Задачи егэ формула пика

Одна за всех

Универсальная формула

для решения заданий ОГЭ и ЕГЭ

Подгорная Вероника, 7 кл. МКОУ СОШ №3

Учитель: Ю.М. Синотова

• Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

• Гипотеза : Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формулам площадей из учебника геометрии 8 кл.

• Цель исследования:

• Выяснение существования иной, отличной от школьной программы и доступный для моих одноклассников формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
• Создание презентации-тренажера в помощь моим одноклассникам, ученикам 11 класса, учителям математики.

Задачи

• Подобрать необходимую литературу
• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Этапы работы:

Георг Александр Пик

  (10 августа 1859 — 26 июля 1942)  — австрийский математик

S1= (3 · 2) : 2 = 3 см²

S2= (1 · 2) : 2 = 1 см²

S3= (3 · 2) : 2 = 3 см²

S4= 2 · 2= 4 см²

S 5=(1 · 2) : 2 = 1 см²

Суммарная площадь равна: 3+1+3 + 4+1 = 12 см²

1см

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника

ФОРМУЛА ПИКА

Г

S

– 1

B

+

=

2

S = В + Г /2 – 1

В=10 , Г=6

S = 10 + 6 /2 – 1 =

10+3-1=12 ( см²)

1см

Для многоугольника на рисунке В = 1 3 (красные точки),

Г = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому

S = 1 3 + 6 /2 – 1 = 1 5 квадратных единиц.

1см

Найдем площадь фигуры и вычтем из нее «лишние» площади

S кв .= a²=7²=49 см ²

S1=b=1/273,5 см ²

S2=b=1/272=7 см ²

S3=b=1/241=2 см ²

S4=b=1/251=2,5 см ²

S5=a²=1²=1 см ²

S=49-3 , 5-7-2-2,5-1=

3 3см ²

Г=4; В=32.

S =32+ 4/2 — 1= 3 3см ²

S=3*3=9 см ²

S1=2 * 3 :2=3 см ²

S 2= 3*1:2=1,5 см ²

S 3= 3*1:2=1,5 см ²

S =9-3-1,5-1,5=3 см ²

S1

S3

S2

В=2, Г=4

S =2+4:2-1=2+2-1=3 см ²

Задача № 5

Г = 8 В = 1

S = 1 + 8 / 2 – 1 = 1 + 4 – 1 =

4 ед.кв.

Ответ: 4 ед.кв.

ФОРМУЛА ПИКА

Получаем, что S = 28 + 20/2 — 1 = 37 кв.ед.

Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. R внешнего круга равен 2,9 ед., r внутреннего круга равен 2ед.

Следовательно,

S кольца= 3,14*2,9*2,9-3,14*2*2=

3,14(2,9*2,9-2*2)=3,14*(8,41-4) =

3,14*4,41= 13,87 ед.кв.

По формуле Пика площадь большого круга 21+16/2-1=28 ед.кв., а площадь маленького круга 9+12/2-1=14 ед.кв. Следовательно, площадь S кольца равна 28-14= 14ед.кв .

• Для вычисления площади многоугольника нужно знать всего одну формулу:

S = В + Г/2 — 1 — формулу Пика.

• Формула Пика проста для запоминания.
• Формула Пика удобна и проста в применении.
• Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой формы.

• В процессе исследования в 9 и 11 классах МКОУ СОШ № 3 был проведен практический эксперимент: решить задачи по нахождению площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

• Класс разделил на две группы. Учащиеся первой группы решали задачи по формулам геометрии, а учащиеся второй группы при решении использовали формулу Пика.

Решали по формулам

Решали по формуле Пика

• Повышенный интерес к решению.
• Плотность занятия.
• Работоспособность учащихся.
• Практически нет вычислительных ошибок.

• Допущены вычислительные ошибки.
• Затруднения в использовании нужных формул.

Авторы: Куровская Юлия, Шагаева
Диана.

Руководители:

• Могутова Татьяна Михайловна
• Дерюшкина Оксана Валерьевна

Девиз проекта:

“Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте
их”.
Д. Пойя.

Выбор темы проекта не случаен. Способы
нахождения площади многоугольника
нарисованного на “клеточках” очень интересная
тема.

Мы знаем разные способы выполнения таких
заданий: способ сложения, способ вычитания и др.

Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили
много литературы и к нашей огромной радости
нашли еще один способ, способ не известный по
школьной программе, но способ замечательный!
Вычисление площади, используя формулу,
выведенную австрийским ученым – математиком
Георгом Пиком.

Мы решили изучить формулу Пика, при помощи
которой выполнять задания на нахождении площади
очень легко!

Решили поделиться нашим открытием с
одноклассниками, учащимися других школ, создать
электронную презентацию.

Цель исследования

1. Изучение формулы Пика.

2. Расширение знаний о многообразии задач на
клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения
этих задач.

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать
главную, интересную, понятную информацию

2. Проанализировать и систематизировать
полученную информацию

3. Создать электронную презентацию работы для
представления собранного материала
одноклассникам

4. Сделать выводы по результатам работы.

5. Подобрать наиболее интересные, наглядные
примеры.

Методы исследования:

1. Моделирование

2. Построение

3. Анализ и классификация информации

4. Сравнение, обобщение

5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Георг Пик – австрийский ученый – математик.
Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою
первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг
его математических интересов был чрезвычайно
широк. 67 его работ посвящены многим разделам
математики, таким как: линейная алгебра,
интегральное исчисление, геометрия,
функциональный анализ, теория потенциала.

Широко известная Теорема появилась в сборнике
работ Пика в 1899 году.

Теорема привлекла довольно большое внимание и
начала вызывать восхищение своей простотой и
элегантностью.

Формула Пика, формула вычисления площади
многоугольника, изображенного на бумаге в
клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ.
Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.

Формула Пика  — классический результат
комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г : 2 + В – 1

где

Г – число узлов решетки на границе
многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Первым делом мы поставили задачу: изучить,
что такое узлы решетки и как правильно вычислять
их количество. Оказалось, это очень просто.
Приведем несколько примеров.

Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на
границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри
изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать
их количество очень легко.

В данном случае Г= 15, В = 35

Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18,
узлов внутри 20, В = 20.

И еще один пример. Дан произвольный
многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14.
Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.

С первой задачей мы справились!

Второй этап нашей работы: вычисление площадей
многоугольников.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49

Пример №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Пример №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Пример №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19

Пример №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34

На рассмотрение пяти примеров мы затратили
всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле
Пика не только быстро, но и очень легко!

Но перед нами встал очень серьезный вопрос:

Можно ли доверять теореме Пика?

Получаются ли одинаковые результаты при
вычислении площадей разными способами?

Найдем площади многоугольников по формуле Пика
и обычным способом, применяя формулы геометрии и
способы достроения или разбиения на части. Вот
какие результаты мы получили:

Пример №1.

Вычислим площадь многоугольника по формуле
Пика:

Подсчитаем количество узлов на границе и
внутри. Г = 3, В = 6.

Вычислим площадь: S = 6 + — 1 = 6,5

Достроим многоугольник до прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат одинаковый.

Пример №2.

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 4, В = 9, S = 9 + — 1 = 10

Достроим до прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S₁ = 2 *
1 = 2, S₂ = = 3,

S = = 2 ,
S = = 1,5, S
= = 2,5

Площадь прямоугольника равна

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

Пример №3

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 5, В = 6, S = 6 + — 1 = 7,5

Вычислим площадь, используя способ достроения.

Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20

S₁ = 2 * 1 = 2, S₂ = = 1, S₃ = 2 * 1 = 2, S₄ = = 1, S₅
= = 1, S₆
= = 2,5

S₇ = = 3

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Результат одинаковый.

В презентации мы рассмотрели три примера, но на
самом деле мы рассмотрели очень много самых
разных примеров. Результат всегда был один и тот
же: Вычисление площади по формуле Пика и другими
способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает
точный результат.

Мы довольны!

И еще один вопрос встал перед нами: какой способ
вычисления наиболее рациональный, наиболее
удобный для использования?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно
использовать всю предыдущую работу. Но
рассмотрим еще три примера, которые окончательно
позволят получить ответ на наш вопрос.

Пример №2

Пример №3

При помощи формулы Пика легко вычислить
площадь многоугольника даже самой причудливой
формы. Рассмотрим пример:

Г=16, В=4

S=16:2+4-1=11

Вывод однозначный: наиболее рациональный
способ вычисления площади многоугольника,
изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Предлагаем каждому из вас вычислить площадь
многоугольника, используя формулу Пика:

— вычислите количество узлов на границе. Они
изображены желтым цветом.

— вычислите количество узлов внутри, красный
цвет.

— Подставьте в формулу, назовите результат. Вы
за одну минуту вычислили площадь.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед
другими способами вычисления площадей
многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно
знать всего одну формулу:

S = Г:2 + В — 1.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в
применении.

Многоугольник, площадь которого необходимо
вычислить, может быть любой, даже самой
причудливой формы.

Применяя формулу Пика легко выполнять задание
ЕГЭ и ОГЭ.

Приведем несколько примеров вычисления
площади из вариантов ЕГЭ – 2015.

Мы решили научить пользоваться формулой Пика
учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели
фестиваль “Формула Пика”.

Все учащиеся с большим интересом познакомились
с презентацией, научились пользоваться формулой
Пика.

За 30 минут практической работы учащиеся
выполнили большое количество заданий. Каждый
учащийся получил памятку “Формула Пика”.

Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!

Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся
9–11 классом.

Задали следующие вопросы:

Вопрос №1:

Формула Пика – это рациональный способ
вычисления площади многоугольника?

“Да” — 100% учащихся.

Вопрос №2:

Вы пользуетесь формулой Пика?

“Да” – 100% учащихся

Наша работа не прошла даром! Мы довольны!

Презентацию нашего проекта мы разместили в
сети Интернет. Много просмотров и скачиваний
нашей работы.

Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им
постоянно, особенно первое время, пользовались
учащиеся нашей школы.

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили
справочную, научно-популярную литературу по теме
исследования.

• Изучили теорему Пика, научились находить
  площади фигур, изображенных на бумаге в клетку
  просто и рационально.
• Расширили свои знания о решении задач на
  клетчатой бумаге, определили для себя
  классификацию исследуемых задач, убедились в их
  многообразии.
• Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула
  Пика”, научили их находить площадь, использую
  эту формулу. Подобрали много интересных
  примеров.
• Создали электронную презентацию в помощь своим
  ровесникам.
• Оформили альбом “Формула Пика”, который
  постоянно используют учащиеся школы.

Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы
убедились в рациональности нашей работы.

Спасибо за внимания!

 Задачи
на клетчатой бумаге. Формула Пика.

( Коллекция задач с сайта https://ege.sdamgia.ru/)

   Задачи на
бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические
представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач
возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

   При решении
задач на клетчатой бумаге ученикам не понадобится знание основ планиметрии, а
будет нужна именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые
геометрические сведения, которые известны всем.

Формула Пика

        Наш сюжет
будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

    Линии,
идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.
Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его
площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на
достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

   Но тут нас ждёт
много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»:

вычислим площадь
заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш

Рис. 1

многоугольник до
прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади
прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и
прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

    Итак, хотя
многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам
пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

    Оказывается
площади многоугольников, вершины которых  расположены в узлах сетки, можно
вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством
узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая
формула называется формулой Пика.

   Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям
сетки (рис. 2).

    Обозначим
через В количество узлов , лежащих внутри прямоугольника, а через Г –
количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки
вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами
следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую

             Рис.
2

клетку смещённой
сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а
каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В +  + 4 ·  = В +  —
1 .

    Итак, для
прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы
установили формулу  S = В +  —
1 .

    Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для
произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

    Это и есть
формула Пика.

Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

Решение.

   В = 14,
Г = 8.             По формуле Пика: S = В +  — 1 .

    S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Ответ: 17 кв.
ед.                      

    Можно
убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

    Оказывается,
что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах
сетки, то для него верна формула Пика.

    Попробуйте
вычислить площади многоугольников с рисунка  3, используя формулу Пика. Правда
ведь, легко получается!

            Рис.
3        

Рассмотрим ещё
некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см

Задача 2.

 Найдите площадь
прямоугольника АВСD (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В +  — 1 .

    В = 8,    Г = 6

    S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

            Рис. 4                 Ответ: 10 см².

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В +  — 1 .

  В = 6,     Г = 6

  S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

              Рис.
5

Задача 4. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Решение. По формуле Пика: S = В +  — 1 .

  В = 6,     Г = 5

  S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

              
Рис. 6

Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В +  — 1 .

  В = 5,     Г = 7

  S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

              
Рис. 7

  Задача
6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см
изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В +  — 1 .

 В = 12,    Г = 6

 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Ответ: 14

           Рис. 8

  Задача 7.  На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см
изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.
Воспользуемся формулой Пика:

В =  12,  Г = 17

 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5
(см²)

Ответ: 19,5

                Рис. 9

    Поможет нам формула Пика и для решения
геометрических задач с практическим содержанием.

Задача  8. Найдите площадь лесного массива (в м²),
изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1
см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника,
изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В
+  — 1

В = 8,  Г = 7.      S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² — 200² м²;     S =
40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420
000 м²                              

                Рис. 10

Задача 9.
Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой  1 ×
1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника,
изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В
+  — 1

В = 7,  Г = 4.      S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² — 200² м²;     S =
40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320
000 м²                               

Рис. 11        

Задачи на квад­рат­ной решетке

1. Най­ди­те тан­генс угла .

2. Най­ди­те тан­генс угла .

3. Най­ди­те тан­генс угла .

4. Най­ди­те бис­сек­три­су тре­уголь­ни­ка
, про­ве­ден­ную
из вер­ши­ны ,
если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

5. Най­ди­те ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка
, про­ве­ден­ную
из вер­ши­ны ,
если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

6. Най­ди­те вы­со­ту па­рал­ле­ло­грам­ма
, опу­щен­ную на
сто­ро­ну , если
сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

7.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки
1×1 от­ме­че­ны точки A и B. Най­ди­те длину от­рез­ка AB.

8. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки изоб­ражён угол. Най­ди­те его гра­дус­ную ве­ли­чи­ну.

9. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его сред­ней
линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не AB.

10. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты,
опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

11. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1×1 изоб­ражён рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те
длину его ме­ди­а­ны, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A, B и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки A до пря­мой BC.

13. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус опи­са­нной около него
окруж­но­сти.

14. Най­ди­те пло­щадь ромба,
изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см.
рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

15. Най­ди­те пло­щадь ромба,
изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см.
рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Коллекция задач с сайта https://ege.sdamgia.ru/

Слайд 1

Мастер – класс Геометрия на клетчатой бумаге Формула Пика учитель математики Сиволапова Елена Михайловна

Слайд 2

«Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе – быть ясным и насколько можно, простым.» Годфрид Вильгельм Лейбниц

Слайд 3

Цели : 1. Расширить знания о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач. 2. Изучить формулу Пика. 3. Отработать навыки использования формулы Пика при вычислении площади произвольных многоугольников. Геометрия на клетчатой бумаге Формула Пика Тема:

Слайд 4

Задание №1 Вычислите площадь треугольника a = 9 h = 9 h a

Слайд 5

Задание №2 Вычислите площадь параллелограмма a h a = 7 h = 4

Слайд 6

Задание №3 Вычислите площадь трапеции a h b a =9 b = 4 h = 3

Слайд 7

Задание № 4 Вычислите площадь фигуры, где каждая клетка имеет размер 1 X 1

Слайд 8

S = S квадрата – S 1 – S 2 – S 3 – S 4 =

Слайд 9

Георг Александр Пик 10.08.1859 – 13.07.1942 В 16 лет закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала. В 1899 году предложил свою теорему для вычисления площади многоугольника .

Слайд 10

Теорема Пика Узел – точка пересечение двух прямых . – внутренние узлы. – узлы на границе.

Слайд 11

Пусть В – число целочисленных точек внутри многоугольника, Г – количество целочисленных точек на его границе, S – его площадь. Тогда справедлива формула: S = Г : 2 + В – 1 Теорема Пика

Слайд 12

Г = 15 В = 34 Проверка справедливости теоремы Пика

Слайд 13

Г = 18 В = 20

Слайд 14

Г = 14 В = 43 Задание № 5 Вычислите площадь фигуры

Слайд 15

Г = 11 В = 5

Слайд 16

S = Г: 2 + В – 1 Г = 3 , В = 6 S = 3 :2 + 6 – 1 = 6,5

Слайд 17

Г = 4 , В = 9 S = Г :2 + В – 1 S = 4 :2 + 9 – 1 = 10

Слайд 18

Г = 5 , В = 6 S = Г :2 + В – 1 S = 5 :2 + 6 – 1 = 7,5

Слайд 19

Г = 16 , В = 4 S = Г :2 + В – 1 S = 16 :2 + 4 – 1 = 11

Слайд 20

S=2 S=2.5 S=1 S=2.5 S=1 S=1 S=3 S=4.5 S=5 S=5

Слайд 21

Пусть В – число целочисленных точек внутри многоугольника, Г – количество целочисленных точек на его границе, S – его площадь. Тогда справедлива формула: S = Г : 2 + В – 1 Теорема Пика

Слайд 22

Желаю успехов в сдаче экзаменов!

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом. 

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

Отметим узлы:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Рассмотрим подход оговоренный в статье «Площадь четырёхугольника. Универсальный способ«.

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

При изучении школьного курса геометрии мы встретились с темой «Площади многоугольников». Рассмотрев различные многоугольники и изучив разнообразные формулы для нахождения их площадей, учитель предложил нам выполнить задания, с которыми нам предстоит встретиться при подготовке к единому государственному экзамену в форме ОГЭ. Безусловно, знание формул, является, чуть ли не основным способом решения геометрических задач на нахождение площадей геометрических фигур. Но что делать, если их по какой – то причине забыл? И мне пришла идея о том, что эти задачи, возможно, решаются каким – либо другим способом. Я стала перелистывать журналы, которые сохранились с тем времен, когда учились в школе мои родители. И, в руки мне попался очень интересный журнал «Квант», в котором я познакомилась с формулой Пика, предназначенной для решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой решетке. Меня очень заинтересовал этот метод решения задач, и я решила, изучив его, написать исследовательскую работу.

Исследовательский проект «Применение формулы Пика для решения геометрических задач» предназначен для учащихся средней школы, может быть использован в качестве дополнительного материала при изучении некоторых разделов математики, таких, как: многоугольники, площади многоугольников, выпуклые фигуры на клетчатой решетке.

Основополагающим вопросом данного проекта является вопрос о том, можно ли применить формулу Пика для нахождения площадей геометрических фигур? Перед учеником стоят проблемные вопросы: Какие существуют способы нахождения площадей геометрических фигур в школьном курсе математики? Можно ли применить формулу Пика для решения задач?

Объектом исследования являются задачи, которые решаются с помощью формулы Пика.

Предмет исследования – формула Пика.

Цель исследования: изучить формулу Пика, научиться ее применять для решения геометрических задач.

Задачи исследования:

Подобрать и изучить соответствующую литературу;

рассмотреть вывод формулы Пика;

подобрать класс задач, которые можно решить с помощью формулы Пика и решить их;

проверить целесообразность и эффективность применения формулы Пика;

расширение кругозора;

сделать сравнительный анализ: какой из способов наиболее эффективный (традиционный или с помощью формулы?);

углубленное изучение школьного курса геометрии.

Актуальность: Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

1. . Историческая справка.

Основная часть

Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер. Отец — Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет мальчик окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны: матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

2.2. Исследование и доказательство формулы Пика.

Свою исследовательскую работу я начала с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Применить известные формулы для вычисления площадей различных треугольников и четырехугольников я смогла. А как найти площади многоугольников, у которых количество сторон больше 4?

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равностоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий. Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником.

Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна L + B/2 — 1 , где L — число узлов решетки внутри многоугольника, а B — число узлов решетки на границе многоугольника. Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал. Однако, в 1969 году, польский учёный Штейнгауз, один из основоположников Львовской математической школы, включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп”. С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Особенностью данной формулы является тот факт, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Чтобы оценить площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы примем за единицу).

Если S- площадь многоугольника, N₁— число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и N₂— число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку, то N₁ ≤ S ≤ N_2.

Мы будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги — в точках, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать простую формулу: S= r : 2 + i — 1, где S- площадь, r- число узлов, которые лежат на границе многоугольника (то есть на сторонах и в вершинах), i- число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника. Мы рассматриваем треугольники с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Лист мы считаем бесконечным во всех направлениях, клетки — квадратами со стороной 1. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т. Чтобы найти это число, обозначим через nчисло сторон многоугольника, через В – число узлов внутри него, через Г— число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°• Т. Теперь найдем сумму другим способом. Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2•180°, т.е. общая сумма углов равна 360°·В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г- n)∙180°, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г- 2)180°. Таким образом, Т=2∙180°·В +(Г-n)·180°+(n-2)∙180°. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°,

получаем формулу для площади S многоугольника, известную как Формула Пика.

Практическая часть

Используя задачи с сайтов для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, я начала их решать несколькими способами, чтобы сделать соответствующий анализ и вывод: какой из способов проще, доступнее, эффективнее?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рис. 1

Решение.

1 способ. a=2; b=3; h=4. Используем формулу, для нахождения площади трапеции: S = ((а+b):2) · h. Имеем: S= ((2+3):2) ∙ 4= 10. Ответ:10

2 способ. Разобьем фигуру на более мелкие фигуры: 2 треугольника и прямоугольник и найдем их площади. Площадь 1 треугольника S = (2·4): 2 = 4. Площадь второго треугольника S = (1∙4) : 2 = 2

Площадь прямоугольника равна: S = 1∙4 = 4. Сложим полученные площади фигур. Имеем: 2 + 4 + 4 = 10. Ответ:10

3 способ. Используем формулу Пика. r = 8, i = 7. S = 8: 2 + 7 – 1 = 10 Ответ: 10

Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Рис. 2

Решение.

1 способ. Разобьем данную фигуру на части: прямоугольник, 2 маленьких прямоугольных треугольника и 1 большой прямоугольный треугольник. Найдем площади получившихся фигур. Площадь прямоугольника равна 2∙4 = 8,

сумма площадей 2х маленьких треугольников равна 1. Площадь большого треугольника равна (4·4) : 2 = 8. Итак, площадь всей фигуры равна: 8 + 1 + 8 = 17. Ответ: 17

2 способ. Воспользуемся формулой Пика. r = 16, i = 10. S = 16: 2 +10 -1 =17

Ответ: 17

Учитывая, что площадь маленького квадрата равна 1, на рисунке площадь четырехугольника будет равна……

Рис. 3

Решение.

1 способ. Разобьем фигуру на несколько фигур, как показано на рисунке и найдем их площади. Площадь прямоугольника равна 2∙4 = 8. = (2∙2): 2 = 2;

= (5·1):2 = 2,5; = (6∙1):2 = 3; = (2·3):2 = 3; = (1∙1):2 = 0,5; Итак, площадь всей фигуры равна: 8+2+2,5+3+3+0,5 =19. Ответ:19

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 6, i = 17, S = 6:2 +17 -1 = 19 Ответ: 19

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая, что площадь одной клетки равна 1.

Рис. 4

Рис. 5

Решение.

1 способ. Достроим изображенную фигуру до квадрата со стороной 3 и найдем его площадь. S = 9. Найдем площади прямоугольных треугольников.

= (3∙2):2 = 3; = (3∙2):2 =3; = (1∙1):2 = 0,5. Сложив полученные площади треугольников, и вычитая полученное число из площади квадрата, имеем:

S = 9 – (3+3+ 0,5) = 2,5. Теперь рассмотрим квадрат со стороной равной 2. Его площадь равна 4. Найдем площади прямоугольных треугольников: = 1,

=1, = 0,5. Вычитая из площади квадрата сумму площадей этих треугольников, имеем: S = 4 – 2,5 = 1,5. Итак, площадь фигуры, изображенной на рисунке равна 2,5 – 1,5 = 1. Ответ: 1

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 4, i =0. S = 4: 2 + 0 – 1 = 1 Ответ: 1

5. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ра­же­на фигура. Най­ди­те её площадь.

Рис. 6

Решение.

1 способ. Разобьем фигуру на прямоугольники, как показано на рисунке и найдем их площади по формуле: S = а·b, где а и b – смежные стороны прямоугольника. Имеем: = 2∙4 = 8, = 1∙1 =1, = 2∙1 = 2. Итого: S = 2+1+8 = 11 Ответ: 11

2 способ. Применим формулу Пика. r =18, i = 3, S =18: 2 + 3 -1 = 11 Ответ:11

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке (площадь одной клетки равна 1).

Рис. 7

Решение.

1 способ. Разбиваем данную фигуру на части: 3 прямоугольника и квадрат и находим их площади. = 1∙5 = 5, = 2∙ 1 = 2, = 1∙2 = 2, = 1·1 = 1. Площадь всей фигуры равна: S = 5 +2 + 2 +1 = 10 Ответ: 10

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 22, i =0, S = 22:2 + 0 – 1 = 10 Ответ:10

4. Заключение

Решив задачи несколькими способами и получив одинаковые ответы, я пришла к выводу, что удобнее применять формулу Пика, так как процесс разбиения фигур на части требует большего количества времени, а на экзамене оно ограничено. Кроме того, формула Пика позволяет решать более сложные задачи. По моему мнению, формулу Пика может освоить любой ученик, достаточно уметь выполнять несложные математические вычисления.

Однако, наряду с достоинством формулы, есть и недостатки: формулу можно применить лишь для задач, фигуры в которых расположены на клетчатой решетке, вершины которых лежат в узлах решетки.

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых». С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Моя гипотеза о том, что вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии, подтверждена.

5. Список использованной литературы и других источников

1.Н.Б. Васильев. Вокруг формулы Пика. //Квант.- 1974. -№2. –с.39-43

2.И.В. Ященко. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов — М.: Издательство «Национальное образование», 2017. — 240 с. – (ОГЭ. ФИПИ- школе)

3.«Решу ОГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966

Просмотров работы: 3264

Формула пика когда не работает

«… Математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное »

Математика – точная наука. Это очень важно в различных измерениях. Измерение – это сравнение с некоторым образцом (эталоном): метр, сантиметр, миллиметр, например [2;3]. Цель измерения (Приложение 2; 2) – установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.

В школьном курсе математики нам часто приходится измерять те или иные плоские фигуры. Они могут быть правильными и неправильными многоугольниками. Часто возникает необходимость найти площадь фигуры. (Приложение 2:1)

В жизни всегда необходимо уметь определять площадь различных поверхностей (Приложение 2; 3). Чтобы построить дом, необходимо правильно определить площадь земельного участка под строительство, площадь зелёных насаждений вокруг дома. При покупке мебели мы всегда учитываем площадь комнаты или кухни.

Измерение площадей необходимо во многих профессиях: в лёгкой промышленности, деревообрабатывающей, машиностроении. В сельском хозяйстве необходимо правильно определить площадь поля под посев, спланировать расходы посевного материала и ожидаемый урожай.

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника [1;337]. Решая задания ОГЭ по математике, мы рассматривали различные способы нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге, но, познакомившись с формулой Пика, стало значительно проще это делать.

Цель работы: изучить возможности применения формулы Пика при нахождении площади плоских многоугольников.

— проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач;

— научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности;

— сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Объектная область: комбинаторная геометрия.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

1. Изучение специальной литературы и Интернет-ресурсов.

1. Обобщение и систематизация материала по данной теме.

3. Отбор и анализ содержания источников информации;

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение формулы может помочь школьникам, в том числе сдающим ЕГЭ, быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Гипотеза: вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

Работа прошла следующие этапы.

1. Определение научного аппарата (определение цели, задач, методов исследования, гипотезы, актуальности).
2. Изучение методов вычисления площадей многоугольника на клетчатой бумаге.
3. Изучение источников (литературы, интернет-ресурсов).
4. Исследование методов решения:

— традиционного и с помощью формулы Пика;

Изучение источников показало следующее. Внимание к теореме Н.А.Пика возникло сразу же после его появления. Его использовали как математики, так и физики. Применялось решение с её использованием и в учебных заведениях разного уровня. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. Однако при изучении литературы, мы заметили, что она применима и в при нахождении площадей других фигур.

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо. Из литературы мы поняли, что такие или подобные им будут на ЕГЭ и ОГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту . Мы решили это проверить сами.

Для этого использовали различные сборники по ЕГЭ и ОГЭ, в том числе и интернет-ресурсы 5.

ГЛАВА I . ФОРМУЛА ПИКА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Георг Алекса́ндр Пик (Приложение 1, фото 1) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Годы его жизни 10 августа 1859 — 13 июля 1942.

Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.

Георг, который был одарённым ребёнком, обучался отцом, возглавлявшим частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.

Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов».

В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете.

Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию, то есть процедуру получения высшей академической квалификации, следующей после учёной степени доктора философии. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете.

В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Таким образом, мы видим, что Георг Александр Пик целенаправленно шел дорогой ученого, выбрав математику и физику. Именно это и дало ему возможность открыть формулу, которая получила его имя и используется при измерении площадей.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

В + Г / 2 − 1, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана формула Георгом Пиком в 1899 году.

Вот это доказательство.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.

Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика. S = В + Г/ 2 – 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО размещены в полном варианте работы которая размещена в ФАЙЛЫ по техническим причинам

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

1.3. Вычисление площади кольца по формуле Пика

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R= 4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и, чем точнее число π, тем она больше.

Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников.

Таким образом, сделаем вывод. Н аходить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов формула Пика работает хорошо.

Но надо помнить, что данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников.

ГЛАВА II . СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ

Смотри ФАЙЛЫ

Нами был проведен эксперимент в 11-б классе (Приложение 4, эксперимент 1), в котором две группы одновременно решали одинаковые задание по вычислению площадей, но разными способами.

Это эксперимент доказал кратное уменьшение времени на решение с применением формулы Пика. Данный эксперимент нами был заснят на видео.

Так же было поведено социологическое исследование, в котором ученикам 9- а и 11-б классов предлагалось ответить на три вопроса.

1. Из каких источников вы впервые узнали о формуле Пика?
2. Будете ли вы применять формулу Пика при решении задач на нахождение площади?
3. Считаете ли вы, что для сдачи ОГЭ и ЕГЭ необходимы дополнительные знания по теории, которых нет в учебнике математики?

Результаты исследования отобразили в виде диаграмм (Приложение 3, диаграммы 1-2) и таблицы (Приложение 3, таблица 1).

Суммировав все варианты сравнения решений заданий с помощью формулы и традиционных способов, сделаем вывод, что они доказали преимущество использования формулы Пика.

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью (Приложение 2; 1).

Цель работы — изучить возможности применения формулы Пика при нахождении площади плоских многоугольников – достигнута.

Решены задачи исследования:

— проверена эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач;

— научено применение формулы Пика в задачах разной сложности;

— задачи, решенные с помощью формулы Пика, и традиционным способом показали эффективность и упрощение решения.

Методы работы оказались эффективными. Наиболее интересными были эксперимент и социологическое исследование, которые доказали упрощение решения с помощью формулы Пика.

По итогу исследования мы сделали выводы:

1. Существует несколько способов нахождения площади многоугольника.
2. Нахождение площади по формуле Пика является самым простым и оптимальным для нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.
3. Знания, полученные в ходе исследования можно легко применить для решения задач ЕГЭ и ОГЭ.

Несмотря на легкость самой формулы, она играет большую роль не только на экзаменах, но и в курсе математики, и даже на олимпиадах. Это очень полезная формула, что доказывает ее практическую ценность.

В ходе социологического исследования учащимся 9-г и 11-б были предложены вопросы. 1. Будете ли вы использовать формулу Пика на ОГЭ/ЕГЭ?. 96 процентов респондентов ответили утвердительно (Приложение 3, диаграмма 1)

Нами отобраны некоторые задачи для практического применения их при подготовки к ОГЭ. Они представлены в данной работе.

В ходе работы была изучена биография известного ученого, великого австрийского математика Г.А. Пика. Это расширило круг известных ученых с мировым именем.

Данная работа позволила формировать личные качества, такие как трудолюбие, ответственность, организованность, выдержка, которые необходимы в жизни.

Большое значение имеет возможность самоопределения в профессии, возможно, в будущем это будет способствовать выбору профессии, связанной с математикой.

1. Краткий справочник школьника.- М.: Дрофа, 1997
2. Я познаю мир. Детская энциклопедия. Математика.- М.: АСТ, 1998
3. 36 вариантов. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты . ЕГЭ. / под ред. И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2018
4. 50 вариантов заданий. Математика. Профильный уровнень. ЕГЭ 2017/ И.В.Яшенко и др.- М.: Экзамен, 2016

Источник

Теорема Пика или формула для ленивых

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!

• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 — 1 = 10 квадратных единиц.

Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1), Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2, Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники (например, диагоналями). Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника. чтд

К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта, но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Источник