Графики с корнем егэ

Всего: 17    1–17

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 17    1–17

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

ЕГЭ Профиль №10. Иррациональные функцииadmin2023-01-16T10:23:57+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №10. Иррациональные функции

Задача 1. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)   Найдите  (fleft( {6,76} right).) Ответ ОТВЕТ: 6,5.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {4;5} right)). Следовательно: (5 = ksqrt 4 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2k = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,k = frac{5}{2}.) Таким образом:   (fleft( x right) = frac{5}{2}sqrt x )   и   (fleft( {6,76} right) = frac{5}{2}sqrt {6,76}  = frac{5}{2} cdot 2,6 = 6,5.) Ответ: 6,5.
Задача 2. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)   Найдите  (fleft( {32} right).) Ответ ОТВЕТ: 8.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {8;4} right)). Следовательно: (4 = ksqrt 8 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = frac{4}{{sqrt 8 }} = frac{4}{{2sqrt 2 }} = sqrt 2 .) Таким образом:   (fleft( x right) = sqrt 2  cdot sqrt x )   и   (fleft( {32} right) = sqrt 2  cdot sqrt {32}  = sqrt {64}  = 8.) Ответ: 8.
Задача 3. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)   Найдите  (fleft( {2,56} right).) Ответ ОТВЕТ: — 2,4.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {4; — 3} right)). Следовательно: ( — 3 = ksqrt 4 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2k =  — 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,k =  — frac{3}{2}.) Таким образом:   (fleft( x right) =  — frac{3}{2}sqrt x )   и    (fleft( {2,56} right) =  — frac{3}{2}sqrt {2,56}  =  — frac{3}{2} cdot 1,6 =  — 2,4.) Ответ: – 2,4.
Задача 4. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)   Найдите  (fleft( {12,5} right).) Ответ ОТВЕТ: — 5.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {2; — 2} right)). Следовательно: ( — 2 = ksqrt 2 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — frac{2}{{sqrt 2 }} =  — sqrt 2 .) Таким образом:   (fleft( x right) =  — sqrt 2  cdot sqrt x )   и   (fleft( {12,5} right) =  — sqrt 2  cdot sqrt {12,5}  =  — sqrt {25}  =  — 5.) Ответ: – 5.
Задача 5. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) = 3,5.) Ответ ОТВЕТ: 1,96.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {4;5} right)). Следовательно: (5 = ksqrt 4 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2k = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,k = frac{5}{2}.) Таким образом:   (fleft( x right) = frac{5}{2}sqrt x )   и   (frac{5}{2}sqrt x  = 3,5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x  = frac{7}{5},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 1,96.) Ответ: 1,96.
Задача 6. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) = 7.) Ответ ОТВЕТ: 24,5.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {8;4} right)). Следовательно: (4 = ksqrt 8 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = frac{4}{{sqrt 8 }} = frac{4}{{2sqrt 2 }} = sqrt 2 .) Таким образом:   (fleft( x right) = sqrt 2  cdot sqrt x )  и   (sqrt {2x}  = 7,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2x = 49,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 24,5.) Ответ: 24,5.
Задача 7. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) =  — 12.) Ответ ОТВЕТ: 64.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {4; — 3} right)). Следовательно: ( — 3 = ksqrt 4 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2k =  — 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,k =  — frac{3}{2}.) Таким образом:   (fleft( x right) =  — frac{3}{2}sqrt x )   и   ( — frac{3}{2}sqrt x  =  — 12,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x  = 8,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 64.) Ответ: 64.
Задача 8. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = ksqrt x .)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) =  — 8.) Ответ ОТВЕТ: 32.
Решение График функции (fleft( x right) = ksqrt x ) проходит через точку (left( {2; — 2} right)). Следовательно: ( — 2 = ksqrt 2 ,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — frac{2}{{sqrt 2 }} =  — sqrt 2 .) Таким образом:   (fleft( x right) =  — sqrt 2  cdot sqrt x )   и   ( — sqrt {2x}  =  — 8,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,sqrt {2x}  = 8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 64,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 32.) Ответ: 32.
Задача 9. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = asqrt x ) и (gleft( x right) = k,x + b,,)  которые пересекаются в точке  A. Найдите абсциссу точки А. Ответ ОТВЕТ: 16.
Решение График функции (fleft( x right) = asqrt x ) проходит через точку (left( {4;5} right)). Следовательно: (5 = asqrt 4 ,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a = 5,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{5}{2})   и   (fleft( x right) = frac{5}{2}sqrt x ). График линейной функции (gleft( x right) = kx + b) проходит через точки (left( {4;1} right)) и (left( {8;4} right)). Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4k + b}\{4 = 8k + b}end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое:   (3 = 4k,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,k = frac{3}{4}.) Тогда:   (1 = 4 cdot frac{3}{4} + b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b =  — 2)   и   (gleft( x right) = frac{3}{4}x — 2.) Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{5}{2}sqrt x }\{y = frac{3}{4}x — 2}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{5}{2}sqrt x  = frac{3}{4}x — 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,10sqrt x  = 3x — 8.} right.) Пусть (sqrt x  = t), где (t ge 0). Тогда: (10t = 3{t^2} — 8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,3{t^2} — 10t — 8 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{t_1} =  — frac{2}{3},,,,{t_2} = 4.) Корень ({t_1} =  — frac{2}{3}) не удовлетворяет условию (t ge 0). Следовательно:  (sqrt x  = 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 16.) Таким образом, абсцисса точки А равна 16. Ответ: 16.
Задача 10. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = asqrt x ) и (gleft( x right) = k,x + b,,)  которые пересекаются в точке  A. Найдите абсциссу точки А. Ответ ОТВЕТ: 2,25.
Решение График функции (fleft( x right) = asqrt x ) проходит через точку (left( {4;3} right)). Следовательно: (3 = asqrt 4 ,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a = 3,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{3}{2})   и   (fleft( x right) = frac{3}{2}sqrt x ). График линейной функции (gleft( x right) = kx + b) проходит через точки (left( {3;2} right)) и (left( {6;1} right)). Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = 3k + b}\{1 = 6k + b}end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое:    ( — 1 = 3k,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,k =  — frac{1}{3}.) Тогда:    (2 = 3 cdot left( { — frac{1}{3}} right) + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = 3)   и   (gleft( x right) =  — frac{1}{3}x + 3.) Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{3}{2}sqrt x ,,,,,,}\{y =  — frac{1}{3}x + 3}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{3}{2}sqrt x  =  — frac{1}{3}x + 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,9sqrt x  =  — 2x + 18.} right.) Пусть (sqrt x  = t), где (t ge 0). Тогда: (9t =  — 2{t^2} + 18,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{t^2} + 9t — 18 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{t_1} =  — 6,,,,{t_2} = frac{3}{2}.) Корень ({t_1} =  — 6) не удовлетворяет условию (t ge 0). Следовательно:   (sqrt x  = frac{3}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 2,25.) Таким образом, абсцисса точки А равна 2,25. Ответ: 2,25.
Задача 11. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = asqrt x ) и (gleft( x right) = k,x + b,,)  которые пересекаются в точке  A. Найдите ординату точки А. Ответ ОТВЕТ: — 9.
Решение График функции (fleft( x right) = asqrt x ) проходит через точку (left( {4; — 3} right)). Следовательно: ( — 3 = asqrt 4 ,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a =  — 3,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a =  — frac{3}{2})   и   (fleft( x right) =  — frac{3}{2}sqrt x ). График линейной функции (gleft( x right) = kx + b) проходит через точки (left( {3;2} right)) и (left( {6;1} right)). Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = 3k + b}\{1 = 6k + b}end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое:   ( — 1 = 3k,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,k =  — frac{1}{3}.) Тогда:   (2 = 3 cdot left( { — frac{1}{3}} right) + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 3)   и   (gleft( x right) =  — frac{1}{3}x + 3.) Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y =  — frac{3}{2}sqrt x ,,,,,,}\{y =  — frac{1}{3}x + 3}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{3}{2}sqrt x  =  — frac{1}{3}x + 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,9sqrt x  = 2x — 18.} right.) Пусть (sqrt x  = t), где (t ge 0). Тогда: (9t = 2{t^2} — 18,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{t^2} — 9t — 18 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{t_1} =  — frac{3}{2},,,,{t_2} = 6.) Корень ({t_1} =  — frac{3}{2}) не удовлетворяет условию (t ge 0). Следовательно:   (sqrt x  = 6,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 36.) Тогда:  (y =  — frac{3}{2}sqrt {36}  =  — 9)   и ордината точки А равна – 9. Ответ: – 9.
Задача 12. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = asqrt x ) и (gleft( x right) = k,x + b,,)  которые пересекаются в точке  A. Найдите ординату точки А. Ответ ОТВЕТ: — 10.
Решение График функции (fleft( x right) = asqrt x ) проходит через точку (left( {4; — 5} right)). Следовательно: ( — 5 = asqrt 4 ,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a =  — 5,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a =  — frac{5}{2})   и   (fleft( x right) =  — frac{5}{2}sqrt x ). График линейной функции (gleft( x right) = kx + b) проходит через точки (left( {0;4} right)) и (left( {8; — 3} right).) Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = 0 cdot k + b}\{ — 3 = 8k + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = 4,,,,,,,,,,,,}\{ — 3 = 8k + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 3 = 8k + 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — frac{7}{8}.) Тогда: (gleft( x right) =  — frac{7}{8}x + 4.) Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y =  — frac{5}{2}sqrt x ,,,,,,}\{y =  — frac{7}{8}x + 4}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{5}{2}sqrt x  =  — frac{7}{8}x + 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,20sqrt x  = 7x — 32.} right.) Пусть (sqrt x  = t), где (t ge 0). Тогда: (20t = 7{t^2} — 32,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,7{t^2} — 20t — 32 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{t_1} =  — frac{8}{7},,,,{t_2} = 4.) Корень ({t_1} =  — frac{8}{7}) не удовлетворяет условию (t ge 0). Следовательно:  (sqrt x  = 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 16.) Тогда:  (y =  — frac{5}{2}sqrt {16}  =  — 10)   и ордината точки А равна – 10. Ответ: – 10.

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

• Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
• Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
• Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности § 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль § 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами § 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением

Задания по теме «Задачи с параметром»

Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= sqrt <80>= 4sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).