Задание 1
Найдите корень уравнения $$log_{0,5}(х+5)=log_{2}0,2$$.
Ответ: 0
Скрыть
$$log_{0,5} (х+5)=log_2 0,2$$
$$log_{frac{1}{2}} (х+5)=log_2 0,2$$
$$log_{2^{-1}} (х+5)=log_2 0,2$$
$$-1cdotlog_{2} (х+5)=log_2 0,2$$
$$log_{2} (х+5)^{-1}=log_2 0,2$$
$$log_{2} (frac{1}{x+5})=log_2 0,2$$
$$frac{1}{x+5}=0,2$$
$$(x+5)cdot0,2=1$$
$$0,2x+1=1$$
$$0,2x=0$$
$$x=0$$
Задание 2
В гонке с раздельным стартом участвуют 16 лыжников, среди которых 4 спортсмена из Швеции. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из шведских лыжников получил стартовый номер «10». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.
Ответ: 0,2
Скрыть
Среди 16 лыжников 4 спортсмена из Швеции. Известно, что один в гонке раздельный старт. Следовательно, осталось $$n=16-1=15$$ лыжника и из них $$m=4-1=3$$ из Швеции. Получаем вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать за своим соотечественником:
$$P=frac{m}{n}=frac{3}{15}=frac{1}{5}=0,2$$
Задание 3
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные СА и СВ. Угол САВ равен $$39^{circ}$$. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 78
Скрыть
Учитывая, что угол CAB между касательной AC и хордой AB равен половине градусной меры дуги AB, то дуга
$$AB=2cdotangle CAB=2cdot39=78^{circ}$$
Угол AOB – центральный и опирается на дугу AB, следовательно, он равен 78°
Задание 4
Найдите значение выражения $$frac{14^{6,4}cdot7^{-5,4}}{4^{2,2}}$$.
Ответ: 28
Скрыть
$$frac{14^{6,4}cdot7^{-5,4}}{4^{2,2}}=frac{(2cdot7)^{6,4}cdot7^{-5,4}}{(2^{2})^{2,2}}=frac{2^{6,4}cdot7^{6,4}cdot7^{-5,4}}{2^{4,4}}=frac{2^{6,4}cdot7^{1}}{2^{4,4}}=2^2cdot7^1=4cdot7=28$$
Задание 5
Объём параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равен 60. Найдите объём треугольной пирамиды $$ACB_1D_1$$.
Ответ: 20
Скрыть
Объем параллелепипеда определяется как произведение длин его сторон, т.е.
$$V_1=ABcdot BCcdot BB_1$$
Объем пирамиды (отмеченной красным на рисунке) можно определить по формуле
$$V_2=frac{1}{3} S_{осн}cdot BB_1=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot BB_1=frac{1}{6} V_1$$.
Объем пирамиды $$ACB1D1$$ можно вычислить как объем куба минус 4 объема «красных» пирамид, получим
$$V=V_1-frac{4}{6}V_1=frac{2}{6}V_1=frac{1}{3}V_1=frac{1}{3}cdot60=20$$
Задание 6
На рисунке изображён график функции $$у=f(х)$$, определённой на интервале $$(-9; 5)$$. Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ равна 0.
Ответ: 6
Скрыть
Известно, что производная принимает нулевые значения в точках экстремума функции. Выделим все точки экстремума на интервале $$(-9; 5)$$:
Всего таких точек 6.
Задание 7
Мяч бросили под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $$t=frac{2v_0sin alpha}{g}$$ При каком значении угла $$alpha$$ (в градусах) время полёта составит 1,4 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $$v_0=14 м/с^2$$. Считайте, что ускорение свободного падения $$g=10 м/с^2$$.
Ответ: 30
Скрыть
Выразим синус угла из формулы времени полета:
$$sin alpha=frac{tan}{2v_0}$$
И подставим в полученное выражение числовые значения $$v_0=14 м/с^2$$ и $$t=1,4 сек$$:
$$sin alpha=frac{1,4cdot10}{2cdot14}=frac{1}{2}$$
Так как угол острый, то имеем первую четверть единичной окружности и единственный угол:
$$alpha=30^{circ}$$
Задание 8
Смешали 3 кг 24-процентного раствора, 4 кг 32-процентного раствора и некоторое количество 48-процентного раствора одного и того же вещества. Сколько килограммов 48-процентного раствора использовали, если в результате получили 40-процентный раствор вещества?
Ответ: 10
Скрыть
Пусть x кг – масса 48-процентного раствора. Суммарная масса вещества, равна:
$$3cdot0,24+4cdot0,32+xcdot0,48$$
По условию задания получили 40-процентный раствор той же массы. Получаем равенство:
$$3cdot0,24+4cdot0,32+xcdot0,48=0,4cdot(3+4+x)$$
$$0,72+1,28+0,48x-0,4x=1,2+1,6$$
$$0,08x=2,8-0,72-1,28$$
$$0,08x=0,8$$
$$x=10$$
Задание 9
На рисунке изображён график функции $$f(х)=ах^2+8х+с$$. Найдите $$f(6)$$.
Ответ: -28
Скрыть
Точки $$A(1;2)$$ и $$B(4;-4)$$ принадлежат графику функции. Тогда:
$$left{begin{matrix} 2=a+8+c\ -4=16a+32+c end{matrix}right. left{begin{matrix} a+c=-6\ -6=15a+24 end{matrix}right. left{begin{matrix} a=-2\ c=-4 end{matrix}right.$$
$$f(x)=-2x^2+8x-4$$
$$f(6)=-72+48-4=-28$$
Задание 10
На фабрике керамической посуды 30 % произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 50 % дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,82
Скрыть
Из условия задачи следует, что из 30% бракованных тарелок, выявляется только 50%, т.е. $$30cdot 0,5=15$$% брака от всего объема произведенных тарелок. В продажу поступает $$100-15=85$$% тарелок и среди них бракованных $$30-15=15$$%. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная тарелка не будет иметь дефектов, равна
$$frac{85-15}{85}=frac{70}{85}approx0,82$$.
Задание 11
Найдите точку минимума функции $$у=(х+4)^2(х+1)+9$$.
Ответ: -2
Скрыть
Найдём производную функции:
$$y’=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)’=$$
$$=2(x+4)(x+1)(x+4)’+(x+4)^2=2(x+4)(x+1)+(x+4)^2=$$
$$=2x^2+2x+8x+8+x^2+8x+16=3x^2+18x+24$$
Найдём нули производной: $$3x^2+18x+24=0$$
С помощью дискриминанта находим корни уравнения:
$$x_1=-4$$
$$x_2=-2$$
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка минимума: $$x=-2$$
Задание 12
а) Решите уравнение $$(х^2+4х+2)(4^{3х+1}+8^{2х-1}-11)=0$$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-0,5; 0,5]$$.
Ответ: а) $$-2-sqrt{6}, -2+sqrt{6},frac{1}{2}-frac{log_2 3}{6}; б) -2+sqrt{6},frac{1}{2}-frac{log_2 3}{6}$$
Скрыть
а)
ОДЗ уравнения: R
Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.
$$x^2+4x-2=0$$ или $$4^{3x+1}+8{2x-1}-11)=0$$
Решим 1 уравнение:
$$x^2+4x-2=0$$
$$D=4^2-4cdot1cdot(-2)=24$$
$$x_{1,2}=frac{-4pm2sqrt{6}}{2}$$
$$x_1=-2-sqrt{6}$$
$$x_2=-2+sqrt{6}$$
Решим 2 уравнение:
$$4^{3x+1}+8{2x-1}-11)=0$$
Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:
$$2^{2(3x+1)}+2^{3(2x-1)}-11=0$$
$$2^{6x+2}+2^{6x-3}-11=0$$
$$2^{6x}cdot2^2+frac{2^{6x}}{2^3}-11=0$$
$$2^{6x}cdot(4+frac{1}{8})=11$$
$$2^{6x}cdotfrac{33}{8}=11$$
$$2^{6x}=frac{8}{3}$$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$$log_2 (2^{6x})=log_2 frac{8}{3}$$
В левой части уравнения показатель степени вынесем за знак логарифма, в правой части уравнения от логарифма частного переходим к разности логарифмов:
$$6xcdotlog_2 2=log_2 8-log_2 3$$
$$6x=3-log_2 3$$
$$x=frac{3-log_2 3}{6}$$
$$x=frac{1}{2}-frac{log_2 3}{6}$$
б)
$$x=-2-sqrt{6}notin[-0,5;0,5]$$
$$x=-2+sqrt{6}in[-0,5;0,5]$$
$$x=frac{1}{2}-frac{log_2 3}{6}in[-0,5;0,5]$$
Задание 13
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причём AM = 2, SK = 1. Плоскость а перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и К.
