Планиметрия какое задание в егэ


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а)  докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б)  пусть Р  — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервная волна. Запад. Вариант 1

2

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а)  Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б)  Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE  =  24.

3

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

4

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.

а)  Докажите, что CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.

б)  Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC  =  10, BC  =  32 и ∠ACB  =  30°.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

5

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а)  Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

16. Задачи по планиметрии


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по планиметрии прошлых лет


Задание
1

#6325

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Окружность проходит через вершины (A, B) и (D) параллелограмма (ABCD). Эта окружность пересекает (BC) в точке (E), а (CD) в точке (K).
а) Докажите, что отрезки (AE) и (AK) равны.
б) Найдите (AD), если известно, что (EC=48), (DK=20), а косинус угла (BAD) равен (0,4).

(ЕГЭ 2018, основная волна)

а)
Так как противоположные углы параллелограмма равны, то (angle
ABE=angle ADK). Так как равные вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды, то (AE=AK), чтд.

б) Введем обозначения: (AD=x), (CK=y). Проведем отрезок (ED). Тогда (ABED) – трапеция, причем, так как она вписана в окружность, она равнобедренная. Следовательно, (ED=y+20).


Запишем теорему косинусов для (triangle ECD): [(y+20)^2=48^2+(y+20)^2-2cdot 48cdot (y+20)cdot 0,4
quadRightarrowquad y=40] Следовательно, (AB=60).
Так как (angle B+angle C=180^circ) по свойству параллелограмма, то их косинусы противоположны, следовательно, (cos angle
B=-0,4).
Так как (AE=AK), то найдем (AE^2) и (AK^2) по теореме косинусов из (triangle ABE) и (triangle ADK) и приравняем: [60^2+(x-48)^2-2cdot 60cdot (x-48)cdot (-0,4)=x^2+20^2-2cdot 20cdot x
cdot (-0,4) quadRightarrowquad x=50] Следовательно, (AD=50).

Ответ:

б) 50


Задание
2

#3983

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан тупоугольный треугольник (ABC) с тупым (angle ABC). Продолжения высот этого треугольника пересекаются в точке (H). (angle AHC=60^circ).

а) Докажите, что (angle ABC=120^circ).

б) Найдите (BH), если (AB=6), (BC=10).

(ЕГЭ 2018, досрочная волна)

а) Заметим, что в тупоугольном треугольника в одной точке пересекаются продолжения высот. Рассмотрим чертеж:
Рассмотрим четырехугольник (A_1BC_1H). В нем (angle A_1=angle
C_1=90^circ). Следовательно, (angle A_1BC_1=180^circ-angle
A_1HC_1=180^circ-60^circ=120^circ).
Так как (angle A_1BC_1) и (angle ABC) – вертикальные, то они равны, значит, (angle ABC=120^circ).

б) Рассмотрим прямоугольный (triangle CHA_1). Так как (angle
CHA_1=60^circ), то (angle HCA_1=30^circ).
Аналогично (angle HAC_1=30^circ).
Тогда из прямоугольного (triangle C_1CB) катет (C_1B) равен половине гипотенузы (CB), так как лежит против угла в (30^circ), значит, (C_1B=5).
Аналогично (A_1B=0,5cdot AB=3).
Рассмотрим снова (triangle HCA_1). Так как [dfrac{sqrt3}3=mathrm{tg},30^circ=dfrac{HA_1}{CA_1}quadrightarrowquad
HA_1=dfrac{13}{sqrt3}] Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного (triangle HA_1B): [BH=sqrt{3^2+left(dfrac{13}{sqrt3}right)^2}=dfrac{14}{sqrt3}]

Ответ:

б) (frac{14}{sqrt3})


Задание
3

#4030

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Медианы (AA_1, BB_1, CC_1) треугольника (ABC) пересекаются в точке (M). Известно, что (AC=3MB).
а) Докажите, что треугольник (ABC) прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан (AA_1) и (CC_1), если известно, что (AC=12).

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

а) Пусть (BM=x), тогда (AC=3x). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то (MB_1=0,5x), следовательно, (BB_1=1,5x). Следовательно, (AB_1=B_1C=BB_1=1,5x). Следовательно, (triangle ABC) прямоугольный с (angle B=90^circ).

б) Обозначим (AB=2a), (BC=2b).

Тогда по теореме Пифагора [begin{aligned}
&AA_1^2=4a^2+b^2\
&CC_1^2=a^2+4b^2 end{aligned}] Отсюда (AA_1^2+CC_1^2=5(a^2+b^2)).
Так как по теореме Пифагора из (triangle ABC): (4a^2+4b^2=12^2), то (a^2+b^2=36). Следовательно, [AA_1^2+CC_1^2=5(a^2+b^2)=5cdot 36=180]

Ответ:

б) 180


Задание
4

#3982

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В выпуклом четырехугольнике (ABCD): (AB=3), (BC=5), (CD=5), (AD=8), (AC=7).

а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите диагональ (BD).

(ЕГЭ 2018, досрочная волна, резерв)

а) Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна (180^circ), то около него можно описать окружность. Докажем, что (angle B+angle D=180^circ).
По теореме косинусов для (triangle ABC): [cosangle B=
dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2cdot ABcdot BC}=-dfrac12] По теореме косинусов для (triangle ADC): [cosangle D=dfrac{AD^2+CD^2-AC^2}{2cdot ADcdot CD}=dfrac12] Так как (alpha+beta=180^circ) равносильно (cosalpha=-cosbeta), то из (cosangle B=-cos angle D) следует, что (angle B+angle
D=180^circ).

б) Если около (ABCD) можно описать окружность, то и (angle A+angle
C=180^circ).
Обозначим (BD=x). Тогда, также используя теорему косинусов для (triangle ABD) и (triangle CBD), можно сказать: [begin{cases}
cos angle A=dfrac{9+64-x^2}{2cdot 3cdot 8} \[2ex]
cos angle C=dfrac{25+25-x^2}{2cdot 5cdot 5} end{cases}]Также имеем, что (cosangle A=-cosangle C), следовательно, [begin{aligned}
&dfrac{9+64-x^2}{2cdot 3cdot 8}=-dfrac{25+25-x^2}{2cdot 5cdot
5} quadLeftrightarrowquad dfrac{73-x^2}{24}=dfrac{x^2-50}{25}
quadLeftrightarrow\[2ex]
&Leftrightarrowquad 73cdot 25-25x^2=24x^2-50cdot 24
quadLeftrightarrow\[2ex]
&Leftrightarrowquad x^2=dfrac{73cdot 25+50cdot 24}{49}=
dfrac{25(73+48)}{49}=dfrac{25cdot 121}{49} end{aligned}] Отсюда [x=dfrac{5cdot 11}{7}=dfrac{55}7]

Ответ:

б) (frac{55}7)


Задание
5

#4011

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Окружность с центром (O) проходит через вершины (B) и (C) большей боковой стороны прямоугольной трапеции (ABCD) и касается боковой стороны (AD) в точке (K).
а) Докажите, что угол (BOC) вдвое больше угла (BKC).
б) Найдите расстояние от точки (K) до прямой (BC), если основания трапеции (AB) и (CD) равны 4 и 9 соответственно.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

а) Угол (BOC) – центральный, опирающийся на дугу (BC); угол (BKC) – вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, (angle
BOC=2angle BKC), чтд.

б) Проведем (KHperp BC). Так как угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle DKC=0,5buildrelsmileover{KC}=angle KBC). Аналогично (angle AKB=angle KCB):

Следовательно, (triangle AKBsim triangle KHC, triangle KDCsim
triangle KHB) как прямоугольные по острому углу. Тогда: [begin{aligned}
&dfrac{KB}{KC}=dfrac{KH}{CD}\[2ex]
&dfrac{KC}{KB}=dfrac{KH}{AB}end{aligned}] Отсюда [1=dfrac{KH^2}{CDcdot AB}quadRightarrowquad KH=sqrt{CDcdot AB}=sqrt{
4cdot 9}=6]

Ответ:

б) 6


Задание
6

#3276

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Прямая, проходящая через середину (M) гипотенузы (AB) прямоугольного треугольника (ABC), перпендикулярна (CM) и пересекает катет (AC) в точке (K). При этом (AK:KC=1:2).

а) Докажите, что (angle BAC=30^circ).

б) Пусть прямые (MK) и (BC) пересекаются в точке (P), а прямые (AP) и (BK) – в точке (Q). Найдите (KQ), если (BC=2sqrt3).

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

а) Пусть (AK=x, KC=2x). Проведем (BLparallel MK). Тогда по теореме Фалеса [dfrac{BM}{MA}=dfrac11=dfrac{LK}{KA}
quadRightarrowquad LK=KA=x quadRightarrow quad CL=x.]

Тогда также по теореме Фалеса: [dfrac{CL}{LK}=dfrac11=dfrac{CO}{OM} quadRightarrowquad CO=OM.] Следовательно, (BO) – медиана и высота ((MKperp CM, BOparallel
MK quadRightarrowquad BOperp CM)), следовательно, (triangle
CBM) равнобедренный и (CB=BM). Следовательно, (CB=frac12BA). Так как катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в (30^circ), то (angle BAC=30^circ).

б) Рассмотрим (triangle PMC): (angle PMC=90^circ). Так как (BM=BC), то (BM=BC=BP), то есть (B) – середина (CP) ((angle
BCM=angle BMC=60^circ), следовательно, (angle CPM=30^circ=angle
PMB), следовательно, (BP=BM)).
Проведем (BSparallel AP). Тогда (BS) – средняя линия треугольника (APC). Значит, (CS=SA).

Из прямоугольного (triangle ABC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{BC}{AC} quadRightarrowquad AC=
BCcdot sqrt3=6.] Следовательно, (CS=SA=3), а так как (CK:KA=2:1), то (KA=2) и (SK=1).
Заметим, что (triangle BKSsim triangle QKA) по двум углам ((angle BKS=angle QKA) как вертикальные, (angle BSK=angle QAK) как накрест лежащие при (AQparallel BS) и (SA) секущей). Следовательно, [dfrac{SK}{AK}=dfrac12=dfrac{BK}{KQ} quadRightarrowquad KQ=2BK.] Найдем (BK).
По теореме Пифагора из (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2+KC^2}=sqrt{(2sqrt3)^2+4^2}=2sqrt{7}] Следовательно, [KQ=4sqrt7.]

Ответ:

б) (4sqrt7)


Задание
7

#3249

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапецию (ABCD) с основаниями (AD) и (BC) вписана окружность с центром в (O).

а) Докажите, что (sin angle AOD=sinangle BOC).

б) Найдите площадь трапеции, если (angle BAD=90^circ), а основания равны (5) и (7).

(ЕГЭ 2017, резервный день)

а) Так как окружность вписана в трапецию, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции.

Так как (angle A+angle B=180^circ), то (frac12cdot (angle
A+angle B)=90^circ). Следовательно, (angle
AOB=180^circ-90^circ=90^circ).
Аналогично доказывается, что (angle COD=90^circ).
Следовательно, (angle BOC+angle
AOD=360^circ-90^circ-90^circ=180^circ). Следовательно, (sin
angle BOC=sin angle AOD).

б) Так как в трапеции (angle A=angle B=90^circ), то (angle
BAO=angle ABO=45^circ), следовательно, (triangle AOB) – прямоугольный и равнобедренный.
Пусть (M, N, K, L) – точки касания окружности со сторонами (AB, BC,
CD, AD) соответственно.
Следовательно, (OMperp AB) как радиус, проведенный в точку касания. Так как (triangle AOB) равнобедренный, то (OM) – медиана, следовательно, (AM=MB). Как отрезки касательных (AM=AL, BM=BN). Следовательно, (AL=AM=BM=BN=x). Пусть также (NC=CK=y), (DL=DK=z). Тогда (x+y=5), (x+z=7).

Тогда (AB=2x) – высота трапеции. Следовательно, нужно найти (x).
Проведем (CHperp AD). Тогда (HD=AD-BC=2), а (CH=AB=2x). Тогда по теореме Пифагора из (triangle GHD): [(2x)^2+2^2=(y+z)^2] Так как (y=5-x), (z=7-x), то получаем уравнение [4x^2+4=(12-2x)^2quadRightarrowquad x=dfrac{35}{12}] Следовательно, площадь трапеции равна [S=dfrac{5+7}2cdot 2x=35.]

Ответ:

б) 35

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Планиметрия – профильный ЕГЭ по математике (оглавление)

Планиметрия плохо дается многим ученикам. На ЕГЭ эта задача №16 – одна из самых сложных задач и многие даже не пытаются за нее браться.

Весь секрет в том, что понимание планиметрии приходит не постепенно, а сразу. Вчера не получалось, а сегодня уже все понятно. Большинству просто не хватает терпения дойти до этого момента.

Надеемся, что ты не такой и не бросишь занятия на полпути. И вот тебе в помощь все, что нужно знать по планиметрии + несколько вебинаров для отработки навыков!

Планиметрия – часть 1. ЕГЭ №3 (бывшая №6)

Если вы плохо знаете планиметрию, начинайте с этой части и смотрите вебинар за вебинаром, ставьте на паузу и решайте задачи вместе с ведущим вебинаров Алексеем Шевчуком.

Помните, планиметрия требует нарешенности. Чтобы научиться решать любую задачу по планиметрии, нужно решать много задач.

Начните с самого начала.

Планиметрия – прямоугольный треугольник

Итак, прямоугольный треугольник, его свойства, площадь и углы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, тригонометрический функции острых углов, медиана и высота.

Планиметрия – равнобедренный треугольник и произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.

Очень часто все “проблемы” с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и “обычные” треугольники.

Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках – очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

Вписанная окружность

В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие ее свойства. В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность.

Научимся решать задачи на вписанную окружность – очень важный навык в понимании планиметрии.

Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

Что приблизит нас к умению решать любые задачи по планиметрии.

Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.

Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

Планиметрия – часть 2. ЕГЭ №16

Эта часть планиметрии – для продвинутых, для тех, кто уже хорошо усвоил планиметрию из первой части.

Принцип тот же – смотрите вебинар за вебинаром и, самое главное, ставьте на паузу и решайте задачи.

Планиметрия. Подобие треугольников. Задачи на доказательство. ЕГЭ №16

Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи планиметрии в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года

Метод вспомогательной окружности – это очень классный метод, используемый в планиметрии но, к сожалению, он не всегда очевиден. Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!

Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы – те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.

Это очень крутой и удобный метод – но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.

Теорема Менелая и Чевы. “Секретный” метод решения самой сложной задачи ЕГЭ по математике

Задача №16. Планиметрия. Одна из самых сложных задач на ЕГЭ. Редко кто (менее 1% учеников!) набирает полные баллы по ней и поэтому грех не воспользоваться шорткатами и лайфхаками, если они есть. 

Теорема Менелая и Чевы – один из таких шорткатов. Эти теоремы не входят в стандартную школьную программу, но они невероятно мощный инструмент!  Они могут очень-очень упростить решение и сами по себе они красивые и легко запоминаются. 

Итак, смотрите видео, учите теорему Менелая и Чевы, используйте ее на ЕГЭ.

Теорема Менелая и Чевы — её уже запретили, наконец, или нет?

Каждый год начинают ходить слухи, что теоремами Менелая и Чевы В ЭТОМ ГОДУ НЕЛЬЗЯ будет пользоваться на ЕГЭ. Правда ли это? Чтобы понять это, достаточно заглянуть в обычный…

Впрочем, смотрите это видео и узнаете, как понять, какими теоремами можно, а какими нельзя пользоваться. А также, на этом вебе мы разберём, что это за теоремы такие, и как ими пользоваться.

Вы узнаете, насколько они крутые и мощные, и насколько экономят нам время в некоторых задачах.

Планиметрия Статград март 2021

Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.

Скучно… Раз-два, и ответ готов!

Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…

На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)

Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!

Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020

Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?

Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.

Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом. Никуда не деться от окружностей – остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!

В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?

Нет! Пойдём дальше – разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.

Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче). Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники.

Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.

Разбор задачи №16 (б) из реального варианта ЕГЭ 2021 по профильной математике

Продолжение предыдущего видео. Разбор части (б):

Теперь слово вам…

Как вам наш гид по планиметрии? Что нового вы узнали? Что еще хотите узнать?

Как вам теорема Менелая и Чевы? Один из моих знакомых сказал: “В школе ее от нас утаивали!”. Шутка, в которой есть доля… шутки.

Готовьтесь к планиметрии и забирайте свои 3 балла на ЕГЭ.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – c 2003 года;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Источник

Практика по заданию №15 ЕГЭ по математике базового уровня — планиметрия.

Для выполнения задания №15 необходимо уметь выполнять действия с геометрическими фигурами .

