Permutations python егэ

Задание номер 8 — задание базового уровня сложности, выполнение которого предполагает знание о методах измерения количества информации и не требует использования специального ПО.

Зачастую в номере 8 мы можем встретить задания связанные с комбинаторикой — перестановками, количеством вариантов выборки и т.д. Для решения заданий такого типа можно приспособить модуль itertools языка python.

Сразу оговорюсь, что я не рекомендую решать задание именно таким способом. Я советую проверять свой ответ, полученный ручным решением. Написанная программа не должна быть единственным вариантом решения.

Модуль itertools доступен в питоне «из коробки», т.е. его нет необходимости устанавливать дополнительно. А значит, он будет доступен на экзамене.

Ссылка на документацию по модулю https://docs.python.org/3/library/itertools.html

Использованные в данной статье методы и функции доступны как минимум с версии питона 3.6

Для импорта необходимых функции необходимо их импортировать из модуля

from itertools import product, permutations

1. product

Позволяет получить прямое, или декартово произведеение двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

a = ‘AB’

b = ‘CD’

print(*product(a, b))

(‘A’, ‘C’) (‘A’, ‘D’) (‘B’, ‘C’) (‘B’, ‘D’)

Получение произведения двух множеств не очень актуально в 8 задании, но мы можем использовать другую возможность функции product: получение всевозможных комбинаций определенной длины для одного множества.

a = ‘AB’

print(*product(a, repeat=3))

(‘A’, ‘A’, ‘A’) (‘A’, ‘A’, ‘B’) (‘A’, ‘B’, ‘A’) (‘A’, ‘B’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘A’) (‘B’, ‘A’, ‘B’) (‘B’, ‘B’, ‘A’) (‘B’, ‘B’, ‘B’)

Мы получили всевозможные комбинации длины 3 для набора из двух букв АВ. Причем результат работы функции — набор кортежей.

Параметр repeat отвечает за длину слова.

Из полученных наборов мы можем выбрать подходящие для нас. Например, так можно решить задание из демоверсии 2021.

Длина слова здесь 3, а набор букв — ШКОЛА. Получим всевозможные комбинации:

a = ‘ШКОЛА’

comb = product(a, repeat=3))

Осталось выбрать те, где буква К встречается ровно 1 раз.

Поскольку подсчет количества вхождений в кортеж организовать сложнее, чем в строке, здесь элементы кортежа «склеиваются» по пустой строке, образуя тем самым не кортеж, а строку. Метод count подсчитывает количество вхождений подстроки ‘K’.

Этот же код можно оформить в одну строку через списочное выражение

print(len([item for item in product(‘ШКОЛА’, repeat=3) if ”.join(item).count(‘К’) == 1]))

2. permutations

Позволяет получить всевозможные перестановки.

print(*permutations(‘ABC’))

(‘A’, ‘B’, ‘C’) (‘A’, ‘C’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’, ‘A’) (‘C’, ‘A’, ‘B’) (‘C’, ‘B’, ‘A’)

Это опять набор кортежей.

Рассмотрим такое задание с сайта kpolyakov.spb.ru

Получаем перестановки

a = ‘КАПКАН’

comb = permutations(a)

И отбираем нужные варианты

Поскольку в слове КАПКАН есть повторяющиеся буквы А и К, мы должны поделить итоговое количество на 4 (дважды поделить на 2), поскольку с нашей точки зрения эти комбинации неотличимы друг от друга.

Другой способ убрать повторяющиеся комбинации — превратить набор перестановок в множество, которое в питоне исключает повторы

Так-же можно написать решение в одну строку

print(len([i for i in set(permutations(‘КАПКАН’)) if all(i[j] != i[j + 1] for j in range(5))]))

Подведем итог. Задачи на составление слов путем выбора букв из набора или путем перестановки букв в слове можно решить с использованием модуля itertools. Написание кода не займет много времени, зато будет уверенность в ручном решении.

Учитель информатики высшей
категории Жевтило Ирина Аскольдовна

МБОУ «Лицей «Дубна»

Использование
библиотеки itertools при решении задач ЕГЭ по информатике

В встроенном в Python модуле itertools существует
ряд комбинаторных функций. Рассмотрим некоторые из них:

· product() –
прямое произведение одного или нескольких итераторов.

· permutations() –
перестановки и размещения элементов множества.

Данная библиотека позволяет
решать задачи с комбинаторикой, упрощая программу решения.

Вызов модуля itertools:

from itertools import *

Данный модуль можно
использовать для решения задач №8 ЕГЭ по информатике.

Примеры заданий и способы
использования данного модуля.

Пример 1. МАРИНА из букв своего имени составляет слова перестановкой
исходных букв. Сколько различных слов может составить МАРИНА, если первая буква
не может быть гласной?

