2ex]
dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 end{cases}] Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: (xin
(-infty;-1]cupleft(frac23;frac32right]) и для второго: (xin
left(-frac72;frac23right)cup(1;+infty)). Пересекая эти решения, получим (xin
left(-frac72;-1right]cupleft(1;frac32right]).
3) Пересекая решения обоих неравенств, получим (xinleft(-frac72;-1right]cupleft{frac32right}).
Ответ:
(left(-frac72;-1right]cup{1,5})
Задание
26
#2776
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите систему [begin{cases} 19cdot 4^x+4^{-x}leqslant 20\
xcdot log_{x+3}(7-2x)geqslant 0 end{cases}]
(ЕГЭ 2014, резервный день)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство. Сделаем замену (4^x=t>0), тогда неравенство примет вид [19t+dfrac1tleqslant 20quadLeftrightarrowquad dfrac{19t^2-20t+1}tleqslant 0
quadLeftrightarrowquad dfrac{(19t-1)(t-1)}tleqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получим (tin
(-infty;0)cupleft[frac1{19};1right]). Учитывая, что (t>0), получаем (tin left[frac1{19};1right]). Сделаем обратную замену: [dfrac1{19}leqslant 4^xleqslant 1 quad Leftrightarrowquad
4^{log_4{frac1{19}}}leqslant 4^xleqslant 4^{0}
quadLeftrightarrowquad log_4{frac1{19}}leqslant xleqslant
0.]
2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ: [begin{cases}
x+3>0\
x+3ne 1\
7-2x>0 end{cases}quadLeftrightarrowquad xin
(-3;-2)cupleft(-2;frac72right).]
На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно [x(x+3-1)(7-2x-1)geqslant 0quadLeftrightarrowquad x(x+2)(x-3)leqslant 0] Решая его методом интервалов, получим (xin (-infty;-2]cup[0;3]). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим (xin (-3;-2)cup[0;3]).
3) Заметим, что (log_4{frac1{19}}=-log_419), следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим (xin
left[-log_419;-2right)cup{0}.)
Ответ:
(left[-log_419;-2right)cup{0})
Задание
27
#2775
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите систему [begin{cases} log_{11-x}(x+7)cdot log_{x+5}(9-x)leqslant 0\
64^{x^2-3x+20}-0,125^{2x^2-6x-200}leqslant 0 end{cases}]
(ЕГЭ 2014, основная волна)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: [begin{cases}
11-x>0\
11-xne 1\
x+7>0\
x+5>0\
x+5ne 1\
9-x>0 end{cases} quadLeftrightarrowquad xin
(-5;-4)cup(-4;9).]
На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно [(11-x-1)(x+7-1)(x+5-1)(9-x-1)leqslant 0 quadLeftrightarrowquad (x-10)(x+6)(x+4)(x-8)leqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получим (xin
[-6;-4]cup[8;10].)
Пересечем с ОДЗ и получим (xin (-5;-4)cup[8;9)).
2) Второе неравенство. Заметим, что (0,125=frac18=8^{-1}). Тогда неравенство можно переписать как [8^{2x^2-6x+40}-left(8^{-1}right)^{2x^2-6x-200}leqslant 0quadLeftrightarrowquad
8^{2x^2-6x+40}leqslant 8^{-2x^2+6x+200}] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно [2x^2-6x+40leqslant -2x^2+6x+200quadLeftrightarrowquad
x^2-3x-40leqslant 0quadLeftrightarrowquad (x+5)(x-8)leqslant
0quadLeftrightarrowquad xin [-5;8]]
3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: (xin
(-5;-4)cup{8}.)
Ответ:
(left(-5;-4right)cup{8})
Задание
28
#2774
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите систему [begin{cases}
36^{x-frac12}-7cdot 6^{x-1}+1geqslant 0\
xcdot log_4(5-3x-x^2)geqslant 0
end{cases}]
(ЕГЭ 2014, основная волна)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство можно переписать в виде [6^{2x-1}-7cdot
6^{x-1}+1geqslant 0] Сделаем замену (6^x=t>0), тогда неравенство примет вид: [dfrac{t^2}6-dfrac{7t}6+1geqslant 0quadLeftrightarrowquad t^2-7t+6geqslant 0] Решим уравнение (t^2-7t+6=0). Его корнями будут (t_1=1) и (t_2=6). Следовательно, (t^2-7t+6=(t-1)(t-6)). Значит, неравенство примет вид [(t-1)(t-6)geqslant 0] Решив его методом интервалов, получим (tin
(-infty;1]cup[6;+infty).) Теперь сделаем обратную замену: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&6^xleqslant 1\
&6^xgeqslant 6end{aligned} end{gathered}right. quad
Leftrightarrow quad left[begin{gathered}begin{aligned}
&xleqslant 0\
&xgeqslant 1end{aligned} end{gathered}right.
quadLeftrightarrowquad xin (-infty;0]cup[1;+infty).]
2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ: [5-3x-x^2>0 quad Leftrightarrowquad x^2+3x-5<0 quad Leftrightarrowquad
xinleft(dfrac{-3-sqrt{29}}2;dfrac{-3+sqrt{29}}2right).] Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно [x(4-1)(5-3x-x^2-1)geqslant 0quadLeftrightarrowquad x(x^2+3x-4)leqslant 0
quadLeftrightarrowquad x(x-1)(x+4)leqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получим (xin
(-infty;-4]cup[0;1]).
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства (xin left(dfrac{-3-sqrt{29}}2;-4right]cup[0;1].)
3) Пересечем решения обоих неравенств и получим (xin
left(-frac12(sqrt{29}+3);-4right]cup{0;1}.)
Ответ:
(left(-frac12(sqrt{29}+3);-4right]cup{0;1})
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Наверх
Задание №1 ЕГЭ 2022 профильный уровень логарифмические уравнения 12 задач решу ЕГЭ с ответами и решением для подготовки, решаем примеры и готовимся к ЕГЭ.
Скачать файл заданий с ответами
1)Найдите корень уравнения log2 (-5-x)=1
Ответ: -7
2)Найдите корень уравнения log5 (4+x)=2
Ответ: 21
3)Найдите корень уравнения log10 (3-x)=log10 2.
Ответ: 1
4)Найдите корень уравнения log10 (3-x)=log105 7.
Ответ: -2
5)Найдите корень уравнения log4 (3+x)=log4(4x-15).
Ответ: 6
6)Найдите корень уравнения log1/8 (13-x)=-2.
Ответ: -51
7)Найдите корень уравнения log2(12-6x)=3log2 3.
Ответ: -2,5
8)Решите уравнение log7(x2+5x)=log7(x2+6)
Ответ: 1,2
9)Решите уравнение log4(6+5x)=log4(3+x)+1
Ответ: 6
10)Решите уравнение logx+6 32=5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Ответ: -4
11)Найдите корень уравнения log8 2(8x-4)=4.
Ответ: 2
12)Найдите корень уравнения 3log9(5x-5)=5.
Ответ: 6
Другие тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике 11 класс
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств
Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств
Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)
Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных
Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных
Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции
|
забыли пароль? Помощь сайту |
Вопросы »Логарифмы, степени, корни » (log48- log45)log410 +(log42-log45)2 (log48- log45)log410 +(log42-log45)2 создана: 15.02.2014 в 21:11
Anika17 : (log48- log45)log410 +(log42-log45)2
Хочу написать ответ |
