Метод объемов в решении задач по стереометрии егэ - Exhelper.top

Метод объемов в задачах по стереометрии

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_{1}C_{1}$ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём $PC_{1}=3$ , а AQ=4. Плоскость $A_{1}PQ$ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $A_{1}PQ.$

Построим сечение призмы плоскостью A_1PQ.

Проведём $QM parallel {A}_1P$ в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция $QMPA_{1}$ — искомое сечение.

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть P_1 — проекция точки P на плоскость ABC, P_1C=3. Тогда

Пусть $BM = x, triangle QBMsim triangle { }A{BP}_1$ (по двум углам)

$frac{BQ}{AB}=frac{BM}{{BP}_1};$

$frac{8}{12}=frac{x}{9}$

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости A_1PQ, пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды A_1QMB. $V_{A_1QMB}=frac{1}{3}S_{triangle { QMB}}cdot h_1=frac{1}{3}S_{triangle { }A_1{ QM}}cdot h_2{, }$ где h_1 — расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.

Оно равно высоте призмы, то есть h_1=2.

h_2 — искомое расстояние от точки B до плоскости $A_1{ QM.}$

$S_{triangle { QMB}}=frac{1}{2}cdot BQcdot BMcdot sin60^circ =frac{1}{2}cdot 8cdot 6cdot frac{sqrt{3}}{2}=12sqrt{3;}$

Из по теореме косинусов:

${QM}^2={BQ}^2+{BM}^2-2BQcdot BMcdot cos60^circ,$

${QM}^2=64+36-2cdot 8cdot 6cdot frac{1}{2}=100-38=52;$

Из $triangle { }AA_1Q:$

$A_1Q=sqrt{{AQ}^2+{AA_1}^2}=sqrt{16+4}=2sqrt{5}.$

Точка M — середина BC, $AM=frac{12sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}.$

Из прямоугольного треугольника ${{ A}}_{{ 1}}AM$ найдем $A_1M = 4sqrt{7}.$

Рассмотрим треугольник A_1QM , в котором мы знаем все стороны.

По теореме косинусов:

$20= 112+52 - 2cdot 8cdot sqrt{7}cdot sqrt{13}cdot cosangle A_1MQ;$

$cosangle A_1MQ=frac{9}{sqrt{91}}$

Тогда $sinangle A_1MQ=sqrt{frac{10}{91}}$

$S_{triangle { }A_1QM}=frac{1}{2}QMcdot A_1Mcdot sinangle A_1MQ=$

$=frac{1}{2}cdot 2sqrt{13}cdot 4sqrt{7}cdot sqrt{frac{10}{91}}=4sqrt{10};$

Объем пирамиды $A_1QBMV_{{ }A_1QBM}=frac{1}{3}S_{triangle { }QBM}cdot AA_1=frac{1}{3}S_{{ }A_1QM}cdot h_2,$

Отсюда

$h_2=frac{S_{triangle { }QBM}cdot { A}A_1}{S_{{ }A_1QM}}=frac{12sqrt{3}cdot 2}{4sqrt{10}}=frac{3sqrt{30}}{5}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Метод объемов в задачах по стереометрии» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Мастер-класс по теме:

«Решение задач повышенного уровня сложности на определение расстояния между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью методом объемов»

Учитель математики МБОУ
«Путиловская СОШ» Семенова Е.В.
2 слайд

Опрос
1. Испытывают ли Ваши ученики затруднения при решении стереометрических задач профильного ЕГЭ?

2. Какие из следующих типов стереометрических задач с Вашей точки зрения наиболее сложны?
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями

3. Каким методам Вы отдаете предпочтение при решении стереометрических задач?
Поэтапно-вычислительный
Метод координат
Метод объемов
Векторный метод

4. Есть ли у Вас случаи успешного решения Вашими учениками стереометрической задачи №14 профильного ЕГЭ по математике?
3 слайд

Основные типы задач по стереометрии:

Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми.

