Примеры по формулам приведения решу егэ - Exhelper.top

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа, 1.2.4 Основные тригонометрические тождества, 1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений, 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 1.2.2 Радианная мера угла, 1.2.5 Формулы приведения, 1.2.6 Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов, 1.2.7 Синус и косинус двойного угла

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (π+a), (π-a), (frac{3pi}{2}+a), (frac{3pi}{2}-a), (2π+a) и (2π-a). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: (90^°+a), (90^°-a), (180^°+a), (180^°-a), (270^°+a), (270^°-a), (180^°+a), (180^°-a).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Содержание:

Как быстро получить любую формулу приведения
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
Примеры из ЕГЭ с формулами приведения
Как доказать формулу приведения

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция: Кофункция:
(sin⁡) (a) (→) (cos⁡) (a)
(cos⁡) (a) (→) (sin⁡) (a)
(tg⁡) (a) (→) (ctg) (a)
(ctg⁡) (a) (→) (tg) (a)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс
или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для (⁡cos⁡(frac{3pi}{2}-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (frac{pi}{2}), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (frac{3pi}{2}-a)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (frac{3pi}{2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(frac{3pi}{2}-a)=-…)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

— если «точка привязки» (frac{pi}{2}) ((90^°)) или (frac{3pi}{2}) ((270^°))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (frac{3pi}{2}+a) или (frac{pi}{2}-a), мы должны поменять функцию, а при аргументах (π+a), (π-a), (2π+a) или (2π-a) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие (frac{pi}{2}) ((90^°)) и (frac{3pi}{2}) ((270^°)), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие (π) ((180^°)) и (2π) ((360^°)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=…) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=-sin⁡) (a). Это и есть верная формула приведения.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{18 cos {⁡{41}^°} }{sin⁡ {{49}^°}})

Решение:

(frac{18 cos {{⁡41}^°} }{sin⁡{{49}^°}}=)	Углы ({41}^°) и ({49}^°) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: (49^°=90^°-41^°). Поэтому мы можем заменить (49^°) на (90^°-41^°).
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{sin⁡ {({90}^°-{41}^°)}}=)	Теперь применим к синусу формулу приведения: (90^°-41^°) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс; (90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию. (sin⁡{(90^°-41^°)}=cos⁡ 41^° )
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{cos⁡ {{41}^°}}=)	В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
(= 18)	Записываем ответ

Ответ: (18).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{5,tg⁡,163^°}{tg⁡,17^°})

Решение:

(frac{5, tg⁡,163^°}{tg⁡,17^°}=)

Опять замечаем интересное «совпадение»: (163^°=180^°-17^°). Поэтому можно заменить (163^°) на (180^°-17^°).

(=frac{5,tg⁡,(180^°-17^°)}{tg⁡,17^°}=)

Воспользуемся формулой приведения:

((180^°-17^°)) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;
(180^°) — находится на «горизонтали» — функция остается прежней.

Значит, (tg⁡,(180^°-17^°)=-tg⁡,17^°).

(=-frac{5,tg⁡,17^°}{tg⁡,17^°})(=-5)

Ответ: (-5).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (-19,tg,101^°cdot tg,191^°)

Решение:

(-19,tg,101^°cdot tg ,91^°=)		(101^°=90^°+11^°); (191^°=180^°+11^°).
(=-19,tg,(90^°+11^° )cdot tg, (180^°+11^° )=)		Применим формулы приведения: ((90^°+11^°)) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус; (90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется. Значит, (tg⁡,(90^°+11^°)=-ctg⁡,11^°). ((180^°+11^°)) – это третья четверть, тангенс в ней положителен. Значит, знак будет плюс; (180^°) — находится на «горизонтали» — функция остается прежней. Значит, (tg⁡,(180^°+11^°)=tg⁡,11^°).
(=19,ctg,11^°cdot tg,11^°=)		Вот тут можно применить одну из формул связи.
(=19).

Ответ: (19).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить: (frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°}).

Решение:

(frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°})		(131^°=90^°+41^°); (221^°=180^°+41^°).
(frac{-12}{sin^2⁡(90^°+41^°)+ sin^2⁡(180^°+41^°)})		(sin^2⁡(90^°+41^°):) ((90^°+41^°)) – (90^°) на вертикали, синус меняется на косинус; Знак синуса не важен, так как он все равно в квадрате. (sin^2⁡(180^°+41^° ):) ((180^°+41^°)) – (180^°) на горизонтальной оси, синус остается синусом.
(frac{-12}{cos^2⁡{41^°} + sin^2⁡{41^°}})		Очевидно, что в знаменателе можно применить основное тригонометрическое тождество.
(=frac{-12}{1}=-12).

Ответ: (-12).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите (26, cos⁡(frac{3π}{2}+α)), если (cos⁡α=frac{12}{13}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).

Решение:

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения (26,cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26,sin⁡α). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(frac{12}{13})^2=1)
(sin^2⁡α+frac{144}{169}=1)
(sin^2⁡α=1-frac{144}{169})
(sin^2⁡α=frac{169-144}{169})
(sin^2⁡α=frac{25}{169})
(sin⁡,α=±frac{5}{13})

С учетом того, что (α∈(frac{3π}{2};2π)), то есть в четвертой четверти, (sin,⁡α=-frac{5}{13}).

(26,cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26,sin⁡α=26cdot (-frac{5}{13})=-frac{26cdot 5}{13}=-2cdot 5=-10).

Ответ: (-10).

Ну и последний пример – с очень важным выводом после него.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить, чему равен (ctg(-a-frac{7π}{2})), если (tg⁡,a=2).

Решение:

(ctg(-a-frac{7π}{2})=)		Прежде чем применять формулу приведения, приведем аргумент функции к стандартному (одному из указанных в начале статьи). Давайте поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки – для того, чтобы a стояла после «точки привязки».
(= ctg(-frac{7π}{2}-a) =)		Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
(= ctg(-(frac{7π}{2}+a)) =)		Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть (ctg,(-t)=- ctg,t). Преобразовываем наше выражение.
(=- ctg(frac{7π}{2}+a) =)		Теперь преобразуем (frac{7π}{2}) следующим образом: (frac{7π}{2}=frac{4π+3π}{2}=2π+frac{3π}{2}).
(=- ctg(2π+frac{3π}{2}+a) =)		Но ведь (2π) – это просто полный оборот по кругу, он не оказывает никакого влияния на значение функции: (ctg,(2π+x)=ctg(x)). Так что, его можно просто отбросить.
(=- ctg(frac{3π}{2}+a) =)		Вот теперь применяем формулу приведения. ((frac{3π}{2}+a)) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем (ctg(frac{3π}{2}+a)=-tg,a).
(= — (- tg,a) = tg,a = 2)		Готов ответ.

Ответ: (2).

Важное замечание! На самом деле преобразовывать функцию по формулам приведения можно было сразу после получения (ctg(-frac{7π}{2}-a)), не делая все последующие преобразования.
Действительно:
((-frac{7π}{2}-a)) – это первая четверть, там котангенс положителен.
«Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем.
Таким образом, можно сразу получить, что (ctg,(-frac{7π}{2}-a)=tg,a).

Вывод:

«Точки привязки» не ограничиваются только лишь значениями (frac{π}{2}),(π),(frac{3π}{2}) и (2π), а могут быть любой из точек, лежащих на пересечении круга с осями: (5π),(-frac{17π}{2}),(-12π),(frac{25π}{2})…

Но обратите внимание – они никогда не могут быть (-frac{π}{3}),(frac{5π}{6}),(frac{17π}{4}) и т.д. – потому что эти точки не лежат на пересечении с осями. Давайте, вместе выясним почему это так.

Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями

Возьмем какую-либо формулу приведения – например, вот эту (sin⁡(frac{π}{2}+a)=cos⁡a) – и попробуем получить из левой части правую.
Что у нас слева? Синус суммы аргументов.
У нас на этот случай есть формула: (sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+sin⁡y cos⁡x)
Применим ее: (sin⁡(frac{π}{2}+a)=sin⁡frac{π}{2}cos⁡a+sin⁡a cos⁡frac{π}{2})
Мы знаем, что (sin⁡frac{π}{2}=1, а cos⁡frac{π}{2}=0). Таким образом имеем окончательную цепочку преобразований:

(sin⁡(frac{π}{2}+a)=sin⁡frac{π}{2}cos⁡a+sin⁡a cos⁡frac{π}{2}=1·cos⁡a+sin⁡a·0=cos⁡a)

Получилось!

Попробуем еще. Возьмем вот эту формулу: (cos⁡(π-a)=-cos⁡a)
Преобразовываем с помощью формулы разности в косинусе:

(cos⁡(π-a)=cos⁡π cos⁡a+sin⁡a sin⁡π=-1·cos⁡a+sin⁡a·0=-cos⁡a)

Опять всё верно.

Ну и еще одну: (cos⁡(frac{3π}{2}+a)=sin⁡a)
Преобразовываем с помощью формулы суммы в косинусе:

(cos⁡(frac{3π}{2}+a)=cos⁡frac{3π}{2}cos⁡a-sin⁡a sin⁡frac{3π}{2}=0·cos⁡a-sin⁡a·(-1)=sin⁡a)

Сошлось.

А теперь присмотритесь к преобразованиям. Замечаете что-нибудь общее?
Да, всё верно — во всех случаях у нас одна из функций превращается в (1) или (-1), а вторая в (0). И именно благодаря этому — итоговое выражение становится проще!

А теперь давайте попробуем взять в качестве «точки привязки» не точку пересечения с осями, а какую-нибудь другую, например, (frac{π}{3}):

(cos⁡(frac{π}{3}-a)=cos⁡frac{π}{3}cos⁡a+sin⁡a sin⁡frac{π}{3}=frac{1}{2}·cos⁡a+sin⁡a·frac{sqrt{3}}{2}=)(frac{cos⁡a+sqrt{3}sin⁡a}{2})

Мда… Что-то такое себе упрощение получилось…

Понимаете теперь?

«Точки привязки» должны быть точками пересечения с осями, потому что только в этом случае получаются более простые выражения. Так происходит потому, что в точках пересечения круга с осями всегда одна из функций (синус или косинус) равна нулю, а вторая плюс или минус единице. Для всех остальных точек – это не работает.

Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами
Как доказать тригонометрическое тождество?

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведенияadmin2022-10-13T15:58:11+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

Задача 1. Упростите выражение (frac{{cos left( {frac{pi }{2} — alpha } right)}}{{2sin alpha }})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 2. Упростите выражение (frac{{3cos left( {frac{pi }{2} + alpha } right)}}{{2sin left( {pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 3. Упростите выражение (frac{{3sin left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{4sin left( {frac{pi }{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,75.

Задача 4. Упростите выражение (frac{{ — 3cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{5sin left( {2pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Задача 5. Упростите выражение (frac{{sin left( {{{180}^ circ } + alpha } right)}}{{4cos left( {{{270}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 6. Упростите выражение (frac{{sin left( {alpha — {{180}^ circ }} right)}}{{5cos left( {{{90}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,2.

Задача 7. Упростите выражение (frac{{{text{4}},{text{tg}}left( { — alpha — {{180}^ circ }} right)}}{{5,{text{ctg}}left( {{{90}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.

Задача 8. Упростите выражение (frac{{6,{text{tg}}left( { — alpha + {{270}^ circ }} right)}}{{5,{text{ctg}}left( {{{360}^ circ } — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,2.

Задача 9. Упростите выражение (frac{{sin left( {pi + alpha } right) cdot cos left( { — alpha } right)}}{{2cos left( {pi + alpha } right) cdot sin left( {3pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 10. Упростите выражение (frac{{{text{5tg}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) cdot cos left( {pi — alpha } right)}}{{2,{text{ctg}}left( {pi + alpha } right) cdot sin left( {frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Задача 11. Упростите выражение (frac{{{text{5cos}}left( {{{540}^ circ } + alpha } right) cdot cos left( {{{630}^ circ } — alpha } right)}}{{4,sin left( {alpha — {{450}^ circ }} right) cdot sin left( {alpha — {{900}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Задача 12. Упростите выражение (frac{{{text{7}},{text{tg}}left( {{{630}^ circ } + alpha } right) cdot cos left( {{{270}^ circ } — alpha } right)}}{{2,cos left( {alpha — {{810}^ circ }} right) cdot {text{tg}}left( {alpha — {{990}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -3,5.

Задача 13. Упростите выражение (frac{{{text{5sin}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) + 2cos left( {pi — alpha } right)}}{{2,cos left( {pi + alpha } right) + sin left( {frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 14. Упростите выражение (frac{{{text{3tg}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{2,{text{ctg}}left( {pi + alpha } right) + 4{text{tg}}left( { — frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.

Задача 15. Упростите выражение (frac{{{text{6cos}}left( {frac{{7pi }}{2} + alpha } right) — 2sin left( {5pi — alpha } right)}}{{2,sin left( {7pi + alpha } right) + 4cos left( {frac{{17pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 16. Упростите выражение (frac{{{text{6cos}}left( {frac{pi }{2} + 2alpha } right) — 2sin left( {5pi — 2alpha } right)}}{{,sin left( {2alpha — pi } right) — 5cos left( {2alpha — frac{{7pi }}{2}} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 17. Упростите выражение (frac{{7cos {{72}^ circ }}}{{sin {{18}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 18. Упростите выражение (frac{{7cos {{165}^ circ }}}{{4cos {{15}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,75.

Задача 19. Упростите выражение (frac{{12sin {{49}^ circ }}}{{5sin {{311}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -2,4.

Задача 20. Упростите выражение (frac{{2cos {{440}^ circ }}}{{cos {{80}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 21. Упростите выражение (frac{{3,{text{ctg}},{{562}^ circ }}}{{{text{5ctg}},{{202}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Задача 22. Упростите выражение (frac{{3,{text{ctg}},{{62}^ circ }}}{{{text{8}},{text{tg}},{{152}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,375.

Задача 23. Упростите выражение (12,,{text{tg}},{37^ circ } cdot {text{tg}},{53^ circ })

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Задача 24. Упростите выражение (23,,{text{ctg}},{49^ circ } cdot ,,{text{ctg}},{139^ circ })

Ответ

ОТВЕТ: -23.

Задача 25. Упростите выражение (frac{{ — 2}}{{{{sin }^2}{{152}^ circ } + {{sin }^2}{{242}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 26. Упростите выражение (frac{{32}}{{{{cos }^2}{{37}^ circ } + {{cos }^2}{{233}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 32.

Задача 27. Упростите выражение (frac{{24}}{{{{cos }^2}{{89}^ circ } + {{sin }^2}{{269}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 28. Упростите выражение (frac{{ — 1,5}}{{{{sin }^2}{{25}^ circ } + {{cos }^2}left( { — {{155}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 29. Найдите (4sin left( {frac{{11pi }}{2} — alpha } right)), если (sin alpha = 0,6) и (alpha in left( {frac{pi }{2};;pi } right))

Ответ

ОТВЕТ: 3,2.

Задача 30. Найдите (39cos left( {frac{{5pi }}{2} + alpha } right)), если (cos alpha = frac{{12}}{{13}}) и (alpha in left( {frac{{3pi }}{2};;2pi } right))

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 31. Найдите ({text{5}},{text{tg}}left( {alpha + frac{{3pi }}{2}} right)), если ({text{tg}},alpha ,{text{ = }},{text{0}}{text{,4}})

Ответ

ОТВЕТ: -12,5.

Задача 32. Найдите (5,{text{ctg}}left( {frac{{3pi }}{2} — beta } right) — 4{text{tg}}left( { — beta } right)), если ({text{tg}},beta ,{text{ = }},9)

Ответ

ОТВЕТ: 81.

Задача 33. Найдите (4cos left( {3pi + beta } right) — 2sin left( {frac{{3pi }}{2} + beta } right)), если (cos beta = — frac{1}{4})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 34. Найдите (5sin left( {alpha — 3pi } right) + 2cos left( {frac{pi }{2} + alpha } right)), если (sin alpha = — 0,25)

Ответ

ОТВЕТ: 1,75.

Источник

Задания Открытого банка ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мне нравится

Источник

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

При изучении геометрии вы установили, что

если

Свойство периодичности тригонометрических функций позволяет свести вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла к вычислению значений этих функций при значениях аргумента, принадлежащих промежутку Например,

На практике принято сводить значения тригонометрических функций произвольного угла к вычислению значений этих функций для угла, принадлежащего промежутку .

Это можно делать с помощью формул приведения.

Рассмотрим промежуток Любое число из этого промежутка можно пред ставить в виде

Например,
Поскольку ординаты точек равны, а абсциссы отличаются только знаком, то: (рис. 113).
Тогда для получим, что
А для имеем:

Вместе с тем любое число из промежутка можно также представить в виде где Например,
Так как ордината точки равна абсциссе точки а абсцисса точки отличается от ординаты точки только знаком (рис. 114), то: а

Для получим:

Так как любое число из промежутка можно представить в виде или то, рассуждая аналогично, получим формулы приведения:

Поскольку любое число из промежутка можно представить в виде то получим:

Проанализировав полученные формулы, можно заметить закономерности, позволяющие сформулировать правило, с помощью которого можно применять формулы приведения, не заучивая их:

В правой части формулы приведения ставится тот знак, который имеет в соответствующей четверти исходная функция, если считать, что угол — острый.

Если в формуле приведения аргумент имеет вид:

Например, применим полученное правило для выражения

Если считать, что угол — острый, то — — угол третьей четверти. В третьей четверти косинус (исходная функция) отрицательный, значит, в правой части равенства нужно поставить знак «минус».
Поскольку аргумент имеет вид то название функции «косинус» нужно поменять на «синус». Таким образом, получим:

Пример:

Приведите выражение к тригонометрической функции числа применив формулы приведения:

Решение:

Применим правило:

а) 1. Так как — угол четвертой четверти, в которой косинус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».

2. Поскольку аргумент имеет вид то название функции «косинус» не меняется. Значит,

б) 1. Так как — угол четвертой четверти, в которой тангенс отрицательный, то в правой части равенства нужно поставить знак «минус».

2.Поскольку аргумент имеет вид название функции «тангенс» нужно поменять на «котангенс». Тогда

в) 1. Так как — угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства части равенства не нужно ставить знак «минус»

2. Поскольку аргумент имеет вид то название функции «синус» не меняется. Значит,

Пример:

Используйте формулы приведения и найдите значение выражения:

Решение:

Первый способ:

Так как угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».
Поскольку аргумент имеет вид то название функции «синус» не меняется. Значит,

Второй способ:

(в третьей четверти тангенс положительный, название функции не меняется).

(в третьей четверти косинус отрицательный, название функции не меняется). (в четвертой четверти котангенс отрицательный, название функции не меняется).