Тригонометрический круг егэ студия

Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.

Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:

^New Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Измерение углов: градусы и радианы

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрические формулы

Формулы приведения

Все формулы тригонометрии

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения, 1

Простейшие тригонометрические уравнения, 2

Тригонометрические уравнения. Методы решения

Повторим самое главное в тригонометрии.

— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.

Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.

— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.

— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.

— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!

— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!

Тригонометрия пришла людям на помощь, когда выяснилось, что для многих расчетов недостаточно тех углов, которые определялись обычной геометрией. И правда, в геометрии мы не встретим углы больше, чем 360⁰. Ненасытные ученые хотели больше. Поэтому, по сути, тригонометрия – это раздел математики, посвященный углам.

Нарисуем тригонометрический круг.

Алгоритм для создания тригонометрического круга:

• Рисуем системы координат;
• Изображаем круг. Центр совпадает с центром системы координат. Рекомендуется выбирать за длину радиуса 4, 6 или 8 клеточек в зависимости от того, какого размера вы хотите круг.
• Ставим точку отсчёта 0 для измерения углов.
• Затем изобразим угол: одну сторону зафиксируем на горизонтальной оси, а другая останется свободной и сможет крутиться, куда вздумает, как на шарнире.

• Теперь мысленно вращаем незакрепленную сторону. Пусть она вращается против часовой стрелки. Вот она совершила полный оборот и вернулась на свое место. Визуально угол остался прежним, но на самом деле к нему добавился полный оборот, то есть 360⁰.
• Учитывая полные обороты, каждый угол можно представить, как

где n – целое число

Договоримся, что вращение против часовой стрелки – это положительно направление, а по часовой – отрицательное.

Измерение углов

В математике углы измеряют не только в привычных нам градусах, но и в радианах. Соответствие между ними установить очень просто.

Некоторые углы очень легко определить:

Можно пользоваться формулой:

Также есть обратная формула:

Изображение табличных значений на тригонометрическом круге.

Нарисуем тригонометрический круг.

Далее идём по кругу с шагом в 45, то есть, . Эти углы делят каждую четверть пополам.

Затем идём по кругу с шагом в 30, то есть, , Каждая четверть таким образом делится на 3 равные части.

Снизу заполним не большими углами, а отрицательными. То есть, зеркально отразим верхнюю часть круга вниз.

Теперь заполним новый круг, но уже углами от 0 до 2π.

Определение значений тригонометрических функций

С греческого тригонометрия переводится как «измерение треугольника». Именно треугольник дает понимание о том, что же такое тригонометрические функции в окружности. Возьмем прямоугольный треугольник.

Снова перейдем к окружности. Вставим в нее прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза совпала с радиусом, который мы будем принимать за 1.

Точка пересечения радиуса с окружностью, как и любая точка в плоскости, имеют свои координаты (x,y). Причем, для отмеченного нами угла противолежащий катет равен y, а прилежащий – x. А теперь немного магии. Заменим на x, y и 1 величины в определении тригонометрических функций.

Получается, что косинус – это значения на оси абсцисс, а синус – значения на оси ординат.

Ось тангенсов параллельна оси синусов и проходит через точку с координатой x = 1, ось котангенсов параллельна оси косинусов и проходит через точку y = 1. Соответствующее значение на них получается продлением радиуса до пересечения с одной из осей.

Продолжение (начало здесь)

Перевод радиан в градусы и градусы в радианы

На тригонометрическом круге  помимо углов  в градусах мы наблюдаем радианы.

Подробнее про радианы:+ показать

  радиан –  это

Так вот, например,

,

а

.

Так, мы научились переводить радианы в углы.

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.

Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:

Так как, радиан, то заполним таблицу:

Откуда

Итак,

Тренируемся находить  значения  синуса и косинуса по кругу

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.

А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его  в начале координат. Почему?

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после или  – это аргумент=угол, а  углы у нас располагаются на окружности, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на окружность, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.

Пример 1. Найти значение .

Решение: + показать

Пример 2. Найти значение .

Решение: + показать

Заметим, + показать

Пример 3. Найти значение .

Решение: + показать

Пример 4. Найти значение .

Решение: + показать

Пример 5. Найти значение .

Решение: + показать

Пример 6. Найти значение .

Решение: + показать

Тригонометрический круг – у вас в руках

Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками.  А «цепочку-лесенку»  значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете. 

Как находить значения тангенса и котангенса основных углов смотрите здесь

После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти   тест по теме «Нахождение значений косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов различных углов»

Ссылочка на пустой шаблон круга. Тренируйтесь!

Решение простейших тригонометрических уравнений

Градусы и радианы

Знакомство с тригонометрической окружностью

Повороты на тригонометрической окружности

Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах.

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности. 

Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол! 

Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°…

А теперь у тебя есть два пути: 

Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений. 

Сразу попробуем разобрать на примере: 

Пример №1. cos(x) = ½

1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения. 

Дело за малым — найти эти углы. 

Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°. 

Или запомнить такой прием: 

Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

Например, требуется найти sin(π/2): π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на …=-225°=135°=495°=…

То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: …,60°-360°, 60°, 60°+360°,…

И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Ответ: x = π/3 + 2πn, x= −π/3 + 2πk, (n, k)∈Ζ.

Пример №2. 2sinx = √2

Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

 Пример №3. tg(x + π/4) = √3

Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки. 

По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

4) Но мы нашли только y, вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Теперь корни на окружности будут здесь:

Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

 Пример №4: −10ctg(x) = 10

Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π…) так намного меньше шансов запутаться.

Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = −√3/2):

1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания. 

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

На этой странице вы узнаете

• Как найти углы у апельсина?
• Кто сказал “Ты как хочешь, а я уехала!” 

Люди пользуются тригонометрией с древнейших времен. Добывая еду с помощью лука и стрел, человек уже применял знания, которые мы разберем в этой статье.

Единичная тригонометрическая окружность

Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1

Так как длина всей окружности равна 2π, сделаем вывод, что половина окружности — это π, а четверть — это  π2.

Теперь разделим окружность сначала на восемь частей, а потом ту же окружность на двенадцать частей. Рассчитаем значения полученных точек. 

Заметим, что точка 0 совпадает с точкой 2π. Это означает, что мы сделали один оборот по окружности. Но мы можем продолжать идти так и дальше: тогда эта же точка будет принимать значения 4π, 6π, 8π. 

Движение по тригонометрической окружности можно сравнить с движением по числовой прямой, закрученной в спираль. 

Аналогично можно двигаться и против движения часовой стрелки, но это уже будет отрицательная спираль.

Как записать множество точек, находящихся в одной точке окружности, но на разных витках спирали?

Так как тригонометрические функции — это периодические функции, то и значения в точках будут повторяться с определенным интервалом: то есть с интервалом 2πk, где k принадлежит множеству целых чисел.

Пример:  π + 2πk, k ∈ Z

Теперь рассмотрим значения синусов и косинусов, определенных на окружности точек.

На положительных частях осей они представлены как (frac{1}{2}), (frac{sqrt{2}}{2}), (frac{sqrt{3}}{2}), а на отрицательных —  (-frac{1}{2}), (-frac{sqrt{2}}{2}), (-frac{sqrt{3}}{2}).

Для нахождения значения синуса или косинуса известного угла нужно провести перпендикулярную прямую к прямой, предназначенной этой функции. Значение, в котором она пересечет прямую функции будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример:
Нужно узнать чему равно (sin frac{pi}{3})

Сначала найдем (frac{pi}{3}) на окружности, затем проведем перпендикулярную прямую к прямой синусов. Ответом является  значение в точки пересечения.

(sin frac{pi}{3} = frac{sqrt{3}}{2})

Теперь проведём ещё две прямые для обозначения прямых тангенса и котангенса. Отметим на них значения для точек окружности.

Для нахождения значения тангенса или котангенса известного угла нужно провести прямую через точку (0; 0) и это число на окружности. Значение, в котором она пересечет прямую данной функции, будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример: 

Нужно узнать чему равно (ctg frac{2 pi}{3})

Сначала найдем (frac{2 pi}{3}) на окружности, затем проведём прямую через (0; 0) и эту точку на окружности. Ответом является  значение в точки пересечения проведенной прямой и прямой котангенсов. 

(ctg frac{2 pi}{3} = -frac{sqrt{3}}{3})

Примеры тригонометрии можно найти и в жизни. Например: когда мы режем морковку, нож находится под углом (frac{pi}{2}) к поверхности доски.

Графики тригонометрических функций

Как уже было сказано ранее, тригонометрические функции — это периодические функции. 

То есть, значения этих функций повторяются через определенный период. Теперь рассмотрим подробнее графики таких функций. 

Находя значения у для разных значений х и соединяя точки, можно получить следующие графики функций.

График y = sin x — синусоида.

График y = cos x — косинусоида.

График y = tgx — тангенсоида.

Важно: тангенсоида никогда не может принимать значения (frac{pi}{2}); (frac{3 pi}{2}); (frac{5 pi}{2}) и т. д. Так как тангенс — это синус делить на косинус, а делить на ноль нельзя, следовательно, косинус не равен нулю. Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

График y = ctgx — котангенсоида.

Важно: котангенсоида никогда не может принимать значения 0; π; 2π и т. д., так как котангенс — это косинус делить на синус. Делить на ноль нельзя, значит синус не равен нулю.  Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

Каждую из рассмотренных выше функций можно сдвигать по осям Х и Y и растягивать по оси Y. Давайте рассмотрим такие растяжения и сдвиги.

Коэффициент перед тригонометрической функцией

Чем больше коэффициент перед тригонометрической функцией, тем сильнее она вытягивается по вертикали. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида растягиваются по аналогии.

Сдвиг по оси Y

График тригонометрической функции сдвигается по оси Y на прибавленную к значению y константу. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Сдвиг по оси Х

График тригонометрической функции сдвигается по оси Х на прибавленную к значению х константу. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Важно: при прибавлении положительной константы — сдвиг влево, при вычитании положительной константы — сдвиг вправо.

Фактчек

• Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1.
• Один проход по окружности — это 2π.
• Двигаться по окружности можно как в положительную, так и в отрицательную сторону.
• График функции — это представление функции на координатной плоскости.
• Коэффициент перед функцией отвечает за растяжение графика функции вдоль оси Y.
• Константа, прибавляемая к х или y, отвечает за сдвиг функции относительно изначального значения.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно (sin frac{5 pi}{4})?

1. (frac{sqrt{3}}{2})
2. (frac{sqrt{2}}{2})
3. (-frac{sqrt{2}}{2})
4. 1

Задание 2.
Чему равно (cos frac{pi}{3})?

1. 1
2. (frac{1}{2})
3. (-frac{1}{2})
4. (frac{sqrt{3}}{2})

Задание 3.
Чему равно (ctg frac{pi}{2})?

1. 0
2. 1
3. (sqrt{3})
4. (frac{sqrt{2}}{2})

Задание 4.
Куда будет сдвиг (sin(x + frac{4 pi}{3}))?

1. Вправо
2. Влево
3. Вверх
4. Вниз

Задание 5.
Куда будет сдвиг ctg x + 2?

1. Вправо
2. Влево
3. Вниз
4. Вверх

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 2; 5. — 4.

Инфоурок

›

Алгебра

›Конспекты›Тригонометрический круг-готовимся к ЕГЭ.

Тригонометрический круг-готовимся к ЕГЭ.