Аналитический способ решения

Общее количество слов с
учетом, что в слове две буквы «А» (перестановка этих букв не дает нового слова)

Вычтем количество слов,
начинающихся с гласной с учетом 2 букв «А»:

Получаем =180 слов

Итого: 360 – 180 = 180

Программа для решения данной
задачи:

from itertools import *

a=’МАРИНА‘

k=0

for i in set(permutations(a)):

    s=».join(i)

    if s[0] not in ‘АИ‘:

        k+=1

print(k)

В программе
используем

1)    функцию: 
permutations(a), т.к. слова составляются
перестановкой букв;

2)   
используем множества (set), чтобы слова не повторялись;

3)    в условии проверяем отсутствие гласных  в начале слова.

Пример 2. Используем функцию product

Миша составляет
5-буквенные коды из букв К, А, Л, Ь, К, А. Каждая допустимая гласная буква
может входить в код не более одного раза. Сколько кодов может составить Миша?

Аналитический способ решения

Количество слов без «А»

3*3*3*3*3= 3⁵ =243

Количество слов с одной  «А»

5 вариантов *3*3*3*3 = 405

Итого: 243 + 405 = 648

Программа для решения данной
задачи:

from itertools import*

a=’КАЛЬ’

k=0

for i in product(a, repeat=5):

    s=».join(i)

    if s.count(‘А’)<=1 :

        k+=1                               

print (k)

В программе
используем

1)    функцию
product (a, repeat=5):
, т.к. буквы в слове могут повторяться;

2)    в условии проверяем количество гласных  не более 1.

Использование модуля itertools в Python при решении задач на уроках информатики по теме «Комбинаторика».

Очень часто на уроках информатики встречаются задачи перебора различных вариантов последовательностей, состоящих из букв или цифр. Данный класс задач встречается и в Компьютерном ЕГЭ. С 2022 года формат сдачи ЕГЭ изменился и теперь для решения задач можно использовать программные средства и языки программирования. Мы рассмотрим эту возможность решения на языке Python

Перестановки и комбинации набора элементов в Python – это различные расположения элементов набора:

Комбинация – это набор элементов, порядок которых не имеет значения.

Перестановка – это расположение набора, в котором порядок имеет значение.

Рассмотрим набор как:{A, B, C}

Перестановки вышеуказанного набора следующие:

 (‘A’, ‘B’, ‘C’) (‘A’, ‘C’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’, ‘A’) (‘C’, ‘A’, ‘B’) (‘C’, ‘B’, ‘A’)

Комбинации вышеуказанного набора, когда два элемента взяты вместе, следующие:

 (‘A’, ‘B’) (‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’)

В этом руководстве мы узнаем, как получить перестановки и комбинации группы элементов в Python. Мы рассмотрим наборы символов и цифр. Мы будем использовать методы combinations() и permutations() в модуле itertools.
Перестановки числовых данных. 

Чтобы использовать метод permutations() в модуле itertools, нам сначала нужно импортировать модуль.

from itertools import *

Теперь давайте определим набор чисел.

val = [1, 2, 3, 4]

Теперь, чтобы получить список перестановок, воспользуемся методом permutations().

perm_set = permutations(val)

Строка кода выше дает объект itertools.

Чтобы напечатать различные перестановки, мы будем перебирать этот объект.

 for i in perm_set:

      print( i,)

Мы получаем результат как кортежи четырех чисел:

(1, 2, 3, 4)-(1, 2, 4, 3)-(1, 3, 2, 4)-(1, 3, 4, 2)-(1, 4, 2, 3)-(1, 4, 3, 2)-(2, 1, 3, 4)-(2, 1, 4, 3)-(2, 3, 1, 4)-(2, 3, 4, 1)-(2, 4, 1, 3)-(2, 4, 3, 1)-(3, 1, 2, 4)-(3, 1, 4, 2)-(3, 2, 1, 4)-(3, 2, 4, 1)-(3, 4, 1, 2)-(3, 4, 2, 1)-(4, 1, 2, 3)-(4, 1, 3, 2)-(4, 2, 1, 3)-(4, 2, 3, 1)-(4, 3, 1, 2)-(4, 3, 2, 1)-

Полный код этого раздела приведен ниже:

from itertools import *

val = [1, 2, 3, 4]

perm_set = permutations(val)

for i in perm_set:

    print(I, end=’-‘)

Перестановки строки  

Далее мы узнаем, как получить перестановки символов в строке. Мы будем использовать метод permutations(), но на этот раз мы передадим строку в качестве аргумента.
from itertools import *

s = «ABC»

perm_set = permutations(s)

for val in perm_set:

      print(val)

Вывод : (‘A’, ‘B’, ‘C’) (‘A’, ‘C’, ‘B’) (‘B’, ‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’, ‘A’) (‘C’, ‘A’, ‘B’) (‘C’, ‘B’, ‘A’)

Перестановки фиксированной длины

Мы можем найти перестановки набора, в котором мы берем только указанное количество элементов в каждой перестановке.

Код для поиска перестановок фиксированной длины приведен ниже:

from itertools import *

val = [1, 2, 3, 4]

perm_set = permutations(val,2)

for i in perm_set:

     print(i)

Вывод : (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3)

Комбинации числовых данных.

Так же, как метод permutations(), мы можем использовать combinations() для получения комбинаций набора. При вызове combinations() нам нужно передать два аргумента: набор для поиска комбинаций и число, обозначающее длину каждой комбинации.

from itertools import *

val = [1, 2, 3, 4]

com_set = combinations(val, 2)

for i in com_set: print(i)

Вывод : (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4)

Комбинации строки

Мы также можем получить комбинации строки.

from itertools import *

s = «ABC»

com_set = itertools.combinations(s, 2)

for i in com_set: print(i)

Вывод : (‘A’, ‘B’) (‘A’, ‘C’) (‘B’, ‘C’)

Комбинации с заменами

В модуле itertools есть еще один метод, который называется комбинациями with_replacement(). Этот метод также учитывает комбинацию числа с самим собой. Посмотрим, как это работает.

Для числового набора

from itertools import *

val = [1, 2, 3, 4]

com_set = itertools.combinations_with_replacement(val, 2)

for i in com_set:

print(i)

Вывод : (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 3) (3, 4) (4, 4)

Вы можете видеть разницу в выводе выше и выводе для работы нормальной комбинации. Здесь у нас есть такие комбинации, как (1,1) и (2,2), которых нет в обычных комбинациях.

Для строки

from itertools import *

val = «ABCD»

com_set = combinations_with_replacement(val, 2)

 for i in com_set:

       print(i)

Вывод : (‘A’, ‘A’) (‘A’, ‘B’) (‘A’, ‘C’) (‘A’, ‘D’) (‘B’, ‘B’) (‘B’, ‘C’) (‘B’, ‘D’) (‘C’, ‘C’) (‘C’, ‘D’) (‘D’, ‘D’)

Пример 1

Петя составляет семибуквенные слова перестановкой букв слова ТРАТАТА. Сколько всего различных слов может составить Петя?

from itertools import *

val = ‘ТРАТАТА’

com_set = list(set(permutations(val)))

print(len(com_set))

Так как  в слове ТРАТАТА есть повторяющие буквы Т и А. Создаем множество set в котором убираем одинаковые элементы созданные одинаковыми буквами.

Пример 2

Юрий составляет 4-буквенные слова из букв П, Р, И, К, А, З. Каждую букву можно использовать не более одного раза, при этом в слове нельзя использовать более одной гласной. Сколько различных кодов может составить Юрий?

from itertools import *

val = ‘ПРИКАЗ’

com_set = permutations(val, 4)

count = 0

for x in com_set:

    if ‘И’ not in x and ‘А’ in x or ‘А’ not in x and ‘И’ in x or ‘И’ not in x and ‘А’ not in x:

        count += 1

print(count)

Пример 3

Георгий составляет коды из букв своего имени. Код должен состоять из 7 букв, и каждая буква в нём должна встречаться столько же раз, сколько в имени Георгий. Кроме того, одинаковые буквы в коде не должны стоять рядом. Сколько кодов может составить Георгий?

from itertools import *

k = 0

for x in set(permutations(‘ГЕОРГИЙ’)):

    s = ».join(x)

    if ‘ГГ’ not in s:

        k += 1

print(k)

Документация

Библиотека работает в Python 3.6+

Немного терминологии

Модуль — это файл с расширением .py, находящийся в библиотеке.

Например, модуль constants — это файл constants.py.

Модуль decorators

1. Декоратор cache

Для чего: мемоизация работы функции.

Пример использования:

from infEGE import cache

@cache
def fib(n):
    if n in {0,1}:
        return 1
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)

fib(50)

Если убрать @cache, то вычисляться будет очень долго.

Модуль constants

Для чего: константы для использования в алгоритмах.

Содержимое:

E = 2.718281828459045
PI = 3.141592653589793
maxValue = float('inf')
minValue = float('-inf')

Модуль algebra_logic

1. Функция print_true_table

Синтаксис: print_true_table(variables: str, expretion: str, value: Union[int, bool, ‘all’] = ‘all’) -> None

Для чего:

Вывод таблицы истинности лог.функции expretion от переменных variables.

Если value='all', выводятся все строки таблицы;

Если value=1 или True, выводятся строки таблицы, где функция истинна;

Если value=0 или False, выводятся строки таблицы, где функция ложна.

В качестве лог.операций можно использовать обычные операции Python
или такие эквиваленты:
{"&": " and ", "|": " or ", "~": " not ", "->": "<="}.

Пример использования #1:

from infEGE import print_true_table

print_true_table("xy", "x->y", 1)

Вывод:

xy F
00 1
01 1
11 1

Внимание: в Python приоритет <= выше, чем and, or, not! Ставьте скобки!

