Тригонометрия в прямоугольном треугольнике егэ

Каталог заданий.
Решение прямоугольного треугольника

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin	sincos
cos	1+tg	cos = sin
tg	1+ctg	sin = cos
ctg		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
   Мы получили основное тригонометрическое тождество.
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

	0
sin	0
cos					0
tg	0				−
ctg	−				0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin

Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике угол равен , , .

Найдите .

Решение:

Отсюда

Найдем AC по теореме Пифагора.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A

Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos⁡ А

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда

cos⁡ А

tg A

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A

По теореме Пифагора получим

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

тогда

(по двум углам), следовательно откуда

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A =

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = тогда c = АВ = 18.

sin A = = cos⁡ B =

Рассмотрим BHC:

= получим

тогда BH = = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: A = sin В =

а для ВНС: sin В = = , откуда СН =

По теореме Пифагора найдем ВН:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

тогда

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= = =

Рассмотрим BHC :

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС=

тогда а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = = = cos A = = =

тогда tg A = который найдем из BHC:

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.

Решение:

По определению tg A=

Для BHC: , значит СН =

Для АHC: tg A= то AH =

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = = sin A =

Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =

В АВС имеем sinA = = тогда AВ =

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

sin В = =

Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора получим

х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит или

k = тогда АС = ; АВ =

3-й способ.

(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

=

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = =

cos C =

Для АВС: sin А = = cos C =

Для АНВ: sin А = = то = АВ =

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A =

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А =

значит = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна S =

поэтому

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, ),

значит sin

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

Тогда sin

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ =

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = то есть АС =

По теореме Пифагора тогда

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;

учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

cos A =

По определению cos A = значит

Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.

Решение:

Пусть ВАО =

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =

Поэтому tg откуда

Ответ:

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =

В BHC: то следовательно, ВН = BC =

По теореме Пифагора найдем НС:

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),

то

Из ВСН: то следовательно,

ВН = ВС =

АН = АВ — НВ = 2 — = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

14 апреля 2011

Сегодня рассмотрим задачи B8 c тригонометрией в ее классическом понимании, где изучаются обычные прямоугольные треугольники. Поэтому никаких тригонометрических окружностей и отрицательных углов сегодня не будет — только обычные синусы и косинусы.

Такие задачи составляют примерно 30% от общего числа. Помните: если в задаче B8 хоть раз упоминается угол π, она решается совсем другими способами. Мы обязательно рассмотрим их в ближайшее время. А сейчас — главное определение урока:

Треугольник — фигура на плоскости, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. Фактически, это замкнутая ломаная из трех звеньев. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. Важно заметить, что вершины не должны лежать на одной прямой, иначе треугольник вырождается в отрезок.

Довольно часто треугольником называют не только саму ломаную, но и часть плоскости, которая этой ломаной ограничена. Таким образом, можно определить площадь треугольника.

Два треугольника называются равными, если один можно получить из другого путем одного или нескольких движений плоскости: сдвига, поворота или симметрии. Кроме того, существует понятие подобных треугольников: их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны…

Все, что написано выше, можно было не читать. Потому что это не нужно. Вы что, не знаете, что такое треугольник? Вы действительно не знаете, как он выглядит? Хорошо, я сейчас покажу.

Это треугольник ABC. Более того, это прямоугольный треугольник: в нем ∠C = 90°. Именно такие чаще всего и встречаются в задаче B8.

Все, что надо знать для решения задачи B8 — это несколько простых фактов из геометрии и тригонометрии, а также общая схема решения, в которой эти факты используются. Затем останется просто «набить руку».

Начнем с фактов. Они разбиты на три группы:

1. Определения и следствия из них;
2. Основные тождества;
3. Симметрии в треугольнике.

Нельзя сказать, что какая-то из этих групп важнее, сложнее или проще. Но информация, которая в них содержится, позволяет решить любую задачу B8. Поэтому знать надо все. Итак, поехали!

Группа 1: определения и следствия из них

Рассмотрим треугольник ABC, где ∠C — прямой. Для начала — определения:

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Один угол или отрезок может входить в разные прямоугольные треугольники. Более того, очень часто один и тот же отрезок является катетом в одном треугольнике и гипотенузой — в другом. Но об этом — дальше, а пока будем работать с обычным углом А. Тогда:

1. sin A = BC : AB;
2. cos A = AC : AB;
3. tg A = BC : AC.

Основные следствия из определения:

1. sin A = cos B; cos A = sin B — самые часто используемые следствия
2. tg A = sin A : cos A — связывает тангенс, синус и косинус одного угла
3. Если ∠A + ∠B = 180°, т.е. углы смежные, то: sin A = sin B; cos A = −cos B.

Хотите — верьте, хотите — нет, но этих фактов достаточно, чтобы решить примерно треть всех тригонометрических задач B8.