Практика

Источник Задания
time4math.ru Скачать задания
math100.ru Планиметрия

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 5.1.1–5.1.5, 5.5.1, 5.5.3, 5.5.5

Уровень сложности задания — базовый

Максимальный балл за выполнение задания — 1

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на базовом уровне (в мин.) — 8

Связанные страницы:

Задание 1 ЕГЭ по математике база — действия с дробями

Задание 2 ЕГЭ по математике база — про­стей­шие текстовые задачи

Задание 3 ЕГЭ по математике база — размеры и единицы измерения

Задание 6 ЕГЭ по математике база — про­стей­шие текстовые задачи

Задание 14 ЕГЭ по математике база — анализ графиков и таблиц

Источник

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) в 11-м классе не только осуществл яю т контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения этих экзамен ов зада ю т ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения. Поэтому так важно, чтобы содержание ЕГЭ соответствовало целям и задачам математического образования школьников.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) в 11-м классе не только осуществл яю т контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения этих экзамен ов зада ю т ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения. Поэтому так важно, чтобы содержание ЕГЭ соответствовало целям и задачам математического образования школьников.

О собенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике. Повышение роли наглядности. К каждой задаче предполагается да вать рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления. Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур. Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Нахождение расстояний до недоступных объектов, величин углов, объемов и площадей поверхностей реальных предметов и др.

О собенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике.

Повышение роли наглядности. К каждой задаче предполагается да вать рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления.

Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур.

Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Нахождение расстояний до недоступных объектов, величин углов, объемов и площадей поверхностей реальных предметов и др.

Традиционно геометрические задачи подразделяются на : - задачи на вычисление (углов, длин, площадей); - задачи на доказательство ; - задачи на построение . Каждый из этих типов задач выполняет важную функцию и способствует достижению результатов обучени я . В ЕГЭ должны быть, в той или иной мере, представлены геометрические задачи всех этих типов .

Традиционно геометрические задачи подразделяются на :

— задачи на вычисление (углов, длин, площадей);

— задачи на доказательство ;

— задачи на построение .

Каждый из этих типов задач выполняет важную функцию и способствует достижению результатов обучени я .

В ЕГЭ должны быть, в той или иной мере, представлены геометрические задачи всех этих типов .

Углы Помимо планиметрических задач на нахождение углов, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение углов в пространстве.

Углы

Помимо планиметрических задач на нахождение углов, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение углов в пространстве.

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC . Ответ. 90 о .

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC .

Ответ. 90 о .

2. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 . Ответ. 45 о .

2. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

3. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1 . Ответ. 90 о .

3. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1 .

Ответ. 90 о .

4. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 . Ответ. 60 о .

4. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 .

Ответ. 60 о .

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 . Ответ. 45 о .

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1 . Ответ. 60 о .

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1 .

Ответ. 60 о .

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BC . Ответ. 60 о .

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BC .

Ответ. 60 о .

8. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 . Ответ. 45 о .

8. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

9. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 . Ответ. 60 о .

9. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 60 о .

10. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 . Ответ. 30 о .

10. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 30 о .

Длины Помимо планиметрических задач на нахождение длин, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение расстояний в пространстве.

Длины

Помимо планиметрических задач на нахождение длин, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение расстояний в пространстве.

1. Найдите диагональ куба, все ребра которого равны . Ответ. 3.

1. Найдите диагональ куба, все ребра которого равны .

Ответ. 3.

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ. 50.

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 50.

3. В правильном тетраэдре ABCD , ребра которого равны 1, найдите квадрат расстояния между серединами противоположных ребер AB и CD . Ответ. 0,5.

3. В правильном тетраэдре ABCD , ребра которого равны 1, найдите квадрат расстояния между серединами противоположных ребер AB и CD .

Ответ. 0,5.

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния между точками A и С 1 . Ответ. 4.

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния между точками A и С 1 .

Ответ. 4.

5. Найдите квадрат расстояния между противоположными вершинами октаэдра, ребра которого равны 1. Ответ. 2.

5. Найдите квадрат расстояния между противоположными вершинами октаэдра, ребра которого равны 1.

Ответ. 2.

6. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 19.

6. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 19.

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 14.

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 17.

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 17.

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и D 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 14.

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и D 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

10. Найдите расстояние от вершины B до прямой C 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ. 5.

10. Найдите расстояние от вершины B до прямой C 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 5.

11. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния от точки B до прямой A 1 E 1 . Ответ. 2.

11. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния от точки B до прямой A 1 E 1 .

Ответ. 2.

12. Найдите квадрат расстояния от вершины A до прямой CC 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 18.

12. Найдите квадрат расстояния от вершины A до прямой CC 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 18.

Площади Помимо планиметрических задач на нахождение площадей, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение площадей сечений пространственных фигур.

Площади

Помимо планиметрических задач на нахождение площадей, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение площадей сечений пространственных фигур.

1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , B и С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ. 25.

1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , B и С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 25.

2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AA 1 , BB 1 и B 1 C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 4, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ. 10.

2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AA 1 , BB 1 и B 1 C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 4, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 10.

3. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , C и S . Ответ. 0,5.

3. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , C и S .

Ответ. 0,5.

4. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер SA , SB и SC . Ответ. 0,25.

4. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер SA , SB и SC .

Ответ. 0,25.

5. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. Ответ. 0,25.

5. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Ответ. 0,25.

6. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AB , BC и A 1 B 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1. Ответ. 0,5.

6. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AB , BC и A 1 B 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 0,5.

7. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , D и D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1. Ответ. 2.

7. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , D и D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 2.

8. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания и высота которого равны 2. Ответ. 4.

8. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания и высота которого равны 2.

Ответ. 4.

9. Найдите площадь S сечения, проходящего через вершины A , B и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. В ответе укажите . Ответ. 10.

9. Найдите площадь S сечения, проходящего через вершины A , B и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. В ответе укажите .

Ответ. 10.

10. Найдите площадь S сечения, проходящего через середины ребер AD , BC и B 1 C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 3.

10. Найдите площадь S сечения, проходящего через середины ребер AD , BC и B 1 C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 3.

Объемы Здесь предлагаются примеры задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур. О ни проверя ю т развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций. Для успешного решения эт их зада ч требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

Объемы

Здесь предлагаются примеры задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур.

О ни проверя ю т развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций.

Для успешного решения эт их зада ч требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем. Решение. Если ребро куба равно a , то его диагональ равна . Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8. Ответ. 8.

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение. Если ребро куба равно a , то его диагональ равна . Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

Ответ. 8.

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Решение. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8. Ответ. 8.

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8.

Ответ. 8.

3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? Решение. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k , то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3 . Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз. Ответ. 8.

3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Решение. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k , то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3 . Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз.

Ответ. 8.

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Ответ. 22.

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. М ногогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов , объемы которых равн ы 2 и 4 . Следовательно, объем многогранника рав ен 6 . Решение 2. М ногогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника рав ен 6 . Ответ. 6.

5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение 1. М ногогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов , объемы которых равн ы 2 и 4 . Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Решение 2. М ногогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Ответ. 6.

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 . Ответ. 92.

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 .

Ответ. 92.

7. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение. М ногогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника рав ен 40 . Ответ. 48.

7. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника рав ен 40 .

Ответ. 48.

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 . Ответ. 38.

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 .

Ответ. 38.

9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение. М ногогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника рав ен 10 . Ответ. 10.

9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника рав ен 10 .

Ответ. 10.

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . Ответ. 0,5.

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 0,5.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . Ответ. 1,5.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

12. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . Ответ. 1,5.

12. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

13. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . Ответ. 9.

13. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 9.

14. Найдите объем V части конуса , изображенной на рисунке. В ответе укажите . Ответ. 1.

14. Найдите объем V части конуса , изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1.

15. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Решение. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3 . Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 . Ответ. 3.

15. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Решение. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3 . Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 .

Ответ. 3.

16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ. 2 см.

16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Ответ. 2 см.

17. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и . Их сумма равна . Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10. Ответ. 10.

17. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и . Их сумма равна . Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

Ответ. 10.

18. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда. Решение. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32. Ответ. 32.

18. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32.

Ответ. 32.

19. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на . Решение. Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36 , а объем, деленный на равен 36. Ответ. 36.

19. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на .

Решение. Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36 , а объем, деленный на равен 36.

Ответ. 36.

Расстояния Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение расстояний в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике. В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Расстояния

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение расстояний в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 D 1 . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1 . Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 = . Следовательно, AE = Ответ: 60

1. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1 . Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 = .

Следовательно, AE =

Ответ:

60

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой BD 1 . Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1 . Имеем, AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Следовательно, AE = . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Ответ:

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой BD 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1 . Имеем, AB = 1, AD 1 = , BD 1 = .

Следовательно, AE = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

3. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины A до прямой SC . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1. Ответ: 1.

3. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины A до прямой SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1.

