09
Янв 2022
Категория: 10 Графики функций
2022-01-09
2022-09-11
Задача 1. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение: + показать
Задача 2. На рисунке изображён график функции вида 
где числа 
и 
— целые. Найдите значение 
, при котором 
Решение: + показать
Задача 3. На рисунке изображён график функции вида где 
– целые числа. Найдите 
Решение: + показать
Задача 4. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение: + показать
Задача 5. На рисунке изображены графики функций 
и 
и которые пересекаются в точках 
и 
. Найдите ординату точки 
Решение: + показать
Вы можете пройти тест “Гиперболы”
Автор: egeMax |
Нет комментариев
ЕГЭ Профиль №10. Гипербола
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №10. Гипербола
| Задача 1. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите (fleft( { — 12} right).)
Ответ
ОТВЕТ: 0,75. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = frac{k}{1} + a}\{2 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.) Тогда: (4 = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1) и (fleft( { — 12} right) = frac{3}{{ — 12}} + 1 = 0,75.) Ответ: 0,75. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1;4} right)), поэтому: (4 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1) и (fleft( { — 12} right) = frac{3}{{ — 12}} + 1 = 0,75.) Ответ: 0,75. |
|
| Задача 2. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите (fleft( {50} right).)
Ответ
ОТВЕТ: — 2,96. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {2; — 2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{1} + a}\{ — 2 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.) Тогда: ( — 1 = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 3.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{2}{x} — 3) и (fleft( {50} right) = frac{2}{{50}} — 3 = — 2,96.) Ответ: – 2,96. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = — 3). Следовательно, (a = — 3). График проходит через точку (left( {1; — 1} right)), поэтому: ( — 1 = frac{k}{1} — 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{2}{x} — 3) и (fleft( {50} right) = frac{2}{{50}} — 3 = — 2,96.) Ответ: – 2,96. |
|
| Задача 3. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите (fleft( {7,5} right).)
Ответ
ОТВЕТ: 1,6. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {3;1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{1} + a}\{1 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Тогда: ( — 1 = — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = — frac{3}{x} + 2) и (fleft( {7,5} right) = — frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.) Ответ: 1,6. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( {1; — 1} right)), поэтому: ( — 1 = frac{k}{1} + 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Таким образом, (fleft( x right) = — frac{3}{x} + 2) и (fleft( {7,5} right) = — frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.) Ответ: 1,6. |
|
| Задача 4. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите (fleft( {0,25} right).)
Ответ
ОТВЕТ: — 14. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {3; — 3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = frac{k}{1} + a}\{ — 3 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Тогда: ( — 5 = — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = — frac{3}{x} — 2) и (fleft( {0,25} right) = — frac{3}{{0,25}} — 2 = — 14.) Ответ: – 14. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = — 2). Следовательно, (a = — 2). График проходит через точку (left( {1; — 5} right)), поэтому: ( — 5 = frac{k}{1} — 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Таким образом, (fleft( x right) = — frac{3}{x} — 2) и (fleft( {0,25} right) = — frac{3}{{0,25}} — 2 = — 14.) Ответ: – 14. |
|
| Задача 5. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.
Ответ
ОТВЕТ: — 15. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = frac{k}{1} + a}\{2 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.) Тогда: (4 = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1) и (frac{3}{x} + 1 = 0,8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{3}{x} = — frac{1}{5},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = — 15.) Ответ: – 15. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1;4} right)), поэтому: (4 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1) и (frac{3}{x} + 1 = 0,8,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{3}{x} = — frac{1}{5},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = — 15.) Ответ: – 15. |
|
| Задача 6. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите, при каком значении x значение функции равно 19.
Ответ
ОТВЕТ: 0,1. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( {2;0} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = frac{k}{1} + a}\{0 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.) Тогда: (1 = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{2}{x} — 1) и (frac{2}{x} — 1 = 19,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{2}{x} = 20,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 0,1.) Ответ: 0,1. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = — 1). Следовательно, (a = — 1). График проходит через точку (left( {1;1} right)), поэтому: (1 = frac{k}{1} — 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{2}{x} — 1) и (frac{2}{x} — 1 = 19,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{2}{x} = 20,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 0,1.) Ответ: 0,1. |
|
| Задача 7. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,75.
Ответ
ОТВЕТ: 16. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 3} right)) и (left( {2; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = frac{k}{1} + a}\{ — 1 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 4.) Тогда: ( — 3 = — 4 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = — frac{4}{x} + 1) и ( — frac{4}{x} + 1 = 0,75,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{4}{x} = — frac{1}{4},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 16.) Ответ: 16. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1; — 3} right)), поэтому: ( — 3 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 4.) Таким образом, (fleft( x right) = — frac{4}{x} + 1) и ( — frac{4}{x} + 1 = 0,75,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,, — frac{4}{x} = — frac{1}{4},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 16.) Ответ: 16. |
|
| Задача 8. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.) Найдите, при каком значении x значение функции равно ( — 9,5.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,4. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {3; — 3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = frac{k}{1} + a}\{ — 3 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Тогда: ( — 5 = — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = — frac{3}{x} — 2) и ( — frac{3}{x} — 2 = — 9,5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{3}{x} = — frac{{15}}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 0,4.) Ответ: 0,4. 2 Способ Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = — 2). Следовательно, (a = — 2). График проходит через точку (left( {1; — 5} right)), поэтому: ( — 5 = frac{k}{1} — 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = — 3.) Таким образом, (fleft( x right) = — frac{3}{x} — 2) и ( — frac{3}{x} — 2 = — 9,5,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{3}{x} = — frac{{15}}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 0,4.) Ответ: 0,4. |
|
| Задача 9. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите (fleft( {19} right).)
