Графики функций с модулем егэ профиль

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 62    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

---

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. 

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y».  Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть. 

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны! 

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2! 

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

ЕГЭ по математике профиль

Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты

MATHM
>>
ЕГЭ
>>
ЕГЭ профиль

>>

Задача 9

ЗАДАЧА 9
сортировка
по темам

СПИСОК ТЕМ

Тема 1: График параболы
Тема 2: График гиперболы и корня
Тема 3: График модуля
Тема 4: Графики тригонометрических функций
Тема 5: График показательной функции и логарифма
Тема 6: Пересечение графиков

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 1: График параболы.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



5. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



6. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



7. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



8. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



9. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



10. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



11. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы



12. 

посмотреть ответ

посмотреть решение 1

посмотреть решение 2

видеоурок 1 по графику параболы



видеоурок 2 по графику параболы

Тема 2: График гиперболы и корня.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику гиперболы



2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику гиперболы



3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику гиперболы



4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику гиперболы



5. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня



6. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня



7. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня



8. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня



9. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня



10. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику корня

Тема 3: График модуля.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику модуля



2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику модуля



3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику модуля



4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок по графику модуля

Тема 4: Графики тригонометрических функций.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций



2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций



3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций



4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций



5. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций



6. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций



видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций

Тема 5: График показательной функции и логарифма.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

5. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

6. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

7. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

8. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

Тема 6: Пересечение графиков.

1. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

2. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

3. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

4. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

5. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

6. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

7. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

8. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

9. 

посмотреть ответ

посмотреть решение

Решение заданий варианта досрочного периода ЕГЭ 2022 от 28 марта 2022 по математике (профильный уровень). Досрочник КИМ. Досрочная волна 2022. Полный разбор. ГДЗ профиль решебник для 11 класса. Ответы с решением.

Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания экзамена в ознакомительных целях.

Задание 1.
Найдите корень уравнения log₂(7 – x) = 5.

Задание 2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 4 спортсменки из Аргентины, 7 из Бразилии, 5 из Германии и 4 из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Бразилии.

ИЛИ

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Задание 3.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 5 и CD = 27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

ИЛИ

В четырехугольник ABCD, периметр которого равен 56, вписана окружность. Найдите AB, если CD = 13.

Задание 4.
Найдите значение выражения 4^{frac{1}{5}}cdot 16^{frac{9}{10}}

ИЛИ

Найдите значение выражения frac{5^{3,7}cdot 6^{4,7}}{30^{2,7}}

Задание 5.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

ИЛИ

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Задание 6.
На рисунке изображён график функции y = f ′(x) − производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите точку максимума функции f(x).

ИЛИ

На рисунке изображён график y = f ′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (−7; 6). Найдите точку минимума функции f(x).

Задание 7.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле:  , где f₀ = 170 Гц – частота исходного сигнала, c – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 2 м/с и v = 17 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.

ИЛИ

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁ = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и R₂ Ом их общее сопротивление дается формулой R_общ =  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.

Задание 8.
Имеется два сплава. Первый содержит 50% никеля, второй – 15% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 175 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

ИЛИ

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй – 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Задание 9.
На рисунке изображён график функции f(x) = 5x + 9 и g(x) = ax² + bx + c, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

ИЛИ

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = a√x и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задание 10.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

ИЛИ

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Задание 11.
Найдите точку минимума функции y = x√x – 5x + 4.

Задание 12.
а) Решите уравнение 4^{sin x} + 4^{sin(x + π)} = frac{5}{2}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [frac{5pi}{2};4pi].

Задание 13.
Вне плоскости правильного треугольника ABC взята точка D так, что cos∠DAB = cos∠DAC = 0, 2.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB = 2.

Задание 14.
Решите неравенство frac{log_{2}^{}(32x)-1}{log_{2}^{2}x-log_{2}^{}x^{5}}ge -1

Задание 15.
15-го декабря планируется взять кредит размером 600 тыс. рублей в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 691 тысяч рублей?