Ответ: 1.

4. В правильной пирамиде SABCD , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до прямой SD . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно Ответ:

4. В правильной пирамиде SABCD , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до прямой SD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно

Ответ:

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 . Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1 . Имеем, B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 = . Следовательно, AD = Ответ:

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1 . Имеем,

B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BC 1 . Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1 . Имеем, AB = 1; AC 1 = BC 1 = . Следовательно, AD = Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BC 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1 . Имеем,

AB = 1; AC 1 = BC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

7. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой D 1 E 1 . Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1 . В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE = . Следовательно, AE 1 = 2. Ответ: 2.

7. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой D 1 E 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1 . В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE = . Следовательно, AE 1 = 2.

Ответ: 2.

8. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 . Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1 , где H 1 – середина ребра B 1 G 1 . В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 = Ответ:

8. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1 , где H 1 – середина ребра B 1 G 1 . В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 =

Ответ:

9. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BE 1 . Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1 , в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 = Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH = Ответ:

9. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BE 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1 , в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 =

Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH =

Ответ:

10. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна Ответ:

10. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна

Ответ:

11. В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC . Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , GF . В треугольнике DAG DA = 1, В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. AG = DG = Следовательно, EF = Ответ:

11. В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC .

Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , GF . В треугольнике DAG DA = 1,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

AG = DG = Следовательно, EF =

Ответ:

12. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH = Ответ:

12. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO

имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH =

Ответ:

13. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC . Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = Высота SO равна Следовательно, EH = В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Ответ:

13. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем:

EF = 1, SE = SF = Высота SO равна

Следовательно, EH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

14. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 . Ответ:

14. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Ответ:

15. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C . Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием. Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = . Следовательно, DE = Ответ:

15. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием.

Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = .

Следовательно, DE =

Ответ:

16. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 . Ответ: 1.

16. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 .

Ответ: 1.

17. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 . Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна . Ответ: .

17. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна .

Ответ: .

18. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 . Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна . Ответ: .

18. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна .

Ответ: .

19. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 . Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно . Ответ: .

19. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

20. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 . Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна . Ответ: .

20. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна .

Ответ: .

21. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 . Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно . Ответ: .

21. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно .

Ответ: .

22. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1 . Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1 . Обозначим O - центр грани ABCD , E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1 . Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем AA 1 = 1; AO = ; OA 1 = . Следовательно, AE = В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Ответ:

22. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1 .

Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1 . Обозначим O — центр грани ABCD , E — точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1 . Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем

AA 1 = 1; AO = ; OA 1 = .

Следовательно, AE =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

23. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C . Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1 . Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно Ответ:

23. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C .

Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1 . Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно

Ответ:

24. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1 . Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна Ответ:

24. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1 .

Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна

Ответ:

25. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D. Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 E . Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1 . Имеем AA 1 = 1, AE = , A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна . Ответ: .

25. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D.

Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 E . Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1 . Имеем AA 1 = 1, AE = , A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна .

Ответ: .

Углы Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение углов в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике. В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Углы

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение углов в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В кубе A … D 1 найдите косинус уг ла между прямыми AA 1 и BD 1 . В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой. Ответ: 86

1. В кубе A … D 1 найдите косинус уг ла между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

86

2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C . Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 = . Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =

. Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, , 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75 .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75 .

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2, B 1 E 1 = . Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2, B 1 E 1 = .

Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен .

5. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

5. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о . Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о .

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о . Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о .

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1 , и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1 . Искомый угол равен углу E 1 BG 1 . Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна . В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна . В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и . Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна . Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 = , BE 1 = , G 1 E 1 = . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о .

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1 , и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1 . Искомый угол равен углу E 1 BG 1 . Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна . В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна . В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и . Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна . Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 = , BE 1 = , G 1 E 1 = . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о .

Решение 3 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, , 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, , 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, , 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о .

Решение 3 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, , 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, , 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о .

6. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC . Ответ: 45 o .

6. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 o .

7. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D . Ответ:

7. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D .

Ответ:

8. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AB 1 и ABC 1 . Ответ: 30 o .

8. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью

AB 1 и ABC 1 .

Ответ: 30 o .

9. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D . Ответ: 90 o .

9. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D .

Ответ: 90 o .

10. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью : AA 1 и AB 1 C 1 . Ответ:

10. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью : AA 1 и AB 1 C 1 .

Ответ:

11. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между плоскостями ABC и AB 1 D 1 . Ответ:

11. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между плоскостями ABC и AB 1 D 1 .

Ответ:

12. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C . Решение: Обозначим O , O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно,

12. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C .

Решение: Обозначим O , O 1 — середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем

OO 1 = 1; OC =

Следовательно,

13. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 . Ответ: 60 о .

13. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 .

Ответ: 60 о .

14. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 . Ответ: 30 о .

14. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 .

Ответ: 30 о .

15. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 . Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о . Ответ:

15. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 .

Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о .

Ответ:

Планиметрия Здесь предлагаются примеры планиметрических задач повышенного уровня трудности, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена и требующие развернутого решения.

Планиметрия

Здесь предлагаются примеры планиметрических задач повышенного уровня трудности, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена и требующие развернутого решения.

1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a , причем r R и r + R a . Найдите AB . Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R , O 2 – центр окружности радиуса r . Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная. В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB = Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB = Ответ. или .

1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a , причем r R и r + R a . Найдите AB .

Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R , O 2 – центр окружности радиуса r . Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная.

В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Ответ. или .

2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O , основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O . В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9. Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39. Ответ. 9 или 39.

2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O , основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O .

В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9.

Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39.

Ответ. 9 или 39.

3. Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B . Известно, что угол AO 1 B равен 90 о , угол AO 2 B равен 60 о , O 1 O 2 = a . Найдите радиусы окружностей. Решение. Возможны два случая: точки O 1 , O 2 расположены по разные стороны от прямой AB , точки O 1 , O 2 расположены по одну сторону от прямой AB . Обозначим r радиус окружности с центром O 1 . Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB . Тогда O 1 P = , O 2 P = . В первом случае (рис. 1) и, следовательно, Во втором случае (рис. 2) и, следовательно, Ответ. или

3. Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B . Известно, что угол AO 1 B равен 90 о , угол AO 2 B равен 60 о , O 1 O 2 = a . Найдите радиусы окружностей.

Решение. Возможны два случая: точки O 1 , O 2 расположены по разные стороны от прямой AB , точки O 1 , O 2 расположены по одну сторону от прямой AB . Обозначим r радиус окружности с центром O 1 . Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB . Тогда O 1 P = , O 2 P = .

В первом случае (рис. 1)

и, следовательно,

Во втором случае (рис. 2)

и, следовательно,

Ответ. или

4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O , угол AOC равен 60 о . В треугольник ABC вписана окружность с центром M . Найдите угол AMC . Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC . В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о . Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о . Ответ. 105 о или 165 о .

4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O , угол AOC равен 60 о . В треугольник ABC вписана окружность с центром M . Найдите угол AMC .

Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC .

В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о .

Ответ. 105 о или 165 о .

5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC . Решение. По теореме синусов Откуда Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC . Опустим перпендикуляр BH на прямую AC . Тогда BH = AB sin A = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1) AC = Во втором случае (рис. 2) AC = Ответ. или

5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC .

Решение. По теореме синусов Откуда

Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC .

Опустим перпендикуляр BH на прямую AC . Тогда BH = AB sin A = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1)

AC = Во втором случае (рис. 2) AC =

Ответ. или

6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что CH = AB . Найдите угол ACB . Решение. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты треугольника ABC . Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1 . Возможны два случая расположения точки H . В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1 , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о . Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о . Ответ. 45 о или 135 о .

6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что CH = AB . Найдите угол ACB .

Решение. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты треугольника ABC . Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1 . Возможны два случая расположения точки H .

В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1 , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о . Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о .

Ответ. 45 о или 135 о .

7. В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1 , O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC . Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1 . На BC , как на диаметре, опишем окружность с центром P . Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о . В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о . По теореме синусов находим R = . Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о . По теореме синусов находим R = 24. Ответ. или 24.

7. В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1 , O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC .

Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1 .

На BC , как на диаметре, опишем окружность с центром P . Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о . В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о . По теореме синусов находим R = .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о . По теореме синусов находим R = 24.

Ответ. или 24.

8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC . Решение. Возможны два случая. В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = 28. Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = . Ответ. 28 или .

8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC .

Решение. Возможны два случая.

В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = 28.

Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = .

Ответ. 28 или .

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Планиметрия егэ профиль самостоятельная работа
  • Планиметрия егэ профиль карточки
  • Планиметрия егэ математика профиль шпаргалка
  • Планиметрия егэ какой номер
  • Планиметрия егэ 2016

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии