Тригонометрические производные егэ

ОТВЕТ: 12.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ =  — 12sin x + 6sqrt 3 .)

Найдем нули производной на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 12sin x + 6sqrt 3  = 0}\{0 le x le frac{pi }{2},,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin x = frac{{sqrt 3 }}{2}}\{0 le x le frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = frac{pi }{3}.} right.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет в точке (x = frac{pi }{3}).

(yleft( {frac{pi }{3}} right) = 12cos frac{pi }{3} + 6sqrt 3  cdot frac{pi }{3} — 2sqrt 3  cdot pi  + 6 = 12 cdot frac{1}{2} + 2sqrt 3 pi  — 2sqrt 3 pi  + 6 = 12.)

Ответ:  12.

ОТВЕТ: 4.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — frac{{7sqrt 3 }}{3} + frac{{14sqrt 3 }}{3}sin x.)

Найдем нули производной на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{{7sqrt 3 }}{3} + frac{{14sqrt 3 }}{3}sin x = 0}\{0 le x le frac{pi }{2},,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin x = frac{1}{2}}\{0 le x le frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = frac{pi }{6}.} right.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет в точке (x = frac{pi }{6}).

(yleft( {frac{pi }{6}} right) = 11 + frac{{7sqrt 3 pi }}{{18}} — frac{{7sqrt 3 }}{3} cdot frac{pi }{6} — frac{{14sqrt 3 }}{3}cos frac{pi }{6} = 11 + frac{{7sqrt 3 pi }}{{18}} — frac{{7sqrt 3 pi }}{{18}} — 14frac{{sqrt 3 }}{3} cdot frac{{sqrt 3 }}{2} = 4.)

Ответ:  4.

ОТВЕТ: 77.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ =  — 42sin x — 45.)

Видно, что  (y’ =  — 42sin x — 45 < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{{3pi }}{2};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 42cos 0 — 45 cdot 0 + 35 = 42 + 35 = 77.)

Ответ:  77.

ОТВЕТ: 3.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ = 12 — 2cos x.)

Видно, что  (y’ = 12 — 2cos x > 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{pi }{2};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 12 cdot 0 — 2sin 0 + 3 = 3.)

Ответ:  3.

ОТВЕТ: 59.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — 30sin x + 33.)

Видно, что  (y’ =  — 30sin x + 33 > 0)  при  (x,, in ,,R), так как (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ {0;frac{{3pi }}{2}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 30cos 0 + 33 cdot 0 + 29 = 30 + 29 = 59.)

Ответ:  59.

ОТВЕТ: 9.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ = 7cos x — 8.)

Видно, что  (y’ = 7cos x — 8 < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{{3pi }}{2};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 7sin 0 — 8 cdot 0 + 9 = 9.)

Ответ:  9.

ОТВЕТ: — 14.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ =  — 6sin x + frac{{24}}{pi }.)

Видно, что  (y’ =  — 6sin x + frac{{24}}{pi } > 0)  при  (x,, in ,,R), так как (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{{2pi }}{3};0} right]) будет принимать в точке (x =  — frac{{2pi }}{3}).

(yleft( { — frac{{2pi }}{3}} right) = 6cos left( { — frac{{2pi }}{3}} right) + frac{{24}}{pi } cdot left( { — frac{{2pi }}{3}} right) + 5 = 6 cdot left( { — frac{1}{2}} right) — 16 + 5 =  — 14.)

Ответ:  – 14.

ОТВЕТ: 26.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ = 8cos x — frac{{30}}{pi }.)

Видно, что  (y’ = 8cos x — frac{{30}}{pi } < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{{5pi }}{6};0} right]) будет принимать в точке (x =  — frac{{5pi }}{6}).

(yleft( { — frac{{5pi }}{6}} right) = 8sin left( { — frac{{5pi }}{6}} right) — frac{{30}}{pi } cdot left( { — frac{{5pi }}{6}} right) + 5 = 8 cdot left( { — frac{1}{2}} right) + 25 + 5 = 26.)

Ответ:  26.

ОТВЕТ: 22.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — 4sin x — frac{{27}}{pi }.)

Видно, что  (y’ =  — 4sin x — frac{{27}}{pi } < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{{2pi }}{3};0} right]) будет принимать в точке (x =  — frac{{2pi }}{3}).

(yleft( { — frac{{2pi }}{3}} right) = 4cos left( { — frac{{2pi }}{3}} right) — frac{{27}}{pi } cdot left( { — frac{{2pi }}{3}} right) + 6 = 4 cdot left( { — frac{1}{2}} right) + 18 + 6 = 22.)

Ответ:  22.

ОТВЕТ: — 23,5.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ = 3cos x + frac{{30}}{pi }.)

Видно, что  (y’ = 3cos x + frac{{30}}{pi } > 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{{5pi }}{6};0} right]) будет принимать в точке (x =  — frac{{5pi }}{6}).

(yleft( { — frac{{5pi }}{6}} right) = 3sin left( { — frac{{5pi }}{6}} right) + frac{{30}}{pi } cdot left( { — frac{{5pi }}{6}} right) + 3 = 3 cdot left( { — frac{1}{2}} right) — 25 + 3 =  — 23,5.)

Ответ:  – 23,5.

ОТВЕТ: 5.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = frac{3}{{{{cos }^2}x}} — 3 = frac{{3 — 3{{cos }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{3left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{3{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = 3{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ = 3{rm{t}}{{rm{g}}^2}x ge 0)  при  (x,, in ,,left[ { — frac{pi }{4};0} right]).

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{pi }{4};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 3,{rm{tg}},0 — 3 cdot 0 + 5 = 5.)

Ответ:  5.

ОТВЕТ: 6.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = frac{5}{{{{cos }^2}x}} — 5 = frac{{5 — 5{{cos }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{5left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{5{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = 5{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ = 5{rm{t}}{{rm{g}}^2}x ge 0)  при  (x,, in ,,left[ {0;frac{pi }{4}} right]).

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ {0;frac{pi }{4}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 5,{rm{tg}},0 — 5 cdot 0 + 6 = 6.)

Ответ:  6.

ОТВЕТ: 11.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = frac{{16}}{{{{cos }^2}x}} — 16 = frac{{16 — 16{{cos }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{16left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{16{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = 16{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ = 16{rm{t}}{{rm{g}}^2}x ge 0)  при  (x,, in ,,left[ { — frac{pi }{4};frac{pi }{4}} right]).

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{pi }{4};frac{pi }{4}} right]) будет принимать в точке (x = frac{pi }{4}).

(yleft( {frac{pi }{4}} right) = 16{rm{tg}}frac{pi }{4} — 16 cdot frac{pi }{4} + 4pi  — 5 = 16 — 4pi  + 4pi  — 5 = 11.)

Ответ:  11.

ОТВЕТ: — 29.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = frac{{36}}{{{{cos }^2}x}} — 36 = frac{{36 — 36{{cos }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{36left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{36{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} = 36{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ = 36{rm{t}}{{rm{g}}^2}x ge 0)  при  (x,, in ,,left[ { — frac{pi }{4};frac{pi }{4}} right]).

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{pi }{4};frac{pi }{4}} right]) будет принимать в точке (x =  — frac{pi }{4}).

(yleft( { — frac{pi }{4}} right) = 36{rm{tg}}left( { — frac{pi }{4}} right) — 36 cdot left( { — frac{pi }{4}} right) — 9pi  + 7 =  — 36 + 9pi  — 9pi  + 7 =  — 29.)

Ответ:  – 29.

ОТВЕТ: — 5.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = 3 — frac{3}{{{{cos }^2}x}} = frac{{3{{cos }^2}x — 3}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{ — 3left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{ — 3{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} =  — 3{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ =  — 3{rm{t}}{{rm{g}}^2}x le 0)  при  (x,, in ,,left[ {0;frac{pi }{4}} right]).

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ {0;frac{pi }{4}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 3 cdot 0 — 3,{rm{tg}},0 — 5 =  — 5.)

Ответ:  – 5.

ОТВЕТ: 13.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = 31 — frac{{31}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{31{{cos }^2}x — 31}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{ — 31left( {1 — {{cos }^2}x} right)}}{{{{cos }^2}x}} = frac{{ — 31{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} =  — 31{rm{t}}{{rm{g}}^2}x.)

Видно, что  (y’ =  — 31{rm{t}}{{rm{g}}^2}x le 0)  при  (x,, in ,,left[ { — frac{pi }{4};0} right]).

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ { — frac{pi }{4};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 31 cdot 0 — 31,{rm{tg}},0 + 13 = 13.)

Ответ:  13.

ОТВЕТ: — 7.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ = frac{6}{{{{cos }^2}x}} — 12.)

Найдем нули производной на заданном отрезке  (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]), воспользовавшись формулой понижения степени:  ({cos ^2}x = frac{{1 + cos 2x}}{2}).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{6}{{{{cos }^2}x}} — 12 = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{cos }^2}x = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{{1 + cos 2x}}{2} = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos 2x = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = frac{pi }{4} + frac{{pi k}}{2},,,,k, in ,z}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — frac{pi }{4},,,,,,,,,x = frac{pi }{4}.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) будет в точках  (x =  — frac{pi }{3})  или  (x = frac{pi }{4}).

(yleft( { — frac{pi }{3}} right) = 6,{rm{tg}}left( { — frac{pi }{3}} right) — 12left( { — frac{pi }{3}} right) + 3pi  — 13 =  — 6sqrt 3  + 7pi  — 13;)

(yleft( {frac{pi }{4}} right) = 6,{rm{tg}},frac{pi }{4} — 12 cdot frac{pi }{4} + 3pi  — 13 =  — 7.)

Так как  ( — 7 <  — 6sqrt 3  + 7pi  — 13), то наименьшее значение равно ( — 7).

Ответ:  – 7.

ОТВЕТ: 4.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ = 14 — frac{7}{{{{cos }^2}x}}.)

Найдем нули производной на заданном отрезке  (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]), воспользовавшись формулой понижения степени:  ({cos ^2}x = frac{{1 + cos 2x}}{2}).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{14 — frac{7}{{{{cos }^2}x}} = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{cos }^2}x = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{{1 + cos 2x}}{2} = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos 2x = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = frac{pi }{4} + frac{{pi k}}{2},,,,k, in ,z}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — frac{pi }{4},,,,,,,,,x = frac{pi }{4}.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) будет в точках  (x =  — frac{pi }{3})  или  (x = frac{pi }{4}).

(yleft( { — frac{pi }{3}} right) = 14 cdot left( { — frac{pi }{3}} right) — 7{rm{tg}}left( { — frac{pi }{3}} right) — frac{{7pi }}{2} + 11 = 7sqrt 3  + 11 — frac{{49pi }}{6};)

(yleft( {frac{pi }{4}} right) = 14 cdot frac{pi }{4} — 7,{rm{tg}}frac{pi }{4} — frac{{7pi }}{2} + 11 = 4.)

Так как  (4 < 7sqrt 3  + 11 — frac{{49pi }}{6}), то наибольшее значение равно 4.

Ответ:  4.

ОТВЕТ: 4.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — 11sin x + 12.)

Видно, что  (y’ =  — 11sin x + 12 > 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ { — frac{{3pi }}{2};0} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 11cos 0 + 12 cdot 0 — 7 = 11 — 7 = 4.)

Ответ:  4.

ОТВЕТ: — 11.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ = 15 — 10cos x.)

Видно, что  (y’ = 15 — 10cos x > 0)  при  (x,, in ,,R), так как (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 15 cdot 0 — 10sin 0 — 11 =  — 11.)

Ответ:  – 11.

ОТВЕТ: 0,5.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {0,5 — x} right)^prime }cos x + left( {0,5 — x} right){left( {cos x} right)^prime } + {left( {sin x} right)^prime } =  — cos x — left( {0,5 — x} right)sin x + cos x = left( {x — 0,5} right)sin x.)

Найдем нули производной при  (x, in ,left( {0;frac{pi }{2}} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {x — 0,5} right)sin x = 0}\{0 < x < frac{pi }{2}}end{array}} right.,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x — 0,5 = 0}\{0 < x < frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 0,5.} right.)

Проверим знаки производной и ее поведение при  (x, in left( {0;frac{pi }{2}} right)).

Следовательно, точка минимума (x = 0,5).

Ответ:  0,5.

ОТВЕТ: 1,5.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {2x — 3} right)^prime }cos x + left( {2x — 3} right){left( {cos x} right)^prime } — {left( {2sin x} right)^prime } = 2cos x — left( {2x — 3} right)sin x — 2cos x = left( {3 — 2x} right)sin x.)

Найдем нули производной при  (x, in ,left( {0;frac{pi }{2}} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {3 — 2x} right)sin x = 0}\{0 < x < frac{pi }{2}}end{array}} right.,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 — 2x = 0}\{0 < x < frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 1,5.} right.)

Проверим знаки производной и ее поведение при  (x, in left( {0;frac{pi }{2}} right)).

Следовательно, точка максимума (x = 1,5).

Ответ:  1,5.

ОТВЕТ: — 5.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — frac{2}{{{{cos }^2}x}} + 4.)

Найдем нули производной на заданном отрезке  (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]), воспользовавшись формулой понижения степени:  ({cos ^2}x = frac{{1 + cos 2x}}{2}).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{2}{{{{cos }^2}x}} + 4 = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{cos }^2}x = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{{1 + cos 2x}}{2} = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos 2x = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = frac{pi }{4} + frac{{pi k}}{2},,,,k, in ,z}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — frac{pi }{4},,,,,,,,,x = frac{pi }{4}.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) будет в точках  (x =  — frac{pi }{3})  или  (x = frac{pi }{4}).

(yleft( { — frac{pi }{3}} right) =  — 2,{rm{tg}}left( { — frac{pi }{3}} right) + 4 cdot left( { — frac{pi }{3}} right) — pi  — 3 = 2sqrt 3  — frac{{7pi }}{3} — 3;)

(yleft( {frac{pi }{4}} right) =  — 2,{rm{tg}}frac{pi }{4} + 4 cdot frac{pi }{4} — pi  — 3 =  — 2 — 3 =  — 5.)

Так как  ( — 5 > 2sqrt 3  — frac{{7pi }}{3} — 3), то наибольшее значение равно – 5.

Ответ:  – 5.

ОТВЕТ: 18.

Область определения функции:  (cos  ne 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x ne frac{pi }{2} + pi k,,,,,,,,k, in ,z.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — 14 + frac{7}{{{{cos }^2}x}}.)

Найдем нули производной на заданном отрезке  (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]), воспользовавшись формулой понижения степени:  ({cos ^2}x = frac{{1 + cos 2x}}{2}).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 14 + frac{7}{{{{cos }^2}x}} = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{cos }^2}x = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{{1 + cos 2x}}{2} = frac{1}{2}}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos 2x = 0}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = frac{pi }{4} + frac{{pi k}}{2},,,,k, in ,z}\{ — frac{pi }{3} le x le frac{pi }{3}}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — frac{pi }{4},,,,,,,,,x = frac{pi }{4}.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке (left[ { — frac{pi }{3};frac{pi }{3}} right]) будет в точках  (x =  — frac{pi }{3})  или  (x = frac{pi }{4}).

(yleft( { — frac{pi }{3}} right) =  — 14 cdot left( { — frac{pi }{3}} right) + 7,{rm{tg}}left( { — frac{pi }{3}} right) + frac{{7pi }}{2} + 11 = frac{{49pi }}{6} — 7sqrt 3  + 11;)

(yleft( {frac{pi }{4}} right) =  — 14 cdot frac{pi }{4} + 7,{rm{tg}}frac{pi }{4} + frac{{7pi }}{2} + 11 = 7 + 11 = 18.)

Так как  (18 < frac{{49pi }}{6} — 7sqrt 3  + 11), то наименьшее значение равно 18.

Ответ:  18.

ОТВЕТ: 11.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:    (y’ =  — 4sin x — 20.)

Видно, что  (y’ =  — 4sin x — 20 < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (sin x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ {0;frac{{3pi }}{2}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 4cos 0 — 20 cdot 0 + 7 = 4 + 7 = 11.)

Ответ:  11.

ОТВЕТ: 3.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ = 5cos x — 6.)

Видно, что  (y’ = 5cos x — 6 < 0)  при  (x,, in ,,R), так как  (cos x,, in ,,left[ { — 1;1} right].)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет принимать в точке (x = 0).

(yleft( 0 right) = 5sin 0 — 6 cdot 0 + 3 = 3.)

Ответ:  3.

ОТВЕТ: 12.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ = 12cos x — 6sqrt 3 .)

Найдем нули производной на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{12cos x — 6sqrt 3  = 0}\{0 le x le frac{pi }{2},,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos x = frac{{sqrt 3 }}{2}}\{0 le x le frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = frac{pi }{6}.} right.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет в точке (x = frac{pi }{6}).

(yleft( {frac{pi }{6}} right) = 12sin frac{pi }{6} — 6sqrt 3  cdot frac{pi }{6} + sqrt 3  cdot pi  + 6 = 12 cdot frac{1}{2} — sqrt 3 pi  + sqrt 3 pi  + 6 = 12.)

Ответ:  12.

ОТВЕТ: — 2.

Область определения функции:  (x,, in ,,R.)

Найдем производную заданной функции:   (y’ = 5 — 5sqrt 2 cos x.)

Найдем нули производной на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 — 5sqrt 2 cos x = 0}\{0 le x le frac{pi }{2},,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{cos x = frac{{sqrt 2 }}{2}}\{0 le x le frac{pi }{2}}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = frac{pi }{4}.} right.)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) будет в точке (x = frac{pi }{4}).

(yleft( {frac{pi }{4}} right) = 3 — frac{{5pi }}{4} + 5 cdot frac{pi }{4} — 5sqrt 2 sin frac{pi }{4} = 3 — 5sqrt 2  cdot frac{{sqrt 2 }}{2} =  — 2.)

Ответ:  – 2.