а) Докажите, что плоскость а содержит точку С.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$alpha$$.
Ответ: $$frac{30sqrt{17}}{7}$$
Скрыть
а) Пусть KL перпендикулярно плоскости ABC. Проведем прямую ML, пересекающуюся с BC в точке N. Тогда плоскостью $$alpha$$ будет являться плоскость KMN. Прямая SO — высота пирамиды.
Треугольники SOB и KLB подобны по двум углам, следовательно:
$$frac{BK}{KS}=frac{BL}{LO}=frac{6}{1}; frac{BL}{LD}=frac{6}{8}=frac{3}{4}$$.
Треугольники MBL и LHD подобны по двум углам:
$$frac{MB}{DH}=frac{BL}{LD}=frac{3}{4}; frac{6}{DH}=frac{3}{4}Leftrightarrow DH=8=DC$$.
Тогда H и C — совпадают, откуда также совпадают N и C, следовательно, точка C принадлежит плоскости $$alpha$$.
б) Найдем площадь MKC:
$$S_{MKC}=frac{1}{2} MCcdot KL$$;
Из подобности треугольников SOB и KBL следует:
$$frac{KL}{SO}=frac{6}{7}Leftrightarrow KL=frac{6}{7}SO$$
По теореме Пифагора в треугольнике SCO:
$$SO=sqrt{SC^2-CO^2}$$.
Найдем SO и CO:
$$CO=frac{AC}{2}=frac{sqrt{8^2+8^2}}{2}=frac{sqrt{128}}{2}=sqrt{32}=4sqrt{2}$$;
$$SO=sqrt{49-32}=sqrt{17}$$.
Тогда $$KL=frac{6sqrt{17}}{7}$$.
По теореме Пифагора в треугольнике MBC:
$$MC=sqrt{BC^2+BM^2}=sqrt{8^2+6^2}=10$$
$$S_{MKC}=frac{1}{2}cdot10cdotfrac{6sqrt{17}}{7}=frac{30sqrt{17}}{7}$$
Задание 14
Решите неравенство $$lg^4(x^2-26)^4-41lg^2(x^2-26)^2leq240$$.
Ответ: $$[-6;-sqrt{26,1}];[-sqrt{25,9};-4];[4;sqrt{25,9}];[sqrt{26,1};6]$$
Скрыть
ОДЗ: $$xneqpmsqrt{26}$$
$$4^4lg^4left|x^2-26right|-16lg^2left|x^2-26right|-240leq0$$ $$|:16$$
$$16lg^4left|x^2-26right|-lg^2left|x^2-26right|-15leq0$$
$$lg^2left|x^2-26right|=tgeq0$$
$$left{begin{matrix} tgeq0\ 16t^2-t-15leq0 end{matrix}right.left{begin{matrix} tin [0;+infty)\ tin [-frac{15}{16};1] end{matrix}right. tleq1$$
$$lg^2left|x^2-26right|-1leq0$$
$$(lgleft|x^2-26right|-1)(lgleft|x^2-26right|+1)leq0$$
$$zin [-1;1]$$
$$-1leqlgleft|x^2-26right|leq1$$
$$left{begin{matrix} lgleft|x^2-26right|leq1\ lgleft|x^2-26right|geq-1 end{matrix}right.left{begin{matrix} left|x^2-26right|leq10\ left|x^2-26right|geq0,1 end{matrix}right.left{begin{matrix} (x-6)(x+6)leq0\ (x-4)(x+4)geq0\ left[begin{matrix} x^2-26geq0,1\ x^2-26leq-0,1\ end{matrix}right. end{matrix}right. left[begin{matrix} left{begin{matrix} xin[-6;-sqrt{26});(-sqrt{26};-4];[4;sqrt{26});(sqrt{26};6]\ xin(-infty;-sqrt{26,1}];[sqrt{26,1};+infty) end{matrix}right.\ left{begin{matrix} xin[-sqrt{25,9};-4];[4;sqrt{25,9}]\ xin [-sqrt{25,9};sqrt{25,9}] end{matrix}right. end{matrix}right.$$
Задание 15
Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1 962 000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1
— каждый январь долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами
Вариант 2
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?
Ответ: 53 820 рублей
Скрыть
Пусть S — размер кредита, он равен 1962 тысячам рублей. Срок погашения кредита n составляет 2 года или 24 месяца. Процентная ставка r составляет в первом варианте 18% годовых, а во втором 2% ежемесячно.
В первом варианте долг х выплачен двумя платежами, поэтому $$(Scdot1,18-x)1,18-x=0,$$
откуда
$$Scdot1,3924-2,18x=0Leftrightarrow x=frac{Scdot1,3924}{2,18}Leftrightarrow x=1253,16$$ тыс. руб.
Сумма выплат составляет $$1253,16cdot2=2506,32$$ тыс. руб.
Во втором варианте суммы долга составляют арифметическую прогрессию:
$$Scdot1,02, Scdot1,02cdotfrac{23}{24}, Scdot1,02cdotfrac{22}{24},cdots,Scdot1,02cdotfrac{1}{24}$$.
а выплаты равны
$$Scdot0,02+frac{S}{24},frac{Scdot0,02cdot23+S}{24},frac{Scdot0,02cdot22+s}{24},cdots,frac{Scdot0,02+S}{24}$$.
Поэтому для суммы выплат получаем:
$$S+Scdot0,02(1+frac{23}{24}+frac{22}{24}+cdots+frac{1}{24})=S+Scdot0,02(frac{1+frac{1}{24}}{2}cdot24)=$$
$$=S+Scdot0,02cdotfrac{25}{2}=S+frac{S}{4}=1,25S$$.
или $$1,25cdot1962=2452,5$$ тыс. руб.
Следовательно, более выгоден кредит, описанный в варианте 2; разность сумм выплат составит
$$2506,32-2452,5=53,82$$ (тыс. руб.) $$=53 820$$ руб.
Задание 16
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, BD = 13.
Ответ: $$frac{6sqrt{13}}{5}$$
Скрыть
а) Треугольники AOB и BOC подобны, поэтому угол BAO равен либо углу BCO, либо углу CBO. Пусть BAO=BCO, тогда треугольник ABC равнобедренный, AB=BC. Рассмотрим треугольник DCO. Угол DCO не может быть равен углу BAO, поскольку стороны AB и DC не параллельны, следовательно, DCO=ABO. Аналогично DAO=CBO=ABO, следовательно, треугольник ADC равнобедренный и AD = DC. Тогда AB+DC=AD+BC, следовательно, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Пусть BAO=CBO, тогда, рассуждая аналогично, получим AB=AD и BC=CD, следовательно, AB+CD=AD+ВC и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим угол BCD:
$$widehat{BCD}=widehat{BAD}=alpha+beta$$,
так как все треугольники прямоугольные. Следовательно,
$$alpha+beta=180^{circ}-90^{circ}=90^{circ}$$.
$$widehat{BCD}=widehat{BAD}=90^{circ}$$,
а потому четырехугольник ABCD является вписанным. Тогда диагональ BD — диаметр окружности.
Получаем: $$CO=frac{CA}{2}=6$$, а $$BOcdot OD=CO^2$$, откуда
$$x(13-x)=36Leftrightarrow x^2-13x+36=0$$
$$x=4$$
$$x=9$$
Не нарушая общности, положим длину BO равной 4, а длину OD равной 9, тогда в треугольнике BOC:
$$BC=sqrt{16+36}=sqrt{52}=2sqrt{13}$$,
$$CD=sqrt{OD^2+CO^2}=sqrt{81+36}=sqrt{117}=3sqrt{13}$$.
Далее найдем полупериметр и площадь четырехугольника и радиус вписанной окружности:
$$p=2sqrt{13}+3sqrt{13}=5sqrt{13}$$,
$$S=frac{12cdot13}{2}=78$$,
$$S=rcdot pLeftrightarrow r=frac{S}{p}=frac{78}{5sqrt{13}}=frac{6sqrt{13}}{5}$$.
Осталось отметить, что диагональ АС может является другой диагональю четырехугольника и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.
Задание 17
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$$left{begin{matrix} y+2-frac{4}{x}=left|y+frac{2}{x}-3right|\ 2y(y+2)+3x(ax-2)=xy(2x+3) end{matrix}right.$$
имеет больше трёх решений.
Ответ: $$(-frac{25}{16};-1,5);(-1,5;0);(0;3frac{1}{6});(3frac{1}{6};+infty)$$
Скрыть
Рассмотрим первое уравнение:
$$y+2-frac{4}{x}=left|y+frac{2}{x}-3right|Leftrightarrowleft{begin{matrix} y+frac{2}{x}-3=pm(y+2-frac{4}{x})\ y+2-frac{4}{x}geq0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} left[begin{matrix} frac{6}{x}=5\ 2y=frac{2}{x}+1 end{matrix}right.\ ygeqfrac{4}{x}-2 end{matrix}right.Leftrightarrow$$
$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} left[begin{matrix} x=frac{6}{5}\ y=frac{1}{x}+frac{1}{2} end{matrix}right.\ ygeqfrac{4}{x}-2 end{matrix}right.$$
При $$x=frac{6}{5},$$ получаем $$ygeqfrac{4}{3}.$$ А при $$y=frac{1}{x}+frac{1}{2}$$ имеем:
$$left{begin{matrix} y=frac{1}{x}+frac{1}{2}\ frac{1}{x}+frac{1}{2}geqfrac{4}{x} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=frac{1}{x}+frac{1}{2}\ frac{3}{x}leqfrac{5}{2} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=frac{1}{x}+frac{1}{2}\ x<0 or xgeqfrac{6}{5} end{matrix}right.$$
Рассмотрим второе уравнение:
$$2y(y+2)+3x(ax-2)=xy(2a+3)Leftrightarrow 2y^2+4y+3ax^2-6x=$$
$$=2axy+3xyLeftrightarrow 2y^2+(4-2ax-3x)y+3x(ax-2)=0Leftrightarrow$$
$$Leftrightarrow (2y-3x)(y-ax+2)=0Leftrightarrowleft[begin{matrix} 2y=3x\ y=ax-2 end{matrix}right.$$
График первого уравнения — объединение луча $$x=frac{6}{5}$$ при $$ygeqfrac{4}{3}$$ и части гиперболы $$y=frac{1}{x}+2$$ при $$xin (-infty;0)cup[frac{6}{5};+infty).$$ График второго уравнения — объединение прямой $$y=frac{3}{2}x$$ (1) и некоторой прямой (2), проходящей через точку A(0; −2). Построим эскизы графиков (см. рис.).
Абсцисса точки C — отрицательное решение уравнения $$frac{1}{x}+frac{1}{2}=frac{3}{2}x.$$
При $$a>0$$ прямая (2) пересекает обе ветви графика первого уравнения. Следовательно, более трех решений система имеет при всех таких a, кроме a, соответствующих положению прямой (2), при котором она проходит через точку B. Это реализуется при:
$$frac{9}{5}=afrac{6}{5}-2Leftrightarrow a=frac{19}{6}.$$
Найдем a, при котором прямая (2) касается левой ветви графика первого уравнения:
$$frac{1}{x}+frac{1}{2}=ax-2Leftrightarrow 1+frac{1}{2}x=ax^2-2xLeftrightarrow ax^2-frac{5}{2}-1=0.$$
Уравнение имеет единственное решение при $$D=frac{25}{4}+4a=0,$$ значит, $$a=-frac{25}{16}.$$
Окончательно, при $$frac{25}{16}<a<0$$ прямая (2) пересекает левую ветвь графика первого уравнения в двух точках, следовательно, система имеет более трех решений при всех таких a, кроме a, соответствующей прямой (2), при котором она проходит через точку C. Это реализуется при:
$$-1=a(-frac{2}{3})-2Leftrightarrow a=-frac{3}{2}.$$
При $$a=0$$ прямая (2) пересекает график первого уравнения только в одной точке.
Задание 18
Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов.
а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?
б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если в викторине было 25 вопросов?
в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если в викторине было 37 вопросов?
Ответ: а) 12; б) 15; в) 6
Скрыть
Будем считать, что за каждый вопрос дают $$8$$ баллов, а потом списывают по $$16$$ за каждый неверный ответ и по $$11$$ за отсутствие ответа. Пусть Оля ответила неверно на $$x$$ вопросов и не ответила вовсе на $$y$$, тогда она потеряла $$16x+11y$$ баллов.
а) По условию $$24cdot8-16x-11y=35$$, откуда $$16x+11y=157$$, $$157-16x=11y$$. Перебором среди чисел $$157$$, $$157−16$$, $$157−32$$, …, $$157-128$$ находим единственное кратное $$11$$ число $$157−80=77$$, откуда $$y=7, x=5$$ и верных ответов было $$24-5-7=12$$.
б) По условию $$25cdot8-16x-11y=35$$, откуда $$16x+11y=165$$, $$11cdot(15-y)=16x$$. Значит, $$x$$ кратно $$11$$, откуда $$x=0$$ (ведь даже $$11cdot16=176>165$$). Тогда $$y=15$$.
в) По условию $$37cdot8-16x-11y=35$$, откуда $$16x+11y=261$$, $$261-16x=11y$$. Перебором среди чисел $$261$$, $$261−16$$, $$261−32$$, …, $$261−256$$ находим единственное кратное $$11$$ число $$261−96=165$$, откуда $$y=15, x=6$$.
Решение и ответы заданий Варианта №14 из сборника ЕГЭ 2023 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко 36 типовых вариантов ФИПИ школе. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задание 1.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Задание 2.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды.
Задание 3.
Из множества натуральных чисел от 56 до 80 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4?
Задание 4.
В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,2. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Задание 5.
Решите уравнение frac{7x}{3x^{2}–26}=1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Задание 6.
Найдите значение выражения 5√3–4·51+3√3:54√3–1.
Задание 7.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = –frac{1}{2}t4 + 4t3 – t2 – t + 14,
где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 с.
Задание 8.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Тп = 15 °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,5 кг/с. Проходя по трубе расстояние х, вода охлаждается от начальной температуры Тв = 79 °C до температуры Т, причём
где с = 4200 Вт·с/кг·°C – теплоёмкость воды, γ = 63 Вт/м·°C – коэффициент теплообмена, а α = 1,3 – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Задание 9.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % никеля, второй – 14 % никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11 % никеля. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Задание 10.
На рисунке изображён график функции f(х) = frac{k}{x} + а. Найдите, при каком значении х значение функции равно 7.
Задание 11.
Найдите наименьшее значение функции y = 49x – 46sinx + 37 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0].
Задание 12.
а) Решите уравнение 25x–0,5 – 13·10x–1 + 4x+0,5 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-frac{pi}{2}; π].
Задание 13.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. Точка К – середина ребра A1C1.
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
Задание 14.
Решите неравенство 8lg(–1 – х) ≤ (х2 – 1)lg2.
Задание 15.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» – увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
Задание 16.
В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5. На продолжениях сторон АВ и ВС параллелограмма за точку В выбраны точки N и М соответственно, причём BC = CN и АВ = AM.
а) Докажите, что DN = DM.
б) Найдите MN, если АС = √13.
Задание 17.
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения 5а2х – 2·4х + 9·(2а)x = 0 принадлежат отрезку [–3; 1].
Задание 18.
Известно, что а, b, с, d, е и f – это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=11?
б) Может ли выполняться равенство frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{1345}{336}?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
| 3210 | В гонке с раздельным стартом участвуют 16 лыжников, среди которых 4 спортсмена из Швеции. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из шведских лыжников получил стартовый номер «10». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником Решение |
В гонке с раздельным стартом участвуют 16 лыжников, среди которых 4 спортсмена из Швеции ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 14 Задание 2 |  |
| 3209 | На рисунке изображён график функций f(x)=ax^2+8x+c. Найдите f(6)
|
На рисунке изображён график функций f(x)=ax2 + 8x + c. Найдите f(6) ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 14 Задание 9 | |
| 3208 | а) Решите уравнение (x^2+4x+2)(4^(3x+1)+8^(2x-1)-11)=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,5; 0,5]Решение  График |
а) Решите уравнение (x2 + 4x +2)(4 (3x+1) +8 (2x-1) — 11 ) =0 ! 36 вариантов ЕГЭ 2022 ФИПИ школе Ященко Вариант 14 Задание 12 # у Ященко ощибка в ответе пособия color{red}{ (a) -2-sqrt6; -2+sqrt6; 1/2-log_{2}(3)/6} бcolor{red}{(б) -2+sqrt6; 1/2-log_{2}(3)/6} # Задача- аналог 2545 | |
| 2543 | Решите неравенство lg^4(x^2-26)^4-4lg^2(x^2-26)^2 <= 240.Решение График |
Решите неравенство lg^4(x^2 -26)^4 -4lg^2(x^2 -26)^2 <= 240 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 14 Задание 14 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 4 Задание 15 | |
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60(^circ), большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды.
Из множества натуральных чисел от 56 до 80 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4?
В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,2. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите веротность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Решите уравнение ( dfrac{7x}{3x^2-26}=1 ). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Найдите значение выражения ( 5^{sqrt{3}-4}cdot 5^{1+3sqrt{3}}:5^{4sqrt{3}-1})
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t)=-dfrac{1}{2}t^4+4t^3-t^2-t+14), где (x) — расстояние от точки отсчёта в метрах, (t) — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени (t=5) c.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне (T_п=15 °C), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды (m=0{,}5, кг/с). Проходя по трубе расстояние (x), вода охлаждается от начальной температуры (T_в=79 °C) до температуры (T), причём (x=alphadfrac{cm}{γ}log_{2}{frac{T_в-T_п}{T-T_п}}), где (c=4200,dfrac{Втcdot с}{кгcdot °C}) — теплоёмкость воды, (γ=63,dfrac{Вт}{мcdot °C}) — коэффициент теплообмена, а (alpha=1{,}3) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% никеля, второй — 14% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% никеля. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
На рисунке изображен график функции (f(x)=dfrac{k}{x}+a). Найдите, при каком значении (x) значение функции равно 7.
Найдите наибольшее значение функции ( y=49x-46sin{x}+37 ) на отрезке (left[-dfrac{pi}{2};0right])
а) Решите уравнение ( 25^{x-0{,}5}-13cdot10^{x-1}+4^{x+0{,}5}=0 ).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (left[-dfrac{pi}{2};piright])
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что AM:MC = CN:BN = 2:1, точка K — середина ребра A1C1.
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину B1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если AB = 6, AA1 = 2,4
Решите неравенство (8^{lg({-1-x})}leqslantleft( x^2-1 right)^{lg2})
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
В параллелограме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограма за точку B выбраны точки N и M соответсвенно, причём BC=CN и AB=AM.
а) Докажите, что DN=DM.
б) Найдите MN, если AC=√13.
Найдите все положительные значения (a), при каждом из которых корни уравнения (5a^{2x}-2cdot4^x+9cdotleft( 2a right)^x=0) принадлежит отрезку (left[-3;1right]).
Известно, что (a), (b), (c), (d), (e) и (f) — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство ( dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}+dfrac{e}{f}=11 )?
б) Может ли выполняться равенство ( dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}+dfrac{e}{f}=dfrac{1345}{336} )?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма ( dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}+dfrac{e}{f} )?
Введите ответ в форме строки «да;да;12:34». Где ответы на пункты разделены «;», первые два ответа с маленькой буквы, в третьем несократимая дробь через двоеточие «:»
Варианты Ященко (ЕГЭ профиль): разбор в видеоформате
На данной странице представлены ссылки на видеоразборы всех 36 вариантов из сборника Ященко 2019 года.
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
32
33
34
35
36
Новый стрим, новый Ященко! Разбираем уравнения и неравенства из Сборника ЕГЭ-2022!
Приветствуем, друзья!
1. Заканчивается распродажа для преподавателей. Сегодня очередное подорожание онлайн-курса.
2. Многие из вас готовятся к ЕГЭ по Сборникам тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко. И возможно, не всё сразу получается.
Чтобы помочь вам, на стриме в четверг, 18 ноября, Анна Малкова уравнения и неравенства из Сборника «36 тренировочных вариантов ЕГЭ-2022».
Регистрируйтесь на стрим, это бесплатно!
ЖДЕМ НА СТРИМЕ!
Что будет на стриме?
Разберем задания 12 и 14 из сборника Ященко 2022 года.
Еще раз поговорим о решении и оформлении тригонометрических уравнений. Об отборе корней.
Основная тема – все-таки неравенства. Показательные, логарифмические, комбинированные.
Повторим, что такое логарифмы, и основные формулы для логарифмов.
Вспомним, что писать на бланке ЕГЭ, когда мы «отбрасываем логарифмы» (про «отбрасывание» или «откидывание» писать не надо!).
Поговорим об оформлении. Как должно выглядеть ваше решение, чтобы вы получили за него максимальный балл.
И о том, чего точно не нужно делать. Если, конечно, не хотите растерять баллы.
Стрим ведет Анна Малкова. 18 ноября, в 17.00 по московскому времени.
Регистрируемся и смотрим!
Как готовиться по Ященко?
Стоит ли готовиться к ЕГЭ-2022 по новому сборнику «36 тренировочных вариантов» под редакцией И. В. Ященко?
Наше мнение: сборник пригодится учителям и репетиторам.
Но готовиться по нему к ЕГЭ самостоятельно мы не рекомендуем.
И вот почему:
1) Задачи в вариантах неравноценны по сложности. Например, в одном варианте простейшее неравенство в № 14, в другом – сложное комбинированное.
2) Особенно это заметно для задачи 10 по теории вероятностей (новая задача). В одних вариантах – простейшие, хорошо всем знакомые задачи, например, про стекла для автомобильных фар. В других – задача про викторину, которая оказалась сложной даже для опытных преподавателей. Кстати, ее решение на этой странице под №10.
3) Решения даны только к вариантам 1, 7, 11, 17, 21, 27, 31 (7 из 36).
И вообще готовиться к ЕГЭ по сборнику заданий – плохая идея. Обычно это означает, что вы «выгрызаете» из каждого варианта несколько простых заданий, например, 6 штук из 18 задач каждого вариант. И говорите: ну вот, за пару дней прорешал треть сборника. Еще 4 дня – и подготовлюсь полностью 
Но почему-то так не происходит. И что делать со сложными задачами – непонятно. И сборник отправляется на полку.
Оптимальная отработанная подготовка
А как же надо готовиться к ЕГЭ?
Сначала – выучить необходимую теорию. Посмотреть, как решаются задачи такого типа. Затем самостоятельно работать над темой, от простых задач к сложным, и так, чтобы получать не только ответы, но и подробные решения.
Решать варианты – только на заключительном этапе тренировки!
Именно так построено обучение на Онлайн-курсе Анны Малковой.
Необходимая теория, написанная простым и понятным языком.
Видеоучебник. Как решать задачи, на что обратить внимание.
Прямые трансляции 2 раза в неделю. По 120 минут. Как с репетитором. По всем темам и задачам Профильного ЕГЭ по математике.
Онлайн-тренажер (72 темы). Все задачи – с подробными решениями и ответами.
Ответы на все ваши вопросы, помощь в решении задач.
И Пробные ЕГЭ раз в месяц.
Кстати, пора присылать решения на наш Ноябрьский Пробный ЕГЭ. Кто он нем еще не знает – читаем и регистрируемся, здесь! Это бесплатно!
Смотрим стрим Анны Малковой завтра. И идем к нам на Онлайн-курс! Это лучше, чем самостоятельно пытаться подготовиться по сборнику Ященко.
Наши Онлайн-курсы:
Для тех, кому нужна выстроенная, проверенная программа подготовки от опытных преподавателей. С нуля до самых сложных тем. Есть программы для абитуриентов и преподавателей. Посмотрите видео, как устроен курс. Оформите бесплатный демодоступ.
Математика
Физика
Информатика
Русский
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Разбираем сборник Ященко-2022!» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из Рубрики: Новости.
Публикация обновлена:
10.03.2023
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.