Егэ по математике для колледжа

СБОРНИК ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

К ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМАТЕ ЕГЭ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СПО И НПО

Преобразование степенных и дробно-иррациональных выражений.

1. Степени и корни 

 Степень с целым показателем 

 (n раз, ),

Свойства:

  Корень n-й степени 

  — арифметический корень n-й степени из числа  

Свойства:

В частности,  — арифметический квадратный корень: 

Степень с дробным (рациональным) показателем 

Свойства степени с действительным показателем 

ВЫЧИСЛИТЕ:

;    ;    ;  ;  ;   ;   ;   ;   ;

;    ;   ;  ;  

            ;  ;  ;  

1. Логарифмы. Логарифмические уравнения

ВЫЧИСЛИТЬ:

; ;  ;     ;    ;     ;

1. Показательные неравенства

Неравенство вида

в зависимости от основания эквивалентно следующему:

              при a>1      f(x)>g(x);

 при 0.

Неравенство вида

эквивалентно следующему неравенству:

 при a>1      f(x);

 при 0g(x).

Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства

РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВА

0,42х+1≥0,16;   5(x2 — 2*x — 1) = 25;    ;    ;  ;  ;

1. Тригонометрические уравнения

 sin x = a

Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. (Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

 cos x = a

Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. (Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней)
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a

Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a.

Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.

 ctg x = a

Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a.

Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

   ;        ;  ;      

1. Производная функции. Исследование функции.

        Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. 

Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Достаточные признаки монотонности функции.

• Еслиf ‘( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.
• Если f ‘( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

 Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум).

Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема — необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке.
Достаточные условия экстремума.

• Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
• Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Найдите наибольшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1; 2]

Найдите наименьшее значение функции 

Найдите точку максимума функции 

Найдите точку минимума функции 

Найдите точку минимума функции 

1. Чтение графиков

 При ответе на вопрос необходимо: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.

На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 7 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций (все операции проводились в момент открытия биржи)?

Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Сколько Ампер составляет сила тока в цепи при сопротивлении 2,5 Ом?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

1. Реальная математика (Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни)

1. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?
2. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. 

В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего: 

1) И. купит все три товара сразу. 

2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат. 

      3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат. 

4)В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае. ? 

   3.     В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт·ч электроэнергии в   месяц, а в ночное время — 185 кВт·ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт·ч.  В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях. 

4.       Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

             8. Теория вероятности.  (Классическое определение теории вероятности)

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.P(A) = m/n, где m — число благоприятствующих событию A исходов, n –  число всех элементарных равновозможных исходов. Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. 

1. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 
2. На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает девятым, будет из Чехии. 
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 
4. Конкурс исполнителей длится 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.    
5. В среднем из 150 аккумуляторов, поступивших в продажу, 9 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. 

Большинство студентов колледжа могут сдать ЕГЭ уже на первом курсе. Даже если они не успели записаться на экзамен до февраля. Рассказываем, как.

Если программа колледжа включает в себя не только обучение профессии, но и программу по общеобразовательным предметам, то уже в конце первого курса студенты могут сдать ЕГЭ. То есть сэкономить год по сравнению с ровесниками. Проще говоря, если программа в колледже длится от 2.5 лет и больше, а на первом курсе есть русский и математика, можно сдавать ЕГЭ.

Как записаться на ЕГЭ в колледже

Студент колледжа может записаться на ЕГЭ как электронным способом, так и по личному заявлению. Рассмотрим основные варианты.

• Если колледж является частью большой образовательной организации, у которой есть аккредитованное подразделение старшей школы, то он может решать все вопросы через это подразделение. Например, колледж и старшая школа-предуниверсарий подчиняются вузу. В этом случае учащиеся колледжа могут регистрироваться на ЕГЭ от организации. Тогда их будет видеть в системе ответственный за ЕГЭ по школьному подразделению, но ответственности за них нести не будет. Например, он не обязан организовывать сопровождение на экзамен.
• Если колледж является автономным и “своей школы” у него нет, то студент регистрируется на ЕГЭ самостоятельно через электронные сервисы или очно — для этого нужно записаться на прием в РЦОИ. 

Что делать, если опоздал записаться на ЕГЭ

Очень часто студенты колледжа поздно узнают о своем праве сдать ЕГЭ и думают, что опоздали, но это не так. Даже если студент колледжа решил сдать ЕГЭ в феврале и позже, он все еще может подать заявление.

Действовать нужно через описанные службы. Бывает так, что в партнерской школе студенту колледжа отказывают в просьбе зарегистрировать его на ЕГЭ с опозданием. В этой ситуации студент может позвонить на горячую линию РЦОИ и явиться на прием.

В заявлении с просьбой зарегистрировать на экзамен с опозданием нужно указать причину. Недостаток информирования со стороны администрации учебного заведения — достаточная причина.

К заявлению, помимо копии паспорта и СНИЛС, необходимо приложить справку об обучении в колледже, копию аккредитации программ СПО (которые всегда можно найти на сайте), а также копию аттестата за 9 класс. Заверять копию не обязательно, поскольку сам факт приема на программу СПО автоматически означает наличие аттестата.

Зарегистрироваться на ЕГЭ можно и в марте, и в апреле. Следить за местом проведения экзамена нужно в личном кабинете регионального портала государственных услуг или на сайте Госуслуг.

Нужно ли писать итоговое сочинение в колледже

Итоговое сочинение для допуска к сдаче ЕГЭ студентам колледжа писать не нужно. Студент колледжа может по своему желанию зарегистрироваться на итоговое сочинение и написать его. Раньше это имело смысл для получения дополнительных баллов к ЕГЭ при поступлении, однако сейчас это не актуально в подавляющем большинстве вузов. Если все же вуз принимает баллы за итоговое сочинение как баллы за индивидуальные достижения, то можно настаивать на том, чтобы написать сочинение.

Если студент колледжа решил писать итоговое сочинение после того, как его написали во всех школах, то и тут не все потеряно. Дело в том, что для проваливших работу или проболевших существуют резервные дни. С опозданием на итоговое сочинение можно записаться в том же РЦОИ. Тогда студента прикрепят к точке, где проводится итоговое сочинение в резервные дни. Если у колледжа нет партнерской школы, студенту подберут школу по месту жительства.

Как поменять ЕГЭ студенту колледжа

Менять ЕГЭ студенту колледжа нужно так же через партнерскую школу, если она есть, или через РЦОИ. Основанием для решения может быть “изменение планов по выбору специальности для поступления в вуз”.

Если студент колледжа решил не сдавать какой-то из выбранных ранее ЕГЭ, то можно просто не приходить на экзамен. Никаких санкций и наказания за это не последует.

Можно ли поступать в вуз по ЕГЭ сразу после первого курса колледжа

Да, поступать в вуз после первого курса можно. Однако для этого необходимо закрыть первый год обучения без академических задолженностей по общеобразовательным предметам и получить об этом справку.

В идеале, чтобы избежать конфликтных ситуаций и лишних нервов, нужно полноценно закрыть первый курс, дождаться приказа о переводе на второй курс и затребовать его заверенную копию и выписку итоговых оценок. С заверенной копией аккредитации программ СПО, копией о лицензии колледжа, копией приказа и результатами ЕГЭ студент колледжа имеет право подать документы в вуз наравне с выпускниками 11 класса школ.

Как поступать в вуз после колледжа

Поступать по внутренним вузовским экзаменам после первого курса нельзя, только по ЕГЭ. Право поступать по экзаменам, которые вузы проводят самостоятельно, есть только у тех, кто закончил обучение по программе СПО и получил диплом — документ об успешном завершении программы.

Выпускники колледжа могут поступать и по ЕГЭ, и по внутренним экзаменам. Как правило, в собственный вуз выпускники колледжа поступают по внутренним. Во-первых, их к этому готовят, во-вторых, внутренние рекомендации играют роль. В другой вуз, в вуз совсем иного профиля часто проще поступить по ЕГЭ.

Должны ли колледжи готовить к ЕГЭ?

Однозначно нет. Даже школы должны давать среднее образование, а не готовить к экзаменам. Но они это делают, поскольку результаты государственных экзаменов учитываются в рейтинге школ, показывают ее успешность, подтверждают качество образования.

А колледжу готовить к ЕГЭ еще и не выгодно. Колледж не заинтересован терять студентов до окончания обучения. Помешать готовиться к ЕГЭ он не может, но и помогать — не обязан.

Как готовиться к ЕГЭ студенту колледжа

С одной стороны, при обучении в колледже к ЕГЭ готовиться сложно. Приходится осваивать программу среднего профессионального образования, сдавать сессии и еще и готовиться к ЕГЭ.

С другой стороны, довольно часто в колледже подростки становятся более ответственными и самостоятельными за счет нешкольного отношения взрослых и профессиональной атмосферы. Их ровесников-школьников опекают, ограничивают, например, в выходе из школы. А в колледжах более свободная атмосфера и часто более партнерские отношения.

Немаловажно и то, что старшеклассник и ЕГЭ — это понятно и предсказуемо. А подготовка к ЕГЭ в колледже обычно самостоятельное и осознанное решение. Поэтому мотивация выше.

Конечно, студенту колледжа полностью самостоятельно готовиться к экзаменам сложно. Лучше всего записаться на надежные курсы, где умеют работать с сознательными абитуриентами. Для того, чтобы оценить, умеют ли на курсах работать со студентами колледжа, стоит начать с бесплатного пробного урока и понять, подходит ли программа обучения.

Сдавать ЕГЭ в колледже — не обязанность, а право. Оно есть и им стоит воспользоваться просто чтобы оценить свои силы. Если ребенок не уверен в своих силах, стоит для начала сдать бесплатный пробный ЕГЭ. Не исключено, что баллы хотя бы по одному предмету окажутся неплохими и их можно будет приберечь на будущее и досдать на следующий год другие предметы. Помните, что ЕГЭ, которые сдаешь в колледже не сгорят к моменту его окончания. Результатами можно будет воспользоваться, если возникнет желание после колледжа пойти в вуз.

Из-за того, что РФ выходит из Болонской системы образования, единые государственные экзамены скоро могут отменить. Школьники, как и раньше, будут сдавать выпускные испытания в школе и вступительные – в вузы. Но пока этого ещё не произошло и ЕГЭ по математике и русскому языку обязательно сдают все выпускники. Мы уже писали о датах экзаменов в 2023 году, а сегодня подробнее расскажем про уровни ЕГЭ по математике.

Больше полезной информации ученики и студенты найдут в нашем телеграм-канале с новостями и лайфхаками. Не забудьте подписаться и на акционную группу, чтобы всегда быть в курсе наших скидок.

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Математика — обязательный предмет для сдачи, но при этом каждый абитуриент сам выбирает, какой вариант экзамена он будет писать:

• базовый уровень математики ЕГЭ;
• углублённый уровень математики ЕГЭ.

Базовый уровень традиционно выбирают те, кому математика нужна только как элемент государственной итоговой аттестации (ГИА). В дальнейшем такие абитуриенты подают документы на специальности, где не требуется сертификат по математике.

Структура ЕГЭ по математике базового уровня

ЕГЭ по математике базового уровня длится 180 минут и содержит задания на такие темы:

• реальная математика;
• вычисления и преобразование;
• уравнения и неравенства;
• геометрия (планиметрия и стереометрия);
• графики функций;
• вероятность.

Оно не делится на части, все задачи имеют базовую сложность и не требуют подробных решений, достаточно написать ответ, которым может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр.

Оценки за ЕГЭ по математике базового уровня

ЕГЭ по базовой математике нельзя использовать для поступления, поэтому оно оценивается только по 5-балльной шкале: тестовые баллы переводятся в оценки.
Проходной балл ЕГЭ по математике базового уровня в 2023 году – 3. Чтобы получить тройку, нужно от 7 до 11 баллов.
Соответственно, максимальный балл ЕГЭ по математике базового уровня – 5, для этого нужно справиться с большей частью задач и набрать от 17 до 21 балла.