Угол между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями.
4 слайд

поэтапно-вычислительный(метод опорных задач )
(традиционный метод опирается на определения расстояния или угла, и требует от учащихся развитого пространственного воображения, применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые в большинстве случаев формулируются как теоремы)

метод координат (универсальный метод, может быть использован при решении задач любого вида)

применение векторов (также может быть использован при решении задач любого вида)

метод объемов (используется объём пирамиды)
Основные методы решения:
5 слайд

Повторение соответствующих тем программы 10 и 11 классов и решение задач базового уровня сложности по данным темам. На этом этапе выпускники должны знать определения понятий, уметь делать чертежи, на готовом чертеже выделять понятия, знать формулу нахождения объема пирамиды, формулы нахождения площади треугольника.

Знакомство с методом объемов.

Знакомство с алгоритмами решения.

Разбор решенных задач.

Самостоятельное решение задач по алгоритму.
Формирование умения решать стереометрическую задачу №14 методом объемов
8 слайд

Алгоритм №1- определение расстояния от точки А до прямой ВС
Метод площадей

Составить треугольник, вершинами которого являются заданная точка А и две точки заданной прямой ВС, т. е. треугольник АВС

Найти длину стороны треугольника, лежащей на заданной прямой, т.е. ВС

3) Найти площадь S составленного треугольника АВС любым подходящим способом

4) Найти расстояние от точки А до прямой ВС по формуле
𝝆 𝑨,𝑩𝑪 = 𝟐𝑺 𝑩𝑪
где 𝝆(𝑨,𝑩𝑪)- расстояние от точки А до прямой ВС
9 слайд

Алгоритм №2 — определение расстояния от точки А до плоскости (ВСD)
Метод объемов

Составить треугольную пирамиду, вершинами которой являются заданная точка А и три точки заданной плоскости (ВСD), т.е. пирамиду АВСD

2) Найти площадь S основания пирамиды- треугольника ВСD любым подходящим способом

3) Найти объем V составленной пирамиды АВСD, приняв за основание другую подходящую грань и проведенную к ней высоту (предварительно доказать утверждение высоты) по формуле

𝑽= 𝟏 𝟑 Sосн h

4)Найти расстояние от точки А до плоскости ВСD по формуле
ρ(A,BCD)= 𝟑𝑽 𝑺
где ρ(A,BCD)- расстояние от точки А до плоскости ВСD
16 слайд

Порешаем?
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от C1 до плоскости AB1C.
19 слайд

Источники задач

1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Многогранники: типы задач и методы их решения.
URL: http://alexlarin.net/ege/2013/C22013.html
2. Гордин Р. К. ЕГЭ 2019. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14
(профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. М.: МЦНМО, 2019
Ответы к задачам для самостоятельного решения
20 слайд

Итак, метод объёмов действительно позволяет решать некоторые типы стереометрических задач более рационально.

Такие решения более понятны, удобны и занимают меньше времени по сравнению с традиционными.

Данный метод рекомендуется для рассмотрения с целью подготовки учащихся к ЕГЭ, для решения задач олимпиадного уровня.
21 слайд

Спасибо за внимание!

Источник

Всего: 36 1–20 | 21–36

Добавить в вариант

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 28.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M  — середина ребра AA₁. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK  =  7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 17.

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём Точки P и Q  — середины сторон DA и DC соответственно.

а)  Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б)  Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 302 (C часть).

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM  =  CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q  — середины ребер DA и DC соответственно.

а)  Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б)  Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).

а)  Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б)  Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 303 (C часть).

В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC .

а)  Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.

б)  Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.

а)  Докажите, что объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.

б)  Найдите площадь этого сечения.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1, T  — середина ребра AD.

а)  Докажите, что объем пирамиды AA_1TB в 12 раз меньше объема куба.

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT, где T  — середина ребра AD.

Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.

а)  Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б)  Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ высота равна 1, а сторона основания равна Точка M  — середина ребра AA₁.

а)  Докажите, что пирамиды и ACDD_1 равновелики.

б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 2, а сторона основания AB = 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что каждая из плоскостей BDA₁ и B₁D₁С перпендикулярна прямой AC₁.

б)  Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA₁ и B₁D₁C, если известно, что отрезок диагонали AC₁, заключенный между этими плоскостями, имеет длину

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 154.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M  — центры граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.

а)  Докажите, что B₁KLM  — правильная пирамида.

