Движение по окружности формулы физика егэ

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

. (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

.

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

. (2)

Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

. (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

.

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

С учётом формул (5) имеем:

(6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

(7)

где — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

(8)

Выразим угловую скорость из (4)

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу для определения искомой величины.
3. Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

• Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
• Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Определить, что нужно найти.
3. Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
4. Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
5. Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1 ).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

Сопоставляя формулы (1) и (3) , получаем связь линейной и угловой скоростей:

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1 , что

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5) :

С учётом формул (5) имеем:

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

где — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1 ). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

Выразим угловую скорость из (4)

и подставим в (8) . Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

4.1. Движение по окружности с постоянной скоростью.

Движение по окружности — простейший вид криволинейного движения.

4.1.1. Криволинейное движение — движение, траекторий которого является кривая линия.

Для движения по окружности с постоянной скоростью:

1) траектория движения — окружность;

2) вектор скорости направлен по касательной к окружности;

3) вектор скорости постоянно меняет свое направление;

4) за изменение направления скорости отвечает ускорение, называемое центростремительным (или нормальным) ускорением;

5) центростремительное ускорение меняет только направление вектора скорости, при этом модуль скорости остается неизменным;

6) центростремительное ускорение направлено к центру окружности, по которой происходит движение (центростремительное ускорение всегда перпендикулярно вектору скорости).

4.1.2. Период (T) — время одного полного оборота по окружности.

Это величина постоянная, так как длина окружности постоянная и скорость движения постоянна

4.1.3 Частота  — число полных оборотов за 1 с.

По сути, частота отвечает на вопрос: как быстро вращается тело?

4.1.4. Линейная скорость — показывает, какой путь проходит тело за 1 с (это та же самая скорость, о которой говорилось в предыдущих темах)

где R — радиус окружности.

4.1.5. Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело за 1 с.

где  — угол, на который повернулось тело за время

4.1.6. Центростремительное ускорение

Напомним, что центростремительное ускорение отвечает только за поворот вектора скорости. При этом, так как скорость постоянная величина, то значение ускорения тоже постоянно.

4.1.7. Закон изменения угла поворота

Это полный аналог закона движения при постоянной скорости :

Роль координаты x играет угол роль начальной координаты играет скорость  — угловая скорость И с формулой следует работать так же, как ранее работали с формулой закона равномерного движения.

4.2. Движение по окружности с постоянным ускорением.

4.2.1. Тангенциальное ускорение

Центростремительное ускорение отвечает за изменение направления вектора скорости, но если еще меняется и модуль скорости, то необходимо ввести величину отвечающую за это — тангенциальное ускорение

Из вида формулы ясно, что  — это обычное ускорение, о котором говорилось раньше. Если то справедливы формулы равноускоренного движения:

где S — путь, который проходит тело по окружности.

Итак, еще раз подчеркнем, отвечает за изменение модуля скорости.

4.2.2. Угловое ускорение

Мы ввели аналог скорости для движения по окружности — угловая скорость. Естественно будет ввести и аналог ускорения — угловое ускорение

Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением:

Из формулы видно, что если тангенциальное ускорение постоянно, то и угловое ускорение будет постоянно. Тогда можем записать:

Формула является полным аналогом закона равнопеременного движения, поэтому работать с этой формулой мы уже умеем.

4.2.3. Полное ускорение

Центростремительное (или нормальное) и тангенциальное ускорения не являются самостоятельными. На самом деле, это проекции полного ускорения на нормальную (направлена по радиусу окружности, то есть перпендикулярно скорости) и тангенциальную (направлена по касательной к окружности в сторону, куда направлен вектор скорости) оси. Поэтому

Нормальная и тангенциальные оси всегда перпендикулярны, следовательно, абсолютно всегда модуль полного ускорения можно найти по формуле:

4.4. Движение по криволинейной траектории.

Движение по окружности является частным видом криволинейного движения. В общем случае, когда траектория представляет собой произвольную кривую (см. рис.), всю траекторию можно разбить на участки: AB и DE — прямолинейные участки, для которых справедливы все формулы движения по прямой; а для каждой участка, который нельзя рассмотреть как прямую, строим касательную окружность (окружность, которая касается траектории только в этой точке) — в точках C и D. Радиус касательной окружности называется радиусом кривизны. В каждой точке траектории радиус кривизны имеет свое значение.

Формула для нахождения радиуса кривизны :

где  — нормальное ускорение в данной точке (проекция полного ускорения на ось, перпендикулярную вектору скорости).

Ускорение материальной точки

Ускорение — величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Как правило, движение является неравномерным, т. е. происходит с переменной скоростью. На одних участках траектории тела могут иметь большую скорость, на других — меньшую. Например, поезд, отходящий от станции, со временем двигается все быстрее и быстрее. Подъезжая к станции, он, наоборот, замедляет свое движение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) — векторная физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении $∆t$ к нулю, (т. е. производной $υ↖{→}$ по $t$):

$a↖{→}=lim↙{∆t→0}{∆υ↖{→}}/{∆t}=υ↖{→}_t’$

Составляющие $a↖{→} (а_х, а_у, а_z)$ равны соответственно:

$a_x=υ_x’;a_y=υ_y’;a_z=υ_z’$

Ускорение, как и изменение скорости, направлено в сторону вогнутости траектории и может быть разложено на две составляющие — тангенциальную — по касательной к траектории движения — и нормальную — перпендикулярно к траектории.

В соответствии с этим проекцию ускорения $а_х$ на касательную к траектории называют касательным, или тангенциальным ускорением, проекцию $a_n$ на нормаль — нормальным, или центростремительным ускорением.

Касательное ускорение определяет величину изменения численного значения скорости:

$a_t=lim↙{∆t→0}{∆υ}/{∆t}$

Нормальное, или центростремительное ускорение характеризует изменение направления скорости и определяется по формуле:

$a_n={v^2}/{R}$

где R — радиус кривизны траектории в соответствующей ее точке.

Модуль ускорения определяется по формуле:

$a=√{a_t^2+a_n^2}$

При прямолинейном движении полное ускорение $а$ равно тангенциальному $a=a_t$, т. к. центростремительное $a_n=0$.

Единицей ускорения в СИ является такое ускорение, при котором за каждую секунду скорость тела изменяется на 1 м/с. Эту единицу обозначают 1 м/с² и называют «метр на секунду в квадрате».

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренным называется движение с постоянным ускорением ($a↖{→}=const$) при $a↖{→}↑↑υ↖{→}$. Когда вектор ускорения направлен против вектора скорости $a↖{→}↑↓υ↖{→}$, движение называется равнозамедленным.

Поскольку ускорение постоянно, оно равно изменению скорости за любой конечный интервал времени:

$a↖{→}={∆υ↖{→}}/{∆t}={υ↖{→}-{υ_0}↖{→}}/{∆t}$

При прямолинейном движении векторы $υ↖{→}$ и ${υ_0}↖{→}$, а следовательно, и вектор а направлены вдоль одной прямой, которая является траекторией движения. Вдоль этой же прямой удобно направить координатную ось X.

Тогда из последнего уравнения следует:

$a_x={∆υ_x}/{t}={υ_x-υ_{0x}}/{t}$

где $υ_{0x}$ — скорость в начальный момент времени, принятый за нуль; $υ_x$ — текущее значение скорости (в момент времени $t$). Формула для определения ускорения из состояния покоя (равноускоренное движение, начальная скорость равна нулю: $υ_{0x}=0$) имеет вид:

$a_x={υ_x}/{t}$

Если же нулю равна не начальная, а конечная скорость ($υ_x=0$, торможение при равнозамедленном движении), то формула ускорения принимает вид:

$a_x=-{υ_{0x}}/{t}$

Из формулы находим выражение для скорости при $υ_{0x}≠0$

$υ_x=υ_{0x}+a_{x}t$

Графики скорости при равноускоренном движении имеют вид прямых линий, наклон которых показывает, как быстро меняется скорость с течением времени. На рис. приведены графики для модуля скорости с ненулевой начальной скоростью для равноускоренного (II) и равнозамедленного (I) движений.

Путь, пройденный точкой за некоторое время $t$ (в данном случае совпадающий с перемещением $∆x↖{→}$ за то же время), легко определяется из рис.. Он равен площади трапеции, образованной графиком $υ(t)$, осями координат и прямой, восстановленной из заданной точки $t$ параллельно оси ординат. Аналитически эта площадь определяется, как известно, интегрированием функции $υ(t)$:

$∆x(t)=x(t)-x_0=∫↙{0}↖{t}υ(t)dt=∫↙{0}↖{t}(υ_0+at)dt=(υ_0t+{at^2}/{2})|↙{0}↖{t}=υ_0t+{at^2}/{2}$

Отсюда получаем закон прямолинейного равноускоренного движения:

$x=x_0+υ_0t+{at^2}/{2}$

Из этого уравнения при известных начальных условиях: координате тела в момент начала движения $х_0$, начальной скорости $υ_{0х}$, а также ускорению $а_х$ можно определить координату тела $х$ в любой момент времени $t$. В векторной форме:

$r↖{→}={r_0}↖{→}+{υ_0}↖{→}+{a↖{→}t^2}/{2}$

График зависимости координаты от времени прямолинейного равноускоренного движения представлен на рис.

Решая систему уравнений для двух точек траектории, соответствующих моментам времени $t_1$ и $t_2$, получим выражение, связывающее скорости тела в этих точках и ускорение с перемещением на участке $1→2$:

$υ_2^2-υ_1^2=2a(x_2-x_1)$

Эта формула часто бывает полезной при решении различных практических задач.

Равномерное движение точки по окружности

Наряду с равномерным прямолинейным движением очень часто приходится встречаться с равномерным движением по окружности. Такое движение могут совершать точки вращающихся колес, валов и роторов турбин, искусственные спутники, обращающиеся по круговым орбитам, и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.

В каждой точке круговой траектории скорость точки направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом нетрудно убедиться, коснувшись вращающегося точильного камня, имеющего форму диска, стальным резцом: раскаленные частицы камня, имеющие в момент отрыва от него определенную скорость, будут отлетать от диска по касательной к нему. Эта скорость называется линейной скоростью вращения.

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения — это время, за которое совершается один оборот.

Известно, что при равномерном движении время определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности — $l_{окр}$, на скорость движения. Таким образом,

$T={l_{окр}}/{υ}={2πr}/{υ}.$

Величина, обратная периоду, называется частотой обращения и обозначается буквой $v$:

$v={1}/{T}$

Угловой скоростью точки $ω$ называется отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого этот поворот совершен:

$ω={φ}/{∆t}$

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Угловая скорость связана с периодом $Т$ и частотой $v$ вращения следующим соотношением:

$ω={2π}/{T}=2πv$

Центростремительное ускорение

Из-за непрерывного изменения направления скорости тело, движущееся по окружности, обладает ускорением. Это ускорение характеризует не быстроту изменения численного значения скорости (которое в данном случае не меняется), а быстроту изменения ее направления.

При равномерном движении по окружности ускорение тела все время направлено к ее центру и называется центростремительным ускорением. Чтобы найти его значение, рассмотрим отношение изменения вектора скорости $∆υ$ к малому интервалу времени $∆t$, за который это изменение произошло.

В силу малости угла $φ$ имеем:

$∆υ=υφ$

Так как угол $φ$ между векторами скорости в точках $А$ и $В$ равен углу $АОВ$ между радиусами, который, в свою очередь, равен отношению длины дуги $АВ$ к радиусу $R$, получим:

$φ={υ∆t}/{R}$

Из уравнений получим выражение для модуля вектора ускорения:

$a={∆υ}/{∆t}={υ^2}/{R}$

Из формул следует, что $a={4π^2R}/{T^2}$ и $a=4π^2Rv^2$

Поступательное и вращательное движение твердого тела

Поступательное движение — это движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается параллельно своему начальному направлению.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю направления скорости и ускорения.

Поступательное движение может быть как криволинейным, так и прямолинейным. Например, поступательно движется кабина колеса обозрения. Человек, стоящий на ступеньке движущегося эскалатора, также движется поступательно. Для описания его движения (т. е. определения изменения скорости со временем, пути) достаточно рассмотреть движение только одной его точки.

Другими словами, изучение поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики точки.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси — один из самых простых (после поступательного) видов движения. Оно характеризуется углом поворота точек тела вокруг оси $O_1O_2$, жестко связанной с телом.

Угол поворота $φ$ отсчитывается между двумя лучами, выходящими из одной точки на оси $O_1O_2$ и перпендикулярными к ней: один из лучей (ОХ) неподвижен, другой (ОА) жестко связан с телом.

При вращении тела вокруг неподвижной оси все его точки поворачиваются на одинаковый угол, но описывают окружности разных радиусов в зависимости от степени удаленности точки тела от оси вращения.

Равномерное вращение твердого тела или точки его окружности характеризуется постоянной угловой скоростью.

При равномерном вращении, если известна угловая скорость в начальный момент времени $t_0=0$, можно определить угол поворота тела за время $t$ и тем самым положение точек тела:

$φ=ωt$

При ненулевом значении угла поворота $φ_0$ в начальный момент времени ($t=0$) закон вращательного движения описывается уравнением:

$φ=φ_0+ωt$

Связь между линейной $υ$ и угловой $ω$ скоростями и центростремительным ускорением $а$ определяется соотношениями:

$υ={2πR}/{T}=2πRv; υ=ωR; a={υ^2}/{R}=ω^2R$

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах. 

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело. 

∆l=R∆φ

Если угол поворота мал, то ∆l≈∆s.

Проиллюстрируем сказанное:

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω, то есть скорости изменения угла поворота. 

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

ω=vR

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру. 

an=∆v→∆t, ∆t→0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

an=v2R=ω2R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v→ за малый промежуток времени ∆t. ∆v→=vB→-vA→.

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a→=∆v→∆t, ∆t→0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OAAB=BCCD.

Если значение угла ∆φ мало, расстояние AB=∆s≈v·∆t. Принимая во внимание, что OA=R и CD=∆v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

Rv∆t=v∆v или ∆v∆t=v2R

При ∆φ→0, направление вектора ∆v→=vB→-vA→ приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆t→0, получаем:

a→=an→=∆v→∆t; ∆t→0; an→=v2R.

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности. 

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

an→=-ω2R→.

Здесь R→ — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

aτ=∆vτ∆t; ∆t→0

Здесь ∆vτ=v2-v1  — изменение модуля скорости за промежуток ∆t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие vx и vy.

Если движение равномерное, величины vx и vy а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T=2πRv=2πω

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*