Георг кантор сочинения

Открытый архив
»
Фонды
»
Фонд А.И.Фета
»
Коллекции фонда А.И.Фета
»
Переводы книг и статей, выполненные А.И.Фетом
»
А.И.Фет. Перевод собрания сочинений Георга Кантора

А.И.Фет. Перевод собрания сочинений Георга Кантора

Перевод сделан А. И. Фетом с издания: Georg Cantor, Ernst Zermelo, ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts, mit erläuternden anmerkungen sowie mit ergänzungen aus dem briefwechsel Cantor-Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932. (Георг Кантор. Собрание сочинений математического и философского содержания. Издано под редакцией и с примечаниями Э.Цермело. Berlin: Springer, 1932). Издание включает почти всё, что написано Кантором. Кроме того, в приложении представлены 5 писем из переписки Кантора с Дедекиндом и биография Кантора, написанная А.Френкелем. Перевод сделан в 1969–1970 годах, для заработка, так как в 1968 году, после подписания письма в защиту незаконно осужденных, А.И.Фет был изгнан с работы. Договор на перевод был заключен с московским издательством Физматлит на имя А.В.Гладкого, поскольку АИ не имел права ни на какую работу. Когда перевод уже был готов и издательство начало работать над книгой, она была отвергнута комиссией Понтрягина (не перевод, а сама книга Кантора). В своем «Жизнеописании» Понтрягин об этом пишет так: «Я пришёл к заключению, что сочинения Кантора вообще издавать не следует, поскольку привлекать внимание молодых математиков к теории множеств в настоящее время неразумно. Теория множеств, очень популярная во времена Лузина, в настоящее время уже утратила актуальность. Моё предложение было принято группой, и книга была отвергнута. Секция с нами согласилась сразу, и это несмотря на то, что перевод сочинений Кантора уже был сделан! Так что пришлось его оплатить». Лев Семенович ошибается – перевод не был оплачен. Машинописный текст 536 листов, 536 стр. Все формулы, вставки и цветные пометы для издательства сделаны рукой А.И.Фета. Коллекция представлена четырьмя документами: 1.Перевод трудов Кантора стр. 1–282. 2.Перевод трудов Кантора стр. 283–467. 3.Приложение: Из переписки Кантора с Дедекиндом (468–483). А.Френкель «Жизнь Георга Кантора» (484–536). 4.Примечание А.В.Гладкого к примечанию Цермело.

Подколлеций: 0 | Документов: 4

Коллекция содержит документы

Дата	Название документа	Автор  =>  Адресат
1969	А.И.Фет. Перевод собрания сочинений Георга Кантора. Машинопись стр. 1–282 Машинописный текст с рукописными вставками А.И.Фета. Стр. 1–282	Фет Абрам Ильич, Кантор Георг =>
1969	А.И.Фет. Перевод собрания сочинений Георга Кантора. Приложение Приложение включает в себя: Пять писем из переписки Кантора с Дедекиндом (стр.	Кантор Георг, Френкель Абрахам, Фет Абрам Ильич => Дедекинд
1969	А.И.Фет. Перевод собрания сочинений Георга Кантора. Рукопись стр. 283–467 Машинописный текст с рукописными вставками А.И.Фета, стр.283–467.	Фет Абрам Ильич, Кантор Георг =>
1972	Примечание А.В.Гладкого к примечанию Э.Цермело Примечание Гладкого написано в 1972 году. Оно относится к примечанию Цермело,	Гладкий Алексей Всеволодович =>

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Кантор.

Гео́рг Ка́нтор
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Георг Кантор
Дата рождения:	19 февраля (3 марта) 1845
Место рождения:	Санкт-Петербург
Дата смерти:	6 января 1918 (72 года)
Место смерти:	Галле, Германия
Страна:	Германская империя
Научная сфера:	математика
Место работы:	Галльский университет
Альма-матер:	Берлинский университет
Научный руководитель:	Эрнст Куммер, Карл Вейерштрасс
Известен как:	создатель теории множеств
Награды и премии	Медаль Сильвестра

Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал.^[1]

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнулась на резкую критику со стороны математиков-современников, в частности, Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре^[2]; позднее — Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философского плана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы (особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога^[3], приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.^[4] Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку^[5]; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи»^[6]. Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное».^[7] Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию,^[8] но сейчас считается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярного расстройства.^[9]

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать.^[10] Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше.^[11] В своё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор»^[12].

Биография

Юные годы и учёба

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Оба родителя были евреями: отец Георг-Вольдемар Кантор — португальский еврей и датский подданный, мать Марианна Бойм — племянница известного венгерско-российского скрипача Иосифа Бойма. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне — Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас, — очень важного центра математической мысли. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Учёный и исследователь

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.

Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском — в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь.^[13] Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор,^[14] воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков.^[15] Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, — без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.

В 1881 году Эдуард Гейне, коллега Кантора, умер, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.

В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, как следствие отказа последнего от должности в Галле.^[16] В то же время Кантор установил другую важную переписку, с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати.^[17] Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком:

Согласно Миттаг-Лиффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об «Acta mathematica».

Оригинальный текст  (англ.)  

Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which to me seemed too great a demand! … But of course I never want to know anything again about Acta Mathematica.^[18]

Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.

Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году.^[19] Критика его работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написал Маттаг-Леффлёру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. Сейчас я не могу абсолютно ничего делать с ней, и ограничил себя лишь самым необходимым занятием — чтением лекций; насколько бы я был счастливее быть активнее в научном плане, если бы только у меня была необходимая свежесть мыслей.

Оригинальный текст  (англ.)  

…I don’t know when I shall return to the continuation of my scientific work. At the moment I can do absolutely nothing with it, and limit myself to the most necessary duty of my lectures; how much happier I would be to be scientifically active, if only I had the necessary mental freshness.^[20]

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон (см. Вопрос авторства Шекспира); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в двух проспектах 1896 и 1897 годов.^[21]

Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, свои знаменитые диагональный аргумент и теорему. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874—1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз — маниакально-депрессивный психоз.^[9]

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Объекты, названные в честь Кантора

• Канторово множество — континуальное множество нулевой меры на отрезке;
• Функция Кантора (Канторова лестница);
• Нумерующая функция Кантора — отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
• Теорема Кантора (см. также Теорема Кантора (значения)) о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
• Теорема Кантора — Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
• Теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
• Теорема Кантора — Бендиксона
• Медаль Кантора — математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
• а также другие математические объекты.

Сочинения

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
• Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985.

Примечания

Литература

• Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков: Основа, 1991, 128 с.
• Флоренский П. А. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора). // Сочинения в 4 т. М., 1994—1999, т. 1, с. 79-128.
• Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М., 1999.
• Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
• Manfred Stern. Memorial places of Georg Cantor in Halle // The Mathematical Intelligencer. Vol. 10, no. 3 (1988), 48—49.

Ссылки

• Даубен Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств. В МИРЕ НАУКИ (Scientific American · Издание на русском языке), № 8, Август 1983, С. 76-86.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп (англ.) в архиве MacTutor.

Гео́рг Ка́нтор
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Георг Кантор
Дата рождения	19 февраля (3 марта) 1845
Место рождения	Санкт-Петербург
Дата смерти	6 января 1918 (72 года)
Место смерти	Галле, Германия
Страна	Германская империя
Научная сфера	математика
Место работы	Галльский университет
Альма-матер	Берлинский университет
Учёная степень	доктор философии[1] (1867) и хабилитация (1869)
Научный руководитель	Эрнст Куммер, Карл Вейерштрасс
Известен как	создатель теории множеств
Награды и премии	Медаль Сильвестра (1904)
Гео́рг Ка́нтор на Викискладе

Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков.

Кантор впервые определил сравнение произвольных множеств, включая бесконечные, по их «мощности» (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята как нарушение многовековых традиций, заложенных ещё древними греками и отрицающих актуальную бесконечность как легальный математический объект. Со временем канторовская теория множеств была поставлена на аксиоматическую основу и стала краеугольным камнем в современном построении оснований математики, на неё опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и многие другие разделы математики.

Биография

Ранние годы и обучение

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до одиннадцатилетнего возраста. Отец — Георг-Вальдемар Кантор (ок. 1813, Копенгаген — 1863, Франкфурт) — происходил из осевших в Амстердаме португальских евреев и был датским подданным^[2]. Двоюродный брат отца — известный русский юрист-цивилист Д. И. Мейер^[3]. В российских документах Георг-Вольдемар Кантор именовался Егором Яковлевичем Кантором.</ref>; мать — Мария-Анна Бём (1819, Санкт-Петербург — 1896, Берлин) — племянница известного венгерско-российского скрипача Йозефа Бёма. Дед математика по матери, Франц Бём (1788—1846), тоже был скрипачом.

Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт.

В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете — крупнейшего центра математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Начало научной деятельности (1869—1878)

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занял место в Галльском университете Мартина Лютера, где и прошла вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел. В 1872 году Кантор познакомился с Рихардом Дедекиндом, ставшим его близким другом и единомышленником. Многие идеи Кантора обсуждались в переписке с Дедекиндом.

В статье 1872 года Кантор дал вариант обоснования теории вещественных чисел. В его модели вещественное число определяется как класс фундаментальных последовательностей рациональных чисел^[4]. В отличие от ранее общепринятого ньютоновского определения из «Универсальной арифметики», канторовский подход был чисто математическим, без ссылок к геометрии или иным измерительным процедурам. Другую версию, также чисто математическую, опубликовал в том же году Дедекинд (она была основана на «дедекиндовых сечениях», см. Конструктивные способы определения вещественного числа)^[5].

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в «Журнале Крелле» статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше (по совету Вейерштрасса этот революционный вывод был в статье смягчён)^[6].

Кантор получил звание внештатного профессора в 1872 году, а в 1879 году стал полным профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском — в то время ведущем университете Германии, однако его теории встречают серьёзную критику, и переход в другое место осуществить не удалось^[7].

В 1877 году Кантор получил поразительный результат, который сообщил в письме Дедекинду: множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность (континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Заодно он сформулировал и безуспешно пытался доказать «континуум-гипотезу». Первая статья Кантора с изложением этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась «К учению о многообразиях» (термин многообразие Кантор позже заменил на множество). Публикация статьи не раз откладывалась по требованию возмущённого Кронекера, возглавлявшего кафедру математики Берлинского университета^[8]. Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят неконструктивный характер, без построения конкретных примеров; понятие актуальной бесконечности Кронекер считал абсурдным.

Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета. Сам Кантор придерживался того же мнения, что и большинство современных нам математиков: любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим^[9].

Конфликты вокруг теории множеств (1878—1889)

Канторовская теория множеств натолкнулась на резкую критику со стороны ряда известных математиков-современников — Анри Пуанкаре^[10]; позднее — Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра (см. Споры о теории Кантора^[en]). Они напоминали, что до Кантора все корифеи математики, от Аристотеля до Гаусса, считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием^[11]. Положение усугубило обнаружение в первой версии теории множеств губительных противоречий. Критика была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл «канторизм» тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся^[12]; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи»^[10].

Резкой критике со стороны части видных математиков противостояли всемирная известность и одобрение других. В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду — медаль Сильвестра^[13]. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше^[14]. Бертран Рассел оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи», а Давид Гильберт назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором»^[15].

В 1881 году умер коллега Кантора Эдуард Гейне, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенса (именно в таком порядке), но, к большому огорчению Кантора, все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин^[en]. В 1882 году общение Кантора с Дедекиндом прекратилось — вероятно, вследствие обиды на отказ последнего от должности в Галле^[16].

В 1883 году Кантор опубликовал ключевую в своём творчестве статью «Основы общего учения о многообразиях». В это же время он начал активную переписку с видным математиком того времени — Гёстой Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и вскоре начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати^[17], и попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Отозвать статью Кантор согласился, но никогда больше в Acta Mathematica не публиковался^[18][19] и резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером. У Кантора начался первый период депрессии, и на протяжении более чем пяти лет Кантор ничего не публиковал, кроме нескольких статей философского плана, ограничиваясь преподавательской деятельностью^[20].

Последние годы (1889—1918)

Вскоре после восстановления (1889) Кантор сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, доказал диагональным методом несчётность множества всех подмножеств натуральных чисел, однако так и не достиг того же высокого уровня продуктивности, какой у него был в 1874—1884 годах. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Тем временем часть математиков, особенно молодые, приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем. Среди них — Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн, Анри Лебег, Феликс Клейн, Адольф Гурвиц, Эрнст Цермело, Н. Н. Лузин и другие.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем на его первом съезде в Галле в 1891 году; в то время его репутация была весьма устойчива даже несмотря на оппозицию Кронекера, в итоге Кантор был избран первым президентом общества. Кантор пригласил Кронекера выступить с докладом, но тот не смог принять предложение по причине трагической гибели своей жены.

Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию^[21], но сейчас считается, что эти приступы, вероятнее всего, были развитием душевной болезни^[10].

В статье 1892 года впервые появился знаменитый диагональный метод Кантора^[en]. Последней работой, своеобразным завещанием учёного стала статья «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897). Это одна из самых известных работ Кантора, в ней, в дополнение к предыдущим результатам теории множеств, строится иерархия алефов^[22].

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия — парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. Кантор выразил мнение, что в теории множеств следует проводить различие между двумя типами понятий — трансфинитными и абсолютными («недоступными», как он выразился), из них только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению. Гильберта эта метафизика не убедила, по его мнению, неразрешимых математических задач нет и быть не может. Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее, впрочем, общепринятым) было найдено только 30 лет спустя, после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую, исключившую «недоступные» множества из числа легальных понятий^[23].

В декабре 1899 года у Кантора умер 13-летний сын. Душевная болезнь Кантора обострилась, почти готовая третья часть статьи «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» так и не была завершена. До 1913 года Кантор продолжал преподавание в университете (время от времени делая длительные перерывы на лечение), затем вышел на пенсию. Его интересы после 1899 года касались в основном философии Лейбница и вопроса об авторстве шекспировских пьес, которым Кантор увлекался уже много лет.

Георг Кантор умер 6 января 1918 года от сердечного приступа в психиатрической лечебнице города Галле.

Некоторые объекты, названные в честь Кантора

• Кантор — ударный кратер на обратной стороне Луны.
• Канторово множество — континуальное множество нулевой меры на отрезке;
• Медаль Кантора — математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
• Нумерующая функция Кантора — отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
• Теорема Кантора о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
• Теорема Кантора — Бендиксона
• Теорема Кантора — Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
• Теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
• Функция Кантора (Канторова лестница);

Сочинения

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
• Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 431 с. — (Классики науки). (недоступная ссылка)

Примечания

Литература

На русском:

• Боголюбов А. Н. Кантор Георг // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Изд. иностранной литературы, 1963.
• Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. — М.: Мартис, 1999. — 207 с. — 1500 экз. — ISBN 5-7248-0067-5.
• Пиньейро, Густаво Эрнесто. Бесчисленное поддаётся подсчёту. Георг Кантор. Бесконечность в математике // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 30. — ISSN 2409-0069.
• Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор / Пер. с нем. Н. М. Флайшера. — Харьков: Основа, 1991. — 128 с.
• Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2012. — 349 с. — ISBN 978-5-9227-0360-4.
• Флоренский П. А. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора) // Сочинения в 4-х томах: Том 1. — М.: Мысль, 1994. — С. 79—128. — (Философское наследие: т. 122). — ISBN 5-244-00241-4.

На английском:

• Dauben J. W. Georg Cantor: his Mathematics and Philosophy of the Infinite. — Cambridge (Massachusets): Harvard University Press, 1979. — 404 p. — ISBN 9780674348714.
• Dauben J. W. Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory. — Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), pp. 1–22. — 2004.
• Grattan-Guinness I. Towards a Biography of Georg Cantor // Annals of Science. — 1971. — Vol. 27. — P. 345—391. — DOI:10.1080/00033797100203837.
• Stern M. The mathematical tourist: Memorial places of Georg Cantor in Halle // The Mathematical Intelligencer. — Springer-Verlag, 1988. — Vol. 10. — P. 48—49. — ISSN 0343-6993. — DOI:10.1007/BF03026642.

Ссылки

• Даубен Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // В мире науки (Scientific American, изд. на русском языке). — 1983. — № 8 (август). — С. 76—86.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Кантор, Георг (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• профиль автора в базе данных zbMATH

Немецкий математик XIX и XX веков

Георг Кантор
Родился	Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор. (1845-03-03) 3 марта 1845 года. Санкт-Петербург, Российская Империя
Умер	6 января 1918 (1918-01-06) (72 года). Галле, провинция Саксония, Германская империя
Национальная	немец
Alma mater	Швейцарский федеральный политехнический институт Берлинский университет
Известен	теорией множеств
Супруги	Валли Гуттманн ​(m.1874) ​
Награды	Медаль Сильвестра (1904)
Научные карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Галле
Диссертация	De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867)
Консультант	Эрнст Куммер Карл Вейерштрасс

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (, Немецкий: ; 3 марта [OS 19 февраля] 1845 г. — 6 января 1918 г.) был немецким математиком. Он создал теорию множеств, которая стала фундаментальной теорией в математике. Кантор установил важность взаимно-однозначного соответствия между элементами двухств, определил бесконечные и хорошо упорядоченные множества и доказал, что действительные числа более многочисленны, чем натуральные числа. Фактически канторовский метод доказательства этой теоремы подразумевает существование бесконечности бесконечностей. Он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. Работа Кантора представляет большой философский интерес, и этот факт он хорошо знал.

Теория Кантора о трансфинитных чисел изначально считалась противоречащей интуиции — даже шокирующей, — что она столкнулась с сопротивление со стороны современников-математиков, таких как Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре, а затем от Германа Вейля и Л. Э. Дж. Брауэр, а Людвиг Витгенштейн выдвинул философские возражения. Кантор, набожный лютеранин, полагал, что теория была передана ему Богом. Некоторые христианские богословы (особенно нео-схоластики ) видели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога — однажды приравняв теориюфинитных чисел с пантеизм — предложение, которое Кантор решительно отверг.

Возражения против работы Кантора иногда были резкими: публичное противодействие и личные нападки Леопольда Кронекера включали в себя описание Кантора как «научного шарлатана», «ренегата» и «развратника молодежи». «. Кронекер результатов возражал против доказательств Кантора, что алгебраические числа неисчислимы, а трансцендентные числа неисчислимы, и теперь включены в стандартную учебную программу по математике. Спустя десятилетия после смерти Кантора Витгенштейн сетовал на то, что математика« насквозь пронизана пагубными идиомами теории множеств », которые он отверг как «полнейшую чепуху», которая является «смешной» и «неправильной». Периодические приступы депрессии Кантора с 1884 года до конца его жизни были списаны на враждебное отношение его многих современников, хотя некоторые объясняли эти эпизоды вероятными проявлениями биполярного В 1904 году Королевское общество наградило Кантора медалью Сильвестра, высшей наградой, которое оно может дать за работу в области математики. Дэвид Гильберт защитил его от критиков, заявив, что, «Никто не должен изгнать нас из рая, созданного Кан. тором »

Содержание

• 1 Жизнь Георга Кантора
  • 1.1 Молодежь и учеба
  • 1.2 Учитель и исследователь
  • 1.3 Последующие годы и смерть
• 2 Математические работы
  • 2.1 Теория чисел, тригонометрические ряды и ординалы
  • 2.2 Теория множеств
    • 2.2.1 Однозначное соответствие
    • 2.2.2 Гипотеза континуума
    • 2.2.3 Абсолют бесконечная, упорядоченная теорема и парадоксы
• 3 Философия, религия, литература и математика Кантора
• 4 Родословная Кантора
• 5 Биографии
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Библиография
  • 9.1 Основная литература на английском языке
  • 9.2 Основная литература на немецком языке
  • 9.3 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Жизнь Георга Кантора

Молодежь и учеба

Кантор, около 18 70

Георг Кантор родился в 1845 году в западной купеческой колонии в Санкт-Петербурге, Россия, и рос в городе до одиннадцати лет. Георг, старший из шести детей, считался выдающимся скрипачом. Его дед (1788–1846) (брат скрипача Йозефа Бёма ) был известным музыкантом и солистом русского императорского оркестра. Отец Кантора был членом Санкт-Петербургской фондовой биржи ; когда он заболел, семья переехала в Германию в 1856 году, сначала в Висбаден, затем в Франкфурт, ища более мягкие зимы, чем в Санкт-Петербурге. В 1860 году Кантор с отличием окончил Realschule в Дармштадте ; были отмечены его исключительные математические способности, в частности тригонометрия. В августе 1862 года он окончил Höhere Gewerbeschule Darmstadt, ныне Technische Universität Darmstadt. В 1862 году Кантор поступил в Швейцарский федеральный политехнический институт. Получив значительное наследство после смерти в июне 1863 года, Кантор перешел учебу в Берлинский университет, посещая лекции Леопольда Кронекера, Карла Вейерштрасса и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провел в Геттингенском университете, затем а затем в центре математических исследований. Кантор был хорошим учеником и получил докторскую степень в 1867 году.

Учитель и исследователь

Кантор представил свою диссертацию по теории чисел в Берлинском университете в 1867 году. После недолгого обучения в берлинской школе для девочек, Кантор устроился на работу в Университет Галле, где и провел всю свою карьеру. Он получил специальную квалификацию за свою диссертацию, в том числе по некоторым числам, которые он представил в 1869 году после назначения в университет Галле.

. В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн. У них было шестеро детей, последний из которых (Рудольф) родился в 1886 году. Кантор смог семью, несмотря на скромную академическую зарплату, благодаря наследству от отца. Во время своего медового месяца в горах Гарца Кантор провел много времени в математических дискуссиях с Ричардом Дедекиндом, с которым он познакомился двумя годами ранее во время отпуска в Швейцарии.

Кантор получил звание экстраординарного профессора в 1872 году и стал полным профессором в 1879 году. Достижение последнего звания в возрасте 34 лет было заметным достижением, но Кантор хотел кафедру по более высокой цене. престижный университет, в частности в Берлине, в то время ведущий немецкий университет. Однако его работа встретила слишком много возражений, чтобы это было возможно. Кронекер, смертельная математика в Берлине до своей в 1891 году, чувствовал себя все более и более неудобно в связи с перспективой иметь Кантора в качестве коллеги, воспринимая его как «развратника молодежи» за то, что он обучал своим идеям молодое поколение математиков. Что еще хуже, Кронекер, авторитетная фигура в математическом сообществе и бывший профессор Кантора, принципиально не согласен с публикацией первой крупной публикации Кантора в 1874 году. основатели конструктивной точки зрения в математике не любили теорию множеств Кантора, потому что она утверждала существование множеств, удовлетворяющих определенным свойствам, не приводя конкретных множеств, которые действительно удовлетворяли этим свойствам. Всякий раз, когда Кантор подавал заявку на должность в Берлине, ему отказывали, и это касалось Кронекера, поэтому Кантор пришел к выводу, что позиция Кронекера обычно не позволит ему когда-либо покинуть Галле.

В 1881 году коллега Кантора из Галле Эдуард Гейне умер, оставив свободное кресло. Галле принял предложение Кантора предложить его Дедекинду, Генриху М. Веберу и Францу Мертенсу, в таком порядке, но каждый отказался от кресла после того, как ему предложили. В конце концов был назначен Фридрих Вангерин, но он никогда не был близок с Кантором.

В 1882 году математическая переписка между Кантором и Дедекиндом подошла к концу, по-видимому, в результате того, что Дедекинд отказался от кафедры в Галле. Кантор также начал другую переписку с Гёста Миттаг-Леффлер в Швеции и вскоре начал публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера Acta Mathematica. Но в 1885 году Миттаг-Леффлер был оскорбен философской сущностью и новой терминологией в статье, которую Кантор представил Acta. Он попросил Кантора забрать бумагу из Акты, пока она находится в доказательстве, написав, что это «… примерно на сто лет раньше». Кантор подчинился, но затем прервал свои отношения и переписку с Миттаг-Леффлер, написав третьему лицу: «Если бы Миттаг-Леффлер добился своего, мне пришлось подождать до 1984 года, что мне казалось слишком большим требованием!»… Но, конечно, я никогда больше не хочу больше ничего знать об Acta Mathematica ».

Кантор пережил свой первый известный приступ депрессии в мае 1884 года. Критика его работы тяготила его мысли: каждый из пятидесяти- В двух письмах, которые он написал Миттаг-Леффлеру в 1884 году, упоминается Кронекер. Отрывок из одного из этих писем показывает ущерб, нанесенный Кантору уверенности в себе:

… Не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. В настоящий момент я абсолютно ничего не могу с этим поделать и ограничиваюсь самой обязанностью моих лекций; насколько я был бы счастливее, если бы был активным в науке, если бы у меня была необходимая ментальная свежесть.

Этот кризис заставил его обратиться к лекциям по философии, а не по математике. Он также начал интенсивное изучение елизаветинской литературы, думая, что могут быть доказательства того, что Фрэнсис Бэкон написал пьесы, приписываемые Уильяму Шекспиру (см. вопрос об авторстве Шекспира ); в конечном итоге это привело к появлению брошюр, опубликованных в 1896 и 1897 годах.

Вскоре после этого Кантор выздоровел и внес важный вклад, в том числе свой диагональный аргумент и теорему. Однако он больше никогда не достиг высокого уровня своих замечательных работ 1874–1884 годов, даже после смерти Кронекера 29 декабря 1891 года. В конце концов он искал и достиг примирения с Кронекером. Тем не менее философские разногласия и разделявшие их трудности сохранялись.

В 1889 году Кантор показал себя роль в основании Немецкого математического общества и председатель на его первом собрании в Галле в 1891 году, где он впервые представил свой диагональный аргумент; его репутация была избранным первым президентом этого общества, что он был избран первым президентом этого общества. Кронекер не смог этого сделать, потому что его жена умирала от травм, полученная в то время во время катания на лыжах. Георгий Кантор также первый роль в учреждении Международного конгресса математиков, который проводился в Цюрихе, Швейцария, в 1897 году.

Более поздние годы и смерть

Госпитализации Кантора в 1884 году, никаких записей, что он снова был в каком-либо санатории до 1899 года. Вскоре после этой второй госпитализации младший сын Кантора Рудольфно скончался 16 декабря (Кантор читал лекцию о своих взглядах на теория Бэкона и Уильям Шекспир ), и эта трагедия лишила Кантора большей части его страсти к математике. Кантор снова был госпитализирован в 1903 году. Год спустя он был возмущен и взволнован докладом представленным Юлиусом Кенигом на Третьем Международном математическом конгрессе. В статье предпринята попытка доказать ложность основных положений теории трансфинитных множеств. Кантор чувствовал себя публично общеженным. Хотя Эрнст Цермело менее чем через день проявал, что доказательство Кенига провалилось, Кантор был потрясен и на мгновение задал вопрос Богу. Кантор всю оставшуюся жизнь страдал от хронической депрессии, из-за чего его несколько раз освобождали от преподавания и неоднократно помещали в различные санатории. Событиям 1904 года предшествовала серия госпитализаций с интервалом в два-три года. Однако он не отказался от математики полностью, читая лекции о парадоксах теории множеств (парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора и парадокс Рассела ) на встрече из Deutsche Mathematiker- Vereinigung в 1903 году и участие в Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 году.

В 1911 году Кантор был одним из выдающихся зарубежных ученых, приглашенных на празднование 500-летия. основания Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Кантор присутствовал, надеясь встретиться с Бертраном Расселом, недавно опубликованный Principia Mathematica неоднократно цитировал работу Кантора, но этого не произошло. В следующем году Сент-Эндрюс присвоил Кантору звание почетного доктора, но болезнь помешала ему получить эту степень лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, жил в бедности и страдал от недоедания во время Первой мировой войны. Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз поступил в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой. У Георга Кантора случился сердечный приступ со смертельным исходом 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни.

Математическая работа

Работа Кантора между 1874 и 1884 гг. из теории множеств. До этой концепции работы была довольно элементарная и использовалась неявно с самого начала математики, восходя к идеям Аристотеля. Никто не осознавал, что теория множеств имеет нетривиальное содержание. До Кантора существовали только конечные множества (легко) и «бесконечное» (которое считалось темой для философских, а не математических дискуссий). Доказав, что существует (бесконечно) много возможностей бесконечных множеств, Кантор установил, что теория множеств нетривиальна и требует изучения. Теория множеств стала играть роль фундаментальной теории в современной математике в том смысле, что она интерпретирует утверждение о математических объектах (например, числа и функциях) из всех области математики (такие как алгебра, анализ и топология ) в единую теорию и стандарт набор аксиом для их доказательства или опровержения. Основные концепции теории множеств теперь используются во всей математике.

В одной из своих самых ранних работ Кантор доказал, что набор действительных чисел «более многочислен», чем набор натуральные числа ; это впервые показало, что существует бесконечное множество различных размеров. Он также был первым, кто оценил важность взаимно-однозначных соответствий (в дальнейшем обозначаемых «однозначное соответствие») в теории множеств. Он использовал эту концепцию для определения конечных и бесконечных множеств, разделив последние на счетные (или счетно бесконечные) числа и неисчислимые числа (несчетное бесконечное множество).

Кантор разработал важные концепции в топологии и их связь с мощностью. Например, он показал, что множество Кантора, обнаруженное Генри Джоном Стивеном Смитом в 1875 году, нигде не плотно, но имеет ту же мощность, что и множество все действительные, тогда как рациональные числа везде плотные, но счетные. Он также показал, что все счетные плотные линейные порядки без конечных точек изоморфны по порядку рациональным числам.

Кантор ввел фундаментальные конструкции в теорию множеств, такие как степенной набор набора A, который является набором всех преступников подмножеств А. Позже он доказал, что размер набора степеней A больше, чем размер A, даже когда A бесконечным задавать строго; этот результат стал известен как теорема Кантора. Кантор разработал целую теорию и арифметику бесконечных множеств, названных кардиналами и ординалами, которые расширили арифметику натуральных чисел. Его обозначение для количественных чисел было еврейской буквой ℵ { displaystyle aleph}(алеф ) с нижним индексом натурального числа; в качестве ординалов он использовал греческую букву ω (омега ). Это обозначение используется до сих пор.

Гипотеза континуума, представленная Кантором, представленная Дэвидом Гильбертом как первая из его двадцати трех открытых проблем в своем обращении в 1900 году Международный конгрессе математиков в Париже. Работа Кантора также привлекла положительное внимание, помимо прославленного восхваления Гильберта. Американский философ Чарльз Сандерс Пирс высоко оценил теорию множеств Кантора и после публичных лекций, прочитанных Кантором на первом Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, Адольф Гурвиц и Жак Адамар тоже оба выразили свое восхищение. На этом Конгрессе Кантор возобновил дружбу и переписку с Дедекиндом. С 1905 года Кантор переписывался со своим британским поклонником и переводчиком Филипом Журденом по истории теории множеств и по религиозным идеям Кантора. Позднее это было опубликовано, как и несколько его описательных работ.

Теория чисел, тригонометрические ряды и ординалы

Первые десять работ Кантора были посвящены теории чисел, теме его диссертации. По предложению Эдуарда Гейне, профессора Галле, Кантор обратился к анализу. Гейне предложил Кантору решить открытую проблему, от которой ускользнул Питер Густав Лежен Дирихле, Рудольф Липшиц, Бернхард Риман и сам Гейне: уникальность представления функции с помощью тригонометрического ряда. Кантор решил эту проблему в 1869 году. Именно во время работы над этой проблемой он обнаружил трансфинитные ординалы, которые встречаются как индексы n в n-м производном множестве Snмножества S нулей тригонометрического ряда. Учитывая тригонометрический ряд f (x) с S в качестве набора нулей, Кантор обнаружил процедуру, которая произвела другой тригонометрический ряд с S 1 в качестве набора нулей, где S 1 — это набор предельных точек для S. Если S k + 1 — это набор предельных точек для S k, то он может построить тригонометрический ряд нули которого равны S k + 1. Поскольку множества S k были замкнутыми, они содержали свои предельные точки и пересечение бесконечной убывающей последовательности множеств S, S 1, S 2, S 3,… сформировал набор пределов, который мы бы теперь назвали S ω, а затем он заметил, что S ω также должен иметь множество предельных точек S ω + 1 и так далее. У него были примеры, которые продолжались вечно, и вот здесь была естественная бесконечная последовательность бесконечных чисел ω, ω + 1, ω + 2,…

Между 1870 и 1872 годами Кантор опубликовал больше работ по тригонометрии. серия, а также статья, определяющая иррациональные числа как сходящиеся последовательности из рациональных чисел. Дедекинд, с которым Кантор подружился в 1872 году, процитировал эту статью позже в том же году в статье, где он впервые изложил свое знаменитое определение действительных чиселсокращением Дедекинда. Расширенное понятие числа с помощью своей революционной концепции бесконечной мощности, Кантор парадоксальным образом выступал против теорий бесконечно своих современников Отто Штольца и Поля дю Буа-Реймона., описывая их как «мерзость» и «холерную палочку математики». Кантор также опубликовал ошибочное «доказательство» несоответствия бесконечно малых.

теории множеств

Иллюстрация диагонального аргумента Кантора для существования несчетных множеств. Последовательность не может встречаться нигде в бесконечном списке последовательностей выше.

Начало теории множеств как раздела математики часто отмечается публикацией статьи Кантора 1874 года «Ueber eine Eigenschaft» des Inbegriffesaller reellen algebraischen Zahlen »(« Об одном своемстве совокупности всех действительных алгебраических чисел »). Эта статья была первой, в которой было дано строгое доказательство того, что существует более одного вида бесконечности. Ранее все бесконечные коллекции неявно предполагались как равномерные (то есть «одинакового размера» или одинаковое количество элементов). Кантор доказал, что набор действительных чисел и набор положительных целых чисел не равны. Другими словами, действительные числа не исчисляемы. Его доказательство отличается от диагонального аргумента, приведенного им в 1891 году. Статья Кантора также содержит новый метод построения трансцендентных чисел. Впервые трансцендентные числа были построены Джозефом Лиувиллем в 1844 году.

Кантор установил эти результаты, используя две конструкции. Его первая конструкция показывает, как записать реальные алгебраические числа в виде следовать a1, 2, a 3,…. другими словами, действительные алгебраические числа счетны. Кантор начинает свое второе построение с любой действительных чисел. Используя эту последовательность, он строит вложенные интервалы, пересечение которые содержат действующее число, не входящее в последовательность. Последовательная последовательность, действующие числа, действующие числа. Применяя свою конструкцию к действительных алгебраических чисел, Кантор производит трансцендентное число. Кантор указывает, что его конструкции доказывают больше, а именно, они новое доказательство теоремы Лиувилля: каждый интервал содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Следующая статья Кантора содержит конструкцию, которая доказывает, что набор трансцендентных чисел имеет ту же «мощность» (см. Ниже), что и действительных чисел.

Между 1879 и 1884 годами Кантор опубликовал серию из шести статей в Mathematische Annalen, которые вместе составили введение в его теорию множеств. В то же время росла оппозиция Кантора во главе с Леопольдом Кронекером, которые могут быть построены за конечное число шагов от натуральных чисел, онал интуитивно. дано. Для Кронекера канторовская иерархия бесконечностей была недопустимой, поскольку принятие концепции актуальной бесконечности открыло бы дверь к парадоксам, которые поставили бы под сомнение обоснованность математики в целом. В этот период Кантор также представил набор Кантора.

Пятая статья в этой серии, «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» («Основы общей теории агрегатов»), опубликованная в 1883 году, была самой последней из другой серии и была также опубликована отдельная монографией. Систематическим расширением натуральных чисел трансфинитные числа систематическим расширением натуральных чисел. Он начинается с определения упорядоченных наборов. Порядковые числа вводятся типы порядка упорядоченных множеств. Затем Кантор определяет сложение и умножение кардинальных и порядковых чисел. В 1885 году Кантор расширил свою теорию порядковых типов, так что порядковые числа стали частным случаем порядковых типов типов.

В 1891 году он опубликовал статью, содержащую свой элегантный «диагональный аргумент» в использовании существования несчетного множества. Он применил ту же идею, чтобы доказать теорему Кантора : мощность множества степеней множества A строго больше, чем мощность множества A. Это установило богатство иерархии бесконечных множеств и кардинальной и порядковой арифметики, определенным Кантором. Его аргумент является фундаментальным при решении проблемы остановки и доказательстве первой теоремы Гёделя о неполноте. Кантор писал о гипотезе Гольдбаха в 1894 году.

Отрывок из статьи Георга Кантора с его определением множества

в 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал двухчастную статью в Mathematische Annalen под редакцией Феликса Клейна ; это были его последние основные работы по теории множеств. Первая статья начинается с определения числа, подмножества и т. Д. Способами, которые сейчас в степени приемлемости. Рассмотрены кардинальная и порядковая арифметика. Кантор хотел, чтобы вторая статья содержала доказательство гипотезы континуума, но ему пришлось довольствоваться изложением своей теории хорошо упорядоченных множеств и порядковых чисел. Кантор пытается доказать, что если A и B являются наборами с A эквивалентным подмножеству B и B, эквивалентному подмножеству A, то A и B эквивалентны. Эрнст Шредер сформулировал эту теорему несколько раньше, но его доказательство, как и доказательство Кантора, было ошибочным. Феликс Бернштейн представил правильное доказательство в своей докторской диссертации 1898 года; отсюда и название Теорема Кантора — Бернштейна — Шредера.

Однозначное соответствие

Биективная функция

Работа Кантора 1874 года Крелле была первой, в которой использовалось понятие 1: 1 переписка, хотя он не использовал эту фразу. Затем он начал искать соответствие 1: 1 между точками единичного квадрата и точками единичного отрезка линии. В письме Ричарду Дедекинду 1877 года Кантор доказал гораздо более сильный результат : для любого положительного целого числа n соответствует соответствие 1: 1 между точками на единичном отрезке прямым и всеми точками в n-мерное пространство. Об этом открытии Кантор писал Дедекинду: «Je le vois, mais je ne le crois pas!» («Я вижу это, но не верю!») Результат, который он счел таким удивительным, имеет значение для геометрии и понятия измерения.

. В 1878 году Кантор представил еще одну статью в Crelle’s Journal в котором он определил концепцию соответствия 1 к 1 и ввел понятию «степень » (термин, который он взял из Якоба Штайнера ) или «эквивалентности» множеств: два набора эквивалентны (имеют одинаковую мощность), если между ними соответствует соответствие 1: 1. Кантор определил счетные числа (или счетные числа) как число, которые можно поставить в соответствие 1: 1 с натуральными числами, и доказал, что рациональные числа счетные. Он также доказал, что n-мерное евклидово пространство Rимеет ту же силу, что и действительные числа R, как и счетно бесконечное произведение копий R . Хотя он свободно использовал счетность как концепцию, он не писал слово «счетность» до 1883 года. Кантор также обсуждал свои размышления о измерении, подчеркивая, что его отображение между единичный интервал и единичный квадрат не был непрерывным.

Эта статья вызвала недовольство Кронекера, и Кантор хотел отозвать ее; однако Дедекинд убедил его не делать этого, и Карл Вейерштрасс поддержал его публикацию. Тем не менее Кантор больше никогда ничего не представлял Креллю.

Гипотеза континуума

Кантор был первым, кто сформулировал то, что позже стало известно как гипотеза континуума или CH: не существует массива, мощность которого больше, чем у натуральные числа и меньше, чем у действительных (или, что то же самое, мощность действительных чисел точно равна алеф-единице, а не просто минимум как алеф-единице). Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и тщетно пыталась в течение многих лет доказать ее. Его неспособность доказать гипотезу континуума вызвала у него серьезное беспокойство.

Трудность, с которой столкнулся Кантор при доказательстве гипотезы континуума, была предоставлена ​​более поздними достижениями в области математики: результат 1940 года Курта Гёделя и гипотеза 1963 года Пола Коэна вместе означают, что гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута с помощью стандартной теории множеств Цермело — Френкеля аксиомы выбора (комбинация, именуемая «ZFC »).

Абсолютная бесконечность, теорема упорядочивания и парадоксы

В 1883 году Кантор разделил бесконечное на трансфинитное и абсолютный.

Трансфинит может увеличиваться по величине, в то время как абсолютный не увеличиваться. Например, порядковый номер α является трансфинитным, потому что он может быть увеличен до α + 1. С другой стороны, порядковые числа используют абсолютно бесконечную последовательность, которую нельзя увеличить по величине, потому что к ней нет более крупных порядковых чисел. В 1883 году Кантор также ввел принцип правильного упорядочивания «каждый набор может быть хорошо упорядочен» и заявлено, что это «закон мысли».

Кантор расширил свою работу над абсолютная бесконечность, используя его в доказательстве. Примерно в 1895 году он начал рассматривать свой принцип упорядоченности теорему и попытался доказать ее. В 1899 году он послал Дедекинду доказательство эквивалентной теоремы об алефах: мощность каждого бесконечного множества равна алефу. Во-первых, он определил два типа кратностей: согласованные кратности (множество) и несовместимые кратности (абсолютно бесконечные кратности). Затем он предположил, что ординалы образуют множество, доказал, что это ведет к противоречию, и пришел к выводу, что ординалы образуют несовместимую множественность. Он использовал эту непоследовательную множественность, чтобы доказать теорему Алефа. В 1932 г. Цермело раскритиковал конструкцию в доказательстве Кантора.

Кантор избежал парадоксов, признав, что существует два типа множественности. Общие положения, противоречие, противоречие. С другой стороны, Бертран Рассел рассматривал все коллекции как наборы, что приводит к парадоксам. В теории множеств Рассела порядковые числа образуют множество, поэтому возникающее противоречие означает, что теория противоречива. С 1901 по 1903 год Рассел обнаружил три парадокса, подразумевающих несостоятельность его теории множеств: парадокс Бурали-Форти (который только что упоминался), парадокс Кантора и парадокс Рассела.. Рассел назвал парадоксы в честь Чезаре Бурали-Форти и Кантора, хотя ни один из них не считал, что они нашли парадоксы.

В 1908 году Цермело опубликовал свою систему аксиом для теории множеств. У него было две мотивации для разработки системы аксиом: устранение парадоксов и обеспечение его доказательства теоремы о хорошем упорядочивании. Цермело доказал эту теорему в 1904 году, используя аксиому выбора , но его доказательство подверглось критике по ряду причин. Его ответ на критику включал его систему аксиом и новое доказательство теоремы о хорошем порядке. Его аксиомы подтверждают это новое доказательство, и они устраняют парадоксы, ограничивая формирование множеств.

В 1923 году Джон фон Нейман разработал систему аксиом, которая устраняет парадоксы, используя подход, аналогичный к Кантору, а именно, путем определения коллекций, которые не являются наборами, и обращения с ними по-разному. Фон Нейман заявил, что класс слишком велик, чтобы быть множеством, если его можно поставить во взаимно однозначное соответствие с классом всех множеств. Он определил множество как класс, который является членом некоторого класса, и сформулировал аксиому: класс не является множеством тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между ним и классом всех множеств. Эта аксиома подразумевает, что эти большие классы не являются множествами, что устраняет парадоксы, поскольку они не могут быть членами какого-либо класса. Фон Нейман также использовал свою аксиому для доказательства теоремы об упорядочивании: как и Кантор, он предположил, что ординалы образуют множество. Полученное противоречие означает, что класс всех ординалов не является множеством. Тогда его аксиома обеспечивает взаимно однозначное соответствие между этим классом и классом всех множеств. Это соответствие упорядочивает класс всех множеств, из чего следует теорема о хорошем упорядочивании. В 1930 году Цермело определил модели теории множеств, которые удовлетворяют аксиоме фон Неймана.

Философия, религия, литература и математика Кантора

Концепция существования актуальной бесконечности была важная общая проблема в области математики, философии и религии. Сохранение ортодоксии отношений между Богом и математикой, хотя и не в той форме, которую придерживаются его критики, долгое время было заботой Кантора. Он прямо обратился к этому пересечению между этими дисциплинами во введении к своему Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, где он подчеркнул связь между своим взглядом на бесконечное и философским. Для Кантора его математические взгляды были неразрывно связаны с их философскими и теологическими последствиями — он отождествлял Абсолютное Бесконечное с Богом и считал свою работу над трансфинитными числами непосредственно переданной ему Богом, выбрал Кантора, чтобы явить их миру.

Дебаты среди математиков выросли из противоположных взглядов философии математики на природу актуальной бесконечности. Некоторые придерживаются точки зрения, что бесконечность является абстракцией, которая не является математически законной, и отрицает ее существование. Математики трех основных философских школ (конструктивизм и два его ответвления, интуиционизм и финитизм ) выступили против теорий Кантора в этом вопросе. Для таких как Кронекер, это отрицательная актуальная бесконечность проистекает из фундаментального несогласия с идеей, что неконструктивные доказательства, такие как диагональный аргумент Кантора, достаточным доказательством того, что что-то существует, вместо этого считая, что конструктивные доказательства являются обязательными. Интуиционизм также отвергает идею о том, что актуальная бесконечность является выражением любой реальности, но приходит решение другим путем, нежели конструктивизм. Во-первых, аргумент Кантора основан на логике, доказывающей существование трансфинитных чисел как реальной математической сущности, тогда как интуиционисты считают, что математические сущности не сведены к логическим суждениям, имеющим вместо этого интуиции разума. Во-вторых, понятие бесконечности как выражения реальности по себе в интуиционизме, поскольку человеческий разум может интуитивно конструировать бесконечное множество. Математики, такие как Л. Э. Дж. Брауэр и особенно Анри Пуанкаре заняли интуиционистскую позицию против работ Кантора. Наконец, <атаки63>Витгенштейна были финитистскими: он считал, что диагональный аргумент Кантора объединяет содержание набора кардинальных или действующих чисел с его расширением, таким образом объединяя концепцию создания правил для создания набора правил для создания правил для создания набора с реальным набором.

Некоторые христианские теологи рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. В частности, мыслители-неотомисты видели в существовании актуальной бесконечности, состоящей из чего-то иного, кроме Бога, как угрозу «исключительному притязанию Бога на высшую бесконечность». Кантор твердо верил.

Кантор также считал, что его теория трансфинитных чисел как материализму, так и детерминизму — и был шокирован, когда понял, что он единственный преподаватель Галле

Для Кантора было важно, чтобы его философия обеспечила «органическое объяснение» природы, и в своем «Грундлагене 1883 года» он сказал, что такое объяснение могло произойти с привлечением ресурсов философии. Высказывая эти утверждения, Кантор, возможно, находился под данной Ф.А. Тренделенбурга, чьи лекционные курсы он посещал в Берлине, и, в свою очередь, Кантор подготовил латинский комментарий к Книге 1 Этики Спинозы. Ф.А. Тренделенбург был также исследователем хабилитации кантора.

В 1888 году Кантор опубликовал свою переписку с последствиями философских проблем своей теории множеств. Стремясь убедить других христианских мыслителей и авторитетов принять его взгляды, Кантор переписывался с христианскими философами, такими как Тильман Пеш и Джозеф Хонтхейм, а также с богословами, такими как кардинал Иоганн Баптист Франзелин, который однажды ответил, приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму. Кантор даже послал одно письмо непосредственно Папе Льву XIII и адресовал ему несколько брошюр.

Философия Кантора о природе чисел привела его к утверждению веры в свободу математики постулировать и доказать концепцию отдельно от области физических явлений, как выражения внутри внутренней реальности. Единственным ограничением этой метафизической системы является то, что все математические концепции должны быть лишены внутреннего противоречия и что они вытекают из текущих определений, аксиом и теоремы. Эта вера резюмируется в его утверждении, что «сущность математики — это ее свобода». Эти идеи совпадают с идеями Эдмунда Гуссерля, с которым Кантор познакомился в Галле.

Между тем, сам Кантор яростно выступал против бесконечно малых, называя их то и другое «мерзостью». «И« холерная палочка математики ».

Статья Кантора 1883 года показывает, что он хорошо знал оппозицию, с которой столкнулись его идеи: «… Я понимаю, что в этом начинании я ставлю себя в определенную оппозицию к широко распространенным взглядам на математическую бесконечность и к мнениям, часто защищаемым о природе чисел ».

Следовательно, он уделяет много места оправданию своих ранней работы, утверждая, что математические концепции могут быть свободно распространены. вводятся при условии, что они свободны от противоречий и понимаются в терминах концепций. Он также цитирует Аристотеля, Рене Декарта, Джорджа Беркли, Готфрида Лейбница и Бернарда Больцано о бесконечности. Вместо этого он всегда категорически отвергал философию Канта, как в области философии математики, так и в области метафизики. Он разделял девиз Б. Рассела «Кант или Кантор» и определял Канта «тем софистом-филистером, который так мало знал математику».

Родословная Кантора

Название мемориальной доски (на русском языке): «В этом здании и жилом с 1845 по 1854 годы великий математик и создатель теории множеств Георг Кантор», Васильевский остров, Санкт-Петербург.

Дедушка и бабушка Кантора по отцовской линии были из Копенгагена и бежал в Россию от срыва наполеоновских войн. Прямых сведений о его бабушке и дедушке очень мало. Кантора при жизни иногда называли евреем, но его также по-разному называли русским, немецким и датским.

Якоб Кантор, дед Кантора, дал своим детям имена христианских святых. Кроме того, несколько родственников его бабушки состояли в царской государственной службе, которая не приветствовала евреев, если они не обратились в христианство. Отец Кантора, Георг Вальдемар Кантор, получил образование в лютеранской миссии в Санкт-Петербурге, и его переписка с сыном показывает, что оба они были набожными лютеранами. О происхождении или образовании Джорджа Вольдемара достоверно известно очень мало. Его мать, Мария Анна Бём, была австро-венгркой, родившейся в Санкт-Петербурге и крестившейся католиком ; она обратилась в протестантизм после замужества. Однако есть письмо от брата Кантора Луи к их матери, в котором говорится:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber…

( «даже если бы мы произошли от евреев в десять раз больше, и даже при том, что я в принципе могу быть за равные права для евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан…») что может быть полностью истолковано как подразумевающее что она имела еврейское происхождение.

В течение 1930-х годов были задокументированные заявления, которые ставили под сомнение еврейское происхождение:

Чаще [то есть, чем происхождение матери] этот вопрос обсуждался еврейского происхождения Георга Кантора. Об этом сообщается в уведомлении Датского генеалогического в Копенгагене от 1937 года, касающемся его отца: «Настоящим засвидетельствовано, что Георг Вольдемар Кантор, 1809 или 1814 года рождения, не числится в реестрах еврейской общины, и что он, без сомнения, был евреем…. «

сказано:

Также долгое время усилиями библиотекаря Йозефа Фишера, одного из лучших знатоков еврейской генеалогии в Дании, обвиняемая в установлении личности еврейских профессоров, что Георг Кантор был еврейского происхождения, закончила безрезультатно. -то не так с этим предложением, но кажется достаточно ясным.] В опубликованных работах Кантора, а также в его Nachlass нет его заявлений, которые относились к еврейскому происхождению его предков. Людвига от 18 ноября 1869 г. к их матери с некоторыми неприятными антисемитскими заявлениями, среди прочего, говорится:…

(остальная часть цитата соответствует самой первой цитате выше). В Математиках, Эрик Темпл Белл описал как «чисто еврейского происхождения с обеих сторон», хотя оба родителя были крещены. В статье 1971 года, озаглавленной «К биографии Георга Кантора», британский историк математики Айво р Граттан-Гиннесс регистрирует (Annals of Science 27, стр. 345–391, 1971), что он не смог найти свидетельства еврейского происхождения. (Он также заявляет, что жена Кантора, Валли Гуттманн, была еврейкой).

В письме, написанном Георгом Кантором Полу Таннери в 1896 году (Поль Таннери, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Париж, 1934, стр. 306), Кантор заявляет, что его Бабушка и дедушка по отцовской линии сефардской еврейской общины Копенгагена. В частности, Кантор заявляет, описывая своего отца: «Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde…» («Он родился в Копенгагене от еврейских (букв: израильтян)» родителей из местная португальско- еврейская община. «)

Кроме того, двоюродный дедушка Кантора по материнской линии, венгерский скрипач Йозеф Бём, венгерский скрипач Йозеф Бём, что может означать, что мать Кантора была хотя бы частично

В письме Бертрану Расселу Кантор описал свое происхождение и самовосприятие следующим образом:

Ни мой отец, ни моя мать не были немецкой крови, первый из которых был датчанином. Я не обычный Жермен, потому что я родился 3 марта 1845 года в Сент-Питерборо, столице России, но я приехал сюда своим отцом, матерью, братьями и сестрой, мне было одиннадцать лет в 1856 году.

Биографии

До 1970-х годов первого научными публикациями о Ка нторе были две короткие монографии Артура Морица Шёнфлиса (1927) — в основном переписка с Миттаг-Леффлер — и Френкель (1930). Оба были во второй и третьей руке; ни у кого не было особого отношения к личной жизни. Пробел был в основном заполнен Эриком Темпл Беллом Человеком-математиком (1937), который один из современных биографов Кантора назван как «возможно, наиболее широко читаемую современную книгу по <488.>история математики «; и как« один из худших ». Белл представляет Кантора с отцом как Эдипал, разногласия Кантора с Кронекером как ссору между двумя странами, а безумие Кантора как романтическое отчаяние из-за Граттан -Гиннесс (1971) обнаружил, что ни одного из этих утверждений не было правдой, но их можно найти во многих книгах предшествующего периода из-за отсутствия каких-либо других повествований. Как пишет Даубен:

Кантор посвятил некоторые из своих наиболее оскорбительных писем, а также часть Beiträge, атакует того, что подкидышем, доставленным в Санкт-Петербург неизвестными родителями. он однажды описал как «бесконечно малую холерную палочку математиков», которая распространился из Германии через работы Тома, дю Бумон Штольц, чтобы заразить итальянскую математику… Л юбое принятие бесконечно малых величин обязательно означало, что его собственная теория номера была неполным. Таким образом, принять работы Тома, дю Буа-Реймонда, Штольца и Веронезе значило отрицать совершенство собственного творения Кантора. Понятно, что Кантор начал тщательную кампанию по дискредитации работы Веронезе всеми возможными способами.

См. Также

• Алгебра Кантора
• Куб Кантора
• Кантор функция
• Медаль Кантора — награда Deutsche Mathematiker-Vereinigung в честь Георга Кантора
• Пространство Кантора
• Метод Кантора вперед и назад
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Теорема Гейне — Кантора
• Функция спаривания

Примечания

Ссылки

• Даубен, Джозеф У. (1977). «Георг Кантор и Папа Лев XIII: математика, теология и бесконечное». Журнал истории идей. 38 (1): 85–108. DOI : 10.2307 / 2708842. JSTOR 2708842..
• Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечного. Бостон: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-691-02447-9..
• Даубен, Джозеф (2004) [1993]. Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств (PDF). Материалы 9-й конференции ACMS (Вестмонтский колледж, Санта-Барбара, Калифорния). стр. 1–22. Интернет-версия, опубликованная в журнале ACMS 2004.
• Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853271-2..
• Граттан-Гиннесс, Айвор (1971). «К биографии Георга Кантора». Анналы науки. 27 (4): 345–391. doi : 10.1080 / 00033797100203837..
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней: 1870–1940. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-05858-0..
• Халлетт, Майкл (1986). Канторовская теория множеств и ограничение размера. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853283-5..
• Мур, Грегори Х. (1982). Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние. Springer. ISBN 978-1-4613-9480-8..
• Мур, Грегори Х. (1988). «Корни парадокса Рассела». Рассел: Журнал исследований Бертрана Рассела. 8 : 46–56. doi : 10.15173 / russell.v8i1.1732..
• Мур, Грегори Х.; Гарсиадьего, Алехандро (1981). «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его истоков». Historia Mathematica. 8 (3): 319–350. doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90070-7..
• Пуркерт, Уолтер (1989). «Взгляды Кантора на Основы математики ». В Роу, Дэвид Э.; Макклири, Джон (ред.). История современной математики, Том 1. Академическая пресса. Стр. 49–65. ISBN 978-0-12-599662-4..
• Пуркерт, Уолтер; Ilgauds, Ханс Иоахим (1985). Георг Кантор: 1845–1918. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-1770-7..
• Суппес, Патрик (1972) [1960]. Аксиоматическая теория множеств. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61630-8.. Представляет собой представление скорее аксиоматично, чем наивно, поддерживает результаты Кантора, демонстрирующие непреходящую кантора для построения фундаментальной математики.
• Цермело, Эрнст (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I». Mathematische Annalen. 65 (2): 261–281. doi : 10.1007 / bf01449999..
• Цермело, Эрнст (1930). «Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre» (PDF). Fundamenta Mathematicae. 16: 29–47. doi : 10.4064 / fm-16-1-29-47..
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-32449-7. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка ).

Библиография

Старые источники на Cantor’s к жизни следует относиться с осторожностью. См. Раздел #Biographies выше.

Основная литература на английском языке

• Кантор, Георг (1955) [1915]. Филип Журден (изд. Вклад в создание теории трансфинитных чисел. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-60045-1..

Первичная литература на немецком языке

• Кантор, Георг (1874). «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen» (PDF). Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1874 (77): 258–262. doi : 10.1515 / crll. 1874.77.258.
• Кантор, Георг (1878). «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242–258. doi : 10.1515 / crll.1878.84.242..
• Георг Кантор (1879). «Ueber unndliche, lineare Punktm annichfaltig кей десять (1) «. Mathematische Annalen. 15 (1): 1–7. doi : 10.1007 / bf01444101.
• Георг Кантор (1880 г.). «Ueber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)». Mathematische Annalen. 17 (3): 355–358. doi : 10.1007 / bf01446232.
• Георг Кантор (1882 г.). «Ueber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)». Mathematische Annalen. 20 (1): 113–121. doi : 10.1007 / bf01443330.
• Георг Кантор (1883 г.). «Ueber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)». Mathematische Annalen. 21 (1): 51–58. doi : 10.1007 / bf01442612.
• Георг Кантор (1883 г.). «Ueber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)». Mathematische Annalen. 21 (4): 545–591. doi : 10.1007 / bf01446819.Опубликовано отдельно как: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
• Георг Кантор (1891). «Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre» (PDF). Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1 : 75–78.
• Кантор, Георг (1895). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)». Mathematische Annalen. 46 (4): 481–512. doi : 10.1007 / bf02124929. Архивировано из оригинала 23 апреля 2014 года.
• Кантор, Георг (1897). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)». Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246. doi : 10.1007 / bf01444205.
• Кантор, Георг (1932). Эрнст Цермело (ред.). «Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts». Берлин: Springer. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года.. Практически все, что написал Кантор. В приложении включены отрывки из его переписки с Дедекиндом (стр. 443–451) и биографией Френкеля Кантора (стр. 452–483).

Дополнительная литература

• Aczel, Амир Д. (2000). Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности. Нью-Йорк: издательство «Четыре стены, восемь окон».. ISBN 0-7607-7778-0. Популярная трактовка бесконечности.
• Даубен, Джозеф В. (июнь 1983 г.). «Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств». Scientific American. 248 (6): 122–131. Bibcode : 1983SciAm.248f.122D. doi : 10.1038 / scientificamerican0683-122.
• Феррейрос, Хосе (2007). Изысканные мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли. Базель, Швейцария: Birkhäuser.. ISBN 3-7643-8349-6 Содержит подробное описание вклада Кантора и Дедекинда в теорию множеств.
• Халмос, Пол (1998) [1960]. Наивная теория множеств. Нью-Йорк и Берлин: Springer.. ISBN 3-540-90092-6
• Гильберт, Дэвид (1926). «Über das Unendliche». Mathematische Annalen. 95 : 161–190. doi : 10.1007 / BF01206605.
• Hill, C.O.; Росадо Хэддок, Г. Э. (2000). Гуссерль или Фреге? Смысл, объективность и математика. Чикаго: Открытый суд.. ISBN 0-8126-9538-0 Три главы и 18 индексных статей по Кантору.
• Мешковски, Герберт (1983). Георг Кантор, Лебен, Верк и Виркунг (Георг Кантор, Жизнь, работа и влияние, на немецком языке). Vieweg, Брауншвейг.
• Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, включая и божественное разуме» [1], American Catholic Philosophical Quarterly, 83 (4): 532-553, https: / / doi.org / 10.5840 / acpq200983444. С признанием новаторской исторической работы Даубена, в этой статье подробно рассматривается отношение Кантора к философии Спинозы и Лейбница, а также его участие в Pantheismusstreit. Кратко узнаются знания Кантора от Ф. А. Тренделенбурга.
• Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности. Альфред А. Кнопф.. ISBN 0-679-77631-1 Глава 16 иллюстрирует, как канторовское мышление интригует ведущего современного физика-теоретика.
• Рукера, Руди (2005) [1982 ]. Бесконечность и разум. Издательство Принстонского университета.. ISBN 0-553-25531-2 Рассматривает темы, аналогичные Aczel, но более подробно.
• Родич, Виктор (2007). «Философия математики Витгенштейна». В Эдварде Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии. Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет..
• Леонида Лаццари, L’infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.

Внешние ссылки

• Работами Георгом Кантором в Интернет-архиве
• О’Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «Георг Кантор», Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс.
• О’Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «История теории множеств», Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс. В основном посвящен достижениям Кантора.
• Стэнфордская энциклопедия философии: Теория множеств Томас Джеч. Раннее развитие теории множеств Хосе Феррейрос.
• Гимназия Георг-Кантор Галле (Заале): Георг-Кантор-Гимназия Галле
• Поэма о Георге Канторе
• «Бесконечности Кантора», анализ статьи Кантора 1874 г., BibNum (для английской версии щелкните «à télécharger»). В этом анализе есть ошибка. В нем правильно сформулирована теорема Кантора 1: алгебраические числа можно считать. Однако в нем неверно сформулирована его теорема 2: действительные числа не могут быть подсчитаны. Затем он говорит: «Кантор отмечает, что вместе взятые теоремы 1 и 2 не соответствуют требованиям существования неалгебраических действительных чисел…» Это доказательство существования неконструктивно. Правильно сформулированная теорема 2: по последовательным числам можно определить действующее число, которого нет в этой действующей. Взятые вместе, теорема 1 и эта теорема 2 дают неалгебраическое число. Кантор также использовал теорему 2, чтобы доказать, что действительные числа не могут быть подсчитаны. См. Первую статью по теории множеств Кантора или Георг Кантор и трансцендентные числа.