Планиметрия трапеция егэ - Exhelper.top

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен Найдите боковую сторону.

Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен Найдите меньшее основание.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен Найдите высоту трапеции.

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен Найдите большее основание.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

25
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Трапеция. Свойства трапеции

2013-07-25
2016-06-15

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – $k=frac{AD}{BC}.$

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

$S=frac{a+b}{2}cdot h$ или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Автор: egeMax |

комментарий 431

Печать страницы

Источник

Тема 1.

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Трапеция и ее свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01Треугольник: внутренние и внешние углы

1.02Треугольник: высота, биссектриса, медиана

1.03Треугольник: задачи на подобие

1.04Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

1.05Треугольник: площадь и периметр

1.06Параллелограмм и его свойства

1.07Параллелограмм и свойство его биссектрисы

1.08Прямоугольник и его свойства

1.09Ромб и его свойства

1.10Квадрат и его свойства

1.11Трапеция и ее свойства

1.12Равнобедренная трапеция

1.13Окружность: центральный и вписанный углы

1.14Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

1.15Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных

1.16Окружность: описанная около многоугольника

1.17Окружность: вписанная в многоугольник или угол

1.18Длина окружности или дуги и площадь круга или сектора

1.19Правильный шестиугольник и его свойства

1.20Площадь многоугольника: различные формулы

1.21Внешние углы многоугольника и тригонометрия

1.22Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

1.23Теорема синусов и теорема косинусов

1.24Координатная плоскость

1.25Векторы: сложение, вычитание, координаты

1.26Задачи на клетчатой бумаге

Решаем задачи

Один из углов прямоугольной трапеции равен ∘
113 . Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих боковой стороне, равна ∘
180 , то есть если один из таких углов равен ∘
113 , то другой
равен

Оставшиеся два угла равны ∘
90 , так как трапеция — прямоугольная. Тогда меньший угол равен ∘
67 .

В трапеции ABCD известно, что ∘
∠BDA = 14 и ∘
∠BDC = 106. Найдите угол ABD. Ответ дайте в
градусах.

Показать ответ и решение

Трапеция равнобедренная, то есть

∘ ∘ ∘
∠BAD = ∠CDA = ∠BDA + ∠BDC = 106 + 14 = 120

По сумме углов треугольника ABD имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘
∠ABD = 180 − ∠BAD − ∠ADB = 180 − 120 − 14 = 46

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12
2(3 +9)= 2-= 6

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее
диагоналей.

Показать ответ и решение

Пусть

Так как — средняя линия трапеции, и — средние линии треугольников ADC и ACB соответственно.
Значит,

EO = 1DC = 1⋅10= 5
2 2

1 1
OF = 2 AB = 2 ⋅11 =5,5

Больший из этих отрезков равен 5,5.

Средняя линия трапеции равна 20. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 1 к 4. Найдите большее
основание трапеции.

Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее
диагоналей.

Показать ответ и решение

Для начала найдем длину средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть

6+ 8
-2-- =7

Так как — средняя линия трапеции ABCD , то и при этом — середина AD.

Тогда в треугольнике ADB отрезок параллелен основанию и при этом проходит через середину стороны AD.
Значит, — средняя линия треугольника ADB и

EO = 1AB = 4
2

Тогда

Следовательно, наибольший из отрезков равен 4.

Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции,
прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Показать ответ и решение

Опустим высоту на AD. В прямоугольном треугольнике ABE катет напротив угла равен

Запишем площадь трапеции, чтобы найти sinα

1 2SABCD
SABCD = 2(AD + BC )⋅BE ⇒ BE = AD-+-BC-= 4

Тогда

sin α= BE- = 0,5 ⇒ α= 30∘
8

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ∘
150. Найдите
площадь трапеции.

Показать ответ и решение

Пусть ∘
∠ABC =150 , тогда из параллельности ∘
∠DAB = 30 . Опустим высоту на AD. В прямоугольном треугольнике
ABE катет напротив угла в 30∘ равен половине гипотенузы

1
BE = 2AB = 3,5

Тогда площадь трапеции

Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в
градусах.

Показать ответ и решение

Опустим высоту на основание трапеции. ABCE — прямоугольник и Тогда

Запишем площадь трапеции, чтобы найти длину высоты CE :

1 2S 2⋅64
SABCD = 2(BC + AD )⋅CE ⇒ CE = BC-A+BCADD- = 12+-4 = 8

Получили, что Тогда треугольник CDE — прямоугольный с равными катетами, значит, его острый угол
равен 45∘.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием
угол 45∘.

Показать ответ и решение

Опустим высоту на основание трапеции. ABCE — прямоугольник и Тогда

Треугольник CDE — прямоугольный с углом в ∘
45 , следовательно, он равнобедренный и Тогда площадь
трапеции

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники ABC и ACD :

Тогда треугольники ABC и ACD подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, следовательно,
их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

( )2
SABC-= BC- = 1 ⇒ SACD = 4 ⋅SABC = 8
SACD AC 4

Таким образом,

Основания трапеции равны и боковая сторона равна Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции,
прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть AD = 8. Проведем

Тогда площадь трапеции равна

AB-+DC-- 27-+9-
72= 2 ⋅DH = 2 ⋅DH ⇒ DH = 4

Рассмотрим прямоугольный △ADH. Так как катет равен половине гипотенузы AD, то угол DAH равен
30∘.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Основания прямоугольной трапеции равны и Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в
градусах.

Показать ответ и решение

Проведем высоту CH.

Тогда ADCH — прямоугольник, следовательно,

Площадь трапеции равна

AB-+-DC- 4+-12
64 = 2 ⋅CH = 2 ⋅CH ⇒ CH =8

Заметим, что мы получили, что Тогда △CHB равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть
Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90∘, то

∘ ∘
∠B =∠HBC =90 :2 = 45

Одно из оснований трапеции в 5 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз это основание меньше другого основания
трапеции?

Показать ответ и решение

Обозначим меньшее основание трапеции за большее — за Тогда — длина средней линии трапеции. Так как средняя
линия равна полусумме оснований, то

Следовательно, меньшее основание в 9 раз меньше большего основания.

В трапеции боковые стороны равны и 12√5, угол при меньшей боковой стороне равен 135∘. Найдите отношение меньшего
основания к большему, если площадь трапеции равна 156.

Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

Показать ответ и решение

Рассмотрим трапецию ABCD, где и проведем в ней высоты и CK. При этом
трапеция может выглядеть двумя разными способами.

1 способ.

Заметим, что △ABH — прямоугольный и равнобедренный, тогда

BH = AH = AB√- = 1√2-= 6√2
2 2

Значит, из прямоугольного △DCK можно найти KD :

√- √ - √-------- √-
KD2 = CD2 − CK2 = (12 5)2− (6 2)2 = 648 ⇒ KD = 9⋅9 ⋅4 ⋅2= 18 2

Т.к. площадь трапеции равна 156 , то имеем следующее уравнение:

√ - √ -
6--2+-18-2+-x+-x ⋅6√2 = 156 ⇒ x =√2
2

Тогда

√- √-
BC :AD = ( 2):(25 2)= 1:25

2 способ.

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим

CK = DK = BH = 6√2-
√ -
AH =18 2
√ - √- √ -
AD = 18 2+ x− 6 2= 12 2+ x

Из уравнения 12√2+ x+ x √-
156 = -----2-----⋅6 2 находим √ -
x =7 2.

Значит,

Т.к. то в ответ пойдет

В трапеции ABCD Найдите модуль разности острых углов трапеции.

Показать ответ и решение

△BCD — равнобедренный, следовательно,

∘
∠CBD = ∠CDB =20
∠BAD = 180∘ − ∠ABD − ∠CBD = 180∘− 100∘− 20∘ = 60∘
∘ ∘ ∘
∠ADC = 180 − 140 = 40

Тогда

∘ ∘ ∘ ∘
|∠ADC − ∠BAD |=|40 − 60|= |− 20|= 20

Источник

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=displaystyle frac{a+b}{2}$ .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: $EF=GH, ; FG=displaystyle frac{a-b}{2}$ .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: PQ=MN .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: S=mh .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: $S=displaystyle frac{1}{2}d_1d_2{sin alpha }$ , где d_1=AC, d_2=BD, (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr . Таким образом, $S=displaystyle frac{a+b+c+d}{2}cdot r$ .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2} .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна sqrt{2} , то по теореме Пифагора получаем, что h=2 .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ${150}^{{}^circ }$ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы angle ABC и angle BAH — односторонние, их сумма равна ${180}^{{}^circ }$ , и тогда angle BAH $=30{}^circ .$

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в ${30}^{{}^circ }$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна $S=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3,5=42$ .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол $63{}^circ$ . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть angle CAD =alpha , тогда angle CAB =alpha и angle BAD =2alpha , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов $vartriangle ACD=3alpha +63{}^circ =180{}^circ$ , откуда
$alpha =39{}^circ .$
Итак, $angle D=78{}^circ$ , а $angle BCD=180{}^circ -78{}^circ =102{}^circ$ .