Задание 16.
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается AB в точке P. Точка М середина стороны AB.
а) Докажите, что MP=frac{|BC-AC|}{2}.
б) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что отрезок MP равен половине радиуса окружности вписанной в треугольник ABC, BC > AC, отрезки MC и MA равны.

Задание 17.
Найдите всe значения параметра a, при каждом их которых система

begin{cases} frac{xy^{2}-2xy-4y+8}{sqrt{4-y}}=0, y=ax. end{cases}

имеет ровно 3 различных решения.

Задание 18.
Каждое из четырех последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру и сложили все полученные числа, а полученную сумму обозначили за S.
а) Может ли S = 41frac{11}{24}?
б) Может ли S = 569frac{29}{72}?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Источники заданий варианта: школа Пифагора, Профиматика, беседы vk.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 12

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

В работе рассмотрены темы:
1. Модуль: общие свойства.
2. Решение уравнений, содержащих модули.
3. Неравенства с модулями.
4. Графики функций с модулем.

Даются правила, примеры их использования и дидактические материалы с ответами для дальнейшей работы по теме. Рекомендовано для использования на обычных тематических уроках алгебры и начал анализа в 10 классе и для проведения занятий элективного курса профильных классов.

©

Прокофьева Тамара Александровна

Прокофьева Тамара Александровна

Понравилось? Сохраните и поделитесь:

Неограниченная бесплатная загрука материала «Модули. Подготовка к ЕГЭ» доступна всем пользователям. Разработка находится в разделе «ЕГЭ по математике» и представляет собой: «повторение, систематизация, факультатив».

Загрузка началась…

Понравился сайт? Получайте ссылки
на лучшие материалы еженедельно!

Подарок каждому подписчику!

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Задачи для практики

Показать еще

Построение графиков с модулем
путём преобразований

Модуль аргумента и модуль функции

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

Пример 1.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Пример 2.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x 2 − 2x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.

III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции (y=sqrt.) y = √|x| __ .

1. (y=sqrt) √x _ —>

2. (y=sqrt<|x|>) √|x| __ —>

3. (y=sqrt<|x-1|>) y = √|x − 1| _____

4. (y=sqrt<|x|-1>) y = √|x| − 1 _____

5. (y=|sqrt-1|.) y = | √x − 1 _ |

IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
Для этого нужно:

1. Построить график функции y = f(x) .
2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Эти кривые также получены из графика функции (y=sqrt). y = √x _ .

6. (|y|=sqrt)

7. (|y|=|sqrt-1|)

8. (|y|=sqrt<|x|>.)

Пример 3.

Задан график функции y = x 2 .
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .

Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.y = x 2	2.y = (x − 1) 2	3.y = (x − 1) 2 − 6	4.y = (|x| − 1) 2 − 6
5.y = (|x| − 1) 2 − 6, y ≥ 0	6.|y| = (|x| − 1) 2 − 6

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 4.

Задан график функции y = x 2 .
Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .

Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 5.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 6.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y» . Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x ₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « − 1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика:

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.

Уравнения графиков функций с модулями

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Добрый день, уважаемые коллеги! Приятно видеть вас в этой аудитории, и очень надеюсь, что сегодня у нас с вами получится интересное и полезное мероприятие.

• 

  2 слайд

  Мастер-класс
  учителя математики
  МОУ «СОШ№ 14»
  Рискуловой Тотайхан Оразалиевны
  по теме:
  «Анализ графиков (новое 9 задание). Подготовка к профильному ЕГЭ по математике»
  а Эдельбай
  Благодарненский район

• 

  3 слайд

  «Расскажи мне и я забуду. Покажи мне и я пойму. Позволь мне сделать самому, и я научусь»

  Конфуций
  Конфуций-древнекитайский проповедник,
  писатель, философ.

• 

  4 слайд

  Сложно подготовить обучающихся к сдаче экзамена. Это большой труд. Но не надо бояться. Если вы хорошо знаете, объясняете, любите свой предмет и своих учеников, вы обязательно сможете подготовить их к ЕГЭ по математике.
  Важный принцип — это логичность. В шутливой манере он говорит: «нормальные герои всегда идут в обход». Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для ответа наиболее простым и понятным способом.
  Главная заповедь учителя – заметить даже самое маленькое продвижение ученика вперёд и поддержать его успех.

• 

  5 слайд

  Цель мастер-класса:
  показать приемы решения нового 9 задания по теме «Анализ графиков»
  развивать логическое мышление, память, познавательный интерес

• 

• 

  7 слайд

  1 9 задание
  На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точек пересечения.
  1
  2
  Решение
  Уравнение прямой у=kx+b. Первая прямая проходит
  через точки (-4;1) и (-2;4), k= 𝟑 𝟐 .
  Найдем b,подставив координаты одной из точек в уравнение
  1=1,5·(-4)+ b, b=7.
  у=1,5х+7-уравнение1 прямой.
  2) Вторая прямая проходит через точки (-1;0) и (2;3), k= 𝟑 𝟑 =𝟏.
  Найдем b,подставив координаты одной из точек в уравнение
  0=1·(-1)+ b, b=1.Тогда у=х+1-уравнение2 прямой.
  3)Решим систему уравнений у=𝟏,𝟓𝒙+𝟕, 𝒚=𝒙+𝟏 Вычтем из 1 уравнения 2 уравнение , получим 0=0,5х+6.Отсюда х=-12.Тогда у=-11.
  Ответ:-11

• 

  8 слайд

  9 задание
  На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒂 x²+bx+c,где числа a,b и c-целые. Найдите значение f(-12).
  Решение.
  f(x)= 𝒂(x-m)²+n,где m, n-координаты вершины параболы.
  m= -4,n= -3, 𝒂 =1.
  f(x)=(x-(-4))²+(-3),
  f(x)=(x+4)²-3,
  f(-12)=(-12+4)²-3,
  f(-12)=61.
  Ответ:61
  2

• 

  9 слайд

  9 задание
  На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒙 𝟐 𝒂 +bx+c, где числа 𝒂 ,b и c-целые. Найдите значение f(4).
  Решение.
  f(x)= 𝟏 𝒂 (x-m)²+n,где (m, n)-координаты вершины параболы.
  По графику m= -2,n= 11, 𝒂 = -2. (Введем новую систему координат через вершину параболы, тогда график
  функции f(x)= 𝒙 𝟐 𝒂 проходит через точку (2;-2).
  Подставив в формулу f(x)= 𝒙 𝟐 𝒂 ,найдем а)
  f(x)= — 𝟏 𝟐 (x+2)²+11= — 𝟏 𝟐 x²-2x+9,значит, 𝒂 = — 2, b=-2, c=9.
  Тогда f(4)= — (𝟒+𝟐)² 𝟐 +11= — 18+11= — 7.
  Ответ:- 7

  3

• 

  10 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒂 x²+bx+c. Найдите f(-1).
  Решение.
  Из рисунка видно, что график проходит через (3;2);(4;5);(5;4)
  9а+3b+c= 2, 16a+4b+c=𝟓, 25a+5b+c=4.
  Вычтем из 2 уравнения 1-е,
  получим7a+b=𝟑
  Вычтем из 3уравнения 2-е,
  получим 9a+b=-𝟏
  Решив систему уравнений 7a+b=𝟑, 9a+b=−1;
  находим 𝒂=-2 ,b=17.
  Тогда f(x)=- 2 x²+17x+c и f(3)=2, найдем ,что с=-31.
  f(x)=- 2 x²+17x-31,
  f(-1)=-2-17-31=-50
  Ответ:-50
  4

• 

  11 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)=ах²+bx+c,где числа 𝒂 ,b и c-целые. Найдите абсциссу вершины параболы.
  Решение.
  Абсцисса вершины параболы найдем по формуле х 𝟎 = — 𝒃 𝟐𝒂
  Из рисунка видно, что f(-3)=-2; f(-2)=1; f(-1)=6.Тогда
  9а−3b+c= −2, 4a−2b+c=1, a−b+c=6 ;
  вычтем из 1 уравнения 2-е, получим5a-b=-𝟑
  вычтем из 2 уравнения 3-е,получим 3a-b=-𝟓.
  Решив систему уравнений 5a−b=−𝟑, 3a−b=−𝟓; находим 𝒂=1 ,b=8.
  Абсцисса вершины параболы х 𝟎 = — 𝒃 𝟐𝒂 =-4.
  Ответ:-4

  6

• 

  12 слайд

  7
  9 задание. На рисунке изображены графики функций f(x)=5х+9 и g(x)= ах²+bx+c, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки B

  Решение. По графику с=-3.График функции g(x) проходит через точки (-2;-1);(-1;-3);(2;3).
  Подставим координаты точки (-1;-3), получим
  -3=а- b-3.Отсюда а=b.
  g(x)= ах²+аx-3.
  Подставим координаты точки (2;3), получим, что а=1.
  g(x)= х²+x-3.
  Чтобы найти абсциссу точки ,нужно решить уравнение х²+x-3=5х+9,
  х²-4x-12=0.
  По теореме Виета х 𝟏 ·х 𝟐 =-12, х 𝟏 + х 𝟐 =4
  По графику х 𝟏 =-2, тогда х 𝟐 =6.
  Ответ:6

• 

  13 слайд

  Решение.
  f(x)= 𝒂(x-m)²+n,где m, n-координаты вершины параболы.
  m=-3,n=3, 𝒂 =1.
  f(x)=(x-(-3))²+3
  f(x)=(x+3)²+3,
  f(x)=х²+6х+12, так как f(x)=0.
  то х²+6х+12=0
  D=6²-4·1·12= -12.
  Ответ:-12
  Решите 9 задание
  На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒂x²+bx+c,где числа 𝒂 ,b и c-целые. Найдите значение дискриминанта уравнения f(x)=0.
  8

• 

  14 слайд

  Решение.
  |bx+c|=0 в точке излома. Значит, bx+c=0 при х=2.

  Ответ:2
  9

  9 задание
  На рисунке изображен график функции вида 𝒇 𝒙 = 𝒂 x+|bx+c|+d, где числа 𝒂,b, c и d-целые.
  Найдите корень уравнения bx+c=0

• 

  15 слайд

  9 задание.
  На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax + |bx + c| +d, где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d=0.

  Решение.
  |bx + c|=0 в точке излома при х=1,
  Если х<1,то f(x)=ax -bx — c +d=(а-b)х+ d-с, где (а-b)-угловой коэффициент, (d-с)-ордината точки пересечения прямой с осью Ох.
  По графику а-b=-4; d-с=5.
  Если х>1,то f(x)=ax +bx + c +d=(а+b)х+с+ d, где а+b-угловой коэффициент, по графику а+b=2.
  Продолжив прямую до пересечения с осью Оу, получим , что с+ d =-1.

  Решив эти системы а−b=−4 а+b=𝟐 и с+ d =−1 d−с=5 , получим,что
  a=-1;b=3;c=-3;d=2. Подставив найденные значения в уравнение ax +d=0 , получим -x + 2=0,
  х=2.
  Ответ:2

  10
  5
  -1

• 

  16 слайд

  11 На рисунке изображен график функции вида f(x)= 𝒂 cos(bπx+c)+d, где числа 𝒂,b, c и d-целые. Найдите 𝒇 𝟏𝟎𝟎 𝟑 .
  Решение.
  По графику 𝒇 𝒎𝒂𝒙 =𝟏,𝒇 𝒎𝒊𝒏 =-3
  d= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 + 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏−𝟑 𝟐 = -1. |a|= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 − 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏+𝟑 𝟐 =2.
  По графику 𝒂 =2, c=0, T=2
  T= 𝟐𝝅 𝒃𝝅 = 𝟐 𝒃 , то есть 𝟐 𝒃 =2, отсюда b=1
  f(x)=2cosπx-1,
  f 𝟏𝟎𝟎 𝟑 =f 𝟗𝟔 𝟑 + 𝟒 𝟑 =𝒇 𝟑𝟐+ 𝟒 𝟑 =f 𝟒 𝟑 ,
  f 𝟒 𝟑 =2cosπ· 𝟒 𝟑 -1 = 2cos 𝟒 𝟑 π-1 = 2cos π+ π 𝟑 -1= -2cos π 𝟑 −1= -2.
  Ответ:-2

  Т=2

• 

  17 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)=k х. Найдите f(2,56)
  Решение.
  График этой функции проходит через точку (4;-3).Подставив координаты этой точки, получим
  -3=k 𝟒 ,
  2k=-3,
  k =-1,5.
  f(2,56)=-1,5 𝟐,𝟓𝟔 =−1,5·1,6=−2,4.

  Ответ:-2,4

  12

• 

  18 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒌 𝒙 +a. Найдите f (0,25)

  Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту y=-2, значит, а=-2.
  (График функции f(x)= 𝒌 𝒙 +a получается сдвигом графика функции f(x)= 𝒌 𝒙 вдоль оси Оу на величину |а| вверх, если а>0 и вниз если a<0)
  По графику а= -2 и проходит через точку (3;-3).
  -3= 𝒌 𝟑 -2 отсюда k=-3.Значит,
  f(x)= −𝟑 𝒙 -2,
  f(0,25)= −𝟑 𝟎,𝟐𝟓 -2= -14.
  Ответ:- 14

  13

• 

  19 слайд

  14
  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒌 𝒙+а . Найдите f −𝟒 𝟐 𝟑 .
  Решение.
  График функции имеет вертикальную асимптоту x=2, значит, а= — 2.
  (График функции f(x)= 𝒌 𝒙+а получается сдвигом графика функции f(x)= 𝒌 𝒙 вдоль оси Ох на величину |а| влево, если а>0 и вправо если a<0).
  По графику а= -2 и проходит через точку (-3;-1).
  -1= 𝒌 −𝟑−𝟐 , отсюда k=5.Значит,
  f(x)= 𝟓 𝒙−𝟐 ,
  f −𝟒 𝟐 𝟑 = 𝟓 −𝟒 𝟐 𝟑 −𝟐 =5: −𝟔 𝟐 𝟑 =-0,75.
  Ответ:-0,75

• 

  20 слайд

  9 задание. На рисунке изображён график функции вида f(x)= 𝒂 𝒙+𝒃 +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(13).
  Решение.
  График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2, значит, c=2.
  График функции имеет вертикальную асимптоту x=3, значит, b= — 3.
  По графику f(2)=1, тогда 𝒂 𝟐−𝟑 +2=1, отсюда a=1.
  Таким образом, f(x)= 𝟏 х−𝟑 +2
  Найдём f(13)= 𝟏 𝟏𝟑−𝟑 +2=2,1.
  f(13)=2,1.
  Ответ:2,1
  15

• 

  21 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒌𝒙+𝒂 𝒙+𝒃 . Найдите k
  Решение.
  Преобразуем данную функцию
  f(x)= 𝒌𝒙+𝒂 𝒙+𝒃 = 𝒌𝒙+𝒌𝒃−𝒌𝒃+𝒂 𝒙+𝒃 = 𝒌(𝒙+𝒃)−𝒌𝒃+𝒂 𝒙+𝒃 =𝒌+ 𝒂−𝒌𝒃 𝒙+𝒃 .
  Или

  f(x)=𝒌+ 𝒂−𝒌𝒃 𝒙+𝒃

  График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2,
  значит, k=2.
  Ответ:2

  16

• 

  22 слайд

  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒌𝒙+𝒂 𝒙+𝒃 . Найдите a
  Решение.
  Преобразуем данную функцию
  f(x)= 𝒌𝒙+𝒂 𝒙+𝒃 = 𝒌𝒙+𝒌𝒃−𝒌𝒃+𝒂 𝒙+𝒃 = 𝒌(𝒙+𝒃)−𝒌𝒃+𝒂 𝒙+𝒃 =𝒌+ 𝒂−𝒌𝒃 𝒙+𝒃 .
  Или
  График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2, значит, k=2.
  График функции имеет вертикальную асимптоту x=3, значит, b= — 3.
  По графику f(5)=3, тогда 3= 𝟐·𝟓+𝒂 𝟏−𝟑 , отсюда а=-4.
  Ответ:-4
  17
  f(x)=𝒌+ 𝒂−𝒌𝒃 𝒙+𝒃

• 

  23 слайд

  18
  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)=b+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 x.Найдите значение х при котором f(x)=2.
  Решение.
  График функции f(x)= b+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 x получается сдвигом графика функции f(x)= 𝒍𝒐𝒈 𝒂 x. вдоль оси Оу на величину
  |b| вверх, если b >0 и вниз если b <0.
  По графику b = -2 и проходит через точку (3;-1).
  -1= -2+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝟑, отсюда а=3.Значит,
  f(x)= -2 +𝒍𝒐𝒈 𝟑 x, найдем х при котором f(x)=2.
  2=-2 +𝒍𝒐𝒈 𝟑 x,
  𝒍𝒐𝒈 𝟑 x=4, значит, х=81.
  Ответ:81

• 

  24 слайд

  19
  9 задание. На рисунке изображен график функции f(x)= 𝒂 𝒙+𝒃 .Найдите значение х при котором f(-5).
  Решение.
  График функции f(x)= 𝒂 𝒙+𝒃 получается сдвигом графика функции f(x)= 𝒂 𝒙 вдоль оси Ох на величину |b| влево, если b>0 и вправо если b<0.
  По графику b= —1 и проходит через точку (3;2).
  𝟐= 𝒂 𝟐 отсюда а = 𝟐 .Значит,
  f(-5)= 𝟐 −𝟓−𝟏 = 𝟏 𝟐 𝟔 = 𝟏 𝟖 =𝟎,𝟏𝟐𝟓
  Ответ:0,125

• 

  25 слайд

  9 задание. На рисунке изображён график функции вида f(x)= 𝒂 cos(bπx+c)+d, где числа 𝒂,b, c и d-целые. Найдите 𝒇 − 𝟖 𝟑 .
  Решение.
  По графику 𝒇 𝒎𝒂𝒙 =𝟏,𝒇 𝒎𝒊𝒏 =-3
  d= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 + 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏−𝟑 𝟐 = -1. |a|= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 − 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏+𝟑 𝟐 =2.
  По графику 𝒂 =-2, c=0, T=2
  T= 𝟐𝝅 𝒃𝝅 = 𝟐 𝒃 , то есть 𝟐 𝒃 =2, отсюда b=1
  f(x)=-2cosπx-1,
  f − 𝟖 𝟑 =f 𝟖 𝟑 =f 𝟔 𝟑 + 𝟐 𝟑 =𝒇 𝟐+ 𝟐 𝟑 =f 𝟐 𝟑 ,
  f 𝟐 𝟑 =-2cosπ· 𝟐 𝟑 -1 = -2cos 𝟐 𝟑 π-1 = -2cos π− π 𝟑 -1= 2cos π 𝟑 −1= 0.
  Ответ:0
  20

• 

  26 слайд

  1.ПРОЕКТ. Демонстрационный вариант
  контрольных измерительных материалов
  единого государственного экзамена 2022 года
  по МАТЕМАТИКЕ. Профильный уровень. ФИПИ

  2.Статград. Новое ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.

  3.Образовательный портал «СДАМ ГИА» Математика профильного уровня.

• 

  27 слайд

  Хорошие результаты ЕГЭ и ОГЭ по математике позволяют выпускникам школы успешно решить свои жизненные планы.

• 

• 

  29 слайд

  Мастер-класс был актуальным, полезным, интересным
  Ничего нового на мастер- классе я для себя не узнал
  Нарисуйте пятиугольгик или треугольник

• 

• 

• 

  32 слайд

  Спасибо вам за то, что вы есть…

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 153 498 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»