Пример использования #2:

from infEGE import print_true_table

print_true_table("xy", "x&(y|x)|y", 0)

Вывод:

xy F
00 0

Пример использования #3:

from infEGE import print_true_table

print_true_table("xzy", "x or z and (y or not x)")

Вывод:

xzy F
000 0
001 0
010 1
011 1
100 1
101 1
110 1
111 1

Модуль combinatorics

1. Функция permutation_with_repeat

Синтаксис: permutation_with_repeat(seq: Union[list, tuple, str], repeat: int = 1)

Для чего:

Возвращает перестановки элкементов итерируемого
обьекта seq с repeat повторениями.

Пример использования:

from infEGE import permutation_with_repeat

for el in permutation_with_repeat('123', 2):
    print(el)

Вывод:

('1', '1')
('1', '2')
('1', '3')
('2', '1')
('2', '2')
('2', '3')
('3', '1')
('3', '2')
('3', '3')

2. Функция permutations

Синтаксис: permutations(seq: Union[list, tuple, str]):

Для чего:

Возвращает перестановки элкементов итерируемого объекта seq.

Пример использования:

from infEGE import permutations

for el in permutations('abc'):
    print(el)

Вывод:

abc
acb
bac
bca
cab
cba

Модуль lists_and_other

1. Функция prod

Синтаксис: prod(seq: Union[list, tuple, set]) -> Union[int, float]

Для чего:

Возввращает произведение элементов итерируемого объекта seq.

Пример использования:

from infEGE import prod

print(prod([5, 8, 6, 100, 54]))

Вывод:

1296000

Модуль string

1. Функция replacing

Синтаксис: replacing(string: str, substring: str, new_string: str, mode: str = ‘обычно’, cnt: Union[int, str] = ‘all’) -> str

Для чего:

Возвращает строку string с заменённой подстрокой
substring на  подстроку new_string в количестве cnt.

Режим "обычно":
                замена стандартным replace

Режим "целиком":
                замена подстроки substring если она не
                является частью большей подстроки.

Пример использования #1:

from infEGE import replacing

print(replacing("Питон плохой тон", "тон", "нот"))

Вывод:

Пинот плохой нот

Пример использования #2:

from infEGE import replacing

print(replacing("Питон плохой тон", "тон", "нот", cnt=1))

Вывод:

Пинот плохой тон

Пример использования #3:

from infEGE import replacing

print(replacing("Питон плохой тон", "тон", "нот", "целиком"))

Вывод:

Питон плохой нот

2. Функция index_n

Синтаксис: index_n(string: str, substring: str, n: int = 1) -> int

Для чего:

Возвращает индекс n-го вхождения СЛЕВА подстроки
substring в строку string. Если такого вхождения
нет, возвращается -1000.

Пример использования #1:

from infEGE import index_n

print(index_n("01230123", "1"))

Вывод:

1

Пример использования #2:

from infEGE import index_n

print(index_n("01230123", "1", 2))

Вывод:

5

Пример использования #3:

from infEGE import index_n

print(index_n("01230123", "1", 3))

Вывод:

-1000

3. Функция is_number

Синтаксис: is_number(n: str) -> bool

Для чего:

Проверяет является ли строка n числом.
Если да возвращается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import is_number

print(is_number("23"))

Вывод:

True

Пример использования #2:

from infEGE import is_number

print(is_number("2n3"))

Вывод:

False

Модуль system_count

1. Функция to_base

Синтаксис: to_base(number: Union[int, str], old_base: int = 10, new_base: int = 10) -> Union[int, str]

Для чего:

Переводит число number с основанием old_base в число
с основанием new_base.

Пример использования #1:

from infEGE import to_base

print(to_base(5, new_base=2))

Вывод:

101

Пример использования #2:

from infEGE import to_base

print(to_base(15, new_base=16))

Вывод:

F

Пример использования #3:

from infEGE import to_base

print(to_base("FA32", old_base=17, new_base=10))

Вывод:

76638

Пример использования #4:

from infEGE import to_base

print(to_base("FA32", old_base=17, new_base=6))

Вывод:

1350450

Модуль mathematics

1. Функция is_prime

Синтаксис: is_prime(n: int) -> bool

Для чего:

Если n - простое, то возващается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import is_prime

print(is_prime(5))

Вывод:

True

Пример использования #2:

from infEGE import is_prime

print(is_prime(25))

Вывод:

False

Пример использования #3:

from infEGE import is_prime

print(is_prime(1))

Вывод:

False

2. Функция is_even

Синтаксис: is_even(n: int) -> bool

Для чего:

Если n - чётно, то возващается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import is_even

print(is_even(12))

Вывод:

True

Пример использования #2:

from infEGE import is_even

print(is_even(25))

Вывод:

False

3. Функция is_odd

Синтаксис: is_odd(n: int) -> bool

Для чего:

Если n - нечётно, то возващается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import is_odd

print(is_odd(12))

Вывод:

False

Пример использования #2:

from infEGE import is_odd

print(is_odd(25))

Вывод:

True

4. Функция divided

Синтаксис: divided(n: int, d: int) -> bool

Для чего:

Если n нацело делится на d, то возвращается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import divided

print(divided(12, 5))

Вывод:

False

Пример использования #2:

from infEGE import divided

print(divided(121, 11))

Вывод:

True

5. Функция not_divisible

Синтаксис: not_divisible(n: int, d: int) -> bool

Для чего:

Если n не делится нацело на d, то возвращается True, иначе - False.

Пример использования #1:

from infEGE import not_divisible

print(not_divisible(12, 5))

Вывод:

True

Пример использования #2:

from infEGE import not_divisible

print(not_divisible(121, 11))

Вывод:

False

6. Функция factorial

Синтаксис: factorial(n: int) -> int

Для чего:

Возвращает n! (0! = 1)

Пример использования:

from infEGE import factorial

print(factorial(6))

Вывод:

720

7. Функция factorize

Синтаксис: factorize(number: int) -> list

Для чего:

Возвращает разложение числа number на простые множители в list.

Пример использования #1:

from infEGE import factorize

print(factorize(1))

Вывод:

[]

Пример использования #2:

from infEGE import factorize

print(factorize(11))

Вывод:

[11]

Пример использования #3:

from infEGE import factorize

print(factorize(55))

Вывод:

[5, 11]

8. Функция divisors

Синтаксис: divisors(n: int) -> list

Для чего:

Возвращает все натуральные делители числа n на интервале (1; n).

Пример использования #1:

from infEGE import divisors

print(divisors(1))

Вывод:

[]

Пример использования #2:

from infEGE import divisors

print(divisors(720))

Вывод:

[2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360]

9. Функция fib

Синтаксис: fib(n: int) -> int

Для чего:

Возвращает n-ый член последовательности Фибоначчи. Нумерация с 0.

Пример использования #1:

from infEGE import fib

print(fib(0))

Вывод:

0

Пример использования #2:

from infEGE import fib

print(fib(1))

Вывод:

1

Пример использования #3:

from infEGE import fib

print(fib(2))

Вывод:

1

Пример использования #4:

from infEGE import fib

print(fib(3))

Вывод:

2

Пример использования #5:

from infEGE import fib

print(fib(2001))

Вывод:

6835702259575806647045396549170580107055408029365524565407553367798082454408054014954534318953113802726603726769523447478238192192714526677939943338306101405105414819705664090901813637296453767095528104868264704914433529355579148731044685634135487735897954629842516947101494253575869699893400976539545740214819819151952085089538422954565146720383752121972115725761141759114990448978941370030912401573418221496592822626

Примечание: Данный алгоритм работает быстрее рекурсивного! Асимптоматика: O(N)

В этом руководстве мы узнаем, как осуществить перестановку и комбинацию заданных данных с помощью Python. Мы будем использовать встроенный пакет Python для поиска перестановки и комбинации заданного числа.

Перестановка и комбинация в Python – важная часть математики. Python предоставляет библиотеку itertools, которая имеет встроенные функции для вычисления перестановок и комбинаций.

Импорт необходимой библиотеки

Чтобы вычислить перестановку и комбинацию, нам нужно импортировать библиотеку itertools. Мы можем сделать это, используя следующую команду.

 
import itertools 

Вышеупомянутый оператор импортирует библиотеку itertools и определит путь к ее функции.

Теперь нам нужно создать список последовательности в качестве входных данных. Этот список ввода вернет кортеж, состоящий из перестановок и комбинаций. Мы также можем установить длину перестановки и комбинации.

Перестановка в  Python – это расположение множества, в котором порядок имеет значение. Модуль Python itertools предоставляет встроенный метод permutation() для поиска перестановки. Давайте разберемся в следующем примере.

 
from itertools import permutations 
seq = permutations(['1','2','3']) 
print(seq) 
for p in list(seq): 
   print(p) 

Выход:

 ('1', '2', '3') ('1', '3', '2') ('2', '1', '3') ('2', '3', '1') ('3', '1', '2') ('3', '2', '1') 

В приведенном выше коде мы импортировали модуль itertools. Мы вызвали метод permutation(), который принимает строку в качестве аргумента и предоставляет объект itertools. Для получения каждой перестановки необходимо использовать цикл for.

Возьмем два набора перестановок.

Пример 1.

 
from itertools import permutations 
seq = permutations(['A','B']) 
for p in list(seq): 
   print(p) 

Выход:

('A', 'B') ('A', 'C') ('B', 'C') 

Пример 2.

 
from itertools import permutations 
list1 = [1, 2, 3, 4] 
seq = permutations(list1) 
print(seq) 
for p in list(seq): 
   print(p) 

Выход:

(1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) (1, 3, 2, 4) (1, 3, 4, 2) (1, 4, 2, 3) (1, 4, 3, 2) (2, 1, 3, 4) (2, 1, 4, 3) (2, 3, 1, 4) (2, 3, 4, 1) (2, 4, 1, 3) (2, 4, 3, 1) (3, 1, 2, 4) (3, 1, 4, 2) (3, 2, 1, 4) (3, 2, 4, 1) (3, 4, 1, 2) (3, 4, 2, 1) (4, 1, 2, 3) (4, 1, 3, 2) (4, 2, 1, 3) (4, 2, 3, 1) (4, 3, 1, 2) (4, 3, 2, 1) 

В приведенном выше коде мы получили комбинацию нескольких целых чисел.

Перестановка фиксированной длины

Мы можем вычислить перестановку набора фиксированной длины, где мы берем только указанное количество перестановок каждого элемента.

Пример –

 
from itertools import permutations 
seq = permutations(['H', 'e', 'l', 'l', 'o'], 3) 
for p in list(seq): 
   print(p) 

Выход:

('H', 'e') ('H', 'l') ('H', 'l') ('H', 'o') ('e', 'H') ('e', 'l') ('e', 'l') ('e', 'o') ('l', 'H') ('l', 'e') ('l', 'l') ('l', 'o') ('l', 'H') ('l', 'e') ('l', 'l') ('l', 'o') ('o', 'H') ('o', 'e') ('o', 'l') ('o', 'l') 

В приведенном выше коде мы вычислили фиксированную перестановку.

Что такое комбинация строки?

Комбинация в Python – это набор элементов, порядок которых не имеет значения. Модуль Python itertools предоставляет метод combination() для вычисления комбинации заданных данных. Мы можем вычислить комбинацию строки. Давайте разберемся в следующем примере.

Пример –

 
import itertools 
   
seq = "ABC" 
   
com_seq = itertools.combinations(seq, 2) 
   
for c in com_seq: 
    print(c) 

Выход:

('A', 'B') ('A', 'C') ('B', 'C') 

Комбинация с заменой

Модуль itertools состоит из другого метода, называемого combination_with_replacement(), который также учитывает комбинацию самого числа. Давайте разберемся с его примером.

 
from itertools import combinations_with_replacement 
 
com = combinations_with_replacement(['J', 'a', 'v', 'a', 't', 'p', 'o', 'i', 'n', 't'], 2) 
#Print the list of combinations 
 
for c in list(com): 
   print(c) 

Выход:

('J', 'J') ('J', 'a') ('J', 'v') ('J', 'a') ('J', 't') ('J', 'p') 
('J', 'o') ('J', 'i') ('J', 'n') ('J', 't') ('a', 'a') ('a', 'v') ('a', 'a') ('a', 't') ('a', 'p') ('a', 'o') ('a', 'i') ('a', 'n') ('a', 't') ('v', 'v') ('v', 'a') ('v', 't') ('v', 'p') ('v', 'o') ('v', 'i') ('v', 'n') ('v', 't') ('a', 'a') ('a', 't') ('a', 'p') ('a', 'o') ('a', 'i') ('a', 'n') ('a', 't') ('t', 't') ('t', 'p') ('t', 'o') ('t', 'i') ('t', 'n') ('t', 't') ('p', 'p') ('p', 'o') ('p', 'i') ('p', 'n') ('p', 't') ('o', 'o') ('o', 'i') ('o', 'n') ('o', 't') ('i', 'i') ('i', 'n') ('i', 't') ('n', 'n') ('n', 't') ('t', 't') 

Комбинация числового набора

Если данный ввод находится в отсортированном порядке, комбинированные кортежи будут возвращены в отсортированном порядке. Давайте разберем на примере.

 
import itertools 
v = [1, 2, 3, 4] 
   
com_seq = itertools.combinations_with_replacement(v, 3) 
   
for i in com_seq: 
    print(i) 

Выход:

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 3) (1, 1, 4) (1, 2, 2) (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 4) (2, 2, 2) (2, 2, 3) (2, 2, 4) (2, 3, 3) (2, 3, 4) (2, 4, 4) (3, 3, 3) (3, 3, 4) (3, 4, 4) (4, 4, 4) 

В этом руководстве мы обсудили модуль itertools для поиска перестановки и комбинации заданных данных с помощью скрипта Python.

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучают, сколько комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов. Короче, это все о сочетаниях, перестановках, числе способов и тому подобному.

Почему важна комбинаторика? Нет, не только лишь для решения олимпиадных задач, но также комбинаторика – один из столпов теории вероятностей, которая в свою очередь служит фундаментом для машинного обучения – одно из мощнейших трендов в ПО начале 21-го века!

В встроенном в Python модуле itertools существует ряд комбинаторных функций. Это:

• product() – прямое (Декартово) произведение одного или нескольких итераторов.
• permutations() – перестановки и размещения элементов множества.
• combinations() – уникальные комбинации из элементов множества.
• combinations_with_replacement() – комбинации с замещением (повторами, возвратами).

О каждой из них расскажу подробно. Для начала импортируем все нужные функции из модуля:

from itertools import *

Прямое произведение

Прямое, или декартово произведение двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств. Проще говоря мы берем из первого множества один элемент, а потом из второго выбираем элемент и составляем их в кортеж. Так вот все способы выбрать так элементы – составят декартово произведение. Пример:

>>> A = [1, 2, 3]
>>> B = "123"
>>> print(*product(A, B))
(1, 'a') (1, 'b') (1, 'c') (2, 'a') (2, 'b') (2, 'c') (3, 'a') (3, 'b') (3, 'c')

Примечания. Во-первых, заметьте, что элементы следуют в строгом лексографическом порядке: сначала берется нулевой элемент из первой последовательности и сочетается с каждым по очереди из второй последовательности. Во-вторых, аргументами функции могут быть любые итерируемые объекты конечной длины. Я взял для примера список и строку, причем строка автоматически разбивается на символы.

В коде произведение множеств эквивалентно вложенным циклам:

>>> print(*[(a, b) for a in A for b in B])
(1, '1') (1, '2') (1, '3') (2, '1') (2, '2') (2, '3') (3, '1') (3, '2') (3, '3')

Результат такой же, но рекомендую использовать именно библиотечную функцию, так как ее реализация, наверняка, будет лучше.

Вы можете передать в функцию больше последовательностей:

>>> print(*product([1, 2, 3]))
(1,) (2,) (3,)

>>> print(*product([1, 2, 3], [10, 20, 30]))
(1, 10) (1, 20) (1, 30) (2, 10) (2, 20) (2, 30) (3, 10) (3, 20) (3, 30)

>>> print(*product([1, 2, 3], [10, 20, 30], [100, 200, 300]))
(1, 10, 100) (1, 10, 200) (1, 10, 300) (1, 20, 100) (1, 20, 200) (1, 20, 300) (1, 30, 100) (1, 30, 200) (1, 30, 300) (2, 10, 100) (2, 10, 200) (2, 10, 300) (2, 20, 100) (2, 20, 200) (2, 20, 300) (2, 30, 100) (2, 30, 200) (2, 30, 300) (3, 10, 100) (3, 10, 200) (3, 10, 300) (3, 20, 100) (3, 20, 200) (3, 20, 300) (3, 30, 100) (3, 30, 200) (3, 30, 300)

Каждый выходной элемент будет кортежем (даже в случае, если в нем только один элемент!). Также обратите внимание на то, что функция product (как и все остальные из сегодняшнего набора) возвращает не список, а особый ленивый объект. Чтобы получить все элементы, нужно преобразовать его в список функцией list:

>>> product([1, 2, 3], 'abc')
<itertools.product object at 0x101aef8c0>

>>> list(product([1, 2, 3], 'abc'))
[(1, 'a'), (1, 'b'), (1, 'c'), (2, 'a'), (2, 'b'), (2, 'c'), (3, 'a'), (3, 'b'), (3, 'c')]

Количество элементов на выходе будет произведением длин всех последовательностей на входе:

В функцию product можно передать именованный параметр repeat, который указывает сколько раз повторять цепочку вложенных циклов (по умолчанию один раз). Если repeat >= 2, то это называют декартовой степенью. То есть множество умножается на себя несколько раз. Так при repeat=2 эквивалентным кодом будет:

>>> [(a, b, a1, b1) for a in A for b in B for a1 in A for b1 in B] == list(product(A, B, repeat=2))
True

В таком случае количество элементов в результате будет вычисляться по схожей формуле с учетом того, что каждый множитель будет в степени repeat:

Перестановки

Функция permutations возвращает последовательные перестановки элементов входного множества. Первый элемент – будет исходным множеством. Второй – результат перестановки какой-то пары элементов и так далее, пока не будут перебраны все уникальные комбинации. Уникальность здесь рассматривается по позициям элементов в исходной последовательности, а не по и их значению, то есть элементы между собой алгоритмом не сравниваются. Важны только их индексы.

Число объектов остается неизменными, меняется только их порядок.

>>> print(*permutations("ABC"))
('A', 'B', 'C') ('A', 'C', 'B') ('B', 'A', 'C') ('B', 'C', 'A') ('C', 'A', 'B') ('C', 'B', 'A')

Второй параметр r отвечает за количество элементов в перестановках. По умолчанию будут выданы полные перестановки (длиной, равной длине n исходной последовательности), никакие элементы исходного множества не будут выброшены, а просто переставлены местами. Если задать 0 <= r <= n, в каждой выборке будет содержаться по r элементов. Иными словами из n входных элементов будем выбирать r объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по r.

Например размещения для двух элементов из коллекции из трех элементов:

>>> print(*permutations("ABC", 2))
('A', 'B') ('A', 'C') ('B', 'A') ('B', 'C') ('C', 'A') ('C', 'B')

# 2 из 4
>>> print(*permutations([1, 2, 3, 4], 2))
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3)

Количество вариантов получится по формуле (n – длина исходной последовательности):

При r > n будет пустое множество, потому что невозможно из более короткой последовательности выбрать более длинную. Максимальное число вариантов – для полной перестановки равняется n! (факториал).

Размещения выглядят так. Сначала выбрали по 2 элемента из 3, а потом переставили их внутри групп всеми способами. Итого 6 вариантов:

Сочетания

combinations – функция, коротая выбирает все сочетания из входной последовательности. Пусть в ней имеется n различных объектов. Будем выбирать из них r объектов всевозможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по r, а их число равно:

Разница сочетаний и перестановок в том, что для сочетаний нам не важен порядок, а для перестановок он важен. Пример:

>>> print(*permutations([1, 2, 3], 2))
(1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 3) (3, 1) (3, 2)

>>> print(*combinations([1, 2, 3], 2))
(1, 2) (1, 3) (2, 3)

(1, 2) и (2, 1) – разные перестановки, но с точки зрения сочетаний – это одно и тоже, поэтому в combinations входит только один вариант из двух.

Второй параметр r – обязателен для этой функции. 0 <= r <= n. При r > n будет пустое множество.

Вот графический пример сочетаний из 3 по 2. Как видно, их вдвое меньше, чем размещений из 3 по 2, так как варианты с перестановками внутри групп не учтены по определению:

Сочетания с повторами

Функция combinations_with_replacement описывает, сколькими способами можно составить комбинацию по r элементов из элементов n типов (элементы в комбинации могут повторяться, но порядок их не важен). Обратите внимание на слово «тип«, в простых сочетаниях элементы не повторялись внутри одной выборки, они были как бы конкретными экземплярами.

На языке мешка с шарами, сочетания с повторами значит, что мы достаем шары из мешка, а потом кладем их обратно, записывая их цвета (цвет это и есть в данном случае аналог типа). Вполне может быть так, что мы достали красный шар два раза подряд, ведь после первого раза мы сунули его обратно в мешок. Пример:

>>> print(*combinations_with_replacement(['red', 'white', 'black'], 2))
('red', 'red') ('red', 'white') ('red', 'black') ('white', 'white') ('white', 'black') ('black', 'black')

Поэтому, имея возможность брать один и тот же элемент несколько раз, можно выбрать из последовательности в три элемента 4, и 5, и сколь угодно много (больше, чем было исходных типов). Например, по 4 из 2:

>>> print(*combinations_with_replacement(['red', 'black'], 4))
('red', 'red', 'red', 'red') ('red', 'red', 'red', 'black') ('red', 'red', 'black', 'black') ('red', 'black', 'black', 'black') ('black', 'black', 'black', 'black')

Вот графически сочетания с повторами по 2 из 3:

Формула числа элементов на выходе такова:

Бонус – брутфорс пароля

Как бонус предлагаю вам применение функции product() для брутфорса паролей. Сперва мы задаем набор символов, которые могут встречаться в пароле, наш алфавит, например такой:

import string
# все буквы и цифры
alphabet = string.digits + string.ascii_letters
# 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

А потом перебираем все возможные сочетания с длинами от минимальной до максимальной. Не забываем их склеить в строку:

def brute_force(alphabet, min_len, max_len):
    # функция - склеиватель последователностей символов в строку
    joiner = ''.join

    for cur_len in range(min_len, max_len + 1):
        yield from map(joiner, product(alphabet, repeat=cur_len))

Пример применения:

# сокращенный алфавит для иллюстрации работы
alphabet = '123AB'
print(*brute_force(alphabet, 1, 3), sep=', ')

# вывод: 1, 2, 3, A, B, 11, 12, 13, 1A, 1B, 21, 22, 23, 2A, 2B, 31, 32, 33, 3A, 3B, A1, A2, A3, AA, AB, B1, B2,
 B3, BA, BB, 111, 112, 113, 11A, 11B, 121, 122, 123, 12A, 12B, 131, 132, 133, 13A, 13B, 1A1, 1A2, 1A3, 1AA, 
1AB, 1B1, 1B2, 1B3, 1BA, 1BB, 211, 212, 213, 21A, 21B, 221, 222, 223, 22A, 22B, 231, 232, 233, 23A, 23B, 
2A1, 2A2, 2A3, 2AA, 2AB, 2B1, 2B2, 2B3, 2BA, 2BB, 311, 312, 313, 31A, 31B, 321, 322, 323, 32A, 32B,
 331, 332, 333, 33A, 33B, 3A1, 3A2, 3A3, 3AA, 3AB, 3B1, 3B2, 3B3, 3BA, 3BB, A11, A12, A13, A1A, A1B,
 A21, A22, A23, A2A, A2B, A31, A32, A33, A3A, A3B, AA1, AA2, AA3, AAA, AAB, AB1, AB2, AB3, ABA, 
ABB, B11, B12, B13, B1A, B1B, B21, B22, B23, B2A, B2B, B31, B32, B33, B3A, B3B, BA1, BA2, BA3, BAA, 
BAB, BB1, BB2, BB3, BBA, BBB

Специально для канала @pyway. Подписывайтесь на мой канал в Телеграм @pyway 👈 

9 105