Показательные уравнения с модулем егэ математика профиль

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

Добавить в вариант

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, . Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение:

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения есть два решения: и .

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

3. Решите уравнение:

Решение:

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

— применили теорему Виета и нашли корни.

корней нет.

Ответ:

4. Решим уравнение: 

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5.

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.

Ответ: 1.

6.

Решение:

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение: = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие Возведем обе части уравнения в квадрат

= x

(разность квадратов),

Так как — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: или

Меньший корень: 1.

Ответ: 1.

8.

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Подходят только и .

Ответ:

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: .

Это уравнение вида Вспомним, что оно равносильно системе:

Получим:

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

по теореме Виета.

Система примет вид:

Сравним и Для сравнения мы будем использовать вот такой символ:

.

Умножим обе части этого неравенства на 2: .

Прибавим 5 к обеим частям выражения: Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 9. Это значит, что и

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Ответ: .

к оглавлению ▴

Квадратные уравнения с заменой

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение:

Решение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

.

Ответ: ±1.

к оглавлению ▴

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение:

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ:

12. Решим уравнение: .

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1)

— корни первого квадратного уравнения.

2)

— корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ:

к оглавлению ▴

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение:

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

к оглавлению ▴

Модуль в модуле

14. Решим уравнение:

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции Он строится согласно определению модуля:

.

Для получаем участок графика y = x.

Для  получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение:

Решение:

Сделаем замену переменной:

Тогда

Получим:

Мы помним, что

Решим уравнение графически. В левой части — график функции

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций (точка минимума (3; 0)) и (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции сдвинут относительно графика на 3 единицы вправо, а график — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций и

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при — получим горизонтальный участок. При x 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x — 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все принадлежащие отрезку от до

значит,

Ответ:

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Скрыть

Избавимся от знака модуля в левой части данного уравнения. Для этого рассмотрим три случая.

1) $$xgeq5.$$ В таком случае $$|5 — x| = x — 5, |x — 1| = x — 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$x — 5 + x — 1 = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$2x — 6 = 10; 2x = 10 + 6; 2x = 16; x = frac{16}{2}; x = 8.$$ Поскольку $$8 > 5,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

2) $$1leq x < 5.$$ В таком случае $$|5 — x| = 5 — x, |x — 1| = x — 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 — x + x — 1 = 10. 4 = 10.$$

Следовательно, при таких значениях $$x$$ исходное уравнение решений не имеет.

3) $$x < 1.$$ В таком случае $$|5 — x| = 5 — x, |x — 1| = 1 — x$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 — x + 1 — x = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$6 — 2x = 10; 2x = 6 — 10; 2x = -4; x = -frac{4}{2}; x = -2.$$ Поскольку $$-2 < 1,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

Данное уравнение имеет два решения: $$x = 8$$ и $$x = -2.$$

$$8+(-2)=6$$

ЕГЭ профильный уровень. Задание №5 (новое)

Показательные уравнения.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Выражение , получим:

и переходя к степеням, имеем:

Ответ: 8.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Число , следовательно, можно записать, что

и, переходя к степеням, имеем:

Ответ: 1.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Так как , то равенство

можно привести к равенству

Ответ: -6.

1.  Найдите корень уравнения 

Решение.

Преобразуем выражение, получим:

Так как основания равны, то можно перейти к равенству степеней:

Ответ: 15.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Преобразуем выражение, учитывая, что , имеем:

и, переходя к равенству степеней, получаем:

Ответ: 7.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Число , поэтому равенство можно преобразовать таким образом:

и, так как получены одинаковые основания 3/5, можно перейти к равенству степеней:

Ответ: 1.

1. Найдите больший корень уравнения 

Решение.

Так как , получаем одинаковые степени в обеих частях уравнения

,

а, значит, можно перейти к равенству:

Раскрывая модуль, получаем два уравнения:

Больший корень уравнения равен 8.

Ответ: 8.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Преобразуем равенство, имеем:

Так как основания 3 равны в обеих частях уравнения, можно перейти к равенству степеней:

Ответ: 7.

1.  Найдите меньший корень уравнения 

Решение.

Так как , получаем

и, извлекая квадратный корень от обеих частей уравнения, имеем:

Раскрывая модуль, получаем два уравнения:

Меньший корень равен 1.

Ответ: 1.

1. Найдите корень уравнения 

Решение.

Так как , а , получаем равенство:

и, переходя к равенству степеней, имеем:

Ответ: 2.