б)  Найдите объём B₁KLM.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину A и середину M ребра BC проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины B до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а)  Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1 : 2, считая от точки B.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 15.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 285.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC₁ взята точка K так, что CK : KC₁  =  1 : 4, а на ребре A₁C₁ взята точка M так, что A₁M : MC₁  =  1 : 2.

А)  Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A₁B₁ призмы.

Б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.

а)  Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, а высота пирамиды совпадает с ребром SA. Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата ABCD равна 15.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 39.

Всего: 36 1–20 | 21–36

Источник

Авторы
Файлы
Ключевые слова
Литература

Ушаков Р.А.

1 МОУ «Архангельская СШ»

исследовательская

работа

математика

геометрия

метод объемов

1. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения.— М.: МЦНМО, 2006.—160 с.: ил.

2. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике [Электронный ресурс]. – Москва: ФИПИ, 2015 Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.

3. Интернет — ресурсы: http://coko29.info/; http://alexlarin.net/; http://www.ege.edu.ru/.

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ – 2018. Многогранники: типы задач и методы их решения (типовые задания С2) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http: alexlarin.net/, свободный.

5. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике [Электронный ресурс]. – Москва: ФИПИ, 2018 Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.

6. Яковлев И. В. Материалы по математике. Метод объёмов. [Электронный ресурс] http://mathus.ru/

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества теорем не просто. А ещё это связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательства тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур.

Особые затруднения вызывают стереометрические задачи, в которых требуется построить сечение многогранника плоскостью, найти площадь сечения, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранные углы между плоскостями. Перечисленные задания в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике составляют содержание задач уровня №14. Эта тема актуальна всем тем, кому предстоит сдавать профильный экзамен по математике. Согласно статистике, у большинства сдающих ЕГЭ по математике возникают трудности при решении стереометрических задач под №14. Материалом исследования послужили книга Э.Г. Готмана «Стереометрические задачи и методы их решения» и статья И.В. Яковлева «Метод объёмов».

В центре внимания исследовательской работы положен метод объёмов.

Объект исследования: стереометрические задачи, требующие нахождения расстояния между прямой и плоскостью; угла между прямой и плоскостью; угла между плоскостями; расстояния между скрещивающимися прямыми.

Предмет исследования: метод объёмов.

Гипотеза: метод объёмов в некоторых случаях позволяет получить результат, который при других способах решения получается гораздо сложнее.

Цель работы: изучение применения метода объёмов при решении стереометрических задач.

Задачи:

1. Проанализировать различные аспекты изучения данной темы. (Осуществить поиск и отбор информации о методе объёмов, изучить и доказать теоремы, позволяющие применять данный метод при решении стереометрических задач).

2. Проанализировать и выявить факты, подтверждающие возможность применение метода объёма при решении задач по математике на ЕГЭ.

3. Организовать сбор задач, из вариантов ЕГЭ по математике, при решении которых может применяться метод объёмов.

4. Научиться применять метод объёмов при решении стереометрических задач.

5. Оформить результаты исследования.

Результатом исследования должна стать презентация по теме, которая поможет выпускникам познакомиться с методом объёмов и покажет возможность применения этого метода для решения заданий №14 на ЕГЭ по математике и подборка задач из ЕГЭ по математике, при решении которых применялся метод объёмов. Подборка задач может быть применена и преподавателями математики в качестве раздаточного материала при подготовке к ЕГЭ.

Метод объёмов при решении стереометрических задач

При изучении литературы по теме «Решения стереометрических задач» можно встретить различную классификацию методов решений.

Существует три основных метода решения задач №14. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.

Объём треугольной пирамиды можно посчитать несколькими разными способами. Методом объёмов мы называем приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол). Метод объёмов можно использовать, вычисляя:

расстояние от точки до плоскости;
угол между прямой и плоскостью;
угол между плоскостями;
расстояние между скрещивающимися прямыми.

С идейной точки зрения метод объёмов весьма прост. Всё, что здесь нужно, — это найти подходящую треугольную пирамиду и аккуратно провести вычисления. Правда, вычислений обычно получается несколько больше, чем в методах, рассмотренных выше. Но тут уж ничего не поделаешь — за простоту метода приходится платить. [3,с.1]

1.1 Расстояние от точки до плоскости

Треугольная пирамида замечательна тем, что для вычисления её объёма, за основание можно выбрать любую её грань. Этот факт можно использовать при нахождении расстояния от точки до плоскости; нужно лишь представить искомое расстояние как высоту подходящей пирамиды. Рассмотрим пример. Дана треугольная пирамида ABCD (рис.1). Нужно найти расстояние от некоторой точки С до некоторой плоскости ABD. Тогда искомое расстояние – это высота d данной пирамиды, проведённой из вершины C.

Пусть S0 – площадь грани ABC, h – высота, опущенная на эту грань, S – площадь грани АВД. С одной стороны, объём пирамиды ABCD может быть найден по формуле:

(1)

С другой стороны, за основание можно принять грань ABD, и тогда

(2)

Приравниваем правые части формул (1) и (2), получаем:

(3)

Из соотношения (3) находим искомую величину d.Пример решения стереометрической задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости приведён в приложении № 2.Метод объёмов позволяет найти высоту без построения перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Освоив столь мощный метод нахождения расстояния от точки до плоскости, мы в качестве «дополнительной опции» немедленно получаем метод вычисления угла между прямой и плоскостью [7, с.3].

1.2 Угол между прямой и плоскостью

ABCDA1B1C1D1 (рис 2) известны рёбра: AB = 1, AD= , AA1 = . Найдите угол между прямой BB1 в прямоугольном параллелепипеде и плоскостью AB1C.

Искомый угол φ.

(4)

где BN – расстояние от точки В до плоскости АВ1С находим методом объёмов по формуле:

Далее подставляем полученный результат в формулу (4).

Ответ:

1.3 Угол между плоскостями

При вычислении угла между плоскостями может оказаться полезной следующая формула для объёма треугольной пирамиды:

(5)

Здесь S1 и S2 — площади двух граней пирамиды, a- общее ребро этих граней, — угол между плоскостями этих граней (рис 3).

Рассмотрим вывод формулы (5). Пусть S1 и S2 — площади треугольников ABC и ABD соответственно, a= AB, — угол между плоскостями ABC и ABD.

Из вершины D проведём высоту пирамиды h и высоту грани h_a грани ABD. Легко видеть, что . Тогда для объёма пирамиды имеем:

(6)

С другой стороны, запишем формулу для площади S2:

Откуда

Это выражение нужно подставить в (6):

Что и нужно было получить.

Рассмотрим решение задачи:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 1, , . Найдите угол между плоскостями AB1D1 и CB1D1. Решение. Делаем чертёж (рис. 4). Искомый угол Φ будем вычислять с помощью треугольной пирамиды AB1CD1.

Согласно формуле (5) имеем:

(7)

Объём тетраэдра AB1CD1 мы найдём, «отрезая» от исходного параллелепипеда четыре равнообъёмных «куска»:

Следовательно,

Теперь найдём площади граней AB1D1 и CB1D1. Имеем:

Таким образом, треугольники AB1D1 и CB1D1 имеют стороны 2,3 и .

Находим их площадь по формуле Герона. Получаем:

Подставляем найденные величины в формулу (7):

откуда

Ответ:

1.2 Расстояние между скрещивающимися прямыми

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми может помочь следующая формула для объёма тетраэдра:

(8)

Здесь a и b – скрещивающиеся рёбра тетраэдра, d и — соответственно расстояние, и угол между ними (точнее, между прямыми, содержащими эти рёбра).

Дадим вывод этой формулы.

На рисунке мы видим тетраэдр ABCD, достроенный до параллелепипеда AKBLMCND следующим образом: через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная ребру, скрещивающемуся с данным ребром. Покажем, что объём V тетраэдра ABCD равен одной третьи объёма V0 получившегося параллелепипеда.

Отрезаем от параллелепипеда четыре тетраэдра:

Все эти тетраэдры имеют одинаковый объём. В самом деле, если S и d – соответственно площадь основания и высота параллелепипеда, то

Тогда

Пусть a = AB, b = CD. Расстояние между прямыми, проходящими через рёбра a и b, являются расстоянием между параллельными плоскостями AKB и MCN, то есть высотой d нашего параллелепипеда. Угол между рёбрами a и b – это угол между прямыми AB и KL.

Для площади основания параллелепипеда имеем:

Находим объём параллелепипеда:

Объём тетраэдра ABCD меньше в три раза, тем самым, получаем нужную формулу (8).Применение данной формулы и метода объёмов рассмотрено на примере решения задачи «В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми A1B и B1C. Ребро куба равно 3.» представлено в приложении № 2.

Метод объёмов помог, не производя построений, найти расстояние между скрещивающими прямыми. Что значительно облегчает решение задачи.

Решение стереометрических задач из ЕГЭ по математике методом объемов

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.Задача №14. Стереометрия. Построение сечения. Нахождение каких-либо величин через заданные [6, с.2].

2.1. Характеристика стереометрических задач №14 из ЕГЭ по математике

В задаче 14 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно найти одну из следующих величин:

1. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя прямыми, которые пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым.

2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

3. Угол между двумя плоскостями — это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей. [6, с.5]

Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или внутри многогранника, а плоскости — тремя. Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняют процесс.

Именно поэтому задача 14 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимущества традиционного решения:

1. Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах;

2. При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Недостатки:

1. Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии;

2. Дополнительные построения каждый раз приходится придумывать «с нуля». И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.

Вот в таких трудных случаях, когда «метод построений» не даёт нужного результата, на помощь приходят два метода — это «векторно-координатным метод» и «методом объемов».

2.2. Решение задач №14 из ЕГЭ по математике

Покажем применение метода объёмов при решении стереометрических задач из ЕГЭ по математике.На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA =1: 2 , на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB =1:5 , а точка T — середина ребра B1C1 . Известно, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1

Доказательство приведено в приложении № 3.

Рассмотрим нахождение угла между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1. Обозначим искомый угол между плоскостями через . Рассмотрим треугольную пирамиду EFTC. Вычислим объём этой пирамиды двумя способами:

И уравняв правые части, выразим , получим формулу:

где h – высота пирамиды, опущенная из вершины E. Полное решение приведено в приложении № 3.

Вывод: при использовании метода объёмов получили много вычислений, но преимущество данного метода в отсутствии построения угла между плоскостями. На практике такое построение часто вызывает затруднения.

Заключение

В ходе исследования был изучен метод объёмов при решении стереометрических задач и сделан вывод: метод объёмов в некоторых случаях позволяет получить результат, который при других способах решения получается гораздо сложнее.

Таким образом, гипотеза подтвердилась.В заключение следует отметить, что выведенные, в ходе исследования, формулы

значительно обогатят багаж математических знаний, обучающихся 11 класса и расширят возможности в нахождении способов решения стереометрических задач, а по мнению Р.К. Гордина эти формулы входят в перечень основных знаний по стереометрии. [1, с. 23]

Задачи по стереометрии — прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие развитию творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

Приложение 1

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми A1B и B1C. Ребро куба равно 3.

Объём V данного тетраэдра легко найти, приняв за основание грань BCB1. Тогда:

С другой стороны, согласно формуле (8) имеем:

Здесь

угол между прямыми A1B и B1C равен 600, так что имеем:

Остаётся приравнять выражения для объёма и найти требуемое расстояние:

Приложение 2

Задача№14 из вариант МА10107 (профильный) Математика. 11 класс, ноябрь 2015 года.На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA =1: 2 , на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB =1:5 , а точка T — середина ребра B1C1 . Известно, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

Решение: a) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро AD1 или его продолжение точке G . Плоскость EFT проходит через точку G . Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1 , в котором FB1 = B1T =1. Отсюда EA1 = A1G = 2 , значит, точка G совпадает с точкой D1 .

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1

б) Обозначим искомый угол между плоскостями через . Рассмотрим треугольную пирамиду EFTC. Вычислим объём этой пирамиды двумя способами:

И уравняв правые части, выразим , получим формулу:

где h – высота пирамиды, опущенная из вершины E. FT находим из прямоугольного треугольника FB1T, а площадь треугольника EFT по формуле

Имеем:

Библиографическая ссылка

Ушаков Р.А. МЕТОД ОБЪЁМОВ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Старт в науке. – 2020. – № 1.
;

URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1833 (дата обращения: 13.03.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник

Решение задач по стереометрии методом объёма.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?