Ответ: $78{}^circ , 102{}^circ$ .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2={25}^2-7^2=left(25-7right)left(25+7right)=18cdot 32.$ Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен ${135}^circ$ , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом $45{}^circ$ .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна $displaystyle frac{2+4,8}{2}cdot 1,4=4,76$ .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м ^2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ , то $60=displaystyle frac{8+12}{2}cdot h$ , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что $S_{ABCD}=S_{ACE}=displaystyle frac{1}{2}a^2$ .

Ответ: $displaystyle frac{1}{2}a^2$

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен $60{}^circ$ .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

angle D $=60{}^circ$ , следовательно, angle CAD $=30{}^circ$ .

Так как AC — биссектриса, то angle CAB $=30{}^circ$ , откуда angle DAB $=60{}^circ$ , то есть, трапеция равнобедренная. angle BCA =angle CAD $=30{}^circ$ как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в $30{}^circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом $60{}^circ$ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть $S_{BCM}$ =S_1 , $S_{ADM}=S_2$ , тогда

$S_2=k^2cdot S_1=36{cdot S}_1.$

Площадь трапеции будет равна

$S_{ABCD}=S_2-S_1=36 S_1-S_1=35 S_1=35 S_{BCM}.$

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90{}^circ$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна $90{}^circ$ , то $angle BEC=90{}^circ$ , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то , откуда r=1,2 .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3 .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

$m=displaystyle frac{a+b}{2}=displaystyle frac{c+d}{2}=displaystyle frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна $180{}^circ$ . Она делится на три равные части по $60{}^circ .$

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна $120{}^circ$ , отсюда $angle ADC=60{}^circ$ и, стало быть, $angle C=120{}^circ =angle B.$

Ответ: 120.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Произвольная трапеция

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства трапеции:

(blacktriangleright) Сумма углов при боковой стороне равна (180^circ).

(blacktriangleright) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

(blacktriangleright) Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Задание
1

#3091

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Одно из оснований трапеции в (5) раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции?

Обозначим меньшее основание трапеции за (x), большее – за (y). Тогда (5x) – длина средней линии трапеции. Так как средняя линия равна полусумме оснований, то [x+y=2cdot 5xquadLeftrightarrowquad y=9x.] Следовательно, меньшее основание в 9 раз меньше большего.

Ответ: 9

Задание
2

#1694

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD): (CD = BC), (angle BCD = 140^circ), (angle ABD = 100^circ). Найдите модуль разности острых углов трапеции.

Ответ: 20

Задание
3

#290

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD) с основаниями (BC = 5) и (AD = 2cdot BC) проведена высота (BE). Найдите отношение площади трапеции к длине этой высоты.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований трапеции (ABCD) равна (0,5(5 + 2cdot 5) = 7,5). Площадь трапеции (ABCD) равна (7,5 BE), тогда (dfrac{S_{ABCD}}{BE} = 7,5).

Ответ: 7,5

Задание
4

#292

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD) с основаниями (BC = 4) и (AD > BC) угол (A) – прямой. Известно, что (CD = 6), (angle D = 60^{circ}). Найдите среднюю линию трапеции (ABCD).

Из точки (C) опустим высоту (CE). В прямоугольном треугольнике (CDE): (angle ECD = 30^{circ}). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в (30^{circ}) равен половине гипотенузы, тогда (DE = 0,5cdot CD = 3). При этом (ABCE) – прямоугольник, (AE = BC = 4), тогда (AD = AE + ED = 4 + 3 = 7).

В трапеции средняя линия равна полусумме оснований. (0,5(BC + AD) = 0,5(4 + 7) = 5,5), значит, длина средней линии равна (5,5).

Ответ: 5,5

Задание
5

#293

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD) средняя линия составляет (dfrac{4}{5}) одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине средней линии.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции (ABCD) составляет (0,8) одного из оснований, тогда сумма оснований трапеции (ABCD) составляет (2cdot 0,8 = 1,6) этого основания, обозначим его за (AD). Тогда (BC + AD = 1,6AD), откуда (BC = 0,6AD). Средняя линия равна (0,8AD), тогда отношение длины основания (BC) к длине средней линии равно (0,6 : 0,8 = 0,75).

