507658 решу егэ математика

Решите неравенство

дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: a= дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби . Тогда

a плюс b= дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате минус x плюс 5, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

Неравенство принимает вид: a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , откуда

a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби равносильно x в квадрате минус 4x плюс 3 = x в квадрате плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ: дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к дробь: числитель: левая круглая скобка 7x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Приведем решение Наиля Мусина для нахождения нулей числителя.

Выполним преобразования:

дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби равносильно
равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно
равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0.

Для нахождения нулей числителя сделаем замену a=x в квадрате минус 4x плюс 3, b=x в квадрате плюс 3x плюс 2. Заметим, что

2x в квадрате минус x плюс 5= левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка =a плюс b.

для нахождения нулей числителя решим уравнение:

2a в квадрате плюс 2b в квадрате минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате =0.

Возвращаясь к исходным переменным, получим

x в квадрате минус 4x плюс 3=x в квадрате плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальный балл 2
Источник

Задача: решите неравенство (x^2-2*x-2)*1/(x^2-2*x)+(7*x-19)*1/(x-3)<=(8*x+1)*1/x

Решение:

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится — мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Решение других задач по математике на тему «Рациональные неравенства»

Задание 15 № 507658

Решите неравенство

дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — (x плюс 2) в степени 2 плюс дробь, числитель — x в степени 2 плюс 2x плюс 1, знаменатель — (x минус 3) в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — (2x в степени 2 минус x плюс 5) в степени 2 , знаменатель — 2(x плюс 2) в степени 2 (x минус 3) в степени 2 .

Решение.

Сделаем замену: a= дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 2 ,b= дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x минус 3 . Тогда

a плюс b= дробь, числитель — (x минус 1)(x минус 3) плюс (x плюс 1)(x плюс 2), знаменатель — (x плюс 2)(x минус 3) = дробь, числитель — 2x в степени 2 минус x плюс 5, знаменатель — (x плюс 2)(x минус 3) .

Неравенство принимает вид: a в степени 2 плюс b в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — (a плюс b) в степени 2 , знаменатель — 2 , откуда

a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в степени 2 меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 2 = дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x минус 3 равносильно x в степени 2 минус 4x плюс 3 = x в степени 2 плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Ответ: дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к дробь, числитель — (7x минус 1) в степени 2 , знаменатель — (x плюс 2) в степени 2 (x минус 3) в степени 2 меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Задание 15 № 508212

Решите неравенство: (x в степени 2 минус 3,6x плюс 3,24)(x минус 1,5) меньше или равно 0.

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

(x минус 1,8) в степени 2 (x минус 1,5) меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=1,8, новая строка x меньше или равно 1,5. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;1,5>cup{1,8}.

Задание 15 № 507491

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 2 минус 6x плюс 8, знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 меньше или равно 0.

Решение.

Перепишем неравенство в виде:

дробь, числитель — x в степени 2 минус 6x плюс 8, знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 4)(x минус 2), знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 2) в степени 2 (x минус 4) минус (x минус 4), знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно

равносильно дробь, числитель — ((x минус 2) в степени 2 минус 1)(x минус 4), знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x минус 3)(x минус 4), знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно система выражений новая строка дробь, числитель — (x минус 3)(x минус 4), знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0, новая строка x не равно 1. конец системы .

Множество решений исходного неравенства: ( минус принадлежит fty;1)cup(1;2)cup[3;4>.

Ответ: 

( минус принадлежит fty;1)cup(1;2)cup[3;4>.

Задание 15 № 508213

Решите неравенство: дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 1} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — { 2 минус x} меньше или равно 5.

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

дробь, числитель — 5x в степени 2 минус 15x плюс 11, знаменатель — левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка le0 равносильно дробь, числитель — 5 левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 15 минус корень из { 5, знаменатель — , знаменатель — 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 правая круглая скобка }{(x минус 1)(2 минус x)} меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 1, новая строка дробь, числитель — 15 минус корень из { 5}, знаменатель — 10 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 , новая строка x больше 2. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;1)cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 15 минус корень из { 5}, знаменатель — 10 ; дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 правая квадратная скобка cup(2; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 508345

Решите неравенство: 1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — { |x|} меньше или равно дробь, числитель — 23, знаменатель — x в степени 2 .

Решение.

Приведём выражение к общему знаменателю:

1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — { |x|} меньше или равно дробь, числитель — 23, знаменатель — x в степени 2 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 2|x| минус 23, знаменатель — x в степени 2 le0 равносильно дробь, числитель — (|x| минус 1 минус 2 корень из 6 )(|x| плюс 2 корень из 6 минус 1), знаменатель — x в степени 2 le0 равносильно

равносильно дробь, числитель — (|x| минус 1 минус 2 корень из 6 ), знаменатель — x в степени 2 le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1 минус 2 корень из 6 )(x плюс 1 плюс 2 корень из 6 ), знаменатель — x в степени 2 le0.

Предпоследнее преобразование верно, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Получаем минус 1 минус 2 корень из 6 меньше или равно x меньше 0 или 0 меньше xle1 плюс 2 корень из 6 .

Ответ: [ минус 1 минус 2 корень из 6 ;0)cup(0;1 плюс 2 корень из { 6}>.

Задание 15 № 508347

Решите неравенство: дробь, числитель — 6, знаменатель — { x корень из 3 минус 3} плюс дробь, числитель — x корень из 3 минус 6, знаменатель — x корень из 3 минус 9 ge2.

Решение.

Пусть z=x корень из 3 , получаем:

дробь, числитель — 6, знаменатель — { z минус 3} плюс дробь, числитель — z минус 6, знаменатель — z минус 9 ge2 равносильно дробь, числитель — 6(z минус 9) плюс (z минус 6)(z минус 3) минус 2(z минус 3)(z минус 9), знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) ge0 равносильно

равносильно дробь, числитель — z в степени 2 минус 21z плюс 90, знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) le0 равносильно дробь, числитель — (z минус 6)(z минус 15), знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) le0 равносильно совокупность выражений новая строка 3 меньше zle6, новая строка 9 меньше zle15. конец совокупности .

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: корень из 3 меньше xle2 корень из 3 или 3 корень из 3 меньше xle5 корень из 3 .

Ответ: ( корень из 3 ;2 корень из { 3}>cup(3 корень из { 3};5 корень из { 3}].

Задание 15 № 508348

Решите неравенство: левая круглая скобка дробь, числитель — 10, знаменатель — 5x минус 21 плюс дробь, числитель — 5x минус 21, знаменатель — 10 правая круглая скобка в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 .

Решение.

Сделав замену t= дробь, числитель — 5x минус 21, знаменатель — 10 , получаем:

левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t правая круглая скобка в степени 2 leq дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 равносильно минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t меньше или равно дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 равносильно минус 5 меньше или равно дробь, числитель — 2t в степени 2 плюс 2, знаменатель — t le5 равносильно

равносильно система выражений новая строка дробь, числитель — 2t в степени 2 минус 5t плюс 2, знаменатель — t le0, новая строка дробь, числитель — 2t в степени 2 плюс 5t плюс 2, знаменатель — t ge0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка begin{array}{l} t меньше 0, дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно t меньше или равно 2,end{array}. новая строка левая квадратная скобка begin{array}{l} минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , t больше 0 end{array}. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно t меньше или равно 2. конец совокупности .

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

совокупность выражений 5le5x минус 21 меньше или равно 20, минус 20 меньше или равно 5x минус 21 меньше или равно минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь, числитель — 26, знаменатель — 5 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 41}5, дробь, числитель — {, знаменатель — 1 , знаменатель — 5 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 . конец совокупности .

Ответ: левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 правая квадратная скобка cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 26, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 41, знаменатель — 5 правая квадратная скобка .

Задание 15 № 508355

Решите неравенство: дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 1.

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 2x плюс 1 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 , знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0.

Решения неравенства: x=1 или x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Ответ: левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка cup{1}.

Задание 15 № 508360

Решите неравенство: дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 6x, знаменатель — x минус 4 leq x.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 6x, знаменатель — x минус 4 leq дробь, числитель — x в степени 2 минус 4x, знаменатель — x минус 4 равносильно дробь, числитель — x(x минус 2), знаменатель — x минус 4 leq0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно 02 меньше или равно x меньше 4. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;0>cup[2;4).

Задание 15 № 508364

Решите неравенство: дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 плюс 4(x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — (3x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 4 .

Решение.

Решим первое неравенство:

дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 плюс 4(x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — (3x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 4 равносильно 2(x минус 1) в степени 2 плюс 8(x плюс 1) в степени 2 меньше или равно (3x плюс 1) в степени 2 равносильно

равносильно 2x в степени 2 минус 4x плюс 2 плюс 8x в степени 2 плюс 16x плюс 8 меньше или равно 9x в степени 2 плюс 6x плюс 1 равносильно

равносильно x в степени 2 плюс 6x плюс 9 меньше или равно 0 равносильно (x плюс 3) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно x= минус 3.

Ответ: { минус 3}.

Задание 15 № 508367

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 7x минус 19, знаменатель — x минус 3 меньше или равно дробь, числитель — 8x плюс 1, знаменатель — x .

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 7x минус 19, знаменатель — x минус 3 меньше или равно дробь, числитель — 8x плюс 1, знаменатель — x равносильно 1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 7 плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус 8 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x le0 равносильно

равносильно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x le0 равносильно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x le0 равносильно дробь, числитель — x(x минус 1), знаменатель — x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка le0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0, новая строка 0 меньше x меньше или равно 1, новая строка 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;0)cup(0;1>cup(2;3).

Задание 15 № 508371

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 4 минус 5x в степени 3 плюс 3x минус 25, знаменатель — x в степени 2 минус 5x больше или равно x в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 плюс дробь, числитель — 5, знаменатель — x .

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — x в степени 4 минус 5x в степени 3 плюс 3x минус 25, знаменатель — x в степени 2 минус 5x больше или равно x в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 плюс дробь, числитель — 5, знаменатель — x равносильно x в степени 2 плюс дробь, числитель — 3x минус 25, знаменатель — x(x минус 5) минус дробь, числитель — 5, знаменатель — x больше или равно x в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 равносильно

равносильно дробь, числитель — 3x минус 25 минус 5(x минус 5), знаменатель — x(x минус 5) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — минус 2x, знаменатель — x(x минус 5) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 больше или равно 0 равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 5 больше или равно 0,x не равно 0. конец системы равносильно система выражений дробь, числитель — x минус 5 минус 2(x минус 4), знаменатель — (x минус 4)(x минус 5) больше или равно 0,x не равно 0 конец системы равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 3 минус x, знаменатель — (x минус 4)(x минус 5) больше или равно 0,x не равно 0. конец системы равносильно совокупность выражений x меньше 0, 0 меньше x меньше или равно 3, 4 меньше x меньше 5. конец совокупности

Ответ: ( минус принадлежит fty;0)cup(0;3>cup(4;5).

Задание 15 № 508381

Решите неравенство: x в степени 2 минус 3x плюс 1 минус дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс 3x минус 21, знаменатель — x больше или равно 3.

Решение.

Решим второе неравенство:

дробь, числитель — x(x в степени 2 минус 3x плюс 1), знаменатель — x минус дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс 3x минус 21, знаменатель — x больше или равно дробь, числитель — 3x, знаменатель — x равносильно дробь, числитель — минус 4x в степени 2 минус 5x плюс 21, знаменатель — x больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — минус (x плюс 3)(4x минус 7), знаменатель — x больше или равно 0 равносильно

равносильно дробь, числитель — (x плюс 3)(4x минус 7), знаменатель — x меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 3, новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 . конец совокупности

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 3>cup левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 правая квадратная скобка .

Задание 15 № 508429

Решите неравенство: левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8 плюс дробь, числитель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 4.

Решение.

Сделав замену t= дробь, числитель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8, знаменатель — 2 , получаем:

левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 4 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — t в степени 2 плюс 2 плюс t в степени 2 ge4 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — t в степени 2 минус 2 плюс t в степени 2 ge0 равносильно левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t минус t правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 0 равносильно t не равно 0.

Значит, x не равно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 и x не равно дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 .

Ответ: левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 правая круглая скобка cup левая круглая скобка минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 правая круглая скобка cup левая круглая скобка дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Задание 15 № 508432

Решите неравенство: { дробь, числитель — x в степени 5 минус x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 больше или равно дробь, числитель — x в степени 3 минус 1, знаменатель — 4x в степени 2 }.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — x в степени 5 минус x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 больше или равно дробь, числитель — x в степени 3 минус 1, знаменатель — 4x в степени 2 равносильно дробь, числитель — (x в степени 3 минус 1)(4x в степени 2 минус 1), знаменатель — x в степени 2 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(2x минус 1)(2x плюс 1), знаменатель — x в степени 2 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка минус 0,5 меньше или равно x меньше 0, новая строка 0 меньше x меньше или равно 0,5, новая строка x больше или равно 1. конец совокупности .

Ответ:

[ минус 0,5;0)cup(0;0,5>cup[1; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 508434

Решите неравенство: {4 умножить на дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 меньше или равно 9 умножить на дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 }.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

4 умножить на дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 меньше или равно 9 умножить на дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 равносильно дробь, числитель — 4x в степени 3 плюс 4x в степени 2 минус 9x минус 9, знаменатель — (x минус 1) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x плюс 1)(2x минус 3)(2x плюс 3), знаменатель — (x минус 1) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , новая строка минус 1 меньше или равно x меньше 1, новая строка 1 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Ответ: 

левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка cup[ минус 1;1)cup левая круглая скобка 1; дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Задание 15 № 508442

Решите неравенство: x в степени 2 плюс (2 минус корень из { 15})x минус 2 корень из { 15} меньше или равно 0.

Решение.

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна минус 2 плюс корень из { 15}, а их произведение равно минус 2 корень из { 15}. Поэтому корни этого уравнения — числа минус 2 и корень из { 15}. Тогда неравенство можно решить так:

x в степени 2 плюс (2 минус корень из { 15})x минус 2 корень из { 15} меньше или равно 0 равносильно (x плюс 2)(x минус корень из { 15}) меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно корень из { 15}.

Ответ: [ минус 2; корень из { 15}>.

Задание 15 № 508447

Решите неравенство: x корень из { 8} минус 7x плюс 14 корень из { 8} больше 57.

Решение.

Преобразуем неравенство:

x корень из { 8} минус 7x плюс 14 корень из { 8} больше 57 равносильно ( корень из { 8} минус 7)x плюс 14 корень из { 8} минус 57 больше 0 равносильно x меньше дробь, числитель — 57 минус 14 корень из { 8}, знаменатель — корень из { 8 минус 7} равносильно x меньше дробь, числитель — ( корень из { 8} минус 7) в степени 2 , знаменатель — корень из { 8 минус 7} равносильно x меньше корень из { 8} минус 7.

Ответ: левая круглая скобка минус принадлежит fty; корень из { 8} минус 7 правая круглая скобка .

Задание 15 № 508449

Решите неравенство: (10x плюс 7)(4 минус 5x) левая круглая скобка 50x в степени 2 минус 5x минус 28 правая круглая скобка меньше 0.

Решение.

Заметим, что (10x плюс 7)(4 минус 5x)(50x в степени 2 минус 5x минус 28)= минус (10x плюс 7)(5x минус 4)(10x плюс 7)(5x минус 4)= минус (10x плюс 7) в степени 2 (4 минус 5x) в степени 2 , поэтому неравенство минус (10x плюс 7) в степени 2 (4 минус 5x) в степени 2 меньше 0 выполнено при всех x, кроме x= минус 0,7 и x=0,8.

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 0,7)cup( минус 0,7;0,8)cup(0,8; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 508530

Решите неравенство: 2x плюс 1 минус дробь, числитель — 21x плюс 39 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 больше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 .

Решение.

Последовательно получаем:

2x плюс 1 минус дробь, числитель — 21x плюс 39 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 больше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 равносильно 2x плюс 1 минус дробь, числитель — 20(x плюс 2), знаменатель — (x плюс 2)(x минус 1) минус дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — (x плюс 2)(x минус 1) больше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 равносильно

равносильно система выражений новая строка 2x плюс 1 минус дробь, числитель — 20, знаменатель — x минус 1 больше или равно 0, новая строка x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь, числитель — (x плюс 3)(2x минус 7), знаменатель — x минус 1 больше или равно 0, новая строка x не равно минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка минус 3 меньше или равно x меньше минус 2, новая строка минус 2 меньше x меньше 1, новая строка x больше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Ответ:

[ минус 3; минус 2)cup( минус 2;1)cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Задание 15 № 512484

Решите неравенство дробь, числитель — x, знаменатель — x в степени 2 плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 x в степени минус 1 .

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — x, знаменатель — x в степени 2 плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4x равносильно дробь, числитель — 4x в степени 2 минус x в степени 2 минус 3, знаменатель — (x в степени 2 плюс 3)4x le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 1), знаменатель — (x в степени 2 плюс 3)x le0.

Учитывая, что при всех значениях x выражение x2 + 3 положительно, получаем

дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 1), знаменатель — x le0,

откуда

xle минус 1,0 меньше xle1.

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 1>cup (0;1].

Задание 15 № 507203

Решите неравенство дробь, числитель — 2 минус (x минус 6) в степени минус 1 , знаменатель — 5(x минус 6) в степени минус 1 минус 1 меньше или равно минус 0,2.

Решение.

Сделаем замену y= дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 6}. Получим

дробь, числитель — 2 минус y, знаменатель — 5y минус 1 меньше или равно минус 0,2 равносильно дробь, числитель — 1,8, знаменатель — 5y минус 1 le0 равносильно y меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .

Следовательно, дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 6} меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 равносильно дробь, числитель — 11 минус x, знаменатель — x минус 6 меньше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 6, новая строка x больше 11. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;6)cup (11; плюс принадлежит fty)

Задание 15 № 515707

Решите неравенство x плюс дробь, числитель — 20, знаменатель — x плюс 6 ge6.

Решение.

Решим неравенство:

x плюс дробь, числитель — 20, знаменатель — x плюс 6 ge6 равносильно x плюс дробь, числитель — 20 минус 6x минус 36, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно x минус дробь, числитель — 6x плюс 16, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 16, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x плюс 4)(x минус 4), знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений система выражений x больше минус 6,xle4, конец системы . xge4. конец совокупности .

Ответ: ( минус 6; минус 4> cup [4; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 516402

Решите неравенство дробь, числитель — 4x в степени 4 минус 4x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — минус 2x в степени 2 плюс 5x минус 2 плюс дробь, числитель — 2x в степени 3 минус 7x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0.

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — 4x в степени 4 минус 4x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — минус 2x в степени 2 плюс 5x минус 2 плюс дробь, числитель — 2x в степени 3 минус 7x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (2x минус 1) в степени 2 , знаменатель — (2x минус 1)(2 минус x) плюс дробь, числитель — 2x в степени 3 минус 7x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0 равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — минус 6x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0, x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (6x плюс 1)(x минус 1), знаменатель — x минус 2 больше или равно 0, x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 меньше или равно x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше xle1, x больше 2. конец совокупности .

Ответ: x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;1 правая квадратная скобка cup (2; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 521996

Решите неравенство x в степени 3 плюс 2x в степени 2 минус дробь, числитель — 24x в степени 2 минус x плюс 3, знаменатель — x минус 3 le1.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — левая круглая скобка x в степени 3 плюс 2x в степени 2 правая круглая скобка (x минус 3) минус 24x в степени 2 плюс x минус 3, знаменатель — x минус 3 меньше или равно 1 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 плюс 2x в степени 3 минус 3x в степени 3 минус 6x в степени 2 минус 24x в степени 2 плюс x минус 3 минус x плюс 3, знаменатель — x минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 минус x в степени 3 минус 30x в степени 2 , знаменатель — x минус 3 меньше или равно 0 равносильно

равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 6)(x плюс 5), знаменатель — x минус 3 меньше или равно 0,

откуда xle минус 5, x=0 и 3 меньше xle6.

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 5>;{0}; (3;6].

Задание 15 № 522124

Решите неравенство x в степени 3 плюс 5x в степени 2 плюс дробь, числитель — 30x в степени 2 плюс x минус 8, знаменатель — x минус 8 le1.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

дробь, числитель — (x в степени 3 плюс 5x в степени 2 )(x минус 8) плюс 30x в степени 2 плюс x минус 8, знаменатель — x минус 8 le1 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 плюс 5x в степени 3 минус 8x в степени 3 минус 40x в степени 2 плюс 30x в степени 2 плюс x минус 8 минус x плюс 8, знаменатель — x минус 8 le0 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 минус 3x в степени 3 минус 10x в степени 2 , знаменатель — x минус 8 le0 равносильно

равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 5)(x плюс 2), знаменатель — x минус 8 le0,

откуда xle минус 2,x=0 и 5 меньше или равно x меньше 8.

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 2>cup{0}cup[5; 8).

Задание 15 № 523996

Решите неравенство дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 плюс дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x плюс 16, знаменатель — x в степени 2 минус 3x ge0.

Решение.

Сделаем замену y=x в степени 2 минус 3x. Получим:

дробь, числитель — y минус 2, знаменатель — y плюс 2 плюс дробь, числитель — y плюс 16, знаменатель — y ge0 равносильно дробь, числитель — y в степени 2 минус 2y плюс y в степени 2 плюс 18y плюс 32, знаменатель — y(y плюс 2) ge0 равносильно дробь, числитель — 2y в степени 2 плюс 16y плюс 32, знаменатель — y(y плюс 2) ge0 равносильно дробь, числитель — 2(y плюс 4) в степени 2 , знаменатель — y(y плюс 2) ge0 равносильно совокупность выражений y меньше минус 2,y больше 0. конец совокупности .

Отсюда после обратной замены получаем:

совокупность выражений x в степени 2 минус 3x меньше минус 2,x в степени 2 минус 3x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в степени 2 минус 3x плюс 2 меньше 0,x(x минус 3) больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,x меньше 0,x больше 3. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;0)cup(1;2)cup(3; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 526726

Решите неравенство x плюс 1 минус дробь, числитель — 4, знаменатель — x плюс 1 больше или равно дробь, числитель — 6 минус 4 x минус 2 x в степени 2 , знаменатель — x плюс 2 .

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — (x плюс 1) в степени 2 минус 4, знаменатель — x плюс 1 больше или равно дробь, числитель — минус 2(x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 2 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 1 плюс дробь, числитель — 2(x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 2 больше или равно 0 равносильно

равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3)(x плюс 2 плюс 2(x плюс 1)), знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3)(3x плюс 4), знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) больше или равно 0.

Решая полученное неравенство методом интервалов (см. рис.), находим ответ: минус 3 меньше или равно x меньше минус 2; минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 меньше или равно x меньше минус 1; x больше или равно 1.

Ответ: [ минус 3; минус 2)cup левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 ; минус 1 правая круглая скобка cup [1; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 530384

Решите неравенство: дробь, числитель — 1, знаменатель — x(x плюс 1) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 2)(x плюс 3) меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Решение.

Заметим, что дробь, числитель — 1, знаменатель — n(n плюс 1) = дробь, числитель — 1, знаменатель — n минус дробь, числитель — 1, знаменатель — n плюс 1 . Применим эту формулу к каждому слагаемому левой части, получим:

дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — 3, знаменатель — x(x плюс 3) меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x(x плюс 3) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 le0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 4 минус 3x минус x в степени 2 , знаменатель — x(x плюс 3) le0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 4), знаменатель — x(x плюс 3) ge0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений xle минус 4, минус 3 меньше x меньше минус 2, минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0,xge1. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 4>cup( минус 3; минус 2)cup( минус 2; минус 1)cup( минус 1;0)cup[1; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 530457

Решите неравенство дробь, числитель — x в степени 4 минус 2x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс x минус 1, знаменатель — x плюс 2 le1.

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

дробь, числитель — x в степени 4 минус 2x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс x минус 1, знаменатель — x плюс 2 le1 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 1) в степени 2 , знаменатель — (x плюс 2)(x минус 1) минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс 2x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 le0 равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — минус x в степени 3 минус 2x в степени 2 минус 2x минус 1, знаменатель — x плюс 2 le0,x минус 1 не равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (x плюс 1)(x в степени 2 плюс x плюс 1), знаменатель — x плюс 2 ge0,x не равно 1 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2, минус 1 меньше или равно x меньше 1,x больше 1. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 2)cup[ минус 1;1)cup(1; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 530674

Решите неравенство дробь, числитель — 3, знаменатель — x в степени 2 плюс 13x плюс 40 больше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — x в степени 2 плюс 15x плюс 56 .

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

дробь, числитель — 3, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 8) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 7)(x плюс 8) ge0 равносильно дробь, числитель — 3(x плюс 7) минус (x плюс 5), знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7)(x плюс 8) ge0 равносильно

равносильно дробь, числитель — 2x плюс 16, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7)(x плюс 8) ge0 равносильно система выражений дробь, числитель — 2, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7) ge0,x не равно минус 8 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 8, минус 8 меньше x меньше минус 7,x больше минус 5. конец совокупности .

Ответ: левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус 8 правая круглая скобка cup левая круглая скобка минус 8; минус 7 правая круглая скобка cup( минус 5; плюс принадлежит fty).

Задание 15 № 530701

Решите неравенство: дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 2) в степени 3 плюс (x минус 3) в степени 3 минус 1 ge0.

Решение.

Разложим разность (x минус 2) в степени 3 минус 1 по формуле разности кубов, получим:

(x минус 2) в степени 3 минус 1 = (x минус 2 минус 1)((x минус 2) в степени 2 плюс (x минус 2) плюс 1) = (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3).

Вынесем в знаменателе общий множитель за скобки:

дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3) плюс (x минус 3) в степени 3 ge0 равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3 плюс x в степени 2 минус 6x плюс 9) ge0 равносильно

равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(2x в степени 2 минус 9x плюс 12) ge0 равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — x минус 3 ge0 равносильно совокупность выражений x больше 3,xle0. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty;0>cup (3; плюс принадлежит fty).

Источник

Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами

28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы

29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы

5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы

13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов

11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами

19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы

22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами

25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами

27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами

2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания

13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами

25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы

4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами

4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами

Смотрите также на нашем сайте:

Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

  • Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
  • Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.
Многогранник
Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

Рисунок к задаче 1

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 75-4=71.

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? :-)

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110. А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна 5 cdot 5=25.


А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна 25! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110. Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: 110.

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

Рисунок к задаче 2S=2 cdot 12+ 2 cdot 15 + 2 cdot 20 - 2=92. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной 1 — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

Рисунок к задаче 33. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: 96.

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

Рисунок к задаче 3
4.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна 4, высота равна 1, объем равен 4.

Ответ: 4.

Рисунок к задаче 45. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V.

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна 10. Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100.

Ответ: 100.

Рисунок к задаче 5
6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: 8.

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

Рисунок к задаче 67. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в 4 раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.
Ответ: 3.

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен pi R^2h.

Высота Радиус Объем
Первая кружка h R pi R^2h
Вторая кружка genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h 2R picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h

Считаем объем второй кружки. Он равен picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h=2 pi R^2h. Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Рисунок к задаче 8Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в 4 раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен 8.

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 3^2=9.
Ответ: 9.

Рисунок к задаче 10Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите V.

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60^{circ} — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на pi, записываем ответ: 937,5.

Продолжение:   другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • $a$ — старший коэффициент;
  • $b$ — средний коэффициент;
  • $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х — 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$

Решение:

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x ≠ 0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x+1-{3}/{x}=0|·x$

$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2+x-3=0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$

Решение:

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х(3х-5)=-2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

$3х^2-5х+2=0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

$x_1=1, x_2={2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
  2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
  3. Решить полученное рациональное уравнение.
  4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Решение:

Обе части уравнение возведем в квадрат:

$√{4х-3}^2=х^2$

Получаем квадратное уравнение:

$4х-3=х^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

${-х}^2+4х-3=0$

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

$a+b+c=0$

$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$√{4·1-3}=1$

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$√{4·(3)-3}=3$

$√9=3$

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Ответ: $1$

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

  1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$(х-6)^2=8-х$

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

$х^2-2·6·х+6^2=8-х$

$х^2-12х+36=8-х$

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

$х^2-12х+36-8+х=0$

Приводим подобные слагаемые:

$х^2-11х+28=0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$

$x_1=7; x_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$x_1=7$

$7-6=√{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$x_2=4$

$4-6=√{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$a^x=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение $25·5^х=1$

Решение:

В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$

$5^2·5^х=5^0$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются

$5^{2+х}=5^0$

Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели

$2+х=0$

$х=-2$

Ответ: $-2$

Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель

$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$

$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$

$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$

$2^{3x-2}(2^4-1)=30$

$2^{3x-2}·15=30$

Разделим обе части уравнения на $15$

$2^{3х-2}=2$

$2^{3х-2}=2^1$

$3х-2=1$

$3х=3$

$х=1$

Ответ: $1$

Источник

Регистрация   
Вход   

Форум   
Поиск   
FAQ   alexlarin.net

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33
Часовой пояс: UTC + 3 часа

Сообщения без ответов | Активные темы
 

 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.

Начать новую тему»>

Ответить

Тренировочный вариант №420

 
Для печати Для печати 		Предыдущая тема Предыдущая тема | Следующая тема Следующая тема

Тренировочный вариант №420

Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 04 мар 2023, 10:06 
Не в сети
Администратор
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 6118

https://alexlarin.net/ege/2023/trvar420.html
Вернуться наверх 

Kirill Kolokolcev

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 04 мар 2023, 13:42 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1610
Откуда: Москва

Спасибо за интересный вариант!
17

Подробности:

18

Подробности:

Вернуться наверх 

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 05 мар 2023, 23:29 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

12.

Подробности:

13.

Подробности:

14.

Подробности:

Вернуться наверх 

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 06 мар 2023, 10:45 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

15.

Подробности:

16.

Подробности:

Вернуться наверх 

Владимiръ

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:00 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 08 мар 2017, 23:11
Сообщений: 545
Откуда: Пущино

Задача 18

Подробности:

Вложения:


Задача 420-18.pdf [66.3 KIB]

Скачиваний: 725
Вернуться наверх 

Тюрин

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:00 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 16 май 2022, 22:37
Сообщений: 141

Задача 18

Подробности:

Вложения:


Задача №420-18.pdf [129.95 KIB]

Скачиваний: 695
Вернуться наверх 

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:07 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

12, 14, 17

Подробности:

Вложения:


12, 14, 17 вар 420.pdf [1.44 MIB]

Скачиваний: 693
Вернуться наверх 

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:14 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

13, 15, 16

Подробности:

Вложения:


13, 15, 16 вар 420.pdf [1.97 MIB]

Скачиваний: 684
Вернуться наверх 

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:46 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Всем здравствуйте! %%- %%- %%-

Решение заданий 12 и 14.

Подробности:

Решение задания 17.

Подробности:

Вложения:


420-17.pdf [438.22 KIB]

Скачиваний: 675


420-12;14.pdf [474.44 KIB]

Скачиваний: 681
Вернуться наверх 

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:58 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Решение задания 13.

Вложение:



420-13.ggb [14.19 KIB]

Скачиваний: 22

скрин решения

Подробности:

Вернуться наверх 

Показать сообщения за:  Сортировать по:  

 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33 | Часовой пояс: UTC + 3 часа

Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14
 

 

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Перейти:  

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • 507646 решу егэ математика
  • 507636 решу егэ математика
  • 507634 решу егэ математика
  • 507612 решу егэ математика
  • 507611 решу егэ

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии