Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Спрятать решение
Решение.
Пусть акции проданы в конце года t за t2 тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит 
тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:
Найденная производная обращается в нуль в точке 
и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что
Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку
наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.
Ответ: в конце девятого года.
Примечание.
Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.
Приведём другое решение.
Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:
2-й год: 
3-й год: 
4-й год: 
5-й год: 
6-й год: 
7-й год: 
8-й год: 
9-й год: 
10-й год: 
Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й год меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств
получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.
Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение
Пусть (x
) — количество приборов, выпущенных на первом заводе, (y
) — количество приборов, выпущенных на втором заводе. Тогда (x+y=20) или выразим (y) имеем (y=20-x).
Запишем целевую функцию (4x^3+у3= 4x^3+(20-x)^3=4x^3+8000-1200x+60x-x^3=3x^3-1140x+8000).
Возьмем произодную от полученного выражения имеем (9x^2-1140=0).
Решим полученное уравнение (x^2=126).
Получаем, что на первом заводе следует выпустить 11 приборов. Соответственно, на втором заводе надо выпустить 9 приборов. Посчитаем наименьшую сумму, которую придется заплатить рабочим за неделю.
Имеем (1000*4*11^3+1000*9^3=1331000*4+729000=5324000+729000=6053000).
Ответ: 6053000.
Задача №3
Условие:
Зависимость количества Q (в шт., 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=20000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 <t <10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 6000Q — 4000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Решение
Запишем целевую функцию, прибыль фирмы, она равна PQ-6000Q- 4000000-tQ.
Подставим в нее значение Q=20000-P.
Имеем P(20000-P)-6000(20000-P)-4000000-t(20000-P)=20000P-P2-120000000-6000P-4000000-20000t+tP=-P2+14000P+tP-20000t-124000000=-P2+P(14000+t)-(20000t+124000000).
По условию задачи эта функция достигает максимума, найдем точку максимума, для этого возьмем производную, приравняем нулю и решим полученное уравнение.
Имеем -2Р+14000+t=0, откуда получаем значение P=7000+t/2.
Подставим полученное значение в целевую функцию, имеем -(7000+t/2)2+(7000+t/2)(14000+t)- 20000t+124000000) = 49000000 + 7000t + t2/4+98000000+7000t+7000t+t2/2=3t2/4+21000t+147000000.
Найдем точку максимума, т. е. возьмем производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение.
Имеем 1,5t+21000=0 или t=14000.
При этом значении сумма налогов полученных государством будет максимальна. Но у по условию задачи оно должно быть меньше 10000. Поэтому положим t=10000.
Ответ:10000.
Рассмотрим несколько задач с экономическим содержанием из открытого банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t (t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться в 1+r раз.
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце
двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для
этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких
положительных значениях r это возможно?
Решение. Разберемся внимательно с условием
задачи.
В конце первого
года ценные
бумаги стоят 12 тыс. руб,
В конце второго
года ценные
бумаги стоят 22 тыс. руб,
В конце третьего
года ценные
бумаги стоят 32 тыс. руб,
………………………….
В конце t —1 года
ценные
бумаги стоят (t —1)2 тыс. руб,
В конце t года ценные бумаги стоят t 2 тыс. руб.
Теперь поймем, во сколько раз
увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с предыдущим годом:
t 2/(t —1)2 =(t /(t —1))2=((t-1+1)/(t —1))2=(1+1/(t —1))2=1+2/(t —1)+1/(t —1)2.
Продавать ценные бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том
случае, когда в банке прирост r за год станет больше, чем 2/(t —1)+1/(t —1)2.
По условию задачи продавать ценные бумаги надо строго в конце 9 года, значит, за 9 год
прирост стоимости ценных бумаг ещё больше банковского прироста,
а в 10–м году уже нет. Получаем в конце 9 года:
2/(9 —1)+1/(9 —1)2> r или 2/8+1/64> r, 17/64>
r.
В конце 10 года:
2/(10 —1)+1/(10 —1)2< r или 2/9+1/81< r, 19/81<
r.
В итоге получаем двойное неравенство
19/81< r <17/64.
Ответ: 19/81< r
<17/64.
PS. Если
привести к общему знаменателю дроби в ответе, получим
1216/5184< r <1377/5184, среди
них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет
увеличиваться на 25%.
Задача 2. Пенсионный фонд владеет ценными
бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать
ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была
наибольшей?
Решение. Чем условие этой задачи отличается от
предыдущей? Здесь r =0,1, а
вот год, в конце которого надо продавать ценные бумаги не известен.
Воспользуемся выкладками из
предыдущей задачи. Продавать ценные бумаги
и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r за год станет больше, чем 2/(t —1)+1/(t —1)2. В нашем случае 2/(t —1)+1/(t —1)2<0,1.
Сделав замену переменных у=
t —1, получаем неравенство 2/у+1/у2<0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на
10у2, получаем у2–20у –10 >0.
Решаем неравенство методом
интервалов, корни уравнения у2–20у –10 =0 у1= 10 — Ö110 и у2= 10 + Ö110. С учетом
того, что у >0 получаем у >10 + Ö110.
Делаем обратную замену t -1 >10 + Ö110 или t >11+Ö110.
Поскольку t >21, то на 22
год деньги уже выгоднее держать в банке. Таким образом, продавать ценные бумаги
надо в конце 21 года.
Ответ: 21.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться в 1+r раз.
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце
двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что
для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года.
При каких положительных значениях r это
возможно?
2. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (
t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать
ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была
наибольшей?
Подготовка к ЕГЭ по математике. Экономическая задача про пенсионный фонд.
Описание видеоурока:
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t^2 тыс. рублей в конце года t (t=1;2;…). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в (1+r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Выбор видеоурока
Подготовка к ЕГЭ
Подготовка к ОГЭ
© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены 