Биквадратное уравнение егэ

Каталог заданий.
Линейные, квадратные, кубические уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

х⁴–25х²+144=0

В данном уравнении заменим х² на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х²=а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

а²–25а+144=0

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

а₁+а₂=25, а₁а₂=144

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х² на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

х²=9; х²=16

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х²=9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х²=16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

х⁴–3х²–4=0

Заменим на переменную у: х²=у. Получим уравнение:

у²–3у–4 =0

Найдем его корни: у₁=–1, у₂=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х²=–1; х²=4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

х⁴–8х²+20=0

Выполним замену переменной: х²=у. Решим уравнение:

у²–8у+20=0

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.

Алла Василевская | Просмотров: 4.8k

Алгебра 7-9 класс. Биквадратные уравненияadmin2022-10-01T17:36:49+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 7-9 класс. Биквадратные уравнения

Задача 1. Решите уравнение   ({x^4} — 5{x^2} + 4 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 1;,,, pm 2.)

Задача 2. Решите уравнение   ({x^4} — 10{x^2} + 9 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 1;,,, pm 3.)

Задача 3. Решите уравнение   ({x^4} — 13{x^2} + 36 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 2;,,, pm 3.)

Задача 4. Решите уравнение   ({x^4} — 25{x^2} + 144 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 3;,,, pm 4.)

Задача 5. Решите уравнение   ({x^4} + 2{x^2} — 24 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 2.)

Задача 6. Решите уравнение   ({x^4} + {x^2} — 90 = 0.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 3.)

Задача 7. Решите уравнение   ({x^4} = 9{x^2} — 20.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 2;,,, pm sqrt 5 .)

Задача 8. Решите уравнение   ({x^4} = 7{x^2} — 6.) Ответ ОТВЕТ: ( pm 1;,,, pm sqrt 6 .)

Задача 9. Решите уравнение   ({x^4} = 8{x^2} — 15.) Ответ ОТВЕТ: ( pm sqrt 3 ;,,, pm sqrt 5 .)

Задача 10. Решите уравнение   ({x^4} = 8{x^2} — 12.) Ответ ОТВЕТ: ( pm sqrt 2 ;,,, pm sqrt 6 .)

Как решать биквадратное уравнение: видео

6 июля 2013

• Скачать тест
• Ответы к тесту

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

[begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \end{align}]

2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0to a{{t}^{2}}+bt+c=0$

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0]

Вводим новую переменную и переписываем:

[{{x}^{2}}=tto {{t}^{2}}-5t+4=0]

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

[D={{(-5)}^{2}}-4cdot 1cdot 4=25-16=9]

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=text{ }frac{5+3}{2}=text{ }frac{8}{2}text{ }=text{ }4 \{{t}_{2}}text{ }=frac{5-3}{2}=text{ }frac{2}{2}text{= }1 \end{array}]

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

[begin{align}& {{x}^{2}}=4to {{x}^{2}}-4=0to (x-2)(x+2)=0 \& left[ begin{align}& x=2 \& x=-2 \end{align} right. \end{align}]

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=1to {{x}^{2}}-1=0to (x-1)(x+1)=0 \& left[ begin{align}& x=1 \& x=-1 \end{align} right. \end{align}]

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0]

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Заменяем:

[{{x}^{2}}=t]

Тогда у нас выйдет:

[{{t}^{2}}-25t+144=0]

Считаем$D$:

[D=text{ }625text{ }-text{ }4text{ }cdot text{ }144text{ }=text{ }49]

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=frac{25+7}{2}text{ }=text{ }frac{32}{2}=text{ }16 \{{t}_{2}}text{ }=frac{25-7}{2}=text{ }frac{18}{2}text{ }=text{ }9 \end{array}]

Вспоминаем, что такое $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=16 \& left[ begin{align}& x=4 \& x=-4 \end{align} right. \end{align}]

Второй вариант:

[begin{align}& {{x}^{2}}=9 \& left[ begin{align}& x=3 \& x=-3 \end{align} right. \end{align}]

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

[{{x}^{4}}-frac{5}{4{{x}^{2}}}+frac{1}{4}=0]

Опять же вводим замену:

[{{x}^{2}}=t]

Тогда:

[{{t}^{2}}-frac{5}{4t}+frac{1}{4}=0]

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

[4{{t}^{2}}-5t+1=0]

Найдем $D$:

[D=text{ }25text{ }-text{ }16text{ }=text{ }9]

Корень из дискриминанта равен трем:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=text{ }frac{5+3}{2cdot 4}=text{ }frac{8}{8}text{ }=text{ }1 \{{t}_{2}}text{ }=frac{5-3}{2cdot 4}=text{ }frac{2}{8}=text{ }frac{1}{4} \end{array}]

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=1 \& left[ begin{align}& x=1 \& x=-1 \end{align} right. \end{align}]

Второй вариант чуть посложнее:

[begin{align}& {{x}^{2}}=frac{1}{4} \& left[ begin{align}& x=frac{1}{2} \& x=-frac{1}{2} \end{align} right. \end{align}]

Мы получили снова четыре корня:

[1;text{ }-1;text{ }frac{1}{2};-frac{1}{2}]

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Метод узлов в задаче B5
5. Задача C1: еще одно показательное уравнение
6. Значение тригонометрических функций