Лайфхаки для ЕГЭ по математике базового уровня

С базовой математикой справляется большинство выпускников, но если вы не уверены в своих силах, дадим несколько советов для подготовки и сдачи экзамена:

1. Найдите на сайте ФИПИ демоверсии задания прошлых лет и прорешайте их. Конечно, задания на экзаменах не повторяются, но так вы поймёте, какой логики следует придерживаться при их выполнении.
2. Обратите особое внимание на те задания, с которыми справились хуже всего. Если они относятся к одному разделу, стоит повторить теоретический материал.
3. Следите за временем и не задерживайтесь на одном задании слишком долго. Если вы понимаете, что не справляетесь с ним, переходите к следующему, а к самым сложным снова вернётесь в конце экзамена.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Углублённый уровень ЕГЭ по математике

Профильный уровень ЕГЭ по математике в 2023 году, как и в прошлые года выбирают те, кто поступает на направления, где сертификат по математике обязателен. Это образовательные программы, связанные с техникой, информационными технологиями, экономикой, финансами и т. д. Поступить на эти специальности с базовой математикой нельзя: приёмная комиссия рассматривает только сертификаты профильного уровня.

Структура ЕГЭ по математике профильного уровня 2023

Углублённый вариант ЕГЭ по математике состоит из двух частей:

1. 8 тестовых заданий, которые похожи на упражнения из базового уровня.
2. 11 заданий олимпиадного уровня с открытым ответом, который может быть коротким (задачи 9-12) или развёрнутым (задачи 13-18). Для последних 4-х упражнений комиссия будет оценивать не только правильность вычислений, но и логику решений.

Темы для профильного уровня ЕГЭ по математике такие же, как и для базового., но вот задания по ним будут повышенной и высокой сложности.

Сколько идёт ЕГЭ по математике профильного уровня? Экзамен углублённого уровня делится 235 минут.

Критерий оценивания ЕГЭ по математике профильного уровня

Учитывая структуру ЕГЭ по математике профильного уровня, при его оценке комиссия ориентируется на такие факторы:

1. Простые задания (1-12) оцениваются в один балл.
2. Если в 13-ом и 14-ом задании верны оба пункта, выпускник получает по 2 балла за каждое. Если в задании дан один правильный ответ или допущена ошибка, но соблюдена логика решения — 1 балл.
3. Если вы представите аргументированное решение и правильный ответ в 15-ом задании, то получите 2 балла, но если допустите ошибку в вычислении, то вам поставят лишь 1 балл.&
4. Чтобы получить 3 балла за задание 16, нужно правильно доказать утверждение пункта «а» и аргументировать правильный ответ в пункте «б». Если вы справились с решением пункта «б» и доказали пункт «а», но допустили арифметическую ошибку, заработаете 2 балла. Дадите верный ответ на пункт «б», но не приведёте доказательство пункта «а» — получите 1 балл.
5. За аргументированную и правильно построенную математическую модель в 17-ом задании можно получить до 3-х баллов. Если ответ неправильный, но логика верна — вам достанется 2 балла. Если модель построена правильно, но решение задачи не завершено — вам поставят 1 балл.
6. 18-е задание считается самым сложным, поэтому за полный правильный ответ на него дадут 4 балла. Если вы не до конца справились и не привели искомого множества, можете заработать от 1 до 3-х баллов: зависит от граничных точек.

Баллы в ЕГЭ по математике профильного уровня переводятся в 100-балльную шкалу, чтобы их можно было использовать для поступления.

Первичный балл	Тестовый балл	Первичный балл	Тестовый балл
1	5	17	76
2	9	18	78
3	14	19	80
4	18	20	82
5	23	21	84
6	27	22	86
7	33	23	88
8	39	24	90
9	45	25	92
10	50	26	94
11	56	27	96
12	62	28	98
13	68	29	99
14	70	30	100
15	72	31	100
16	74	32	100

Можно ли менять уровень ЕГЭ по математике с базы на профиль

Часто ученики интересуются, можно ли передумать и вместо ЕГЭ по математике базового уровня в 2023 году выбрать профильный? К сожалению, ни сдать оба варианта ЕГЭ, ни поменять уровень нельзя. Определиться с вариантом экзамена выпускник должен был до 1 февраля (последний день регистрации на ЕГЭ).

Но есть небольшое исключение: если вы с первого раза не сдали профильный уровень, вы можете изменить его на базовый и пересдавать уже более простой вариант.

Надеемся, наши советы помогут вам справиться и с базовым экзаменом, и с задачами ЕГЭ по математике профильного уровня. А если вам нужна помощь профессионалов, обращайтесь в студенческий сервис: его эксперты умеют решать учебные проблемы.