Ответ: 0,75

Задание
6

#294

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания (AD) и (BC) трапеции (ABCD) равны соответственно (20) и (12), одна из боковых сторон равна (10), площадь трапеции (ABCD) равна (80). Найдите острый угол трапеции (ABCD), который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ дайте в градусах.

Пусть (AB = 10), (BE) – перпендикуляр к (AD), точка (E) лежит на (AD).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда (80 = 0,5(20 + 12)cdot BE).

(BE = 5 = 0,5cdot AB). Треугольник (ABE), – прямоугольный, причём (BE = 0,5cdot AB), тогда угол, лежащий против катета (BE), равен (30^{circ}).

(angle BAE = 30^{circ}) – единственный острый угол трапеции (ABCD), который образует (AB) с одним из оснований.

Ответ: 30

Задание
7

#1693

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции (ABCD) диагонали пересекаются в точке (O). Площадь (triangle AOD) относится к площади (triangle ODC), как (8:3). В каком отношении состоит меньшее основание (BC) трапеции (ABCD) к большему основанию (AD)?

Высота, опущенная из вершины (D) на сторону (AO) в (triangle AOD) и на сторону (OC) в (triangle ODC) будет одной и той же. Значит, (frac{S_{triangle DOC}}{S_{triangle AOD}} = frac{OC}{AO} = frac{BC}{AD} = frac{3}{8} = 0,375).

Ответ: 0,375

Всем выпускникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, будет полезно освежить в памяти тему «Произвольная трапеция». Как показывает многолетняя практика, планиметрические задачи из этого раздела вызывают у многих старшеклассников определенные сложности. При этом решить задачи ЕГЭ на тему «Произвольная трапеция» требуется при прохождении и базового, и профильного уровня аттестационного испытания. Следовательно, уметь справляться с подобными упражнениями должны все выпускники.

Как подготовиться к экзамену?

Большинство планиметрических задач решаются путем классических построений. Если в задаче ЕГЭ требуется найти, к примеру, площадь трапеции, изображенной на рисунке, стоит отметить на чертеже все известные параметры. После этого вспомните основные теоремы, относящиеся к ним. Применив их, вы сможете найти правильный ответ.

Чтобы подготовка к экзамену была действительно эффективной, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Здесь вы найдете весь базовый материал по темам «Произвольная трапеция или «Равнобедренная трапеция», который поможет вам успешно сдать ЕГЭ. Основные свойства фигуры, формулы и теоремы собраны в разделе «Теоретическая справка».

«Прокачать» навыки решения задач выпускники смогут также на нашем математическом портале. В разделе «Каталог» представлена большая подборка соответствующих упражнений разного уровня сложности. Перечень заданий наши специалисты регулярно обновляют и дополняют.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Трапеция ― это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и ОБЯЗАТЕЛЬНО не равны (потому что в этом случае эта фигура будет является параллелограммом).

Элементы трапеции:

a и b ― основания трапеции, a || b;

h ― высота трапеции (расстояние между основаниями);

m ― средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: и параллельна им: m || a и m || b.

Виды трапеций:

1) Прямоугольная ― трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне:

боковая сторона является высотой.

2) Равнобедренная ― трапеция, у которой боковые стороны равны:

углы при основаниях равны
длины диагоналей равны

3) Произвольная ― не является ни прямоугольной, ни равнобедренной.

Свойства трапеции:

Сумма внутренних углов трапеции (как и любого четырехугольника) равна 360°.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция ― равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. (∠1=∠2, ∠3=∠4 – как накрест лежащие).

Площадь трапеции:

1	2	3

	S = m ∙ h, где m ― средняя линия трапеции.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.	Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.	Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей синус угла между ними.

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Трапеция»

Открытый банк заданий по теме трапеция. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Производная и первообразная функции

Задание №1067

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Большее основание равнобедренной трапеции равно 24. Боковая сторона равна 7. Синус острого угла равен frac{sqrt{33}}{7}. Найдите меньшее основание.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC и AD — основания, AD = 24, AB = CD = 7. Проведём высоты CK и BH. BCKH — прямоугольник, BC = KH.

