Графическая оптимизация егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

$F(x, a) = 0$

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$√{g(x)}; g(x)≥0$.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

$log_{f(x)}g(x) {tableg(x) > 0; f(x) > 0; f(x)≠1;$

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D < 0$;

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда $D > 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

1. $tgα={sinα}/{cosα}$

2. $ctgα={cosα}/{sinα}$

3. $sin^{2}α+cos^{2}α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^{2}α}$

$cosα=±√{1-sin^{2}α$

4. $tgα·ctgα=1$

5. $1+tg^{2}α={1}/{cos^{2}α}$

6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2}α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$

2. $cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α$

3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^{2}α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos{α-β}+cos{α+β}}/{2}$

$sinα·sinβ={cos{α-β}-cos{α+β}}/{2}$

$sinα·cosβ={sin{α+β}+sin{α-β}}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Решение тригонометрического уравнения с параметром рассмотрим на примере.

Неравенства с параметром

Если имеется неравенство вида $F(a,x) ≤ G(a,x)$ то оно будет иметь одно решение, если $F'(a, x)=G'(a, x)$.

Системы уравнений:

Выделяют четыре основных метода решения систем уравнений:

1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
4. Графический метод решения: из каждого уравнения выражается $«у»$, получаются функции, графики которых необходимо построить и посмотреть координаты точек пересечения.

Логарифмические уравнения и системы уравнений

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠1$

Свойства логарифмов:

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b$;

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b$.

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_a{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a, b, c, d >0, a≠1, b≠1$.

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого надо выразить одну переменную через другую и после постановки получить уравнение с одной переменной. Кроме того, часто встречаются задачи на замену переменной в пределах одного или обоих уравнений системы и системы, требующие отбора решений.

Логарифмические неравенства:

1. Определить ОДЗ неравенства.

2. По свойствам логарифма преобразовать неравенство к простому виду, желательно получить с двух сторон логарифмы по одинаковому основанию.

3. Перейти к подлогарифмическим выражениям, при этом надо помнить, что:

а) если основание больше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства остается прежним;

b) если основание меньше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный;

с) если в основании находится переменная, надо рассмотреть оба варианта.

4. Решить неравенство.

5. Выбрать решения с учетом ОДЗ из п.1

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании легче всего воспользоваться тождественными преобразованиями:

$log_{a}f > b ↔ {table (f-a^b)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

$log_{a}f+log_{a}g > 0 ↔ {table(fg-1)(a-1)> 0; f > 0,g > 0; a > 0;$

$log_{a}f+b > 0 ↔ {table(fa^b-1)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

Системы, содержащие показательные уравнения

Свойства степеней

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n·a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

Основные методы решения систем, содержащих показательные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – положительность выражения $a^{f(x)}$, которую полезно учитывать, вводя соответствующее ограничение при замене переменной.

Показательные неравенства, сводящиеся к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$:

1. Преобразовать показательное уравнение к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$

2. Перейти показателям степеней, при этом если основание степени меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный, если основание больше единицы – знак неравенства остается прежним.

3. Решить полученное неравенство.

4. Записать результат.

Показательные неравенства, которые можно разложить на множители или сделать замену переменной.

1. Для данного метода во всем неравенстве по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.

2. Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t>0$.

3. Получаем рациональное неравенство, которое можно решить методом интервалов путем разложения на множители выражения.

4. Делаем обратную замену с учетом того, что $t>0$. Получаем простейшее показательное неравенство $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Уравнения с многочленами

Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку $(х+1)$

Системы иррациональных уравнений

Основные методы решения систем, содержащих иррациональные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – надо расписать ОДЗ каждого уравнения, а в конце решения выбрать решение системы с учетом ОДЗ.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду

$√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$

2. Обе части уравнение возвести в квадрат

$√{f(x)}^2={g(x)}^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$

3. Решить полученное рациональное уравнение.

4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Пример 1

Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если (Х) работников завода может производить в месяц ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.

И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.

А какая прибыль (P) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)).

Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком (Х) будет наибольшим (Р). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)) от (Х) и найти экстремумы.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от (Р) и приравниваем к 0.

$${P}^{’}=(4*(-left(x-10right)^{2}+500))^{‘}= 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)$$

Приравниваем (0):

$$4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)=0$$

И ищем (Х), при котором производная равна (0):

$$ X=10.$$

Что мы такое нашли? При этом значении (Х) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее (10) в нашу производную, например (1):

$$ 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right) = 4cdotleft(-2right)cdotleft(1-10right)=4*18=72$$

Значение производной получилось больше 0:

$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$

Значит при (Х<10) функция возрастает, а при (Х>10) убывает. А значит (Х=10) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим (Х=10) в функцию для прибыли:

$$ P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)= 4*(-left(10-10right)^{2}+500)=4*500=2000 руб. $$

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пример 2

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство (y) автомобилей составляет (Q=0,5y^2+y+7) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за (S) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход (S*y), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — (S*y-Q). Какую наименьшую цену продажи (S) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль (P(y,S)), зависящую от (у) и (S), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля (S) умножить на количество проданных машин (у), получим общий доход, и вычесть все расходы (Q), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):

$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2+y+7)=-0,5y^2+(S-1)y-7$$

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно (у), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед (y^2) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число (S) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно (у):

$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2+(S-1)y-7)}^{’}=-y+S-1; $$

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

$$-y+S-1=0;$$
$$y=S-1;$$

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции (P(x,S)). Подставим (y=S-1) в нашу функцию:

$$ P(x,S)=-0,5*y^2+(S-1)y-7=-0,5(S-1)^2+(S-1)(S-1)-7=frac{(S-1)^2}{2}-7; $$

Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от (S). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

$$ {3*P(S)}_{max}=3*frac{(S-1)^2}{2}-7 ge 75; $$

Осталось только решить это неравенство:

$$(S-1)^2ge64;$$
$$(S-9)(S+7)ge0;$$

(S) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при (S ge9) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Пример 3

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути (t) часов. Тогда первый проедет расстояние:

$$S=v*t=40t;$$

До перекрестка осталось ехать

$$S_1=5-40t;$$

А второму:

$$S_2=3-30t;$$

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами (S_1) и (S_2). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

$$L=sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}=sqrt{25-400t+1600t^2+9-180t+900t^2}=sqrt{2500t^2-580t+34};$$

Согласно условию задачи, нужно найти такое время (t), чтобы расстояние (L) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию (L) на экстремум:

$$ {L}^{’}=frac{1}{2*sqrt{2500t^2-580t+34}}*(5000*t-580); $$

Приравниваем нулю:

$$5000*t-580=0;$$
$$t=frac{580}{5000}=frac{29}{250} часа;$$

Так как при (t) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через (frac{29}{250}) часа, это и требовалось найти.

Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить (t=frac{29}{250}) в функцию расстояния (L):

$$L(t=frac{29}{250})=sqrt{(5-40*frac{29}{250})^2+(3-30*frac{29}{250})^2}=(frac{3}{5})км$$

ЕГЭ Профиль №18. Графический метод: метод областейadmin2020-04-07T21:10:05+03:00

На этой странице вы узнаете

• Как между двумя товарами выбрать наиболее выгодный? 
• Что можно выразить с помощью функции?
• Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?

Что выгоднее: купить упаковку чипсов весом 210 граммов за 150 рублей или упаковку весом 90 граммов за 70 рублей? Сегодня мы узнаем, что удачные покупки — это не только товары по скидке или два по цене одного. Заодно разберем одну из важных тем в экономике. 

Оптимизация

С задачами на оптимальный выбор мы сталкиваемся чаще, чем может показаться на первый взгляд. Когда в магазине пытаемся немного сэкономить деньги, когда ищем лучшую модель гаджета по соотношению цена – качество. При любой покупке нам хочется получить выгоду, и задачи на оптимизацию как раз про это.

Вернемся к чипсам. Может показаться, что купить маленькую пачку чипсов выгоднее: она дешевле. Но что если посмотреть на стоимость одного грамма? 
Для маленькой пачки получим (frac{70}{90} approx 0,78) рублей за грамм. 
А для большой пачки: (frac{150}{210} approx 0,71) рублей за грамм. 
Получается, что в большой пачке один грамм чипсов стоит немного дешевле, чем в маленькой. То есть выгоднее купить большую пачку. 

В чем заключаются задачи на оптимизацию? Решим пример, который поможет лучше понять всю суть задач на оптимизацию.  

Пример 1. Среди прямоугольников с периметром p найти прямоугольник с наибольшей площадью. 

Решение. Вспомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = xy, где x, y – его стороны. 

Периметр находится по формуле p = 2x + 2y. 

Выразим y:

(y = frac{p − 2x}{2}). 

Теперь подставим полученное значение в формулу площади:

(S = frac{p — 2x}{2} * x = frac{px — 2x^2}{2} = −x^2 + frac{p}{2} * x)

Заметим: у нас получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Условно изобразим ее. Подробнее, почему мы нарисовали параболу именно так, можно прочесть в статье «Основные элементарные функции». 

Представим, что вместо параболы мы сложили слитки золота. Если мы возьмем золото только из нижнего ряда, то получим всего 4 слитка. Если все, что ниже второго, то уже 4 + 3 = 7. Чтобы получить максимум золота, нам нужно собрать все слитки от самого верхнего ряда.   

Тогда, чтобы получить наибольшую площадь, нам нужно взять значение х в верхней точке параболы, то есть в ее вершине. 

Найдем вершину параболы по формуле:

(x_в = frac{−b}{2a} = frac{−frac{p}{2}}{−2} = frac{p}{4})

Вспомним, что (y = frac{p − 2x}{2} = frac{p}{2} − x) и подставим полученное ранее значение х, следовательно, (y = frac{p}{2} − frac{p}{4} = frac{p}{4}). 

Получаем, что (x = y = frac{p}{4}), а значит, наибольшая площадь будет достигаться, если прямоугольник будет квадратом. 

Ответ: квадрат со стороной (frac{p}{4}). 

Подходы к оптимизации

Для каждой задачи или загадки нужен свой подход, идея. Какие идеи заложены в задачи по оптимизации?

• Необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 

• Необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 

• Исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 

Решим несколько задач, чтобы понять на практике все идеи. 

Пример 2.
Вика владеет двумя цветочными магазинами в городах Е. и П. В магазинах продают одинаковую продукцию, однако магазин в городе П. использует более современные технологии. Работники магазина в городе Е. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 3t единиц продукции. Работники магазина в городе П. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 6t единиц продукции. 

За каждый час работы Вика платит сотрудникам 500 рублей. Но перед сотрудниками стоит важная задача: еженедельно они должны производить 300 единиц продукции. Какую наименьшую сумму может выплачивать Вика сотрудникам?

Решение.

Переведем задачу с языка математики. 
Например, в магазине в городе Е. работает два флориста. Первый работает по 8 часов в день с понедельника по пятницу, а второй по 10 часов в день с понедельника по субботу. Всего они еженедельно будут работать 8 * 5 + 10 * 6 = 100 часов. 

По условию эти 100 часов будут равны t². Мы можем найти (t = sqrt{100} = 10). Сколько единиц продукции будут производить эти флористы? Из задачи следует, что это 3t = 3 * 10 = 30. 

А сколько заработают за эту неделю флористы? Вместе их зарплата составит 500 * 100 = 50000 рублей. 

Так можно проследить зависимость одной переменной от другой. 

 Перейдем к решению задачи. 

Шаг 1. У нас есть два магазина, в которых работает неизвестное количество сотрудников неизвестное количество времени. Что делать, если мы чего-то не знаем? Вводить переменную.

Введем переменную на время работы сотрудников. В этом случае нам неважно, сколько их и как долго работает каждый. Мы берем все их часы суммарно. 

Пусть в городе Е. сотрудники работают x² часов в неделю, а в городе П. сотрудники работают y² часов в неделю. 

Для удобства составим небольшую таблицу. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции
Сумма зарплаты

Следующую строку, которую необходимо заполнить — это количество произведенной продукции. По условию в городе Е. за x²  часов произведут 3x единиц товара, а в городе П. за  y² часов произведут 6y единиц товара. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты

А какую зарплату Вика должна выплатить сотрудникам? Для этого необходимо количество часов умножить на ставку за час. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты	500x2	500y2

Шаг 2. Пусть S — сумма, которую Вика выплачивает сотрудникам. Получаем уравнение:

S = 500(x² + y²)

Также следует вспомнить о целях, которые поставила Вика: еженедельно должно производиться 300 единиц товара, следовательно, 3x + 6y = 300. Выразим из этого уравнения y:

(y = frac{300 − 3x}{6} = 50 − 0,5x)

Шаг 3. Теперь можно подставить значение у в первое уравнение:

S = 500(x² + (50 − 0,5x))² = 500(x² + (2500 − 50x + 0,25x²)) = 500(1,25x² − 50x + 2500)

Получаем, что S = 625x² − 25000x + 1250000. 

Шаг 4. Заметим, что это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент перед x² положителен. Изобразим ее условный график.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Найдем ее. 

Шаг 5. (x_в = frac{−b}{2a} = frac{25000}{2 * 625} = 20)

Шаг 6. Вычислим значение у:

y = 50 − 0,5x = 50 − 0,5 * 20 = 50 − 10 = 40. 

Шаг 7. Вика должна выплачивать еженедельно:

S = 500(20² + 40²) = 500(400 + 1600) = 500 * 2000 = 1000000 рублей. 

Ответ: 1000000 рублей. 

Кажется, Вике стоит пересмотреть свою бизнес-модель…

Алгоритм решения задач на оптимизацию

Итак, перед нами уже складывается алгоритм решения задач на оптимизацию. Распишем его чуть подробнее. 

Чтобы закрепить алгоритм в памяти, обратимся к следующему примеру.

Пример 3.
Городские власти собрали команду художников из 44 человек, которые должны расписать два объекта в городе. Если на первом объекте работает t художников, то власти должны выплатить им 5t² тысяч рублей. Если на втором объекте работает t художников, то власти должны выплатить им t² тысяч рублей. Как нужно распределить художников по объектам, чтобы власти города выплатили им наименьшую сумму? Сколько тысяч рублей власти города должны будут заплатить в этом случае? 

Решение.

Шаг 1. Мы не знаем, сколько человек работает на каждом объекте — то есть получаем неизвестные переменные. 

Мы можем выразить количество художников на каждом объекте через х и у. Тогда x + y = 44. Можно ли сократить количество переменных?

Отвлечемся на минутку и решим небольшую задачу. Перед котом разложили 5 игрушек, некоторыми из которых он поиграл. Сколько игрушек остались нетронутыми?

Если кот поиграл х игрушками, то нетронутыми останутся (5−x) игрушек. Например, при x=3 получим, что нетронутыми останутся 2 игрушки. 

Применим аналогичные рассуждения к задаче. Было 44 художника, из них х отправились работать на первый объект. Сколько художников отправится работать на второй объект? Получим (44−x).

Шаг 2. Найдем, какую зарплату необходимо будет выплатить художникам на каждом объекте. 

Поскольку на первом объекте работает х человек, по условию им необходимо выплатить 5x² тысяч рублей. 

Поскольку на втором объекте работает (44 − x) человек, им необходимо выплатить:

(44 − x)² = 1936 − 88x + x². 

В сумме власти города должны будут выплатить:

5x² + 1936 − 88x + x² = 6x² − 88x + 1936 тысяч рублей. 

Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

(x_в = frac{−b}{2a} = frac{88}{12} = 7frac{1}{3})

Шаг 4. В этом моменте необходимо задуматься: может ли х принимать нецелые значения? По условию нет, поскольку за х мы взяли количество человек. Ситуация, когда один и тот же человек на треть находится на одном объекте, а другая его часть на другом, невозможна ни с биологической, ни с физической точки зрения. Значит, х — целое число.

Как быть в этом случае? Рассмотрим параболу, начертив ее условный график. 

Заметим, что чем дальше будет располагаться значение х от вершины параболы, тем больше будет сумма выплат. Нам необходимо найти сумму выплат в ближайших от вершины целых значениях х. 

Есть ещё и шаг 5. Поскольку вершина лежит в точке (7frac{1}{3}), получаем два случая: x = 7, x = 8.

При x = 7 власти выплатят художникам

6 * 7² − 88 * 7 + 1936 = 294 − 616 + 1936 = 1614 тысяч рублей. 

При x = 8 власти выплатят художникам

6 * 8² − 88 * 8 + 1936 = 384 − 704 + 1936 = 1616 тысяч рублей. 

Наименьшая возможная сумма выплат художникам — это 1614 тысяч рублей. 

Ответ: 1614.

Фактчек

• В задачах на оптимизацию необходимо найти наилучшее решение для заданной ситуации: наименьшую сумму выплат, наибольшую производительность и так далее. 
• Чтобы решить задачи на оптимизацию, необходимо следовать алгоритму и идеям, которые в них заложены. 
• Идея 1: необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 
• Идея 2: необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 
• Идея 3: исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 
• В задачах на оптимизацию очень часто встречается функция, которая задает ситуацию из условия. Для ее исследования можно прибегнуть к графикам или производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что выгоднее купить: большую или маленькую порцию картошки фри? В большой порции 150 грамм, а стоит она 80 рублей. В маленькой порции 70 грамм, а стоит она 60 рублей. 

1. большую порцию
2. маленькую порцию
3. порции одинаковы по выгоде
4. невозможно определить

Задание 2. 
Дана парабола с ветвями, направленными вверх. В какой точке достигается ее наименьшее значение?

1. при x=0
2. при y=0
3. в вершине параболы
4. невозможно определить

Задание 3. 
Выплаты зарплаты работникам в фирме Огонек считается по формуле x² − 24x + 1000, где х — количество отработанных часов. Какую наименьшую зарплату может выплатить фирма? 

1. 12
2. 100
3. 856
4. 1

Задание 4. 
В зависимости от условий, на поле может вырасти ((−2a^2+60a+300)) килограмм урожая, где a — скорость роста культур. Какое наибольшее количество килограмм может вырасти на поле?

1. 300
2. 750
3. 15
4. 1000

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.

30 апреля 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи на оптимизацию

Разбор 6 задач на оптимизацию формата №17 из ЕГЭ по математике.

zo-v.pdf

Структура видео:
03:43 — задание 1
10:00 — задание 2
19:15 — задание 3
28:26 — задание 5
40:15 — задание 6
01:04:30 — задание 4

Математическое моделирование

экономических задач на оптимизацию

Содержание

Введение                                                                                                                  3

Основная часть

Глава I.   Механизм решения задач на оптимизацию           .                          5

Глава II. Задачи на оптимизацию

2.1. Исследование линейной функции                                                          7

2.2.  Логическое рассуждение                                                                        8

2.3.  Исследование квадратичной функции                                                  9

2.4. Использование производной и компромиссный вариант                   11

Глава III. Задача о витамине С                                                                             13

Заключение                                                                                                             15

Список литературы                                                                                                16

Введение

Российский математик 19 века П. Л. Чебышев говорил, что «особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека – как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

 Большую часть своих сил каждый из нас тратит на поиск наилучшего или другими словами оптимального  решения поставленной задачи. Мы ежедневно отвечаем на непростые вопросы, как при наименьших затратах, достичь наилучших результатов – высокого жизненного  уровня, максимальной прибыли, минимальных затрат времени. Именно этот фактор определяет актуальность моей работы. В современном обществе умение моделировать различные жизненные, экономические и производственные ситуации стало особенно важно.

Представителям самых разных специальностей приходится постоянно решать задачи по выбору оптимального условия: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т. д. Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»),

Целью моей работы является найти наиболее рациональные способы решения задач на оптимизацию.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Изучить литературу и материалы по заданной теме.
2. Рассмотреть различные способы решения задач на оптимизацию.
3. Познакомить учащихся моего класса с методами решения задач такого типа.
4. Смоделировать задачу на оптимизацию для своей выгоды.

В процессе изучения теоретического материала у меня возникла гипотеза, что для решения задач на оптимизацию можно использовать знания, полученные в 7-9 классах школы.

Методы исследования: систематизация теоретического материала,  обобщение накопленного материала, анализ методов решения задач оптимизации, математические методы обработки результатов исследования, табличная и графическая интерпретация данных, математические расчеты с использованием методов решения задач оптимизации.

Я выбрала эту тему не случайно. Задачи на оптимизацию встречаются в ЕГЭ и вызывают затруднения у учащихся. Я решила подробно изучить эту тему для того, чтобы как следует подготовиться к экзамену и помочь понять эти задачи моим одноклассникам.

Глава 1

Механизм решения задач на оптимизацию

Большинство старшеклассников знают, что на экзамене по математике есть задача с экономическим содержанием. Такие задачи связаны со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи.

К наиболее сложным задачам с экономическим содержанием относятся так называемые «задачи на оптимизацию» или экстремальные задачи. Эти задачи описывают разнообразные ситуации, с которыми граждане, предприятия и компании могут встретиться в своей экономической деятельности. Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию.

Для решения таких задач вводится целевая функция, экстремальное (наибольшее или наименьшее)  значение которой надо найти. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д. Кроме функции задаются математические ограничения, которые выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным.

Для решения таких задач наиболее часто используются:

• метод перебора вариантов,
• логических рассуждений,
• исследование функций элементарными методами,
• исследование функций с помощью производной.

Так как с понятием производной я знакома поверхностно, то в своей работе я остановилась на способах, доступных ученикам 8-9 класса.

Глава 2

Задачи на оптимизацию

2.1. Исследование линейной функции

Задача 1. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратных метров и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение.

Вид номера	Площадь 1 номера	Кол-во номеров	Площадь всех номеров	Стоимость номера в сутки	Стоимость всех номеров в сутки
Стандарт	21	x	21x	2000	2000x
Люкс	49	y	49y	4500	4500y
Всего			21x + 49y = 1099		2000x + 4500y

Целевая функция f = 2000x + 4500y показывает прибыль отеля за сутки, требуется найти её наибольшее значение.

Математические ограничения:

21x + 49y = 1099 (*), x ≥ 0, y ≥ 0, x и  y – целые числа.

Из равенства (*) следует у =  . Заметим, что x принимает значения от 0 до . Подставим значение у в целевую функцию    f = 2000x +  ,

f = ,    f = . Это возрастающая линейная функция, поэтому наибольшее значение принимает при наибольшем значении х. Учитывая, что x – целое число, x = 50, f(50) = 104500.

Итак, наибольшую сумму 104500 рублей предприниматель получит, если в отеле будет 50 стандартных номеров и 1 номер «люкс».

2.2. Логическое рассуждение

Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 р/ц, а свёклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

	I поле, урожайность	II поле, урожайность	Цена
Картофель	300 ц/га	200 ц/га	10 000 р/ц
Свекла	200 ц/га	300 ц/га	13 000 р/ц

 На втором поле урожайность свёклы выше, чем у картофеля, её цена выше, поэтому выгодней засеять второе поле свёклой. Выручка от продажи составит 300 ×10×13000 = 39000000 рублей.

 На первом поле урожайность картофеля выше, но его стоимость ниже. Относительная урожайность картофеля равна , относительная цена — . При умножении получим: , значит, на этом поле выгодней посадить картофель. Выручка от продажи составит 300×10×10000=30000000 рублей.

Итак, фермер получит наибольший доход 30000000 + 39000000 = 69000000 рублей.  

II способ. Эту задачу можно было решить как и предыдущую с помощью введения линейной функции.

I поле	Площадь	Урожай	Доход
Картофель	х га	300х ц	300х×10 тыс. руб. = 3000х тыс. руб.
Свекла	10 – х га	200(10-х) ц	200(10-х)×13 = 26000 – 2600х тыс. руб.
Всего	10		3000х+26000-2600х=400х+26000 тыс. руб.

I поле	Площадь	Урожай	Доход
Картофель	y га	200y ц	200y×10 тыс. руб. = 2000y тыс. руб.
Свекла	10 – y га	300(10-y) ц	300(10-y)×13 = 39000 – 3900y тыс. руб.
Всего	10		2000y+39000-3900y=39000-1900y тыс. руб.

Общий доход составит 400х+26000+39000-1900y=100(4x-19y+650) тыс. руб. Рассмотрим целевую функцию f(x,y) =100(4x — 19y + 650), где х∈ [0; 10], у ∈ [0; 10].  Это квадрат со стороной 10. Целевая функция – это множество прямых, параллельных прямой у = х, некоторые из которых проходят через точки указанного квадрата, а некоторые – нет. Рассмотрим две угловые «крайние» точки (0;10) и (10;0), подставляя координаты этих точек, найдём наибольшее значение f(10,0) = 69000 тыс. руб.

2.3 Исследование квадратичной функции

Задача 3. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x 2 + x + 7 млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн. рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Решение. Прибыль (в млн. рублей) за один год выражается величиной  px − q = px – (0,5x 2 + x + 7) = px — 0,5x 2 — x — 7 = — 0,5x 2 + (p – 1)х – 7. Получили целевую функцию f = — 0,5x 2 + (p – 1)х – 7 — это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз, достигает своего наибольшего значения в вершине

х0 = .  

Найдем значение целевой функции при x = p – 1:

Прибыль за 3 года составит не менее 75 млн. рублей, а за один год не менее 25 млн. рублей, если ,

P2 – 2p + 1 – 14 – 50 ≥ 0

P2 – 2p – 63 ≥ 0,

p  — 7 или  p ≥  9

 Поскольку цена продукции не может быть отрицательной, то условию задачи удовлетворяет  p ≥  9.

Таким образом, искомая наименьшая цена составляет 9 тыс. руб.

2.4. Использование производной и компромиссный вариант

Задача 4. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2  часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2  часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение. Пусть на первом заводе работают суммарно  x2 , а на втором  — y2 часов в неделю. Требуется найти максимум суммы f = 3x + 4y (1) при условии   500(x2 + y2) = 5 000 000, откуда x2 + y2 = 10000 (*). Выразим из последнего равенства y: , тогда f = 3x + 4. Исследуем полученную функцию на максимум с помощью производной:

 

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

  

  

  

  

  x = ± 60, условию задачи удовлетворяет   x =  60

Тогда y = . Вычисляем значение функции

  f = .

Итак, на заводе можно произвести 500 единиц товара.

II способ (без производной).

Из равенства (1) выразим y =   и подставим в (*):

x2 +  = 10000

x2 +  = 10000

16x2 +  = 160000

 – квадратное уравнение с параметром f. Полученное уравнение имеет решение, если D ≥ 0:

D = ,

,

 

,    (f — 500)(f + 500) ≤ 0,  -500 ≤ f ≤ 500.

Так как ищем наибольшее значение f, то f = 500.

Как видно, для решения задачи достаточно было знаний о квадратных уравнениях и решение неравенств.

Глава 3

Задача о витамине С

Изучение задач на оптимизацию вдохновило меня сочинить задачу для пользы своему организму и для финансовой выгоды.

Задача. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150 мг витамина С, а 1кг яблок  — 75 мг витамина С. Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина С, не менее 0,25 кг апельсинов и не менее 0,25 кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок – 40р.?

Занесем данные в таблицу:

Фрукты	Дневной рацион	Содержание витамина С (в 1кг)	Стоимость 1кг
апельсины	х кг	150мг	60р.
яблоки	у кг	75мг	40р.

Ограничения имеют вид:

х ≥ 0,25;      у ≥ 0,25;   150х + 75у = 75,

                                     2х + у = 1,

                                      у = -2х +1.

Целевая функция: f (х, у) = 60х + 40у.

Необходимо найти такие х и у, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи.

Пусть 60х + 40у = 0; отсюда у = -3х/2. Построим график функции          у = -3х/2 и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 60х + 40у.

Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок М1М2  в точке М2. Она является точкой пересечения прямых   у = 0,25 и у = -2х +1.

Получим:        -2х +1 = 0,25,         х = 0,375

Далее находим: f (х, у) = 60∙0,375 + 40∙0,25 = 16,25р.

Итак, чтобы дневной рацион содержал 75 мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375 кг апельсинов и 0,25 кг яблок.

Заключение

Работая над своим проектом, я доказала, что многие задачи на оптимизацию, встречающиеся в литературе по подготовке к экзаменам можно решить, используя знания о линейных функциях, квадратичных функциях, умение решать уравнения и неравенства. При разборе задач на оптимизацию, я выработала конкретный алгоритм, который позволяет «перевести» любую реальную ситуацию на математический язык, построить ее модель, проанализировать, применив в ходе анализа имеющиеся знания, умения, навыки и решив математически сформулированную задачу дать  ответ на поставленный вопрос. Я доказала, что математика становится  живым инструментом поисков оптимальных решений в организации производства, инновационных открытий, повышения производительности труда, а значит, служит  положительной  динамике развития страны и экономики в целом.        

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к задачам с параметром. Сложность таких задач в том, что не всегда есть готовые методы решения и задача может потребовать своего подхода. Успех в решении таких задач заключается в систематическом тренинге.

Думаю, что в дальнейшем рассмотрю другие, более сложные задачи на оптимизацию.

Список литературы

Гущин Д. Д. Встречи с финансовой математикой. – Сант-Петербург, 2016. – 34 с.

Гущин Д. Д. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ: математика»: http://ege.sdamgia.ru.

Козырев В. М. Основы современной экономики. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 c.

Фёдорова В. П. Методический подход к решению задач №17 ЕГЭ по математике: https://4ege.ru/matematika/53007-metodicheskiy-podhod-k-resheniyu-zadach-17-ege-po-matematike.html

Экономические задачи: учебно-методическое пособие / сост. В.А. Молчанов. – Саратов: ГАУ ДПО «СОИРО», 2017. – 44 с.

Ященко И. В. и др. ЕГЭ 2020. Математика: 50 вариантов типовых тестовых заданий. – М.: Экзамен, 2019. – 247 c.