Графики функций теория для егэ профиль 2022 - Exhelper.top

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 10 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

$left{ begin{array}{c}3k+b=4 \-k+b=-3 end{array}right..$

Вычтем из первого уравнения второе:

$left{ begin{array}{c}4k=7 \-k+b=-3 end{array};right. left{ begin{array}{c}k=frac{7}{4} \b=-frac{5}{4} end{array}right. .$

Уравнение прямой имеет вид:

$displaystyle y=frac{7}{4}x-frac{5}{4}.$

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

$displaystyle frac{7}{4}x-frac{5}{4}=-13,5;$

7x=-49;

x=-7.

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция y=-x+1.

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции y=kx+b.

$left{ begin{array}{c}-k+b=-1 \-2k+b=4 end{array}right. .$

Вычтем из первого уравнения второе.

k=-5; тогда b=-6.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

$left{ begin{array}{c}y=-x+1 \y=-5x-6 end{array} ;right. begin{array}{c}-x+1=-5x-6 ; \x=-frac{7}{4}=-1,75. end{array}$

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой y=x+1, так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен $displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: b=7, эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

x=-12.

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола $y={left(x-aright)}^2,$ полученная из графика функции y=x^2 сдвигом на 1 вправо, то есть a=1.

Получим: $fleft(xright)={left(x-1right)}^2=x^2-2x+1;$

b=-2.

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции $y={left(x-cright)}^2$ . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при x^2 положительный. График сдвинут относительно графика функции y=x^2 на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид $y={left(x-1right)}^2$ .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

$left{ begin{array}{c}2+b+c=1 \2cdot 4-2b+c=-2 end{array}right. .$

$left{ begin{array}{c}b+c=-1 \-2b+c=-10 end{array};right.$ отсюда b=3, c=-4.

Формула функции имеет вид:

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому c=-3.

График функции g(x) проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

$left{ begin{array}{c}a-b-3=-3 \4a+2b-3=3 end{array};right.$ отсюда a=b=1;

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

x=-2 (это абсцисса точки A) или x=6 (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций $displaystyle fleft(xright)=frac{k}{x}$ и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции $displaystyle y=frac{k}{x}$ проходит через точку (2; 1); значит, $displaystyle frac{k}{2}=1;$

$displaystyle k=2, ; fleft(xright)=frac{2}{x}.$

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), a=5 — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда b=-9.

Для точек A и B имеем:

$displaystyle frac{2}{x}=5x-9;$

Отсюда x=2 (абсцисса точки A) или x=-0,2 (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит, k=2,5;

Тогда

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)=a^{x+b}.$ Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции $fleft(xright)=a^{x+b},$ получим:

$left{ begin{array}{c}a^{-3+b}=1 \a^{1+b}=4 end{array}.right.$

Поделим второе уравнение на первое:

$a^{1+b+3-b}=4; ; a^4=4;; a=sqrt{2}.$

Подставим во второе уравнение:

$displaystyle {sqrt{2}}^{1+b}=4;; 2^{frac{1+b}{2}}=2^2;; 1+b=4;; b=3.$

$displaystyle fleft(xright)={left(sqrt{2}right)}^{x+3};; fleft(-7right)={left(sqrt{2}right)}^{-7+3}={left(sqrt{2}right)}^{-4}=frac{1}{4}=0,25.$

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

Решение:

График функции проходит через точку Это значит, что

a=2, формула функции имеет вид: .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)={{log}_a left(x+bright)}.$ Найдите

Решение:

График функции $y={{log}_a left(x+bright) }$ проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

$left{ begin{array}{c}{{log}_a left(-3+bright)=1 } \{{log}_a left(-1+bright) }=2 end{array}.right.$

Отсюда: $left{ begin{array}{c}b-3=a \b-1=a^2 end{array}.right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

a=2 или a=-1 — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тогда $fleft(xright)={{log}_2 left(x+5right) };$

$fleft(11right)={{log}_2 16=4.}$

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции $fleft(xright)=a{{log}_5 x }-c$ .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

$left{ begin{array}{c}a{{log}_5 1 }-c=-2 \a{{log}_5 5 }-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}-c=-2 \a-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}c=2 \a=5 end{array}.right.$

Формула функции: $fleft(xright)=5{{log}_5 x }-2.$

Найдем $displaystyle fleft(0,2right)=fleft(frac{1}{5}right)$ :

$displaystyle 5cdot {{log}_5 frac{1}{5} }-2=-5-2=-7.$

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, b=1,5. Амплитуда a=2 (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 1,5 .

Ответ: b=1,5.

16. На рисунке изображён график функции

Найдите .

Решение:

На рисунке — график функции Так как b=-1,5.

График функции проходит через точку A $displaystyle (frac{pi}{4}; ; frac{1}{2}).$ Подставим и координаты точки А в формулу функции.

$displaystyle a tg frac{pi}{4}-1,5=frac{1}{2}.$

Так как $displaystyle tg frac{pi}{4}=1,$ получим: a = 2.

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Вебинар на тему: «Задание 9 в профильном ЕГЭ по математике 2022 года. Графики функций».

Лектор: Кулабухов Сергей Юрьевич

Графики функций на ЕГЭ 2022 года. Задание №9

→ презентация решение задач №9

→ практика по заданию №9 профильного ЕГЭ по математике 2022

Связанные страницы:

Источник

Функции ЕГЭ по математике

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Функции».

Содержание темы:

3. ФУНКЦИИ
3.1. Основные понятия и определения
3.2. Графики элементарных функций
3.3. Преобразования графиков функций
3.4. Изображения некоторых множеств точек на плоскости
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Источник

1.

Задание 9 ЕГЭ- 2022
профильного
уровня по
математике
Графики функций
Рубцова Т.Г.
МБОУ Калманская СОШ имени Г.А. Ударцева, Алтайский край
2022 г.

2.

Кодификатор ЕГЭ 2022

3.

4.

Раздел 1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

5.

Степенные функции

6.

Степенные функции

7.

Показательная и логарифмическая
функции

8.

Тригонометрические функции

9.

Обратные тригонометрические функции

10.

Раздел 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

11.

Сдвиг по горизонтали
Пусть функция задана формулой y = f(x) и a>0. Тогда график функции
y = f(x — m) сдвинут относительно исходного на m вправо. График
функции y = f(x + m) сдвинут относительно исходной на m влево.

12.

Сдвиг по вертикали
Пусть функция задана формулой y = f(x) и a>0 и С — некоторое
положительное число. Тогда график функции y = f(x)+n сдвинут
относительно исходного на n вверх. График функции y = f(x)-n сдвинут
относительно исходного на n вниз.

13.

Растяжение (сжатие) по горизонтали
Пусть функция задана формулой y = f(x) и k>0. Тогда график
функции y=(kx) растянут относительно исходного в k раз по
горизонтали, если 0<k<1, и сжат относительно исходного в k раз по
горизонтали, если k>1.

14.

Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой y = f(x) и M>0. Тогда график
функции y = M∙f(x) растянут относительно исходного в М раз по
вертикали, если M>1 , и сжат относительно исходного в М раз по
вертикали, если 0<M<1.

15.

Отражение по горизонтали
График функции y = f(-x) симметричен графику функции y = f(x)
относительно оси Y.

16.

Отражение по вертикали
График функции y = -f(x) симметричен графику функции y = f(x)
относительно оси Х.

17.

Графики функций y = f(|x|) и y = |f(x)|

18.

Раздел 3
ВИДЫ ЗАДАЧ
И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

19.

Виды задач
Используя предложенный график функции,
найти:
значения коэффициентов в уравнении функции;
абсциссу или ординату вершины параболы;
значение функции по данному значению
аргумента или значение аргумента по
заданному значению функции;
абсциссу или ординату точки пересечения
графиков функций;
значение дискриминанта квадратного
уравнения f(x)=т;
корень уравнения ax+d=0 или bx+c=0 (для
кусочно-линейных функций).

20.

Способы решения:
1) Нахождение коэффициентов функции через
решение систем уравнений, используя
целочисленные координаты точек графика ( в том
числе и точек пересечения с осями).
2) Нахождение коэффициентов, используя
вспомогательные формулы. Например, формулу
тангенса угла наклона прямой, абсциссы вершины
параболы, периодичности функции и др.)
3) Преобразование формулы, задающую функцию.
4) Нахождение коэффициентов через
преобразования графиков функций.

21.

1 способ

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

2 способ

29.

30.

3 способ

31.

32.

4 способ

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

Кусочно-линейная функция

40.

41.

42.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ
https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/elementarnyefunkcii-i-ix-grafiki/
https://ege-study.ru/preobrazovanie-grafikov-funkcij/
https://ege-study.ru/ru/ege/podgotovka/matematika/zadanie-9-egepo-matematike-grafiki-funkcij/
https://ege.sdamgia.ru/test?theme=191
https://unikum.rudn.ru/blog/printsipy-resheniya-zadachi-9-ege-pomatematike-2022
https://zen.yandex.ru/media/shevkin/kusochnolineinaia-funkciiazadanie-9-v-ege2022-61894df122ed344ee28e551d

Источник

Слайд 1

Решение заданий ЕГЭ нового типа № 9 Анализ графиков

Слайд 2

Линейная функция f(x) = kx+b f (12) -? k = tg x = График функции проходит через точку с координатами (4;1) 1= * 4+ b 1= 1,5+b b= — 0,5 f(12) = x-0,5= *12 — 0,5 = 4

Слайд 3

Парабола y= y=a(x — m m – абсцисса вершины параболы n – ордината вершины параболы Коэффициент а отвечает за «расширение» или «сжатие» ветвей параболы. Чем больше |a|, тем «уже» парабола, чем меньше | a| , тем «шире» парабола. f(x) = f (-1) = (- 1 -5

Слайд 4

Гипербола График функции имеет вертикальную асимптоту х = 1, значит а = 1. График проходит через точку с координатами (2;1) 1 = k = 3 f(x) = f(19) =

Слайд 5

Гипербола Преобразуем функцию (выделим целую часть) kx+a x+b — kx+kb k f(x) = k + a-kb График имеет горизонтальную асимптоту y = 1, значит к=1

Слайд 6

Гипербола k – горизонтальная асимптота b – вертикальная асимптота y = — 2 k = -2

Слайд 7

Логарифмическая функци я График f(x) = log a x проходит через точку с координатами (1;0). График f(x) = b + log a x получается сдвигом графика f(x) = log a x вдоль оси ОУ вниз на 2 единичных отрезка, значит b = -2. График функции проходит через точку (3;1). -1 = -2 + а = 3 f(27) = — 2 + = -2+3 = 1

Слайд 8

Показательная функция График f(x) = проходит через точку с координатами (0;1). График f(x) = + b получается сдвигом графика у = вдоль оси ОУ вниз на 4 единичных отрезка, значит b = -4. График функции проходит через точку (-3;4). 4 = = 8 а = а = f (-5) = — 4 = 32 – 4 = 28

Слайд 9

Иррациональная функция График функции f (x) = a проходит через точку (4; 5 ). 5 = a a = 2 ,5 f (x) = 2 ,5 g (x) = kx + b, b = -2 k = tg α = g (x) = 2,5 = 10 = 3x – 8 100 x = 9 9 D = — 64 *9 = (74 – 8*3) (74 + 8*3) = 50*98

Слайд 10

Тригонометрические функции Множеством значений y = cos x является отрезок [ — 1; 1]. График расположен в промежутке между прямыми у = -1 и у = 1. 1 способ: 8 : 4 = 2 => а = 2 2 способ: |a| = => а = 2 3 способ: график проходит через точки с координатами (0 ; 1,5) и ( π ; — 2,5) a = 2

Источник

Функции ЕГЭ по математике

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Новое и интересное на сайте: