Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение.
Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о простейших тригонометрических уравнениях и
общие методы преобразования тригонометрических уравнениях к простейшим.
Примеры подробного решения >>
Введите тригонометрическое уравнение
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что ( -1 leqslant cos alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней.
Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где ( |a| leqslant 1 ), имеет на отрезке ( 0 leqslant x leqslant pi ) только один корень.
Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если a < 0, то в промежутке
( left( frac{pi}{2}; ; pi right] ).
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.
Определение Арккосинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( 0 leqslant alpha leqslant pi ), косинус которого
равен а:
( text{arccos}(a) = alpha ) если ( cos(alpha) =a ) и ( 0 leqslant alpha leqslant pi )
Все корни уравнений вида cos(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = pm text{arccos}(a) +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arccos}(-a) = pi — text{arccos}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что ( -1 leqslant sin alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней.
Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где ( |a| leqslant 1 ), на отрезке ( left[ -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right] ) имеет только один
корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если а < 0, то корень заключён
в промежутке ( left[ -frac{pi}{2}; ; 0 right) )
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
Определение Арксинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} ),
синус которого равен а:
( text{arcsin}(a) = alpha ), если ( sin(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} )
Все корни уравнений вида sin(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = (-1)^n text{arcsin}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )
Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arcsin}(-a) = — text{arcsin}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет
корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right) ) только один корень.
Если ( |a| geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right) ); если а < 0, то в
промежутке ( left( -frac{pi}{2}; ; 0 right) ).
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a
Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} ),
тангенс которого равен а:
( text{arctg}(a) = alpha ), если ( text{tg}(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} )
Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
( x = text{arctg}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )
Можно доказать, что для любого a справедлива формула
( text{arctg}(-a) = — text{arctg}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а.
К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение
различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos2(х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos2(х) на 1 — sin2(х), получаем
2 (1 — sin2(х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin2(х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; ( x = (-1)^n text{arcsin}(0,5) + pi n = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )
Решить уравнение 2 cos2(6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin2(6x) + cos2(6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin2(6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin2(6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
1) ( sin(6x) = 1 Rightarrow 6x = frac{pi}{2} +2pi n Rightarrow x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
2) ( sin(6x) = frac{1}{3} Rightarrow 6x = (-1)^n text{arcsin} frac{1}{3} +pi n Rightarrow )
( Rightarrow x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ;; x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы ( sin(x) = 2sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2}, ; cos(x) = cos^2 frac{x}{2} -sin^2 frac{x}{2} )
и записывая правую часть уравпения в виде ( 2 = 2 cdot 1 = 2 left( sin^2 frac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} right) ) получаем
( 4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} — sin^2 frac{x}{2} = 2sin^2 frac{x}{2} + 2cos^2 frac{x}{2} )
( 3sin^2frac{x}{2} -4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} = 0 )
Поделив это уравнение на ( cos^2 frac{x}{2} ) получим равносильное уравнение
( 3 text{tg}^2frac{x}{2} — 4 text{tg}frac{x}{2} +1 = 0 )
Обозначая ( text{tg}frac{x}{2} = y ) получаем уравнение
3y2— 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
1) ( text{tg}frac{x}{2} = 1 Rightarrow frac{x}{2} = frac{pi}{4} +pi n Rightarrow x = frac{pi}{2} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
2) ( text{tg}frac{x}{2} = frac{1}{3} Rightarrow frac{x}{2} = text{arctg}frac{1}{3} +pi n Rightarrow x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = frac{pi}{2} +2pi n, ;; x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a neq 0, ; b neq 0, ; c neq 0, ; c^2 leqslant b^2+c^2 )
можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt{a^2+b^2} ):
( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} sin(x) + frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} cos(x) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что
( cos varphi = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, ;; sin varphi = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} )
Такое число ( varphi ) существует, так как
( left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 + left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 = 1 )
Таким образом, уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
откуда
( sin(x+varphi) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
где ( varphi = text{arccos} left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right) ) или ( varphi = text{arcsin} left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right) )
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется
методом введения вспомогательного угла.
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, ( sqrt{a^2+b^2} = 5 ). Поделим обе части уравнения на 5:
( frac{4}{5}sin(x) + frac{3}{5}cos(x) = 1 )
Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что ( cos varphi = frac{4}{5}, ; sin varphi = frac{3}{5} )
Исходное уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = 1, ;; sin(x+varphi) = 1 )
откуда
( x+varphi = frac{pi}{2} + 2pi n, ;; varphi = text{arccos} frac{4}{5} )
( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель
sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )
2) ( 2 cos(x) -1 =0, ; cos(x) = frac12, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = pi n, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )
2) ( sin(3x) =0, ; x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
Заметим, что числа ( pi n ) содержатся среди чисел вида ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
Решить уравнение 6 sin2(x) + 2 sin2(2x) = 5
Выразим sin2(x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos2(x) — sin2(x), то
cos(2x) = 1 — sin2(x) — sin2(x), cos(2x) = 1 — 2 sin2(x), откуда
sin2(x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos2(2х)) = 5
2 cos2(2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
1) cos(2х) =0, ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )
2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет.
Ответ ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )
развернутъ клавиатуру »
| x^2 | x^{msquare} | log_{msquare} | sqrt{square} | nthroot[msquare]{square} | le | ge | frac{msquare}{msquare} | cdot | div | x^{circ} | pi |
| left(squareright)^{‘} | frac{d}{dx} | frac{partial}{partial x} | int | int_{msquare}^{msquare} | lim | sum | infty | theta | (f:circ:g) | H_{2}O |  |
График »
Номер Строки »
Challenge »
Примеры »
Правильный ответ 
Давай попробуем еще раз 
Try to further simplify
Относящееся
Номер Строки
График
Скрыть График »
Sorry, your browser does not support this application
Просмотр интерактивного графика >
Примеры
-
sin (x)+sin (frac{x}{2})=0,:0le :xle :2pi
-
cos (x)-sin (x)=0
-
sin (4theta)-frac{sqrt{3}}{2}=0,:forall 0letheta<2pi
-
2sin ^2(x)+3=7sin (x),:xin[0,:2pi ]
-
3tan ^3(A)-tan (A)=0,:Ain :[0,:360]
-
2cos ^2(x)-sqrt{3}cos (x)=0,:0^{circ :}lt xlt 360^{circ :}
trigonometric-equation-calculator
ru
В общем виде, тригонометрическое уравнение можно записать следующим образом:
f(trig(x)) = 0
где
— некоторая произвольная функция,
trig(x)
— некоторая тригонометрическая функция.
Как правило, метод решения тригонометрических уравнений заключается в преобразовании исходного уравнения к более простому, решение которого известно. Преобразования осуществляются при помощи различных
тригонометрических формул.
Например, рассмотрим решение тригонометрического уравнения:
Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем данное уравнение:
Полученное уравнение является простейшим и легко решается. Наш онлайн калькулятор, построенный на системе Wolfram Alpha способен решить более сложные тригонометрические уравнения с описанием подробного хода решения.
СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Тригонометрические уравнения
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 12 № 507595 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Аналоги к заданию № 507595: 500917 501709 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 12 № 510018
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 12 № 504543
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 504543: 504564 507292 510671 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 12 № 500366
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
4 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 12 № 509579
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 509579: 509926 509947 509968 515762 519665 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
(bullet) Стандартные тригонометрические уравнения:
[begin{array}{l|c|c}
hline text{Уравнение} & text{Ограничения} & text{Решение}\
hline &&\
sin x=a & -1leq aleq 1 & left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&x=arcsin a+2pi n\
&x=pi -arcsin a+2pi m
end{aligned}
end{gathered}
right. , n,min mathbb{Z}\&&\
hline &&\
cos x=a & -1leq aleq 1 & x=pm arccos a+2pi n, nin
mathbb{Z}\&&\
hline &&\
mathrm{tg}, x=a & ain mathbb{R} & x=mathrm{arctg}, a+pi n,
nin
mathbb{Z}\&&\
hline &&\
mathrm{ctg},x=a & ain mathbb{R} & x=mathrm{arcctg}, a+pi n,
nin
mathbb{Z}\&&\
hline
end{array}]
(bullet) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
[{large{begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline &&&&&\[-17pt]
& quad 0 quad (0^ circ)& quad dfrac{pi}6 quad (30^circ)
& quad dfrac{pi}4
quad (45^circ) & quad dfrac{pi}3 quad (60^circ)& quad dfrac{pi}2 quad
(90^circ) \
&&&&&\[-17pt]
hline sin & 0 ½&frac{sqrt2}2&frac{sqrt3}2&1\[4pt]
hline cos &1&frac{sqrt3}2&frac{sqrt2}2½&0\[4pt]
hline mathrm{tg} &0 &frac{sqrt3}3&1&sqrt3&infty\[4pt]
hline mathrm{ctg} &infty &sqrt3&1&frac{sqrt3}3&0\[4pt]
hline
end{array}}}]
(bullet) Основные формулы приведения:
[begin{aligned}
&sin left(dfrac{pi}2pm xright)=cos x\[2pt]
&sin (pipm x)=mp sin x\[2pt]
&cos left(dfrac{pi}2 pm xright)=pm sin x\[2pt]
&cos(pi pm x)=-cos x
end{aligned}]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что [mathrm{tg},x=dfrac{sin x}{cos x} quad text{и} quad mathrm{ctg},x=
dfrac{cos x}{sin x}]
(bullet) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
[begin{aligned}
cos(-x)&=cos x\
sin (-x)&=-sin x\
mathrm{tg},(-x)&=-mathrm{tg},x\
mathrm{ctg},(-x)&=-mathrm{ctg},x
end{aligned}]
Задание
1
#2786
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [sin alpha=1]
В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на (pi).
Данное уравнение равносильно серии корней [alpha=dfrac{pi}2+2pi
n,qquad ninmathbb{Z}.] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: [dfrac{pi}2+2pi n>0quadLeftrightarrowquad n>-dfrac14
quadRightarrow] наименьшее подходящее целое (n) — это (n=0), при котором получается (alpha=dfrac{pi}2).
Следовательно, в ответ пойдет [dfrac{pi}2divpi=dfrac12=0,5.]
Ответ: 0,5
Задание
2
#2785
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [sin y=0]
В ответе укажите целый корень уравнения.
Данное уравнение равносильно серии корней [y=pi n, qquad
ninmathbb{Z}.] Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при (n=0) и это (y=0) (все остальные корни будут вида целое число умножить на (pi), что является иррациональным числом).
Ответ: 0
Задание
3
#2793
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [mathrm{ctg}, pi x=0]
В ответе укажите наименьший положительный корень.
Данное уравнение равносильно [pi x=dfrac{pi}2+pi
nquadLeftrightarrowquad x=dfrac12+n, quad ninmathbb{Z}.] Найдем положительный корень, решив неравенство [dfrac12+n>0quadLeftrightarrowquad n>-dfrac12quadRightarrow] наименьшее (n=0), откуда (x=dfrac12).
Ответ: 0,5
Задание
4
#2791
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [mathrm{tg}, dfrac x6=sqrt3]
В ответе укажите наименьший корень, принадлежащий отрезку ([0;2pi]), деленный на (pi).
Данное уравнение равносильно [dfrac x6=dfrac{pi}3+pi
nquadLeftrightarrowquad x=2pi+6pi n, qquad ninmathbb{Z}.] Корни, принадлежащие отрезку ([0;2pi]), найдем, решив неравенство: [0leqslant 2pi+6pi nleqslant 2piquadLeftrightarrowquad
-dfrac13leqslant nleqslant 0] Целое (n), принадлежащее отрезку (left[-frac13;0right]), это (n=0). Следовательно, корень (x=2pi). Следовательно, в ответ пойдет (2).
Ответ: 2
Задание
5
#2792
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [sin x=dfrac{sqrt2}2]
В ответе укажите наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти, деленный на (pi).
Данное уравнение равносильно [x_1=dfrac{pi}4+2pi nquad
{small{text{и}}} quad x_2=dfrac{3pi}4+2pi m,quad
n,minmathbb{Z}.]
Видим, что в первой четверти лежит только серия (x_1=dfrac{pi}4+2pi n). Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство: [dfrac{pi}4+2pi n>0 quadLeftrightarrowquad
n>-dfrac18 quadRightarrow] наименьшее целое (n=0), при котором получаем корень (x=dfrac{pi}4). Следовательно, в ответ запишем (dfrac{pi}4div pi=dfrac14=0,25.)
Ответ: 0,25
Задание
6
#443
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения [sin{biggl(dfrac{pi}{9} xbiggr)} = dfrac{1}{2}.] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения (sin x = a) имеет вид: (x_1 = mathrm{arcsin}, a + 2pi n, x_2 = pi — mathrm{arcsin}, a + 2pi n, n in mathbb{Z}), откуда для исходного уравнения получаем [dfrac{pi}{9} x_1 = dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in mathbb{Z}, qquad dfrac{pi}{9} x_2 = pi — dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in mathbb{Z},] что равносильно (x_1 = 1,5 + 18n, n in mathbb{Z}), (x_2 = 7,5 + 18n, n in mathbb{Z}) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный (x = 1,5).
Ответ: 1,5
Задание
7
#2790
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Решите уравнение [mathrm{tg}, dfrac x3=1]
В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на (pi^2).
Данное уравнение равносильно [dfrac x3=dfrac{pi}4+pi
nquadLeftrightarrowquad x=dfrac{3pi}4+3pi n, qquad
ninmathbb{Z}.]
Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: [dfrac{3pi}4+3pi n<0quadLeftrightarrowquad
n<-dfrac14quadRightarrow] наибольший отрицательный корень получается при (n=-1) и это (x=-dfrac{9pi}4).
Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: [dfrac{3pi}4+3pi n>0quadLeftrightarrowquad
n>-dfrac14quadRightarrow] наибольший отрицательный корень получается при (n=0) и это (x=dfrac{3pi}4).
Тогда произведение, деленное на (pi^2), равно [-dfrac{9pi}4cdot dfrac{3pi}4divpi^2=-dfrac{27}{16}=-1,6875.]
Ответ: -1,6875
На этапе подготовки к ЕГЭ по математике старшеклассникам полезно повторить, как решать тригонометрические уравнения. Задания из данного раздела вызывают у учащихся определенные сложности, поэтому к ним необходимо отнестись с особым вниманием. Здесь вы можете ознакомиться с теорией, требующейся для выполнения упражнений, а также примерами с решениями тригонометрических уравнений. Обратите внимание, что подобные задания встречаются в аттестационных тестах довольно часто, поэтому пропускать повторение темы не стоит.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!
С помощью нашего образовательного портала занятия по математике будут проходить легко, и даже одни из самых сложных уравнений не вызовут особых затруднений. На сайте «Школково» представлены все необходимые для успешной сдачи ЕГЭ материалы.
Вся основная информация по теме использования функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) располагается в разделе «Теоретическая справка», куда вы можете перейти с помощью кнопки «Ознакомиться с полной теорией». Наши преподаватели систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме. Вы быстро найдете необходимые правило и формулу, и решение тригонометрических уравнений будет даваться максимально легко.
А в разделе «Каталоги» вы сможете попрактиковаться в выполнении заданий. Здесь вы найдете множество уравнений различной сложности, в том числе профильного уровня.
Если какое-либо задание вызвало у вас затруднения, его можно добавить в «Избранное» и вернуться к нему позже для повторения или обсуждения решения с преподавателем.
База «Школково» постоянно обновляется, поэтому недостатка в задачах не будет.
На нашем портале могут заниматься не только московские школьники, но и ученики из городов по всей России. Чтобы приступить к повторению данной темы, а также, например, решению логарифмических уравнений, зарегистрируйтесь на сайте shkolkovo.net. Для большей эффективности уроков рекомендуем ежедневные занятия на нашем портале.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