Треугольник ABH прямоугольный, cos A = frac{AH}{AB}. Вычислим cos A= sqrt{1-sin^2A}= sqrt{1-left (frac{sqrt{33}}{7}right)^2}= frac47. AH= ABcos A= 7cdotfrac47= 4. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому угу, откуда AH=KD=4, BC=24-4-4=16.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1065

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Площадь треугольника МРЕ равна 68, KT — средняя линия, параллельная стороне MP. Найдите площадь трапеции MPTK.

Показать решение

Решение

S_{MPTK}=S_{MPE}-S_{KTE}. KT — средняя линия, параллельная стороне MP, поэтому K и T — середины сторон и ET=frac12EP, KE=frac12 EM.

triangle MPE sim triangle KTE по двум углам: angle E — общий, MP parallel KT Rightarrow angle MPE= angle KTE. S_{KTE}= frac14S_{MPE}= frac{68}{4}= 17. S_{MPTK}= 68-17= 51.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1064

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Площадь треугольника АВС равна 76, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Показать решение

Решение

S_{ABED}=S_{ABC}-S_{CDE}. DE — средняя линия, параллельая стороне AB, поэтому D и E — середины сторон.

CD=frac12CA, CE=frac12CB, S_{ABC} =frac12CAcdot CBsin C,

S_{CDE}= frac12CDcdot CEsin C= frac12cdotfrac12CAcdotfrac12CBsin C= frac14cdotfrac12CAcdot CBsin C= frac14 S_{ABC}= frac{76}{4}=19

S_{ABED}= S_{ABC}-S_{CDE}= 76-19=57.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1061

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 90, а её боковые стороны равны 41. Найдите площадь трапеции.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC = 10, AD = 90 — основания, AB = CD = 41.

Проведём высоты CP и BH. BCPH — прямоугольник, BC = PH = 10. Прямоугольные треугольники ABH и DCP равны по гипотенузе и катету (AB = CD, BH = CP), тогда AH = PD = (90 — 10) : 2 = 40.

Треугольник ABH прямоугольный, BH = sqrt{41^2-40^2} = 9.

Площадь трапеции равна S = frac{BC+AD}{2}cdot BH= frac{10+90}{2}cdot 9= 450.

Ответ

450

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №895

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 43. Косинус острого угла трапеции равен 0,7. Найдите боковую сторону.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC=15, AD=43 — основания, AB=CD.

Проведём высоты CK и BH. BCKH — прямоугольник, BC=KH=15. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому углу, откуда AH=KD=(43-15):2=14. Треугольник ABH прямоугольный, cos A=frac{AH}{AB}. Боковая сторона трапеции AB=AH:cos A=14:0.7=20.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №888

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 16 и 22, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45^{circ}.

Показать решение

Решение

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC=16 и AD=22, angle A=90^{circ}, angle D=45^{circ}. Проведём высоту CH. ABCH — прямоугольник, BC=AH=16, тогда HD=22-16=6.

Треугольник CDH прямоугольный и равнобедренный (т.к. angle CHD=90^{circ}, angle HCD=45^{circ}=angle D). HD=HC=6.

Площадь трапеции S=frac{BC+AD}{2}cdot CH=frac{16+22}{2}cdot6=114.

Ответ

114

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №297

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 53. Тангенс острого угла равен frac{6}{11}. Найдите высоту трапеции.

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок:

BKperp AD и CMperp AD, тогда AK=MD=frac{53-9}{2}=22.

frac{BK}{AK}=tgangle BAK=frac{6}{11}, поэтому BK=AKcdotfrac{6}{11}=22cdotfrac{6}{11}=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №293

Тип задания: 6
Тема:
Трапеция

Условие

Основания прямоугольной трапеции имеют длины 4 и 8. Ее большая сторона с основанием образуют угол равный 45^{circ}. Найдите площадь трапеции.

Показать решение

Решение

Пусть CH — высота трапеции ABCD. Тогда в прямоугольном треугольнике CHD острый угол CHD = 45^{circ}. Значит, этот треугольник равнобедренный, то есть CH=DH=AD-BC=8-4=4.

Тогда S_{ABCD}=frac{AD+BC}{2}cdot CH=frac{8+4}{2}cdot4=24.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Свойства трапеции

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Вписанная окружность

Площадь

Трапеция и ее свойства

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теоремы о площади трапеции

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Произвольная трапеция

Как подготовиться к экзамену?

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Трапеция»

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Новое и интересное на сайте: