Тригонометрические уравнения исследование одз решу егэ

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1
и t=-1
получаем корни уравнения a-2pi
и b-2pi.

Bigg(a-2pi =-frac74pi +arccos frac{3sqrt 2}5,,

b-2pi =-frac74pi -arccos frac{3sqrt 2}5Bigg).
При этом -2pi

2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left(-2pi , -frac{3pi }2right).

При остальных значениях k
и t
корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1
и tgeqslant 1,
то корни больше 2pi.
Если kleqslant -2
и tleqslant -2,
то корни меньше -frac{7pi }2.

Ответ

а)
fracpi4pm arccosfrac{3sqrt2}5+2pi k, kinmathbb Z;

б)
-frac{7pi}4pm arccosfrac{3sqrt2}5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

а)
Решите уравнение sin left(fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ;

Показать решение

Решение

а)
Преобразуем уравнение:

cos x =-sin 2x,

cos x+2 sin x cos x=0,

cos x(1+2 sin x)=0,

cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

1+2 sin x=0,

sin x=-frac12,

x=(-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б)
Корни, принадлежащие отрезку ,
найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а)
fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;
(-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б)
fracpi 2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1),

отличный от нуля. Получим уравнение frac 1{1+cos 2x}=frac 1{1+cos (pi +x)},
или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x).

Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x.

Это уравнение с помощью замены cos x=t,

где -1 leqslant t leqslant 1

сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0,

корни которого t_1=-1

и t_2=frac12.

Возвращаясь к переменной x
, получим cos x = frac12

или cos x=-1,

откуда x=frac pi 3+2pi m,

m in mathbb Z,

x=-frac pi 3+2pi n,

n in mathbb Z,

x=pi +2pi k,

k in mathbb Z.

б)
Решим неравенства

1) -frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac{3pi }2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi {2,}

3) -frac{3pi }2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 ,

m,

n,

k in mathbb Z.

1)
-frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,
-frac32 leqslant

frac13+2m leqslant

-frac12 -frac{11}6 leqslant
2m leqslant

-frac56 ,

-frac{11}{12} leqslant m leqslant -frac5{12}.

left [-frac{11}{12};-frac5{12}right]

.

2)
-frac {3pi} 2 leqslant -frac{pi }3+2pi n leqslant -frac{pi }{2},
-frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 ,
-frac76 leqslant 2n leqslant -frac1{6},
-frac7{12} leqslant n leqslant -frac1{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7{12} ; -frac1{12} right].

3)
-frac{3pi }2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac{pi }2,
-frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12,
-frac52 leqslant 2k leqslant -frac32,
-frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1,
тогда x=-pi.

Ответ

а)
frac pi 3+2pi m;

-frac pi 3+2pi n;

pi +2pi k,

m,

n,

k in mathbb Z;

б)
-pi .

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`frac {sin^2 x}{cos^2 x}+frac{sin x cos x}{cos^2 x} — frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos varphi`, ` frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin varphi`, `frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+varphi)=2/5`,

`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}-` `frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Задача №1

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Или (так как)

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Тогда можно записать:

Наша с тобою цель — сделать так, чтобы слева стоял просто, без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при: для этого домножим наше равенство на:

Теперь избавимся от, разделив на него обе части:

Теперь избавимся от восьмёрки:

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать.

Рассмотрим вначале первую серию:

Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит нужно брать отрицательным. Пусть.

При корень будет уже:

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен.

Теперь рассматриваем вторую серию:

И опять подставляем: , тогда:

Не интересует!

Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть, тогда:

Подходит!

Пусть. Тогда

Тогда — наибольший отрицательный корень!

Ответ:

Задача №2

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Теперь снова выражаем слева:

Умножаем обе стороны на

Делим обе стороны на

Всё, что осталось — это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

У нас опять получается 2 серии корней, одна с, а другая с.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при, он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен. Так как, то — наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:
.

Задача №3

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Как и раньше, выражаем в левой части:

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить. И корень этот равен.

Ответ:

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

1. Ре-ши-те урав-не-ние.
2. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
3. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с решениями и ответами:

Задача №1

Выразим

Наименьший положительный корень получится, если положить, так как, то

Ответ:

Задача №2

Наименьший положительный корень получится при.

Он будет равен.

Ответ:
.

Задача №3

При получаем, при имеем.

Ответ:
.

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня,
которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа
и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

1. Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).

Более сложные тригонометрические уравнения — это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

1. Решение уравнения
2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать — это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)

1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
2. Уравнения, сводящиеся к виду.
3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов
, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа
, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на, получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ (1+cosx)(1sinx−1)=0.

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус.

Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ sinx≠0⇒x≠πk. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что x не может принимать такие значения.

Решение Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю. (1+cosx)(1−sinxsinx)=0, 1+cosx=0 или 1−sinxsinx=0, cosx=−1 или sinx=1.

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние 5cosx+4/4tgx-3=0

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [-4п,-5п/2]

2. Ре­ши­те урав­не­ние: 2sin²x-5sinx-3/√x+п/6=0

3. Ре­ши­те урав­не­ние: 4cos²x+8sinx-7/√tgx=0

Весь материал — в документе.

Задания 13 (C1). Уравнения

3. Тригонометрические уравнения, ис­сле­до­ва­ние ОДЗ

1. Ре­ши­те урав­не­ние

2. Ре­ши­те урав­не­ние .

3. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

4. Ре­ши­те урав­не­ние .

5. Ре­ши­те урав­не­ние

6. Ре­ши­те урав­не­ние

7. Ре­ши­те урав­не­ние

8. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

9. Ре­ши­те урав­не­ние

10. Ре­ши­те урав­не­ние

11. Ре­ши­те урав­не­ние .

12. Ре­ши­те урав­не­ние

13. Ре­ши­те урав­не­ние .

14. Ре­ши­те урав­не­ние .

15. Ре­ши­те урав­не­ние .

16. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б)Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку