Прогрессия арифметическая егэ задания


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

2

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

3

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

4

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

5

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать

Задача 2. Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: + показать

Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение: + показать

Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать

Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать

тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессииadmin2022-11-08T21:41:31+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Пусть бригада в первый день покрасила а1 метров забора, во второй – а2, …, в последний – аn метров забора. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,)  а  ({S_n} = 240.)  Тогда:  (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.)  Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней.

Ответ: 8.
Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Пусть рабочие в первый день прокладывают а1 метров тоннеля, во второй – а2, …, в последний десятый день – а10 метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 3,)  а  ({S_{10}} = 500.)  Тогда:  (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.)  Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.
Задача 3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Пусть в первый день Вася решил а1 задач, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 задач. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 5,)  а  ({S_{14}} = 490.)  Тогда:  (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.)  Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач.

Ответ: 65.
Задача 4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_6} = 120.)  Тогда:  (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.)  Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.

Ответ: 18.
Задача 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пусть в первый день грузовик перевёз а1 тонн, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 тонн. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 2,)  а  ({S_{14}} = 210.)  Тогда:  (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.)  Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2)   и   ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн.

Ответ: 18.
Задача 6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй – а2, …, в последний день – аn метров. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,)  а  ({S_n} = 150.)  Тогда:  (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.)  Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней.

Ответ: 30.
Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_{16}} = 640.)  Тогда:  (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.)  Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.

Ответ: 5.
Задача 8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила:  (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей;  2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей;  в 2003 году  (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей.

Ответ: 320 000.
Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял:  (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000)  долларов;  в 2003 году  (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000)  долларов; в 2004 году  (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000)  долларов; в 2005 году  (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000)  долларов; в 2006 году  (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000)  долларов. 

Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял:  (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000)  долларов;  в 2005 году  (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000)  долларов; в 2006 году  (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000)  долларов.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Ответ:  35000.

Источник

Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

a_{n+1}=a_n+d,(n=1,2,...).

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_{n}=a_1+(n-1)d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+...+a_n вычисляется по формуле: S_n=frac{(a_1+a_n)}{2} cdot n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее  арифметическое соседних: a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

1. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.

2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.

3 марта он добавляет еще 30 рублей,

4 марта 40 рублей,

5 марта 50 рублей.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией.

В нашей прогрессии a_1=10, d=10. В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, n=31+30+31=92.

31 мая Максим положит в копилку a_{92}=a_1+(92-1)d=10+910=920 рублей.

Всего в копилке в этот день будет S_{92}=frac{(a_1+a_n)}{2}cdot 92=frac{(10+920)}{2}cdot 92=42780 рублей.

Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.

2. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть улитка проползла в первый день a_1 метров, в последний – a_n метров, причем  a_1+a_n=10. Тогда за n дней она преодолела S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}=150  метров. Отсюда n=30

Ответ: 30

3. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней

Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил a_1=5 задач, в последний a_{14} задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: S_{14}=frac{(a_1+a_{14})14}{2}=434. Отсюда a_{14}=57

4. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

В первый день бригада покрасила a_1 метров забора, во второй a_2 метров, в последний a_n  метров.

По формуле суммы арифметической прогрессии: S_{n}=frac{(a_1+a_{n})n}{2}=150.  По условию,  a_1+a_n=75. Отсюда n = 4.

5. (Задача ОГЭ) Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: -4; -2; 0… Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

Найдем d – разность арифметической прогрессии.

d= a_2-a_1=(-2)-(-4)=2.

Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле: S_n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n

У нас n = 10.

S_{10}=frac{2a_1+(10-1)d}{2}cdot 10=frac{-8+9cdot 2}{2}cdot 10=50.

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

  1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
  1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
  1. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
  1. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Ответы к задачам:

  1. Ответ: 18
  2. Ответ: 15
  3. Ответ: 18
  4. Ответ: 22.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Задачи по теме «Прогрессии». Самостоятельная
работа.

1.      Бри­га­да ма­ля­ров кра­сит забор дли­ной
540 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму по­крас­ки на одно и то же
число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний день в сумме бри­га­да
по­кра­си­ла 120 мет­ров за­бо­ра. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней бри­га­да
ма­ля­ров кра­си­ла весь забор.

2.      Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной
27 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же
число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли
8 мет­ров тун­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тун­не­ля про­ло­жи­ли
ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за
3 дня.

3.      Саше надо ре­шить 119 задач. Еже­днев­но он
ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим
днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Саша решил 11 задач. Опре­де­ли­те,
сколь­ко задач решил Саша в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся
за 7 дней.

4.      Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый
день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние.
Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 11 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те,
сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за седь­мой день, если весь путь он про­шел
за 10 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 245 ки­ло­мет­ров.

5.      Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой
133 тонны, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же
число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 3 тонны
щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но на де­ся­тый
день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

6.      Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го.
Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в
преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла
в общей слож­но­сти 14 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла
на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 49 мет­рам.

7.      Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый
день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние.
Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 8 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те,
сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за тре­тий день, если весь путь он про­шел
за 6 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 93 ки­ло­мет­ра.

8.      Кате надо под­пи­сать 799 от­кры­ток. Еже­днев­но
она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию
с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Катя под­пи­са­ла
15 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за
седь­мой день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 17 дней.

9.      Биз­не­смен Пря­ниш­ни­ков по­лу­чил в 2000 году
при­быль в раз­ме­ре 1300000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль
уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей
за­ра­бо­тал Пря­ниш­ни­ков за 2004 год?

10.  Биз­не­смен Бул­кин по­лу­чил в 2000 году при­быль
в раз­ме­ре 900000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась
на 16% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Бул­кин
за 2002 год?

11.  Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать
сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре
3500 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль,
ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния
«Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2005
году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 5500 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2006 года, еже­год­но
по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года.
На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла
дру­гой к концу 2008 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

12.  Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать
сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре
4000 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль,
ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния
«Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2005
году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 6000 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2006 года, еже­год­но
по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 300% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года.
На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла
дру­гой к концу 2009 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

Источник

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Арифметическая и геометрическая прогрессии


Задание
1

#2217

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?

Например, прогрессия (-1, 1, 3, 5, …)

и прогрессия (1, -1, -3, -5, …).

Ответ:

Да


Задание
2

#2219

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

(S_{19} = dfrac{a_{19} + a_1}{2}cdot 19).

(a_{10} = a_1 + 9d_a).

(a_{19} = a_1 + 18d_a), тогда (a_{19} + a_1 = 2a_1 + 18d_a = 2cdot(a_1 + 9d_a) = 2cdot a_{10}), тогда (S_{19} = a_{10}cdot 19 = 19000).

Ответ:

(19000)


Задание
3

#2263

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены – целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии – рациональное число?

В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию [1,, sqrt{2},, 2,, 2sqrt{2},,dots]

Ответ:

Нет


Задание
4

#2218

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Например, прогрессия (-2015, -2013, -2011, -2009, …)

и прогрессия (-17, -19, -21, -23, …).

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид (a_n = -2017 + 2n), а общий член второй последовательности имеет вид (b_n = -15 — 2n).

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения (a_k = b_m) в натуральных числах.

[-2017 + 2k = -15 — 2mqquadLeftrightarrowqquad m + k = 1001qquadLeftrightarrowqquad m = 1001 — k.]

Таким образом, (m, kinmathbb{N}) тогда и только тогда, когда (kin{1; 2; …; 1000}), то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.

Ответ:

Да


Задание
5

#2220

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид (a_1, …, a_n, …),

пусть вторая прогрессия имеет вид (b_1, …, b_n, …).

(bullet) Рассмотрим сначала случай, когда разности (d_a) и (d_b) прогрессий отличны от (0).

Пусть существуют пары натуральных чисел ((k_1; m_1)) и ((k_2; m_2)) такие что (a_{k_1} = b_{m_1}) и (a_{k_2} = b_{m_2}). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что (k_1 < k_2), (m_1 < m_2).

Тогда

[a_{k_1} + d_a(k_2 — k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 — m_1),]

но (a_{k_1} = b_{m_1}), следовательно,

[d_a(k_2 — k_1) = d_b(m_2 — m_1)qquadRightarrowqquad d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Так как (k_2 > k_1 > 0), то (2k_2 — k_1 > 0), тогда ((2k_2 — k_1)inmathbb{N}) и существует [a_{2k_2 — k_1} = a_{k_1} + d_a((2k_2 — k_1) — k_1) = a_{k_1} + d_acdot 2(k_2 — k_1).] Так как (m_2 > m_1 > 0), то (2m_2 — m_1 > 0), тогда ((2m_2 — m_1)inmathbb{N}) и существует [b_{2m_2 — m_1} = b_{m_1} + d_b((2m_2 — m_1) — m_1) = b_{m_1} + d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Но (d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1)), следовательно, [a_{2k_2 — k_1} = b_{2m_2 — m_1},] то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

(bullet) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей (d_a) и (d_b) равна (0).

Пусть (d_a = 0), (d_bneq 0), тогда (d_b > 0) (последовательности из положительных чисел), тогда (b_1, …, b_n, …) – возрастает, а (a_1, …, a_n, …) – постоянна, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть (d_a = 0), (d_b = 0), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.

Ответ:

Нет


Задание
6

#2221

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что в последовательности (a_1, …, a_n, …) каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что (a_{50} = 100), (S_{199} = pi). Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}).

Покажем, что последовательность (a_1, …, a_n, …) – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение (d = a_2 — a_1), тогда [a_1 + d = a_2 = dfrac{a_1 + a_3}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + d) = a_1 + a_3qquadRightarrowqquad a_3 = a_1 + 2d.]

Докажем при помощи полной индукции, что (a_{n + 1} = a_n + d):

1) При (n = 1) имеем (a_2 = a_1 + d) – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех (n leq N), покажем, что тогда оно верно и для (n = N + 1):

[a_1 + (N — 1)d = a_N = dfrac{a_{N + 1} + a_{N — 1}}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + (N — 1)d) = a_{N + 1} + a_{N — 1},]

откуда [a_{N + 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — a_{N — 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — (a_1 + (N — 2)d) = a_1 + Nd,] что и требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}), есть [a_{99 + 1} + … + a_{99 + 100} = a_{100} + … + a_{199} = S_{199} — S_{99} = pi — S_{99}.]

(S_{99} = dfrac{a_1 + a_{99}}{2}cdot 99).

(a_{50} = a_1 + 49d),

(a_{99} = a_1 + 98d),
следовательно, [a_{99} + a_1 = 2a_1 + 98d = 2(a_1 + 49d) = 2cdot a_{50},] тогда (S_{99} = a_{50}cdot 99 = 9900).

В итоге (a_{100} + … + a_{199} = pi — 9900).

Ответ:

(pi — 9900)


Задание
7

#2264

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите сумму (7 + 77 + 777 + … + 777…7), где запись последнего числа содержит (2n) семёрок.

Данную сумму можно переписать в виде [7(1 + 11 + 111 + … + 111…1),,] где запись последнего числа в скобках содержит (2n) единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

[begin{aligned}
&7Bigl(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + … + (100…0 + … + 1)Bigr) =\
= &7Bigl(10^0cdot 2n + 10^1cdot (2n — 1) + 10^2cdot (2n — 2) + … + 10^{2n — 1}cdot 1Bigr) =\
= &7Bigl((1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1}) + (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 2}) + … + (1 + 10) + 1)Bigr)
end{aligned}]

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1} = dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1}), тогда последнее выражение равно

[begin{aligned}
&7left(dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1} + dfrac{10^{2n — 1} — 1}{10 — 1} + … + dfrac{10^{2} — 1}{10 — 1} + dfrac{10 — 1}{10 — 1}right) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl((10^{2n} — 1) + (10^{2n — 1} — 1) + … + (10^{2} — 1) + (10 — 1)Bigr) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl(10^{2n} + 10^{2n — 1} + … + 10^{2} + 10 — 2nBigr) = dfrac{7}{9}left(dfrac{10cdot (10^{2n} — 1)}{10 — 1} — 2nright) =\
= &dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n
end{aligned}]

Ответ:

(dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n)

Многие ученики при сдаче ЕГЭ по математике сталкиваются с трудностями в решении задач на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Такие задания встречаются в бланках довольно часто, поэтому им стоит уделить особое внимание. Наш портал поможет вам узнать, как быстро найти правильный ответ. Вы можете ознакомиться с примерами, предназначенными для учеников разного уровня подготовки.

«Школково» ― залог успешной сдачи заключительного тестирования

На нашем образовательном портале вы найдете материалы, необходимые для легкого прохождения Единого государственного экзамена. Благодаря преподавателям «Школково» на сайте собрана и систематизирована вся информация по тематическим рубрикам. Они изложили материал в наиболее простой и понятной форме, поэтому после повторения формул и правил выпускники смогут быстро выполнить задания на нахождение суммы и разности в арифметической и геометрической прогрессии даже повышенного уровня сложности.

Мы предлагаем наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации. Для эффективности занятий рекомендуем начинать с более простых упражнений и постепенно переходить к сложным. Таким образом вы можете определить свои слабые стороны и уделить больше внимания заданиям на нахождение чисел, чтобы улучшить навыки и увеличить скорость их решения.

Прочитайте данный материал в разделе «Теоретическая справка», изучите условия и потренируйтесь в выполнении типовых задач. После этого вы можете переходить в раздел «Каталоги», где представлено множество примеров различного уровня сложности.

Если у школьника возникнут сложности с решениями упражнений с общими членами, он может добавить их в «Избранное» и вернуться к ним позже, повторив формулы арифметической прогрессии или заручившись помощью преподавателя.

База заданий «Школково» постоянно обновляется и дополняется, поэтому вы каждый день можете выполнять новые задачи. Чтобы занятия давали еще большую результативность, советуем обращаться к нашему сайту ежедневно.

Не откладывайте подготовку к ЕГЭ на потом. Начните заниматься вместе со «Школково» уже сегодня!

Обратите внимание, что на нашем портале могут попробовать свои силы в выполнении разных задач все желающие. Для того чтобы начать повторение материалов и решать уравнения с арифметической и геометрической прогрессией, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Арифметические и геометрические прогрессии»

Открытый банк заданий по теме арифметические и геометрические прогрессии. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1106

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+…+a_{15}= frac{a_1+a_{15}}{2}cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

34

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1104

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+…+a_{20}= frac{a_1+a_{20}}{2}cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

27

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №334

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Плиточник должен уложить 320 м2 плитки. Если он будет укладывать на 6 м2 в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

Показать решение

Решение

Пусть x (м2) — планируемая норма укладки в день. Тогда, согласно условию, получаем:

frac{320}{x}-frac{320}{x+6}=12,

frac{320(x+6)-320cdot x}{x(x+6)}=12,

frac{320cdot6}{x(x+6)}=12,

frac{160}{x(x+6)}=1,

x^2+6x-160=0.

x_{1,2}=-3pmsqrt{9+160}=-3pm13.

Так как x не является отрицательным числом, то x = 10.

Ответ

10

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №333

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Грузовой автомобиль перевозит технику из одного города в другой, проезжая в каждый последующий день на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. В первый день пути водитель проехал расстояние 520 км. Известно, что расстояние между городами 3270 км и на весь путь потребовалось ровно 5 дней. Определите, сколько километров проехал водитель за третий день пути.

Показать решение

Решение

Расстояние увеличивается каждый день на одну и ту же величину d, а значит, последовательность таких расстояний — арифметическая прогрессия.

За 5 дней пройденный путь равен frac{(a_1+a_5)}{2}cdot5=3270, где a_1, a_3 и a_5 — путь, пройденный в первый, третий и пятый дни соответственно.

По свойству арифметической прогрессии a_3=a_1+2d, a_5=a_1+4d, значит, a_3=frac{a_1+a_5}{2}. Тогда a_3=3270:5=654 (км).

Ответ

654

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Программируемый калькулятор для егэ как выглядит
  • Прогрессивный блок история егэ
  • Программирование экзамены егэ
  • Прогресс термин обществознание егэ
  • Программирование что сдавать егэ

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии