Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.
Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:
New Задачи из сборников Ященко, 2021 год
Измерение углов: градусы и радианы
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрические формулы
Формулы приведения
Все формулы тригонометрии
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения, 1
Простейшие тригонометрические уравнения, 2
Тригонометрические уравнения. Методы решения
Повторим самое главное в тригонометрии.
— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.
Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.
— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.
— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.
— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!
— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тригонометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Тригонометрические формулы.
Цель
урока:
•
обобщить
и систематизировать знания по теме «Тригонометрические формулы»;
•
подготовиться
к ЕГЭ;
•
проверить
уровень усвоения темы.
Задачи
урока:
•
повторить
определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа α;
•
повторить
основное тригонометрическое тождество и формулы, выражающие связь между
тангенсом и косинусом, между котангенсом и синусом, формулы приведения, формулы
двойного угла;
•
научить
применять полученные знания при решении задач.
Ход урока:
1.О.Н.У.
Угадайте
тему, о чем пойдет речь на уроке. Сл №1
Историки
полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали
использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения
тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все
естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Томас Пейн в
своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки».
А в
заданиях ЕГЭ есть тригонометрия? В каких?
Запишите
число, классная работа и тему урока. Сл № 2
Как
вы думаете, какова цель нашего урока? Сл №3
С
учетом цели, какие задачи мы должны поставить перед собой на этом уроке? Сл
№4
2.
Устная работа.
1) Вспомним
определение тригонометрических функций и ряд основных формул. Сл №5
Синусом
угла α называется _____ точки,
полученной поворотом точки______
вокруг
начала координат на угол α
tg α =
sin2
α +cos2 α=
1+ tg2 α=
sin(-α)=
tg (-α) =
sin 2α=
Косинусом
угла α называется _____ точки,
полученной поворотом точки______ вокруг начала координат на угол α
ctg α=
tg α∙ ctg α=
1+ ctg2
α=
cos (-α)=
ctg (-α) =
cos 2α=
2)Отметьте
знаки тригонометрических функций. Сл №6
3) И
наконец, формулы приведения. Их много, можно все не запомнить. Но есть правило
приведения, с помощью которого можно вывести все формулы. Вспомним. (дети
проговаривают правило)
Применение
формул приведения можно свести к использованию правила:
1)
если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не
изменяется;
если
же в формуле содержатся углы 90° и 270° (π/2 и 3π/2), то наименование
функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2)
чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол
φ острым, определить знак выражения, стоящего в левой части формулы.
Сл
№7 Несколько
вывести формул на доске с учащимися используя правило на слайде.
3. Практическая часть урока.
1) Сл №8
2) Сл №9
3)
Правило
запоминания значений синуса и косинуса по руке. Несколько примеров, отработать
прием. Сл №10 Сл №11
4)
Сл №12 Найдите значение выражения 
5) Сл № 13 Найдите значение выражения 
6) Сл
№ 14 Найдите значение выражения
 |
7) Сл № 15 Найдите значение выражения
Сл
№ 16 Найдите если tg
t = 1.
4. Самостоятельная работа
Прототип В-7. Тригонометрия
Вариант 1
1. Найдите tg a, если sin a = –
и a Î (p; 1,5p).
2. Найдите 
,
если tg a = 1.
3. Найдите значение выражения 
.
_______________________________________________________________
Самостоятельная работа
Прототип В-7. Тригонометрия
Вариант
2
1. Найдите cos a, если sin a = –
и a Î (p; 1,5p).
2. Найдите 
,
если tg a = 3.
3. Найдите значение выражения 
.
5.
Рефлексия.
Вспомните,
какие цели и задачи были поставлены в начале урока. Как вы думаете, мы
достигли их. Оцените свои результаты смайликами на интерактивной доске.
6.
Домашнее задание:
№
458
электронный
дневник- задание В7 вариант №1-5
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрический круг
- Основное тригонометрическое тождество
- Таблица значений тригонометрических функций
- Градусы и радианы
- Формулы приведения
- Теорема синусов
- Расширенная теорема синусов
- Теорема косинусов
- Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
- Примеры решений заданий из ОГЭ
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).
Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x. (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.
Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.
Пример:
cos 150 ° = − 3 2
sin 150 ° = 1 2
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinα | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
| cosα | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
| tgα | 0 | 33 | 1 | 3 | нет |
| ctgα | нет | 3 | 1 | 33 | 0 |
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β:
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Скачать домашнее задание к уроку 1.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус $={π}/{180}$ радиан
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $ 0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ | |
| $sinα$ | $ 0$ | $ {1}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {√3}/{2}$ | $ 1$ | $ 0$ | |
| $cosα$ | $ 1$ | $ {√3}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {1}/{2}$ | $ 0$ | $ -1$ | |
| $tgα$ | $ 0$ | $ {√3}/{3}$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ | |
| $ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ {√3}/{3}$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos(90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
- $tgα={sinα}/{cosα}$
- $ctgα={cosα}/{sinα}$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^2α}$
$cosα=±√{1-sin^2α}$
- $tgα·ctgα=1$
- $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
- $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
$sint=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Формулы двойного угла
- $sin2α=2sinα·cosα$
- $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
- $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$
Формулы суммы и разности
$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$
$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$
Формулы произведения
$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$
$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$
$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$
Формулы сложения
$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$
$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$
$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$
$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$
Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$
Данное выражение является синусом суммы
$sin12cos18+cos12sin18= sin(12+18)=sin30=0.5$
Задача (Вписать в ответ число)
Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$
Решение:
Данное выражение является синусом суммы
$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$
Ответ: $1$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccos a+2πk; k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$
$x=±1,25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения
$k=0$
$x_1= -1,25$
$x_2=1,25$
$к=1$
$х_1=3-1,25=1,75$
$х_2=3+1,25=4,25$
Нам подходит $1,25$ – это и есть результат
Ответ: $1,25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
$2. t=(-1)^n arcsin a+πn; n∈Z$
$3.$ Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.
$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
Напомним, что градусом называют величину
центрального угла, которому соответствует часть окружности.
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает,
сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу
окружности, называется углом в 1 радиан.
–
формула перехода от радианной меры к градусной.
рад
– формула перехода от градусной меры к радианной.
Угол
в рад стягивает
дугу длиной .
Также
вспомним, что при повороте точки на угол
рад, где
, точка двигается
по единичной окружности против часовой стрелки, проходит путь длиной и оказывается в
точке .
При
повороте точки на угол
рад, где
, точка двигается
по единичной окружности по часовой стрелке, проходит путь длиной и оказывается в
точке .
Поворот
на рад означает, что
точка остаётся на месте. Угол поворота можно задавать как в радианах, так и в
градусах.
Если угол можно
представить как , где
–
целое число, то при повороте на угол получаем
ту же самую точку, что и при повороте на угол .
Вы знаете, что синусом угла называется
ордината точки единичной
окружности, полученной поворотом точки вокруг
начала координат на угол .
Косинусом угла называется
абсцисса точки единичной
окружности, полученной поворотом точки вокруг
начала координат на угол .
Тангенсом угла называется
отношение синуса угла к его
косинусу.
Котангенсом угла называется
отношение косинуса угла к его
синусу.
В этих определениях угол может
выражаться как в градусах, так и в радианах.
Важно помнить, что и
определены
для любого угла , а их
значения заключены в промежутках от до
, так
как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках от до
.
определён
для любых углов, кроме ,
.
определён
для любых углов, кроме ,
.
Отметим,
что синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа называется число,
которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла в радиан.
Приведём
таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Также
вспомним, что синус в первой и второй четвертях принимает положительные
значения, а в третьей и четвёртой – отрицательные. Косинус
принимает положительные значения в первой и четвёртой четвертях, отрицательные
значения – во второй и третьей четвертях. Тангенс и котангенс принимают
положительные значения в первой и третьей четвертях, а отрицательные значения –
во второй и четвёртой четвертях.
Следующие формулы позволяют сводить вычисление значений синуса,
косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений
для положительных углов.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.
Задние
первое. Переведите из радианной меры в градусную: а) ; б)
.
Решение.
Задание
второе. Переведите из градусной меры в радианную: а) ; б)
.
Решение.
Задание
третье. Вычислите радиус окружности, если её дуга м содержит
рад.
Решение.
Задание
четвёртое. Найти координаты точки,
полученной поворотом точки на
угол: а) ; б)
.
Решение.
Задание
пятое. Найдите значения выражений:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Задание шестое. Определите знаки синуса,
косинуса и тангенса углов:
а) ; б)
; в)
.
Решение.