Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус $={π}/{180}$ радиан
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $ 0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ | |
| $sinα$ | $ 0$ | $ {1}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {√3}/{2}$ | $ 1$ | $ 0$ | |
| $cosα$ | $ 1$ | $ {√3}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {1}/{2}$ | $ 0$ | $ -1$ | |
| $tgα$ | $ 0$ | $ {√3}/{3}$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ | |
| $ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ {√3}/{3}$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos(90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
- $tgα={sinα}/{cosα}$
- $ctgα={cosα}/{sinα}$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^2α}$
$cosα=±√{1-sin^2α}$
- $tgα·ctgα=1$
- $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
- $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
$sint=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Формулы двойного угла
- $sin2α=2sinα·cosα$
- $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
- $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$
Формулы суммы и разности
$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$
$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$
Формулы произведения
$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$
$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$
$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$
Формулы сложения
$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$
$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$
$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$
$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$
Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$
Данное выражение является синусом суммы
$sin12cos18+cos12sin18= sin(12+18)=sin30=0.5$
Задача (Вписать в ответ число)
Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$
Решение:
Данное выражение является синусом суммы
$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$
Ответ: $1$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccos a+2πk; k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$
$x=±1,25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения
$k=0$
$x_1= -1,25$
$x_2=1,25$
$к=1$
$х_1=3-1,25=1,75$
$х_2=3+1,25=4,25$
Нам подходит $1,25$ – это и есть результат
Ответ: $1,25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
$2. t=(-1)^n arcsin a+πn; n∈Z$
$3.$ Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.
$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.
Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:
New Задачи из сборников Ященко, 2021 год
Измерение углов: градусы и радианы
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрические формулы
Формулы приведения
Все формулы тригонометрии
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения, 1
Простейшие тригонометрические уравнения, 2
Тригонометрические уравнения. Методы решения
Повторим самое главное в тригонометрии.
— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.
Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.
— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.
— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.
— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!
— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тригонометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Методические материалы по математике, нацеленные главным образом на подготовку к ЕГЭ.
Алгебра и анализ
Метод интервалов: interval.pdf
Уравнения и неравенства с модулем: modul.pdf
Что такое функция: function.pdf
Чтение графика функции: grafik.pdf
Степени и корни: power.pdf
Производная: der.pdf
Геометрический смысл производной: dergeom.pdf
Тригонометрия
Тригонометрический круг: trigcircle.pdf
Тригонометрические формулы: trigform.pdf
Простейшие тригонометрические уравнения. 1: treq1.pdf
Простейшие тригонометрические уравнения. 2: treq2.pdf
Тригонометрические уравнения: trigequations.pdf
Углы в тригонометрии: trigangles.pdf Задачи: protrigangles.pdf
Тригонометрическая окружность: trigok.pdf Задачи: protrigok.pdf
Тригонометрические функции. Синус и косинус: sincos.pdf
Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс: tangens.pdf Задачи: protrigfun.pdf
Основное тригонометрическое тождество: ott.pdf Задачи: proott.pdf
Формулы сложения: fadd.pdf Задачи: profadd.pdf
Формулы приведения: fpriv.pdf Задачи: profpriv.pdf
Формулы двойного и половинного угла: fda.pdf Задачи: profda.pdf
Суммы и произведения тригонометрических функций: trigsum.pdf Задачи: protrigsum.pdf
Тригонометрические формулы (резюме): trigform.pdf
Обратные тригонометрические функции: trigeqprost.pdf
Тригонометрические уравнения: trigequations.pdf
Планиметрия
О первичных понятиях, или Зачем аксиомы в геометрии: primaries.pdf
Стереометрия
Многогранники в задаче С2: sm.pdf
Пирамида: piramida.pdf
Призма: prizma.pdf
Взаимное расположение прямых в пространстве: ll.pdf
Угол между скрещивающимися прямыми: lla.pdf Задачи: prolla.pdf
Взаимное расположение прямой и плоскости: lp.pdf
Теорема о трёх перпендикулярах: ttp.pdf
Угол между прямой и плоскостью: lpa.pdf Задачи: lpa.pdf
Взаимное расположение плоскостей: pp.pdf
Угол между плоскостями: ppa.pdf Задачи: proppa.pdf
Расстояние от точки до прямой: dpl.pdf Задачи: prodpl.pdf
Расстояние от точки до плоскости: dpp.pdf Задачи: prodpp.pdf
Расстояние между скрещивающимися прямыми: dll.pdf Задачи: prodll.pdf
Метод объёмов: vol.pdf
Задачи на сечения многогранников: prosec.pdf
Игорь Вячеславович Яковлев,
mathus.ru
(blacktriangleright) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.
Угол в (1^circ) — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна (dfrac1{360}) длины всей окружности.
(blacktriangleright) Будем рассматривать на окружности такие углы, у которых вершина находится в центре окружности, а одна сторона всегда совпадает с положительным направлением оси (Ox) (на рисунке выделено красным).
На рисунке таким образом отмечены углы (45^circ, 180^circ,
240^circ):
Заметим, что угол (0^circ) — это угол, обе стороны которого совпадают с положительным направлением оси (Ox).
Точку, в которой вторая сторона такого угла (alpha) пересекает окружность, будет называть (P_{alpha}).
Положение точки (P_{0}) будем называть начальным положением.
Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения (P_0) до положения (P_{alpha}) на угол (alpha).
(blacktriangleright) Поворот по окружности против часовой стрелки — это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке — это поворот на отрицательный угол.
Например, на рисунке отмечены углы (-45^circ, -90^circ,
-160^circ):
(blacktriangleright) Рассмотрим точку (P_{30^circ}) на окружности. Для того, чтобы совершить поворот по окружности из начального положения до точки (P_{30^circ}), необходимо совершить поворот на угол (30^circ) (оранжевый). Если мы совершим полный оборот (то есть на (360^circ)) и еще поворот на (30^circ), то мы снова попадем в эту точку, хотя уже был совершен поворот на угол (390^circ=360^circ+30^circ) (голубой). Также попасть в эту точку мы можем, совершив поворот на (-330^circ) (зеленый), на (750^circ=360^circ+360^circ+30^circ) и т.д.
Таким образом, каждой точке на окружности соответствует бесконечное множество углов, причем отличаются эти углы друг от друга на целое число полных оборотов ((ncdot360^circ, ninmathbb{Z})).
Например, угол (30^circ) на (360^circ) больше, чем угол (-330^circ), и на (2cdot 360^circ) меньше, чем угол (750^circ).
Все углы, находящиеся в точке (P_{30^circ}) можно записать в виде: (alpha=30^circ+ncdot 360^circ, ninmathbb{Z}).
(blacktriangleright) Угол в (1) радиан — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:
Т.к. длина всей окружности радиусом (R) равна (2pi R), а в градусной мере — (360^circ), то имеем (360^circ=2pi cdot
1textbf{ рад}), откуда [180^circ=pi textbf{ рад}] Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.
Пример 1. Найти радианную меру угла (60^circ).
Т.к. (180^circ = pi Rightarrow 1^circ = dfrac{pi}{180}
Rightarrow 60^circ=dfrac{pi}3)
Пример 2. Найти градусную меру угла (dfrac34 pi).
Т.к. (pi=180^circ Rightarrow dfrac34 pi=dfrac34 cdot
180^circ=135^circ).
Обычно пишут, например, не (dfrac{pi}4 text{ рад}), а просто (dfrac{pi}4) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают. Таким образом, под записью “угол равен (1)” понимают, что “угол равен (1) радиану”, а не “угол равен (1) градусу”.
Т.к. (pi thickapprox 3,14 Rightarrow 180^circ thickapprox 3,14
textbf{ рад} Rightarrow 1 textbf{ рад} thickapprox 57^circ).
Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен (1) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в (5) радиан: он примерно равен (285^circ).
(blacktriangleright) Из курса планиметрии (геометрии на плоскости) мы знаем, что для углов (0<alpha< 90^circ) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
если дан прямоугольный треугольник со сторонами (a, b, c) и углом (alpha), то:
Т.к. на единичной окружности определены любые углы (alphain(-infty;+infty)), то нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла.
Рассмотрим единичную окружность и на ней угол (alpha) и соответствующую ему точку (P_{alpha}):
Опустим перпендикуляр (P_{alpha}K) из точки (P_{alpha}) на ось (Ox). Мы получим прямоугольный треугольник (triangle OP_{alpha}K), из которого имеем: [sinalpha=dfrac{P_{alpha}K}{P_{alpha}O} qquad cos alpha=dfrac{OK}{P_{alpha}O}] Заметим, что отрезок (OK) есть не что иное, как абсцисса (x_{alpha}) точки (P_{alpha}), а отрезок (P_{alpha}K) — ордината (y_{alpha}). Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то (P_{alpha}O=1) — ее радиус.
Таким образом, [sinalpha=y_{alpha}, qquad cos alpha=x_{alpha}]
Таким образом, если точка (P_{alpha}) имела координаты ((x_{alpha},;y_{alpha})), то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как ((cosalpha,;sinalpha)).
Определение: 1. Синусом угла (alpha) называется ордината точки (P_{alpha}), соответствующей этому углу, на единичной окружности.
2. Косинусом угла (alpha) называется абсцисса точки (P_{alpha}), соответствующей этому углу, на единичной окружности.
Поэтому ось (Oy) называют осью синусов, ось (Ox) — осью косинусов.
(blacktriangleright) Окружность можно разбить на (4) четверти, как показано на рисунке.
Т.к. в (I) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.
Т.к. во (II) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы — отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти — отрицательны, синусы — положительны.
Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.
Пример 3. Так как, например, точки (P_{frac{pi}{6}}) и (P_{-frac{11pi}6}) совпадают, то их координаты равны, т.е. (sindfrac{pi}6=sin left(-dfrac{11pi}6right), cos
dfrac{pi}6=cos
left(-dfrac{11pi}6right)).
Пример 4. Рассмотрим точки (P_{alpha}) и (P_{pi-alpha}). Пусть для удобства (0<alpha<dfrac{pi}2).
Проведем перпендикуляры на ось (Ox): (OK) и (OK_1). Треугольники (OKP_{alpha}) и (OK_1P_{pi-alpha}) равны по гипотенузе и углу ((angle P_{alpha}OK=angle P_{pi-alpha}OK_1=alpha)).
Следовательно, (OK=OK_1, KP_{alpha}=K_1P_{pi-alpha}).
Т.к. координаты точки (P_{alpha}=(OK;KP_{alpha})=(cosalpha,;sinalpha)), а точки (P_{pi-alpha}=(-OK_1;K_1P_{pi-alpha})=(cos(pi-alpha),;sin(pi-alpha))), следовательно, [cos(pi-alpha)=-cosalpha, qquad sin(pi-alpha)=sinalpha]
Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения: [{large{begin{array}{l|r}
hline sin(pi-alpha)=sinalpha &
cos(pi-alpha)=-cosalpha\[2ex]
sin(pi+alpha)=-sinalpha &
cos(pi+alpha)=-cosalpha\[2ex]
sin(2pipmalpha)=pmsinalpha & cos
(2pipmalpha)=cosalpha\[2ex]
sin left(dfrac{pi}2pmalpharight)=cosalpha &
cosleft(dfrac{pi}2pmalpharight)=pmsinalpha\[2ex]
hline
end{array}}}]
С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из (I) четверти.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:
[{large{begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline &&&&&\[-17pt]
& quad 0 quad (0^ circ)& quad dfrac{pi}6 quad (30^circ)
& quad dfrac{pi}4
quad (45^circ) & quad dfrac{pi}3 quad (60^circ)& quad dfrac{pi}2 quad
(90^circ) \
&&&&&\[-17pt]
hline sin & 0 ½&frac{sqrt2}2&frac{sqrt3}2&1\[4pt]
hline cos &1&frac{sqrt3}2&frac{sqrt2}2½&0\[4pt]
hline mathrm{tg} &0 &frac{sqrt3}3&1&sqrt3&infty\[4pt]
hline mathrm{ctg} &infty &sqrt3&1&frac{sqrt3}3&0\[4pt]
hline
end{array}}}]
Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.
Пример 5. Найдите (sin{dfrac{3pi}4}).
Преобразуем угол: (dfrac{3pi}4=dfrac{4pi-pi}{4}=pi-dfrac{pi}4)
Таким образом, (sin{dfrac{3pi}4}=sinleft(pi-dfrac{pi}4right)=sindfrac{pi}4=dfrac{sqrt2}2).
(blacktriangleright) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.
Случай 1. Если угол можно представить в виде (ncdot pipm
alpha), где (ninmathbb{N}), то [sin(ncdot pipm
alpha)=bigodot sinalpha] где на месте (bigodot) стоит знак синуса угла (ncdot pipm alpha). [cos(ncdot pipm
alpha)=bigodot cosalpha] где на месте (bigodot) стоит знак косинуса угла (ncdot pipm alpha).
Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол (alpha) находится в (I) четверти.
Случай 2. Если угол можно представить в виде (ncdot
pi+dfrac{pi}2pmalpha), где (ninmathbb{N}), то [sin(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot cosalpha] где на месте (bigodot) стоит знак синуса угла (ncdot pipm alpha). [cos(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot sinalpha] где на месте (bigodot) стоит знак косинуса угла (ncdot pipm alpha).
Знак определяется таким же образом, как и в случае (1).
Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
Пример 6. Найти (sin dfrac{13pi}{3}).
Преобразуем угол: (dfrac{13pi}{3}=dfrac{12pi+pi}{3}=4pi+dfrac{pi}3), следовательно, (sin dfrac{13pi}{3}=sin
left(4pi+dfrac{pi}3right)=sindfrac{pi}3=dfrac{sqrt3}2)
Пример 7. Найти (cos dfrac{17pi}{6}).
Преобразуем угол: (dfrac{17pi}{6}=dfrac{18pi-pi}{6}=3pi-dfrac{pi}6), следовательно, (cos dfrac{17pi}{6}=cos
left(3pi-dfrac{pi}6right)=-cosdfrac{pi}6=-dfrac{sqrt3}2)
(blacktriangleright) Область значений синуса и косинуса.
Т.к. координаты (x_{alpha}) и (y_{alpha}) любой точки (P_{alpha}) на единичной окружности находятся в пределах от (-1) до (1), а (cosalpha) и (sinalpha) — абсцисса и ордината соответственно этой точки, то [{large{-1leq cosalphaleq 1 ,qquad -1leqsinalphaleq 1}}] 
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем: (x^2_{alpha}+y^2_{alpha}=1^2)
Т.к. (x_{alpha}=cosalpha, y_{alpha}=sinalpha Rightarrow) [{large{sin^2alpha+cos^2alpha=1}} — textbf{основное тригонометрическое тождество (ОТТ)}]
(blacktriangleright) Тангенс и котангенс.
Т.к. (mathrm{tg},alpha=dfrac{sinalpha}{cosalpha}, cosalphane 0)
(mathrm{ctg},alpha=dfrac{cosalpha}{sinalpha}, sinalphane 0), то:
1) ({large{mathrm{tg},alphacdot mathrm{ctg},alpha=1, cosalphane 0, sinalpha ne 0}})
2) тангенс и котангенс положительны в (I) и (III) четвертях и отрицательны в (II) и (IV) четвертях.
3) область значений тангенса и котангенса — все вещественные числа, т.е. (mathrm{tg},alphainmathbb{R},
mathrm{ctg},alphainmathbb{R})
4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.
Случай 1. Если угол можно представить в виде (ncdot pipm
alpha), где (ninmathbb{N}), то [mathrm{tg},(ncdot pipm
alpha)=bigodot mathrm{tg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак тангенса угла (ncdot pipm alpha) ((cosalphane 0)). [mathrm{ctg},(ncdot pipm
alpha)=bigodot mathrm{ctg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак котангенса угла (ncdot pipm alpha) ((sinalphane 0)).
Случай 2. Если угол можно представить в виде (ncdot
pi+dfrac{pi}2pmalpha), где (ninmathbb{N}), то [mathrm{tg},(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot mathrm{ctg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак тангенса угла (ncdot pipm alpha) ((sinalphane 0)). [mathrm{ctg},(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot mathrm{tg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак котангенса угла (ncdot pipm alpha) ((cosalphane 0)).
5) ось тангенсов проходит через точку ((1;0)) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;
ось котангенсов — через точку ((0;1)) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.
Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.
(triangle OP_{alpha}K sim triangle AOB Rightarrow
dfrac{P_{alpha}K}{OK}=dfrac{BA}{OB} Rightarrow
dfrac{sinalpha}{cosalpha}=dfrac{BA}1 Rightarrow
BA=mathrm{tg},alpha).
Таким образом, если точку (P_{alpha}) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно (mathrm{tg},alpha).
6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: [1+mathrm{tg},^2alpha=dfrac1{cos^2alpha},cosalphane 0 qquad qquad 1+mathrm{ctg},^2alpha=dfrac1{sin^2alpha}, sinalphane 0] Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на (cos^2alpha), вторую — делением на (sin^2alpha).
Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это (alpha=dfrac{pi}2+pi n, ninmathbb{Z}));
котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это (alpha=pi+pi n, ninmathbb{Z})).
(blacktriangleright) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса.
Напомним, что функция (f(x)) называется четной, если (f(-x)=f(x)).
Функция называется нечетной, если (f(-x)=-f(x)).
По окружности видно, что косинус угла (alpha) равен косинусу угла (-alpha) при любых значениях (alpha):
Таким образом, косинус — четная функция, значит, верна формула [{Large{cos(-x)=cos x}}]
По окружности видно, что синус угла (alpha) противоположен синусу угла (-alpha) при любых значениях (alpha):
Таким образом, синус — нечетная функция, значит, верна формула [{Large{sin(-x)=-sin x}}]
Тангенс и котангенс также нечетные функции: [{Large{mathrm{tg},(-x)=-mathrm{tg},x}}] [{Large{mathrm{ctg},(-x)=-mathrm{ctg},x}}]
Т.к. (mathrm{tg},(-x)=dfrac{sin (-x)}{cos(-x)}=dfrac{-sin
x}{cos x}=-mathrm{tg},x qquad mathrm{ctg},(-x)=dfrac{cos(-x)}{sin(-x)}=-mathrm{ctg},x))
Радианное измерение углов
Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.
|
Углы в градусах |
φ° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
360° |
|
Углы в радианах |
π/180° ∙ φ° |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3/2π |
2π |
Значения тригонометрических функций некоторых углов
|
α |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3/2π |
|
sin α |
0 |
1/2 |
√2/2 |
√3/2 |
1 |
0 |
-1 |
|
cos α |
1 |
√3/2 |
√2/2 |
1/2 |
0 |
-1 |
0 |
|
tg α |
0 |
√3/3 |
1 |
√3 |
— |
0 |
— |
|
ctg α |
— |
√3 |
1 |
√3/3 |
0 |
— |
0 |
Основные тригонометрические тождества
Формулы суммы и разности аргументов
Формулы двойного и тройного аргументов
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Если х ≠ π + 2πk, k ∈ Z, то
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение
a φ определяется из формулы 
a φ определяется из формулы 
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Определение обратных тригонометрических функций
*Свойства обратных тригонометрических функций
Некоторые значения обратных тригонометрических функций
|
x |
0 |
1/2 |
√2/2 |
√3/2 |
1 |
-1 |
|
arcsin x |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
-π/2 |
|
arccos x |
π/2 |
π/3 |
π/4 |
π/6 |
0 |
π |
|
x |
0 |
√2/3 |
1 |
√3 |
|
arctg x; |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
|
arcctg x |
π/2 |
π/3 |
π/4 |
π/6 |
Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений
Чуть больше 30% выпускников справляется с тригонометрией на ЕГЭ по математике. И неудивительно: для решения заданий из базы и профиля надо знать очень много формул, которые сложно освоить за 1-2 года. На самом деле, это миф! Чтобы решить задания по тригонометрии, нужно знать всего 5 формул — и просто уметь ими пользоваться.
Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы
Чаще всего тригонометрию начинают изучать в 10 классе — но в некоторых школах оставляют до 11. В первом случае у учеников есть 2 года, чтобы освоить новую тему. А во втором, к сожалению, всего год. И это проблема. Дело в том, что в тригонометрии очень много формул, которые нужно знать, чтобы успешно решать задания. Если за 2 года их можно успеть выучить, то за год это будет сделать проблематично.
Ситуация осложняется ещё двумя факторами. Во-первых, в самой математике много формул, признаков, теорем и т.д. Во-вторых, кроме математики есть и другие экзамены, для которых нужно выучить большой объём информации.
Именно поэтому я всегда советую своим ученикам не учить формулы для тригонометрии на ЕГЭ, а выводить! Но об этом мы поговорим чуть позже, а сейчас давайте обсудим, почему тригонометрия так важна и где в ЕГЭ ее можно встретить.
Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ
Так как ЕГЭ по математике делится на базовый и профильный, а тригонометрия встречается в обоих, то давайте рассмотрим оба уровня экзамена.
Тригонометрия в базе
Что касается Базового уровня, то в нём всего 3 задания, в которых можно столкнуться с тригонометрией:
В № 7 в виде простейшего выражения
Как правило, для успешного решения таких заданий достаточно воспользоваться формулами из справочного материала.
В № 8 в виде формулы прикладной задачи
Стоит отметить, что в базовом ЕГЭ в прикладных задачах тригонометрия попадается редко, но нужно быть готовыми.
В № 15 как тригонометрия в геометрии
В справочном материале есть вся необходимая информация для успешного решения данного задания, а именно определение всех тригофункций в прямоугольном треугольнике.
Тригонометрия в профиле
Базовый уровень мы рассмотрели, теперь перейдём к профильному. Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2.
В № 3 как тригонометрия в геометрии (Часть 1)
То же самое задание, как в базовом ЕГЭ, вот только в справочном материале уже нет необходимой информации.
В № 4 в виде выражения (Часть 1)
То же самое задание, как в базовом ЕГЭ.
В № 7 в виде формулы прикладной задачи (Часть 1)
То же самое задание, как в базовом ЕГЭ. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией.
В № 11 как часть функции (Часть 1)
Функцию нужно проанализировать для поиска наибольшего/наименьшего значения или точек максимума/минимума.
Если с Частью 1 профиля всё более-менее очевидно, то во второй части бывают сюрпризы, о которых ученики даже не подозревают. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания.
В № 12 (Часть 2)
Тут сюрпризов нет. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!
В № 13 — стереометрия (Часть 2)
Да, тригонометрия может встретиться здесь в виде теоремы синусов или теоремы косинусов, а ещё в виде формул в методе координат (для любителей решать этим методом).
В № 16 — планиметрия (Часть 2)
Здесь всё аналогично стереометрии: есть геометрические формулы, в которых прячется тригонометрия. Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает!
5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ
А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.
Именно поэтому я рекомендую не учить формулы, а выводить. Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные.
Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.
Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:
Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса
Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):
Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.
С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:
Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:
Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).
Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin2 и cos2:
Теперь можно легко найти:
- котангенс, зная синус,
- или тангенс, зная косинус.
Формула № 2 и что из нее можно вывести
С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):
Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.
Формула № 3 и что из нее можно вывести
А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:
в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):
А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):
Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:
Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести
Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:
Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):
Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!
Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из демоверсий ЕГЭ по математике 2022.
Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ
Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие:
- некоторые можно вывести из вышеуказанных,
- некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило.
Но мне кажется, что пока этого и так много!
Советую сначала хорошо отработать формулы, которые я перечислила в этой статье, и только потом браться за другие. Так вы не загрузите свою память и будете быстрее решать сложные задания по тригонометрии из ЕГЭ. Это, кстати, касается любой темы на экзамене по математике: а в ЕГЭ их очень много. Поэтому чтобы получить высокий балл, надо правильно и системно отработать их все.
Именно так я и строю подготовку к ЕГЭ по математике вместе со своими учениками: строгая система подготовки — ключ к успеху на экзамене. Сначала мы разбираем простые темы и задания и учимся решать их самыми удобными способами — почти на автомате. А после я добавляю более хитрые и сложные задания. В итоге ребята и имеют хорошую базу знаний по математике, и умеют решать самые разные типы задач. Так что если вы хотите по-настоящему знать математику, а не зазубривать формулы, приходите на мои уроки!
А чтобы отрабатывать выведение было не так скучно, держите моего котика, который любезно согласился позировать в позе котангенса:
