Егэ профильная математика 2022 тригонометрия

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

От­кры­ли но­вый пор­тал Ре­шу Олимп. Для под­го­тов­ки к пе­реч­не­вым олим­пи­а­дам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Привет! На связи методический отдел федеральной сети курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School («Ланцман скул»). Сегодня мы расскажем о том, как готовиться к ЕГЭ по профильной математике 2022 года.

Нелюбовь к тригонометрии в 10-11 классах может побить разве что страх перед стереометрией. Обычно опасение вызывают бесконечные столбцы формул и таблицы, которые заставляют учить для работы с тригонометрическими выражениями.

Но в ЕГЭ с тригонометрией всё достаточно просто. В первую очередь потому, что наизусть учить формул нужно даже меньше, чем для логарифмов. Вот популярный сборник формул для алгебры 10-11 класса. В нем мы выделили красным то, что нужно реально учить для экзамена.

Видно, что номинально объем по тригонометрии в 2 раза превосходит всю остальную алгебру (в этом сборнике нет разве что производной). А вот почему на деле так мало нужно учить наизусть – мы и расскажем ниже.

1. Справочные материалы

Во-первых, несколько формул дадут прямо на самом экзамене (речь про профильный ЕГЭ по математике), вместе с КИМами. Вот они:

2. Где и какая тригонометрия встречается на ЕГЭ

Формулы из третьего, самого правого столбца в большом сборнике формул либо уже есть среди этой пятерки выше, либо попросту не встречаются при решении ЕГЭшных задач. В крайнем случае что-то можно за несколько секунд вывести из этих пяти формул. Например,

Давайте тут же разберемся, где вообще можно встретить тригонометрию в профильной математике – чтоб вы понимали, стоит ли вся игра свеч.

А вообще-то стоит. Тригонометрия может попасться в целых 4 из 18 заданий ЕГЭ.

1) Задание 4. Преобразование выражений. Пример:

2) Задание 7. Практическая работа с формулами. Пример:

3) Задание 12. Уравнения, письменная часть. Пример:

4) Задание 17. Выражение с параметром, письменная часть. Пример:

В Задании 17, пожалуй, совсем редко встречается тригонометрия, но в остальных точно нужно быть к ней готовым. При этом самое большое разнообразие задач бывает в Задании 4.

Получается, нужно сфокусироваться на среднем столбце из большого сборника формул. И тут начинается самое интересное.

3. Большинство формул выводится

В самом деле, посмотрите на обведенные формулы в среднем столбце. Их очень мало, верно? Давайте разбираться по порядку с этим сборником, пойдем по его разделам.

1) Основные тождества

Из этих тождеств в ЕГЭ используется определение тангенса и котангенса (слева), это и правда надо выучить. А все остальное – либо следует или выводится из этих определений (попробуйте, например, перемножить дроби у тангенса и котангенса), либо уже дано в справочных материалах.

2) Тригонометрические уравнения

Вместо заучивания кучи этих формул лучше заняться изучением тригонометрической окружности. Все равно для более уверенного решения №12 – особенно пункта б) – потребуется в ней хорошо ориентироваться. Возможно, на изучение окружности потребуется примерно столько же времени, что и на заучивание соответственных формул. Но, во-первых, в отличие от механически выученного материала – практический навык не пропадет из памяти из-за волнения и стресса на экзамене. Во-вторых, именно работа с окружностью поможет сориентироваться в более сложных и непривычных ситуациях.

3) Значения тригонометрических функций от разных углов

В таблице предлагается выучить в сумме значений больше в 5 раз, чем предлагаем мы (обведено красным). И это еще не самая обширная таблица.

4) Формулы приведения

Как раз в виде формул заучивать эту тему – крайне неблагодарное дело. Приглядитесь: с учетом различных знаков из таблицы ниже придется извлечь и выучить 36 формул, едва отличающихся друг от друга!

Первый столбец вообще объясняется четностью-нечетностью функций и легко показывается (и вспоминается) через окружность. Другие формулы лучше не заучивать, а запомнить простой алгоритм в 2 шага. Сейчас мы им поделимся.

Шаг 2. Если исходная функция при исходном угле положительна, то знак перед выражением после «отбрасывания» не меняется. Если отрицательная – меняется на противоположный (или, можно сказать, происходит домножение на –1). В какой четверти какая функция положительна/отрицательна лучше не заучивать (см. рисунок ниже), а ориентироваться на оси.

Да, почему ось Y – ось sin, а ось X – ось cos весьма легко понять, не заучивая этот факт. Вспомните определение, например, косинуса из геометрии: «прилежащий катет делить на гипотенузу». А теперь подставьте вместо прилежащего катета координату по оси X для треугольника, скажем, в 30° и вспомните, что в тригонометрической окружности r=1.

Вот и разобрались со всеми формулами. Ведь третий столбец в большом списке учить вообще не надо, как мы писали выше.

Конечно, ответ в этой статье получился сложнее, чем просто «учите вот этот и этот параграф наизусть», потому что изучать всегда сложнее, чем заучивать. Да еще и самостоятельно. Поэтому желаем вам найти преподавателя, который прислушается к вашим запросам и учтет индивидуальные особенности вашего стиля обучения. И – если у вас возникнут проблемы с запоминанием – сможет показать, как разобраться с любой сложной темой, не заучивая механически большие объемы материала наизусть.

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по профильной математике 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши онлайн-курсы. В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

Обложка поста: pixabay.com

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения 

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

.

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

5. Найдите значение выражения:  при

Применили формулу частного степеней

Ответ: 256.

6. Вычислите 

Ответ: 2.

7. Вычислите , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение Сначала упростим выражение.

Ответ: 4,5.

8. Вычислите

Применили формулу для произведения степеней:

Ответ: 12.

9. Вычислите

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

.

При этом > 0, > 0,

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

Логарифм частного равен разности логарифмов:

Формула для логарифма степени:

Формула перехода к новому основанию:

10. Вычислите: .

Снова формула перехода к другому основанию.

, поэтому

11. Найдите , если .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

.

14. Найдите значение выражения .

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите:

16. Найдите , если и .

Т.к. , то

17. Найдите , если и

Т.к. , то

18. Найдите значение выражения:

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение:

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

21. Вычислите , если

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
при .

Запомним:

.

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

при .

При получим:

Ответ: 12.

24. Найдите , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
.

25. Найдите , если , при .

— функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
.

Тогда при

, и значение выражения равно 1.