Группа 2: основные тождества

Первое и самое главное тождество — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к треугольнику ABC, рассмотренному выше, эту теорему можно записать так:

AC ² + BC ² = AB ²

И сразу — небольшое замечание, которое убережет читателя от множества ошибок. Когда решаете задачу, всегда (слышите, всегда!) записывайте теорему Пифагора именно в таком виде. Не пытайтесь сразу выражать катет, как это обычно требуется. Возможно, вы сэкономите пару строчек вычислений, но именно на этой «экономии» было потеряно больше баллов, чем где-либо еще в геометрии.

Второе тождество — из тригонометрии. Выглядит следующим образом:

sin ² A + cos ² A = 1

Оно так и называется: основное тригонометрическое тождество. С его помощью можно через синус выразить косинус и наоборот.

Группа 3: Симметрии в треугольнике

То, что написано ниже, относится только к равнобедренным треугольникам. Если в задаче таковой не фигурирует, то для решения достаточно фактов из первых двух групп.

Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Проведем к основанию высоту CH. Получим следующие факты:

1. ∠A = ∠B. Как следствие, sin A = sin B; cos A = cos B; tg A = tg B.
2. CH — не только высота, но и биссектриса, т.е. ∠ACH = ∠BCH. Аналогично, равны и тригонометрические функции этих углов.
3. Также CH — это медиана, поэтому AH = BH = 0,5 · AB.

Теперь, когда все факты рассмотрены, перейдем непосредственно к методам решения.

Общая схема решения задачи B8

Геометрия отличается от алгебры тем, что в ней нет простых и универсальных алгоритмов. Каждую задачу приходится решать с нуля — и в этом ее сложность. Тем не менее, общие рекомендации дать все-таки можно.

Для начала, следует обозначить неизвестную сторону (если таковая имеется) за X. Затем применяем схему решения, которая состоит из трех пунктов:

1. Если в задаче есть равнобедренный треугольник, применить к нему все возможные факты из третьей группы. Найдите равные углы и выразите их тригонометрические функции. Кроме того, равнобедренный треугольник редко бывает прямоугольным. Поэтому ищите в задаче прямоугольные треугольники — они там обязательно есть.
2. Применить к прямоугольному треугольнику факты из первой группы. Конечная цель — получить уравнение относительно переменной X. Найдем X — решим задачу.
3. Если фактов из первой группы оказалось недостаточно, применяем факты из второй группы. И снова ищем X.

Примеры решения задач

А теперь попробуем с помощью полученных знаний решить наиболее распространенные задачи B8. Не удивляйтесь, что с таким арсеналом текст решения окажется не намного длиннее, чем исходное условие. И это радует

Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A.

По определению (группа 1), cos A = AC : AB. Гипотенуза AB нам известна, а вот катет AC придется искать. Обозначим его AC = x.

Переходим к группе 2. Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора:

AC ² + BC ² = AB ²;
x² + 3² = 5²;
x² = 25 − 9 = 16;
x = 4.

Теперь можно найти косинус:

cos A = AC : AB = 4 : 5 = 0,8.

Задача. В треугольнике ABC угол B равен 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH — высота. Найдите AH.

Обозначим искомую сторону AH = x и рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, причем ∠AHB = 90° по условию. Поэтому cos A = AH : AB = x : AB = 4/5. Это пропорция, ее можно переписать так: 5 · x = 4 · AB. Очевидно, мы найдем x, если будем знать AB.

Рассмотрим треугольник ABC. Он также прямоугольный, причем cos A = AB : AC. Ни AB, ни AC нам не известны, поэтому переходим ко второй группе фактов. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin ² A + cos ² A = 1;
sin ² A = 1 − cos ² A = 1 − (4/5)² = 1 − 16/25 = 9/25.

Поскольку тригонометрические функции острого угла положительны, получаем sin A = 3/5. С другой стороны, sin A = BC : AC = 3 : AC. Получаем пропорцию:

3 : AC = 3 : 5;
3 · AC = 3 · 5;
AC = 5.

Итак, AC = 5. Тогда AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Наконец, находим AH = x:

5 · x = 4 · 4;
x = 16/5 = 3,2.

Задача. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH.

Обозначим искомую высоту CH = x. Перед нами равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, из третьей группы фактов имеем:

∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8

Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный (∠H = 90°), причем AC = 5 и cos A = 0,8. По определению, cos A = AH : AC = AH : 5. Получаем пропорцию:

AH : 5 = 8 : 10;
10 · AH = 5 · 8;
AH = 40 : 10 = 4.

Осталось воспользоваться второй группой фактов, а именно теоремой Пифагора для треугольника ACH:

AH ² + CH ² = AC ²;
4² + x² = 5²;
x² = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Найдите синус угла CAD.

Поскольку нам известна гипотенуза AC = 40 и катет AB = 32, можно найти косинус угла A: cos A = AB : AC = 32 : 40 = 0,8. Это был факт из первой группы.

Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое тождество (факт из второй группы):

sin ² A + cos ² A = 1;
sin ² A = 1 − cos ² A = 1 − 0,8² = 0,36;
sin A = 0,6.

При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что углы BAC и CAD смежные. Из первой группы фактов имеем:

∠BAC + ∠CAD = 180°;
sin CAD = sin BAC = sin A = 0,6.

Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg A.

Треугольник ABC — равнобедренный, CH — высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Это факт из третьей группы.

Теперь рассмотрим треугольник ACH: в нем ∠AHC = 90°. Можно выразить тангенс: tg A = CH : AH. Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH, которую обозначим CH = x. По теореме Пифагора (факт из группы 2) имеем:

AH ² + CH ² = AC ²;
4² + x² = 5²;
x² = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Теперь все готово, чтобы найти тангенс: tg A = CH : AH = 3 : 4 = 0,75.

Задача. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту AH.

Обозначим искомую высоту AH = x. Снова треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что ∠A = ∠B, следовательно, cos B = cos A = 3/5. Это факт из третьей группы.

Рассмотрим треугольник ABH. По условию, он прямоугольный (∠AHB = 90°), причем известна гипотенуза AB = 6 и cos B = 3/5. Но cos B = BH : AB = BH : 6 = 3/5. Получили пропорцию:

BH : 6 = 3 : 5;
5 · BH = 6 · 3;
BH = 18/5 = 3,6.

Теперь найдем AH = x по теореме Пифагора для треугольника ABH:

AH ² + BH ² = AB ²;
x² + 3,6² = 6²;
x² = 36 − 12,96 = 23,04;
x = 4,8.

Дополнительные соображения

Бывают нестандартные задачи, где рассмотренные выше факты и схемы бесполезны. Увы, в таком случае нужен действительно индивидуальный подход. Подобные задачи любят давать на всевозможных «пробных» и «демонстрационных» экзаменах.

Ниже приведены две реальные задачи, которые предлагались на пробном ЕГЭ в Москве. Справились с ними единицы, что свидетельствует о высокой сложности этих задач.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC из угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что ∠A = 23°. Найдите ∠MCH.

Заметим, что медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому M — центр описанной окружности, т.е. AM = BM = CM = R, где R — радиус описанной окружности. Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный, и ∠ACM = ∠CAM = 23°.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH. По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, ∠B — общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны по двум углам.

В подобных треугольника соответствующие элементы пропорциональны. В частности:

BCH = BAC = 23°

Наконец, рассмотрим ∠C. Он прямой, и, кроме того, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH. В этом равенстве ∠MCH — искомый, а ∠ACM и ∠BCH известны и равны 23°. Имеем:

90° = 23° + MCH + 23°;
MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.

Задача. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника: AB = x, BC = y. Выразим периметр:

P_ABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34;
x + y = 17.

Аналогично выразим площадь: S_ABCD = AB · BC = x · y = 60.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому запишем теорему Пифагора:

AB ² + BC ² = AC²;
AC ² = x² + y².

Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:

x² + y² = (x + y)² − 2 · x · y = 17² − 2 · 60 = 289 − 120 = 169

Итак, AC ² = 169, откуда AC = 13.

Смотрите также:

1. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
2. Центральные и вписанные углы в задании 6
3. Системы линейных уравнений: основные понятия
4. Следствия из теоремы Виета
5. Что делать, если в показателе стоит логарифм
6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Задание 3 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №3 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №3 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен , BC = 15, . Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

2. B треугольнике ABC угол C равен . Найдите AB.

По определению косинуса угла,

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен . Тогда угол CBA равен Угол CAB равен углу CBA и тоже равен , поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, . Получим:

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен , угол B равен , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

Углы ACD и DCB в сумме дают . Отсюда

6. B остроугольном треугольнике ABC угол равен BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и . Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

8. B треугольнике ABC угол A равен угол B равен AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть и

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен .

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD AB=3, AD=21, Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда , и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен , его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен

По формуле квадрата суммы,

Отсюда квадрат диагонали , и длина диагонали

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит,

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен .

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции:

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

17. Диагонали равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это . Из условия мы получим, что дуга ABC равна Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

19. Угол ACB равен Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен , так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен , и тогда угол ОBA равен Угол ОAB также равен , так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга равна

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна , и тогда угол AОB равен

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, Тогда

Угол C может быть равен или — ведь синусы этих углов равны Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, Тогда

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в раз больше катета. Получим:

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, , Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

Тогда периметр четырехугольника равен

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит,