Геометрические конструкции егэ

Часто встречающиеся геометрические конструкции в треугольнике, трапеции, окружностях

Мой подход в подготовки к ЕГЭ по математике заложен в программе, разбитую тематически на шесть модулей. В четвёртом модуле как раз рассматриваются подходы необходимые для решения задания №16 профильной части ЕГЭ по математике. Задание 16(C4) в КИМах ЕГЭ по математике- это планиметрическая задачка. Тематика этих задач охватывает разделы школьной программы по геометрии за 7-9 классы. Конечно, к 11 классу учащиеся многое забывают, поэтому задания C4 традиционно являются сложными. В данной статье я хочу рассказать о некоторых полезных фактах, которые помогают в решении 16(C4) и попутно рассказать о методе базовых задач в изучении геометрии.

Излагая материал в этой статье, я подразумеваю, что читатель знаком с понятием подобия и уже получил опыт использования его в решении планиметрических задач.  Сейчас я хочу рассмотреть две ситуации, которые часто выскакивают при решении задач по геометрии в C4, а также ряд полезных фактов из геометрии четырёхугольников и окружности .

Нахождение отношений отрезков (перенос пропорций в треугольнике)

Ситуация 1

Дан треугольник  . Проведём прямые :   и   . Пусть  — точка пересечения этих прямых.

Получившиеся отрезки создают четыре пропорции:  , ,  и 

Так вот важно, что зная любые две из них можно найти остальные.

Для этого необходимо выполнить дополнительные построения:  через одну из точек  провести прямую, параллельную либо сторонам треугольника, любо прямым  . Для иллюстрации сказанного решим небольшую задачку:

Пусть  =n. Найдём :      . Для этого проведём прямую 

 

Из подобных треугольников:  и  имеем 

=

   +1 ⇒    

⇒ *( ⇒

Окончательно получаем: 

Для нахождения   проведём 

Из подобия треугольников:   имеем

Окончательно имеем:

 

Аналогичный результата можно получить, если провести прямую через или же через точку  Рекомендую читателю в этом убедиться самостоятельно, а также задать по очереди другие два соотношения и найти оставшиеся.  А сейчас рассмотрим вторую ситуацию.

Пусть дан треугольник  

Такая ситуацию порождает три соотношения: . Так вот, зная любые два из этих соотношений, всегда можно найти третье. 

 

В принципе, эта ситуация легко переходит в первую, если рассмотреть треугольник     . Но для пополнения и отработки навыков решения задач через пропорции рекомендуется провести соответствующие  дополнительные геометрические построения и решить задачу независимо от первой ситуации. Итак, пусть 

Обозначим  . Проведём прямую  .

 

Тогда из подобия треугольников  

Можем записать следующие соотношения: 

И окончательно

Решив это уравнение, найдём, что  

Полезные следствия параллельности сторон четырёхугольника(трапеции, параллелограмма и т.д.)

 

Биссектрисы односторонних углов рождают два типа хороших треугольника:    и  . Действительно, 

Второй факт докажем так: = ⇒ .

Важные факты по трапеции

  1.Точка пересечения диагоналей трапеции делит пополам отрезок, проходящей через  эту точку параллельно основаниям

1. Пусть дана трапеция  . Проведём диагональ  и прямую    Тогда сумма коэффициентов подобия треугольников   равна единицы.
2. . Пусть дана трапеция  . Проведём диагонали . Тогда площади треугольников 
3. (Четыре замечательные точки трапеции) точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

 

Докажу я этот факт, так как в учебниках я не встречал чёткого и понятного доказательства. Итак… Докажем, что точка O лежит на отрезке NK.  Предположим, что это не так, то есть имеет место быть картинка

 

Продолжим   до пересечения с  .

Тогда из подобия треугольников: 

Имеем

Следовательно, середины оснований трапеции и точка пересечения её диагоналей лежит на одной прямой. Докажем, что этой же прямой принадлежит и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. В самом деле, предположим, что это не так, то есть имеет место быть картинка ниже:

 

Тогда из подобия треугольников: 

имеем 

.

Следовательно, точка пересечения продолжения боковых сторон лежит на той же прямой, что и середины оснований трапеции и точка пересечения её диагоналей.  Таким образом, утверждение о четырёх замечательных точках трапеции полностью доказано.

Важные факты по окружности

Вписанный и центральный угол

Определение:

Вписанный угол- это угол вершина которого лежит на окружности; центральный угол- это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Их градусные меры связаны. Кроме того, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности прямой(см. картинку ниже).

 

Хорда, касательная и секущая

 

Из фактов на этой картинке следует полезные соотношения ниже:

Задачи с двумя окружностями

Окружность стала довольно типичным геометрическим элементом в заданиях 16(C4) ЕГЭ по математике. Окружность в них фигурирует либо как описанная(вписанная) в треугольник, четырёхугольник или многоугольник,  а также как самостоятельный элемент задачи. Как показал опыт, учащиеся не очень любят задачи на окружность. А если их несколько, да ещё они находятся в треугольники или четырёхугольнике, то такая задача становится неподъёмной для большинства одинадцатиклассников.

Для успешного решения таких задач необходимо знать факты, уверенно работать с треугольниками или же четырёхугольниками(многоугольниками), а также рекомендуется разобраться со случаями изложенными ниже.

Если в задачи используется несколько окружностей, то задачу можно свести к одному из случаев:

Касание, пересечение, непересечение, концентрические окружности.

Касание окружностей

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют одну общую точку. Существуют два типа касания окружностей: внешнее и внутреннее.

На рисунке выше изображено внешнее и внутреннее касание двух окружностей,  а также через точку внешнего касания проведена общая касательная.

Определения:

Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей называется линией центров (прямые   на картинке). Точка касания принадлежит линии центров. Прямая, проходящая через точку касания двух окружностей внешним образом, перпендикулярна линии центров (  на картинке).

Далее на картинке ниже показаны две ситуации, которые часто возникают в задачках.  На первой картинке показано, что в случае внешнего касания имеют место быть две общие касательные.  Причём рождаются два прямоугольных треугольника и вокруг одного из них можно описать окружность. Конструкция, изображённая на второй картинке,  даёт два подобных треугольника, что при решении конкретных задач значительно упрощает выкладки.

 

Пересечение окружностей

Рассмотрим ряд важных фактов, которые полезно знать в случае когда две окружности имеют две общие точки, то есть пересекаются(см. картинку).

Далее рассмотрим два простых факта, которые очевидны, но при решении конкретных задач их почему-то не видят.

 

Пусть даны две пересекающиеся окружности(см. картинку). Зададим произвольную точку A и проведём из неё две касательные  и две секущие  . Тогда по теореме о секущей и касательной имеем соотношения:

Далее, используя ту же теорему имеем

Таким образом, получаем следующие подобные треугольники:

Непересекающиеся окружности

Рассмотрим теперь случай, когда две окружности на плоскости не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Сразу нужно отметить, что этот случай довольно общий и, в принципе, не имеет готовых алгоритмов или же интересных особенных случаев. Поэтому решение таких задач сводится к отысканию хороших треугольников,  стороны которых являются касательными, секущими и т.д., и применяют рассмотренные ранее теоремы.  Вот типичная картинка, которая возникает при решении таких задач.

 

На этой картинке можно углядеть следующие полезные факты( кстати, сразу обратите внимание, что точки   лежат на одной прямой):

Концентрические окружности

Окружности называются концентрическими, если они не пересекаются, но имеют один центр.

Вот типичная картинка, которая возникает при решении задач на концентрические окружности.

Думаю, если мой читатель внимательно посмотрит на эту картинку, то поймёт, что в этом случае, как и в предыдущем возникает куча треугольников из секущих и касательных, поэтому этот случай решается используя факты из геометрии треугольника и окружностей.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

7 февраля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов).

Традиционная задача по стереометрии, связанная с нахождением длин, площадей (в том числе площадей сечений многогранников и тел вращения), углов (между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанных с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром.

Не зная основных определений и признаков (параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей, скрещивающихся прямых), нет смысла браться за задание 13.

→ zadanie_13m.pdf
→ Пособие автора (типовые задания С2).

Типичные ошибки при решении задания 13

Типичные ошибки участников экзамена связаны в первую очередь с неверным пониманием логики построения доказательства. Например, доказательство пункта а задания 13 часто начинается так:

«Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда …» — в случае, когда нужно доказать, что треугольник прямоугольный;

«Пусть прямые параллельны…» — в случае, когда нужно доказать параллельность прямых. И т. д.

Многие участники экзамена неверно применяют признаки:

→ параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей, скрещивающихся прямых;

→ демонстрируют непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции.

При выполнении второго пункта участники:

→ допускают ошибки в геометрических формулах (например, в формулах для вычисления объемов);

→ не считают нужным доказывать неочевидные геометрические утверждения, используемые в решение.

Кроме этого участники экзамена допускают большое количество ошибок при построении чертежа.

Автор: Прокофьев Александр Александрович.

Планиметрия

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
7. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Параллелограмм

$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB·AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB·DB$

$AC^2=AB·AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC·CB=AB·CD$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Вневписанные окружности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$S$ — площадь треугольника;

$p$ — полупериметр треугольника;

$a, b, c$ — стороны треугольника;

$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

$r_a={S}/{p-a};$

$r_b={S}/{p-b};$

$r_c={S}/{p-c}.$

Биссектриса

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$

Медиана

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

$S_1=S_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$

Высота

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$BB_1$ — высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆АА_1 В~∆СС_1В;$

$∆АС_1 М~∆СМА1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$