Ответ
ОТВЕТ: 0,15. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {0;3} right)) и (left( {2;1} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = frac{k}{{0 + a}}}\{1 = frac{k}{{2 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3a,,,,,}\{k = 2 + a}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3a = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1,,,,k = 3.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}}) и (fleft( {19} right) = frac{3}{{19 + 1}} = 0,15.) Ответ: 0,15. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = — 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {0;3} right)), поэтому: (3 = frac{k}{{0 + 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}}) и (fleft( {19} right) = frac{3}{{19 + 1}} = 0,15). Ответ: 0,15. |
|
| Задача 10. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите (fleft( { — 4frac{2}{3}} right).)
Ответ
ОТВЕТ: — 0,75. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( {1; — 5} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{{ — 3 + a}}}\{ — 5 = frac{k}{{1 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3 — a,,,,,}\{k = — 5 — 5a}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3 — a = — 5 — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2,,,,k = 5.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{5}{{x — 2}}) и (fleft( { — 4frac{2}{3}} right) = frac{5}{{ — 4frac{2}{3} — 2}} = frac{5}{{ — frac{{20}}{3}}} = — 0,75.) Ответ: – 0,75. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 2). Следовательно, (a = — 2). График проходит через точку (left( { — 3; — 1} right)), поэтому: ( — 1 = frac{k}{{ — 2 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{3}{{x — 2}}) и (fleft( { — 4frac{2}{3}} right) = frac{3}{{ — 4frac{2}{3} — 2}} = frac{5}{{ — frac{{20}}{3}}} = — 0,75.) Ответ: – 0,75. |
|
| Задача 11. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите (fleft( {18} right).)
Ответ
ОТВЕТ: — 0,1. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}}}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a,,,,,}\{k = 2a — 6,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k = — 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (fleft( {18} right) = frac{{ — 2}}{{18 + 2}} = — 0,1.) Ответ: – 0,1. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому: ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (fleft( {18} right) = frac{{ — 2}}{{18 + 2}} = — 0,1.) Ответ: – 0,1. |
|
| Задача 12. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите (fleft( {6frac{1}{3}} right).)
Ответ
ОТВЕТ: — 0,24. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}}}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a,,,,,}\{k = 2a — 6,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k = — 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (fleft( {6frac{1}{3}} right) = frac{{ — 2}}{{6frac{1}{3} + 2}} = frac{{ — 2}}{{frac{{25}}{3}}} = — 0,24.) Ответ: – 0,24. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому: ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (fleft( {6frac{1}{3}} right) = frac{{ — 2}}{{6frac{1}{3} + 2}} = frac{{ — 2}}{{frac{{25}}{3}}} = — 0,24.) Ответ: – 0,24. |
|
| Задача 13. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите значение x, при котором (fleft( x right) = 0,2.)
Ответ
ОТВЕТ: 14. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {0;3} right)) и (left( {2;1} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = frac{k}{a},,,,,,}\{1 = frac{k}{{2 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3a,,,,,,,,,,,}\{k = 2 + a,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3a = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1,,,,k = 3.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}}) и (frac{3}{{x + 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 1 = 15,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 14.) Ответ: 14. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = — 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {0;3} right)), поэтому: (3 = frac{k}{{0 + 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}}) и (frac{3}{{x + 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 1 = 15,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 14.) Ответ: 14. |
|
| Задача 14. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите значение x, при котором (fleft( x right) = — 0,08.)
Ответ
ОТВЕТ: — 24. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {2;2} right)) и (left( {3;1} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = frac{k}{{2 + a}},,,,,,}\{1 = frac{k}{{3 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 4 + 2a,,,,,,,,,,,}\{k = 3 + a,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right., Leftrightarrow ,,,,,,,4 + ,2a = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1,,,,k = 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{2}{{x — 1}}) и (frac{2}{{x — 1}} = — 0,08,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 = — 25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = — 24.) Ответ: – 24. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 1). Следовательно, (a = — 1). График проходит через точку (left( {2;2} right)), поэтому: (2 = frac{k}{{2 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{2}{{x — 1}}) и (frac{2}{{x — 1}} = — 0,08,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 = — 25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = — 24.) Ответ: – 24. |
|
| Задача 15. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите значение x, при котором (fleft( x right) = — 0,04.)
Ответ
ОТВЕТ: 48. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}},,,,,,}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a}\{k = 2a — 6}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k = — 2.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (frac{{ — 2}}{{x + 2}} = — 0,04,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 2 = 50,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 48.) Ответ: 48. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому: ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 2.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}}) и (frac{{ — 2}}{{x + 2}} = — 0,04,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 2 = 50,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 48.) Ответ: 48. |
|
| Задача 16. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.) Найдите значение x, при котором (fleft( x right) = 0,2.)
Ответ
ОТВЕТ: — 29. |
 |
|
Решение
1 Способ График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {3; — 3} right)) и (left( { — 1;3} right)). (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = frac{k}{{3 + a}},,,,,,}\{3 = frac{k}{{ — 1 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = — 9 — 3a,,,,,,,,,,,}\{k = 3a — 3,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right., Leftrightarrow ,,,,,,,3a — 3 = — 9 — 3a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1,,,,k = — 6.) Следовательно, уравнение гиперболы: (fleft( x right) = frac{{ — 6}}{{x — 1}}) и (frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 = — 30,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = — 29.) Ответ: – 29. 2 Способ Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 1). Следовательно, (a = — 1). График проходит через точку (left( {3; — 3} right)), поэтому: ( — 3 = frac{k}{{3 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 6.) Таким образом, (fleft( x right) = frac{{ — 6}}{{x — 1}}) и (frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 = — 30,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = — 29.) Ответ: – 29. |
| Задача 17. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите k.
Ответ
ОТВЕТ: 1. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 1), то (k = 1). Ответ: 1. |
|
| Задача 18. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите k.
Ответ
ОТВЕТ: 2. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2). Ответ: 2. |
|
| Задача 19. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите k.
Ответ
ОТВЕТ: 2. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2). Ответ: 2. |
|
| Задача 20. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите k.
Ответ
ОТВЕТ: — 2. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = -2), то (k = -2). Ответ: -2. |
|
| Задача 21. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите a.
Ответ
ОТВЕТ: 9. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 1), то (k = 1). Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = — 4), то (b = 4). Следовательно: (fleft( x right) = 1 + frac{{a — 4}}{{x + 4}}.) Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( { — 3;6} right)). Тогда: (6 = 1 + frac{{a — 4}}{{ — 3 + 4}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a — 4}}{1} = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 9.,,,) Ответ: 9. |
|
| Задача 22. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите a.
Ответ
ОТВЕТ: — 4. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2). Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = 3), то (b = — 3). Следовательно: (fleft( x right) = 2 + frac{{a + 6}}{{x — 3}}.) Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( {5;3} right)). Тогда: (3 = 2 + frac{{a + 6}}{{5 — 3}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a + 6}}{2} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 4.,,,) Ответ: – 4. |
|
| Задача 23. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите a.
Ответ
ОТВЕТ: 1. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = — 2), то (k = — 2). Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = 3), то (b = — 3). Следовательно: (fleft( x right) = — 2 + frac{{a — 6}}{{x — 3}}.) Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( {2;3} right)). Тогда: (3 = — 2 + frac{{a — 6}}{{2 — 3}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a — 6}}{{ — 1}} = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.,,,) Ответ: 1. |
|
| Задача 24. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.) Найдите a.
Ответ
ОТВЕТ: — 5. |
 |
|
Решение
Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом: (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}}) Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = — 1), то (k = — 1). Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = — 2), то (b = 2). Следовательно: (fleft( x right) = — 1 + frac{{a + 2}}{{x + 2}}.) Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( { — 1; — 4} right)). Тогда: ( — 4 = — 1 + frac{{a + 2}}{{ — 1 + 2}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a + 2 = — 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 5.,,,) Ответ: – 5. |
|
| Задача 25. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ
ОТВЕТ: 0,2. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( {1;3} right)). Следовательно: (3 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = frac{3}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( { — 2;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 3a + b}\{4 = — 2a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 5 = — a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 5.) Тогда: ( — 1 = — 3 cdot 5 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 14.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = 5x + 14.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\{y = frac{3}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,5x + 14 = frac{3}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,5{x^2} + 14x — 3 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,2,,,,{x_2} = — 3.) Значение (x = — 3) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 0,2. Ответ: 0,2. |
|
| Задача 26. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ
ОТВЕТ: — 6,25. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( {1;5} right)). Следовательно: (5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 5.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = frac{5}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 4;1} right)) и (left( {1;5} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 4a + b}\{5 = a + b,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 4 = — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{4}{5}.) Тогда: (1 = — 4 cdot frac{4}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{21}}{5}.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = frac{4}{5}x + frac{{21}}{5}.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{4}{5}x + frac{{21}}{5}}\{y = frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{4}{5}x + frac{{21}}{5} = frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,4{x^2} + 21x — 25 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = — 6,25.) Значение (x = 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6,25. Ответ: – 6,25. |
|
| Задача 27. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ
ОТВЕТ: 10. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( {1; — 5} right)). Следовательно: ( — 5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 5.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = — frac{5}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {5; — 3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = a + b,,,}\{ — 3 = 5a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = — 4a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.) Тогда: ( — 5 = frac{1}{2} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = — frac{{11}}{2}.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}}\{y = — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{1}{2}x — frac{{11}}{2} = — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 11x + 10 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = 10.) Значение (x = 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 10. Ответ: 10. |
|
| Задача 28. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ
ОТВЕТ: 12,5. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( { — 1;5} right)). Следовательно: (5 = frac{k}{{ — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 5.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = — frac{5}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 1;5} right)) и (left( {4;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 = — a + b}\{3 = 4a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = — frac{2}{5}.) Тогда: (5 = frac{2}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{23}}{5}.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}}\{y = — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5} = — frac{5}{x},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2{x^2} — 23x — 25 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} = — 1,,,,{x_2} = 12,5.) Значение (x = — 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 12,5. Ответ: 12,5. |
|
| Задача 29. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ
ОТВЕТ: 15. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( { — 3; — 1} right)). Следовательно: ( — 1 = frac{k}{{ — 3}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = frac{3}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( { — 2;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 3a + b}\{4 = — 2a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 5 = — a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 5.) Тогда: ( — 1 = — 15 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 14.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = 5x + 14.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\{y = frac{3}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,5x + 14 = frac{3}{x},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,5{x^2} + 14x — 3 = 0,,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 3,,,,{x_2} = frac{1}{5},,,,{y_1} = — 1,,,,,{y_2} = 15.) Следовательно, (Aleft( { — 3; — 1} right)) и (Bleft( {frac{1}{5};15} right)). Таким образом, ордината точки В равна 15. Ответ: 15. |
|
| Задача 30. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ
ОТВЕТ: — 16. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( {4;1} right)). Следовательно: (1 = frac{k}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 4.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = frac{4}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {4;1} right)) и (left( {3; — 3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4a + b,,}\{ — 3 = 3a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (4 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 4.) Тогда: (1 = 16 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = — 15.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = 4x — 15.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x — 15}\{y = frac{4}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,4x — 15 = frac{4}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,4{x^2} — 15x — 4 = 0,,,,,,, Leftrightarrow )( Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 4,,,,{x_2} = — frac{1}{4},,,,{y_1} = 1,,,,,{y_2} = — 16.) Следовательно, (Aleft( {4;1} right)) и (Bleft( { — frac{1}{4}; — 16} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 16. Ответ: – 16. |
|
| Задача 31. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ
ОТВЕТ: — 0,4. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( { — 1;5} right)). Следовательно: (5 = frac{k}{{ — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 5.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = — frac{5}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 1;5} right)) и (left( {4;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 = — a + b,,}\{3 = 4a + b,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = — frac{2}{5}.) Тогда: (5 = frac{2}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{23}}{5}.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}}\{y = — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5} = — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} — 23x — 25 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} = — 1,,,,{x_2} = frac{{25}}{2},,,,,,,,,,{y_1} = 5,,,,{y_2} = — 0,4.) Следовательно, (Aleft( { — 1;5} right)) и (Bleft( {frac{{25}}{2}; — 0,4} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 0,4. Ответ: – 0,4. |
|
| Задача 32. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Ответ
ОТВЕТ: — 0,5. |
 |
|
Решение
График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x}) проходит через точку (left( {1; — 5} right)). Следовательно: ( — 5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = — 5.) Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: (fleft( x right) = — frac{5}{x}.) График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {5; — 3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = a + b,,,}\{ — 3 = 5a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = — 4a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.) Тогда: ( — 5 = frac{1}{2} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = — frac{{11}}{2}.) Таким образом, уравнение прямой имеет вид: (gleft( x right) = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}}\{y = — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{1}{2}x — frac{{11}}{2} = — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 11x + 10 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = 10,,,,,,,,,,,{y_1} = — 5,,,,{y_2} = — 0,5.) Следовательно, (Aleft( {1; — 5} right)) и (Bleft( {10; — 0,5} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 0,5. Ответ: – 0,5. |
В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
Как формулируется новое задание 9 ЕГЭ 2022 по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Как решать 9 задание ЕГЭ 2022 математика профиль видео теория:
1)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a3x+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
2)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
3)На рисунке изображён график функции вида f(x)= ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
4)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(−22).
5)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите решение уравнения f(x)=18.
6)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
7)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(15).
8)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите x, при котором f(x)=21.
9)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log5(ax+b)+c, где числа a, b, c — целые. Найдите наибольшее значение функции g(x)=−x2+ax+b.
10)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log1.4(x−a)+b, где числа a, b — целые. Найдите ab.
11)На рисунке изображён график функции вида f(x)=2ax+b, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если f(1)=10.
12)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log2(ax+b)+2, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b.
13)На рисунке изображён график функции вида f(x)=ln(a+x)+b, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если A(0;ln2e).
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: Повышенный.
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть Целое число или конечная десятичная дробь.
Задание №9 с ответами решу ЕГЭ 2022 профиль математика 11 класс
Как формулируется новое задание 9 ЕГЭ 2022 по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
1)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a3x+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
2)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
3)На рисунке изображён график функции вида f(x)= ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
4)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(−22).
5)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите решение уравнения f(x)=18.
6)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c, где числа a, b и c — целые. Найдите a.
7)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(15).
8)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите x, при котором f(x)=21.
9)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log5(ax+b)+c, где числа a, b, c — целые. Найдите наибольшее значение функции g(x)=−x2+ax+b.
10)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log1.4(x−a)+b, где числа a, b — целые. Найдите ab.
11)На рисунке изображён график функции вида f(x)=2ax+b, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если f(1)=10.
12)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log2(ax+b)+2, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b.
13)На рисунке изображён график функции вида f(x)=ln(a+x)+b, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если A(0;ln2e).
ЕГЭ — ПРОФИЛЬ. Тригонометрия. • Тригонометрические формулы • Преобразование тригонометрических выражений • Тригонометрические уравнения • Задания 4. Показать полностью.
Вычисления и преобразования — готовимся к ЕГЭ по Математике вместе с Александром Антипиным. Со мной вы сможете сдать экзамены на 90-100 баллов! Задание 9. Вычисления и преобразования. Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11.
Например, задание № 4 (9) Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических.
Задачи для практики
5 На рисунке изображён график функции вида f x a x b c, где числа a, b и c целые.
100ballnik. com
12.11.2017 10:33:27
2017-11-12 10:33:27
9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
ЕГЭ — ПРОФИЛЬ. Тригонометрия. • Тригонометрические формулы • Преобразование тригонометрических выражений • Тригонометрические уравнения • Задания 4. Показать полностью.
Вычисления и преобразования — готовимся к ЕГЭ по Математике вместе с Александром Антипиным. Со мной вы сможете сдать экзамены на 90-100 баллов! Задание 9. Вычисления и преобразования. Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11.
Например, задание № 4 (9) Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических.
9)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log5(ax+b)+c, где числа a, b, c — целые. Найдите наибольшее значение функции g(x)=−x2+ax+b.
8)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите x, при котором f(x)=21.
Как решать 9 задание ЕГЭ 2022 математика профиль видео теория:
4 x a b, где числа a, b целые.
M. vk. com
20.08.2018 21:30:39
2018-08-20 21:30:39
Задание 9. Графики функций. ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: Повышенный.
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть Целое число или конечная десятичная дробь.
Задачи для практики
Необходимо зарегистрироваться
Для доступа к решениям необходимо включить уведомления от группы Турбо в вк — это займет буквально 10 секунд. Никакого спама, только самое важное и полезное для тебя. Ты всегда можешь запретить уведомления.
12)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log2(ax+b)+2, где числа a, b — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b.
Задание 9. Графики функций. ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: Повышенный.
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 9 по математике (профильной) может быть Целое число или конечная десятичная дробь.
Необходимо зарегистрироваться
Для доступа к решениям необходимо включить уведомления от группы Турбо в вк — это займет буквально 10 секунд. Никакого спама, только самое важное и полезное для тебя. Ты всегда можешь запретить уведомления.
Как формулируется новое задание 9 ЕГЭ 2022 по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических.
Egeturbo. ru
20.01.2020 7:02:07
2020-01-20 07:02:07
Источники:
Https://100ballnik. com/%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%E2%84%969-%D1%81-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D1%80%D0%B5%D1%88%D1%83-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-2022-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%BB/
Https://m. vk. com/video300967651_456240737
Https://egeturbo. ru/ege/math/tasks/9
Задание 9 ЕГЭ по литературе 2022: теория и практика » /> » /> .keyword { color: red; } 9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
Задание 9. Анализ средств выразительности. ЕГЭ 2022 по литературе
9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
ЕГЭ — ПРОФИЛЬ. Тригонометрия. • Тригонометрические формулы • Преобразование тригонометрических выражений • Тригонометрические уравнения • Задания 4. Показать полностью.
Вычисления и преобразования — готовимся к ЕГЭ по Математике вместе с Александром Антипиным. Со мной вы сможете сдать экзамены на 90-100 баллов! Задание 9. Вычисления и преобразования. Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11.
Например, задание № 4 (9) Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических.
Инверсия — «я не люблю иронии твоей», «свидание продлить желаешь ты» и др.
Метафора — «кипят во мне мятежно ревнивые тревоги и мечты» и др.
Эпитет — «отжившие», «нежившие», «ревнивые тревоги» и др.
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
Задача 6
Риторический вопрос.
M. vk. com
21.09.2018 11:11:50
2018-09-21 11:11:50
Задание 9. Анализ средств выразительности. ЕГЭ 2022 по литературе
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: Базовый.
Средний процент выполнения: 66.4%
Ответом к заданию 9 по литературе может быть Последовательность цифр, чисел или слов. Порядок записи имеет значение.
Задачи для практики
Задача 1
Ещё он не сшит, твой наряд подвенечный,
И хор в нашу честь не споёт…
А время торопит — возница беспечный, —
И просятся кони в полёт.
Ах, только бы тройка не сбилась бы с круга,
Не смолк бубенец под дугой…
Две вечных подруги — любовь и разлука —
Не ходят одна без другой.
Мы сами раскрыли ворота, мы сами
Счастливую тройку впрягли,
И вот уже что-то сияет пред нами,
Но что-то погасло вдали.
Святая наука — расслышать друг друга
Сквозь ветер, на все времена…
Две странницы вечных — любовь и разлука —
Поделятся с нами сполна.
Чем дольше живём мы, тем годы короче,
Тем слаще друзей голоса.
Ах, только б не смолк под дугой колокольчик,
Глаза бы глядели в глаза.
То берег — то море, то солнце — то вьюга,
То ангелы — то вороньё…
Две вечных дороги — любовь и разлука —
Проходят сквозь сердце моё.
(Б. Ш. Окуджава, 1982)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в шестой строфе данного стихотворения.
метафора антонимы анафора гротеск ирония
Решение
Ищем ответ в ШЕСТОЙ строфе (это последняя)
Метафора: «проходят сквозь сердце»
Антонимы: «любовь и разлука»
Анафора: «то» в первой и второй строчках
Задача 2
Здесь лапы у елей дрожат на весу,
Здесь птицы щебечут тревожно —
Живёшь в заколдованном диком лесу,
Откуда уйти невозможно.
Пусть черёмухи сохнут бельём на ветру,
Пусть дождём опадают сирени —
Всё равно я отсюда тебя заберу
Во дворец, где играют свирели.
Твой мир колдунами на тысячи лет
Укрыт от меня и от света.
И думаешь ты, что прекраснее нет,
Чем лес заколдованный этот!
Пусть на листьях не будет росы поутру,
Пусть луна с небом пасмурным в ссоре, —
Всё равно я отсюда тебя заберу
В светлый терем с балконом на море.
В какой день недели, в котором часу
Ты выйдешь ко мне осторожно?
Когда я тебя на руках унесу
Туда, где найти невозможно?
Украду, если кража тебе по душе, —
Зря ли я столько сил разбазарил?!
Соглашайся хотя бы на рай в шалаше,
Если терем с дворцом кто-то занял!
(В. С. Высоцкий, 1970)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в первых двух строфах.
анафора литота антитеза эпитет сравнение
Решение
Анафора — «Здесь»
Эпитет — «заколдованный лес»
Сравнение — «черёмухи сохнут бельём на ветру», «дождём опадают сирени»
Задача 3
Мне выпало счастье быть русским поэтом.
Мне выпала честь прикасаться к победам.
Мне выпало горе родиться в двадцатом,
В проклятом году и в столетье проклятом.
Мне выпало всё. И при этом я выпал,
Как пьяный из фуры, в походе великом.
Как валенок мёрзлый, валяюсь в кювете.
Добро на Руси ничего не имети.
(Д. С. Самойлов, 1981)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в данном произведении.
сравнение литота антитеза лексический повтор гротеск
Решение
Сравнение — «как пьяный», «как валенок»
Антитеза — счастье и горе
Лексический повтор — «проклятое»
Задача 4
Геннадию Шпаликову
Всего-то — чтоб была свеча,
Свеча простая, восковая,
И старомодность вековая
Так станет в памяти свежа.
И поспешит твоё перо
К той грамоте витиеватой,
Разумной и замысловатой,
И ляжет на душу добро.
Уже ты мыслишь о друзьях
Всё чаще, способом старинным,
И сталактитом стеаринным
Займёшься с нежностью в глазах.
И Пушкин ласково глядит,
И ночь прошла, и гаснут свечи,
И нежный вкус родимой речи
Так чисто губы холодит.
(Б. А. Ахмадулина, 1960)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в данном произведении.
гипербола олицетворение ирония инверсия эпитет
Решение
Олицетворение — «перо поспешит»
Инверсия — «поспешит твоё перо», «уже ты мыслишь о друзьях»
Эпитет — «вековая старомодность», «витиеватая грамотность» и проч.
Задача 5
Печально я гляжу на наше поколенье!
Его грядущее — иль пусто, иль темно,
Меж тем, под бременем познанья и сомненья,
В бездействии состарится оно.
Богаты мы, едва из колыбели,
Ошибками отцов и поздним их умом,
И жизнь уж нас томит, как ровный путь без цели,
Как пир на празднике чужом.
К добру и злу постыдно равнодушны,
В начале поприща мы вянем без борьбы;
Перед опасностью позорно-малодушны,
И перед властию — презренные рабы.
Так тощий плод, до времени созрелый,
Ни вкуса нашего не радуя, ни глаз,
Висит между цветов, пришлец осиротелый,
И час их красоты — его паденья час!
Мы иссушили ум наукою бесплодной,
Тая завистливо от ближних и друзей
Надежды лучшие и голос благородный
Неверием осмеянных страстей.
Едва касались мы до чаши наслажденья,
Но юных сил мы тем не сберегли;
Из каждой радости, бояся пресыщенья,
Мы лучший сок навеки извлекли.
Мечты поэзии, создания искусства
Восторгом сладостным наш ум не шевелят;
Мы жадно бережём в груди остаток чувства –
Зарытый скупостью и бесполезный клад.
И ненавидим мы, и любим мы случайно,
Ничем не жертвуя ни злобе, ни любви,
И царствует в душе какой-то холод тайный,
Когда огонь кипит в крови.
И предков скучны нам роскошные забавы,
Их добросовестный, ребяческий разврат;
И к гробу мы спешим без счастья и без славы,
Глядя насмешливо назад.
Толпой угрюмою и скоро позабытой
Над миром мы пройдём без шума и следа,
Не бросивши векам ни мысли плодовитой,
Ни гением начатого труда.
И прах наш, с строгостью судьи и гражданина,
Потомок оскорбит презрительным стихом,
Насмешкой горькою обманутого сына
Над промотавшимся отцом.
(М. Ю. Лермонтов, 1838)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
гипербола метонимия метафора эпитет перифраза
Решение
Метонимия — «богаты мы едва из колыбели», «и к гробу мы спешим»
Метафора — «В начале поприща мы вянем без борьбы», «Тощий плод», «Чаша наслаждения»
Эпитет — «презренные рабы», «наукою бесплодной», «пришлец осиротелый»
Задача 6
Я не люблю иронии твоей,
Оставь её отжившим и нежившим,
А нам с тобой, так горячо любившим,
Ещё остаток чувства сохранившим,
Нам рано предаваться ей!
Пока ещё застенчиво и нежно
Свидание продлить желаешь ты, —
Пока ещё кипят во мне мятежно
Ревнивые тревоги и мечты –
Не торопи развязки неизбежной!
И без того она недалека:
Кипим сильней, последней жаждой полны,
Но в сердце тайный холод и тоска…
Так осенью бурливее река,
Но холодней бушующие волны…
(Н. А. Некрасов, 1850)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
гипербола инверсия метафора эпитет риторический вопрос
Решение
Инверсия — «я не люблю иронии твоей», «свидание продлить желаешь ты» и др.
Метафора — «кипят во мне мятежно ревнивые тревоги и мечты» и др.
Эпитет — «отжившие», «нежившие», «ревнивые тревоги» и др.
Задача 7
Тебе не наскучило каждому сниться,
Кто с князем твоим горевал на войне,
О чём же ты плачешь, княгиня зегзица,
О чём ты поёшь на кремлёвской стене?
Твой Игорь не умер в плену от печали,
Погоне назло доконал он коня,
А как мы рубились на тёмной Каяле —
Твой князь на Каяле оставил меня.
И впору бы мне тетивой удавиться,
У каменной бабы воды попросить.
О том ли в Путивле кукуешь, зегзица,
Что некому раны мои остудить?
Так долго я спал, что по русские очи
С калёным железом пришла татарва,
А смерть твоего кукованья короче,
От крови моей почернела трава.
Спасибо тебе, что стонала и пела.
Я ветром иду по горячей золе,
А ты разнеси моё смертное тело
На сизом крыле по родимой земле.
(А. А. Тарковский, 1945–1946)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
гипербола метафора анафора оксюморон риторический вопрос
Решение
Метафора — «у каменной бабы воды попросить», «кукуешь в Путивле» и др.
Анафора — «о чём же»
Риторический вопрос — «О чём ты поёшь на кремлёвской стене?» и др.
Задача 8
В соседнем доме окна жёлты.
По вечерам — по вечерам
Скрипят задумчивые болты,
Подходят люди к воротам.
И глухо заперты ворота,
А на стене — а на стене
Недвижный кто-то, чёрный кто-то
Людей считает в тишине.
Я слышу всё с моей вершины:
Он медным голосом зовёт
Согнуть измученные спины
Внизу собравшийся народ.
Они войдут и разбредутся,
Навалят на спины кули.
И в жёлтых окнах засмеются,
Что этих нищих провели.
(А. А. Блок, 1903)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
повтор метафора эпитет оксюморон гипербола
Решение
1. повтор — «По вечерам — по вечерам», «А на стене — а на стене».
2. метафора — «черный кто-то».
3. эпитет — «медный голос», «задумчивые болты», «измученные спины».
Задача 9
Изыде сеятель сеяти семена своя
Свободы сеятель пустынный,
Я вышел рано, до звезды;
Рукою чистой и безвинной
В порабощенные бразды
Бросал живительное семя —
Но потерял я только время,
Благие мысли и труды…
Паситесь, мирные народы!
Вас не разбудит чести клич.
К чему стадам дары свободы?
Их должно резать или стричь.
Наследство их из рода в роды
Ярмо с гремушками да бич.
(А. С. Пушкин, 1823)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в данном стихотворении.
аллитерация эпитет гротеск градация риторический вопрос
Решение
Аллитерация — «с», «р»
Эпитет — «пустынный сеятель», «чистая и безвинная рука», «мирные народы» и др.
Риторический вопрос — «к чему стадам дары свободы?»
Задача 10
О, как убийственно мы любим,
Как в буйной слепоте страстей
Мы то всего вернее губим,
Что сердцу нашему милей!
Давно ль, гордясь своей победой,
Ты говорил: она моя…
Год не прошёл — спроси и сведай,
Что уцелело от нея?
Куда ланит девались розы,
Улыбка уст и блеск очей?
Всё опалили, выжгли слёзы
Горячей влагою своей.
Ты помнишь ли, при вашей встрече,
При первой встрече роковой,
Её волшебный взор, и речи,
И смех младенчески-живой?
И что ж теперь? И где всё это?
И долговечен ли был сон?
Увы, как северное лето,
Был мимолётным гостем он!
Судьбы ужасным приговором
Твоя любовь для ней была,
И незаслуженным позором
На жизнь её она легла!
Жизнь отреченья, жизнь страданья!
В её душевной глубине
Ей оставались вспоминанья…
Но изменили и оне.
И на земле ей дико стало,
Очарование ушло…
Толпа, нахлынув, в грязь втоптала
То, что в душе её цвело.
И что ж от долгого мученья,
Как пепл, сберечь ей удалось?
Боль, злую боль ожесточенья,
Боль без отрады и без слёз!
О, как убийственно мы любим!
Как в буйной слепоте страстей
Мы то всего вернее губим,
Что сердцу нашему милей.
(Ф. И. Тютчев, 1851)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в данном стихотворении. Запишите цифры, под которыми они указаны.
метафора гипербола архаизм риторический вопрос ирония
Решение
1. Метафора: «куда ланит девались розы», «толпа, нахлынув, в грязь втоптала то, что в душе ее цвело»
3. Архаизм: сведай, ланит, уст, очей
4. Риторический вопрос: «Что уцелело от нея?», «Куда ланит девались розы, // Улыбка уст и блеск очей?», «И что ж теперь? И где всё это? // И долговечен ли был сон?» и др.
Задача 11
У врат обители святой
Стоял просящий подаянья
Бедняк иссохший, чуть живой
От глада, жажды и страданья.
Куска лишь хлеба он просил,
И взор являл живую муку,
И кто-то камень положил
В его протянутую руку.
Так я молил твоей любви
С слезами горькими, с тоскою;
Так чувства лучшие мои
Обмануты навек тобою!
(М. Ю. Лермонтов, 1830)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, используемых поэтом в данном стихотворении. Запишите цифры, под которыми они указаны.
инверсия градация антитеза эпитет литота
Решение
Инверсия: «у врат обители святой», чувства лучшие мои обмануты навек тобою»
Антитеза: хлеб-камень
Эпитет: «святая обитель», «иссохший бедняк», «живая мука» и проч.
Задача 12
Снег идёт, снег идёт.
К белым звёздочкам в буране
Тянутся цветы герани
За оконный переплёт.
Снег идёт, и всё в смятеньи,
Всё пускается в полёт, —
Чёрной лестницы ступени,
Перекрёстка поворот.
Снег идёт, снег идёт,
Словно падают не хлопья,
А в заплатанном салопе
Сходит наземь небосвод.
Словно с видом чудака,
С верхней лестничной площадки,
Крадучись, играя в прятки,
Сходит небо с чердака.
Потому что жизнь не ждёт.
Не оглянешься — и святки.
Только промежуток краткий,
Смотришь, там и новый год.
Снег идёт, густой-густой.
В ногу с ним, стопами теми,
В том же темпе, с ленью той
Или с той же быстротой,
Может быть, проходит время?
Может быть, за годом год
Следуют, как снег идёт,
Или как слова в поэме?
Снег идёт, снег идёт,
Снег идёт, и всё в смятеньи:
Убелённый пешеход,
Удивлённые растенья,
Перекрёстка поворот.
(Б. Л. Пастернак, 1957)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в первых трёх строфах данного стихотворения. Запишите цифры, под которыми они указаны.
повтор метафора метонимия эпитет гипербола
Решение
1. повтор — «Снег идет, снег идет».
2. метафора — «Снег идет, снег идет, // Словно падают не хлопья, // А в заплатанном салопе // Сходит наземь небосвод».
4. эпитет — «заплатанном салопе».
Задача 13
Интеллигенция была моим народом,
Была моей, какой бы ни была,
А также классом, племенем и родом –
Избой! Четыре все её угла.
Я радостно читал и конспектировал,
Я верил больше сложным, чем простым,
Я каждый свой поступок корректировал
Львом чувства — Николаичем Толстым.
Работа чтения и труд писания
Была святей Священного Писания,
А день, когда я книги не прочёл,
Как тень от дыму, попусту прошёл.
Я чтил усилья токаря и пекаря,
Шлифующих металл и минерал,
Но уровень свободы измерял
Зарплатою библиотекаря.
Те земли для поэта хороши,
Где — пусть экономически нелепо –
Но книги продаются за гроши,
Дешевле табака и хлеба.
А если я в разоре и распыле
Не сник, а в подлинную правду вник,
Я эту правду вычитал из книг:
И, видно, книги правильные были!
(Б. А. Слуцкий)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в шестой строфе данного стихотворения.
ЕГЭ — ПРОФИЛЬ. Тригонометрия. • Тригонометрические формулы • Преобразование тригонометрических выражений • Тригонометрические уравнения • Задания 4. Показать полностью.
Вычисления и преобразования — готовимся к ЕГЭ по Математике вместе с Александром Антипиным. Со мной вы сможете сдать экзамены на 90-100 баллов! Задание 9. Вычисления и преобразования. Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11.
Например, задание № 4 (9) Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических.
На решение отводится примерно 5 минут.
Чтобы решить задание 9 по математике профильного уровня необходимо знать:
Ты помнишь ли, при вашей встрече, При первой встрече роковой, Её волшебный взор, и речи, И смех младенчески-живой.
Egeturbo. ru
27.02.2018 11:35:03
2018-02-27 11:35:03
Задание 9. Вычисления и преобразования
Если задание решено правильно, то получишь 1 балл.
На решение отводится примерно 5 минут.
Чтобы решить задание 9 по математике профильного уровня необходимо знать:
Задания подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых рациональных выражений; преобразования алгебраических выражений и дробей; преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений; действия со степенями; преобразование логарифмических выражений; преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
. . .
Формулы сокращенного умножения
1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2) (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
3) a^2 — b^2 =(a + b)(a — b)
Я не люблю иронии твоей,
Оставь её отжившим и нежившим,
А нам с тобой, так горячо любившим,
Ещё остаток чувства сохранившим,
Нам рано предаваться ей!
(Н. А. Некрасов, 1850)
Из приведённого ниже перечня выберите три названия художественных средств и приёмов, использованных поэтом в стихотворении.
Bingoschool. ru
02.03.2017 19:00:56
2017-03-02 19:00:56
Источники:
Https://m. vk. com/video300967651_456240737
Https://egeturbo. ru/ege/lit/tasks/9
Https://bingoschool. ru/ege/maths-profile/tasks/9/
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПОТ: ГИА: ОГЭ и ЕГЭ » /> » /> .keyword { color: red; } 9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПОТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПОТ
Сайты:
1. РешуОГЭ Математика — популярный российский онлайн-портал, посвящённый подготовке к ОГЭ (по конкретным разделам можно составить тест по всем или определенным вопросам из кодификатора экзамена, можно ввести ответ и проверить его).
2. АлексЛарин — основной целью создания этого сайта было оказание информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ГИА (ОГЭ и ЕГЭ) по математике, поступлении в ВУЗы, решении задач и изучении различных разделов высшей математики.
4. Лучшее время — время для математики — «Распечатай и реши» карточки по типам заданий ОГЭ из открытого банка заданий.
6. Сайт Павла Бердова содержит разборы задач по темам, тесты и рекомендации по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
А = 1
Ускоренная подготовка к ЕГЭ с репетиторами Учи. Дома. Записывайтесь на бесплатное занятие!
Найдите, при каком значении х значение функции равно 0,8.
Mathscompot. blogspot. com
20.07.2020 19:24:09
2020-07-20 19:24:09
9 задание егэ математика профиль 2022 гипербола
Ускоренная подготовка к ЕГЭ с репетиторами Учи. Дома. Записывайтесь на бесплатное занятие!
—>
Задание 9 № 508951
На рисунке изображён график функции Найдите
График функции имеет горизонтальную асимптоту Y = 1, значит, A = 1. По графику F(3) = 2, тогда Таким образом,
Задание 9 № 508961
На рисунке изображён график функции Найдите, при каком значении X значение функции равно 0,8.
График функции имеет горизонтальную асимптоту Y = 1, значит, A = 1. По графику F(3) = 2, тогда Таким образом,
Задание 9 № 509167
На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
По графику, F(2) = 1, тогда Значит, гипербола имеет вид
Заметим, что A — тангенс угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс, тогда По графику, G(2) = 1, тогда Значит, функция прямой имеет вид
2. АлексЛарин — основной целью создания этого сайта было оказание информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ГИА (ОГЭ и ЕГЭ) по математике, поступлении в ВУЗы, решении задач и изучении различных разделов высшей математики.
Решение:
АлексЛарин — основной целью создания этого сайта было оказание информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ГИА ОГЭ и ЕГЭ по математике, поступлении в ВУЗы, решении задач и изучении различных разделов высшей математики.
Ege. sdamgia. ru
17.05.2017 6:21:22
2017-05-17 06:21:22
Решение №2126 На рисунке изображён график функции f(x)=k/x+a. Найдите, при каком значении х значение функции равно 0,8.
На рисунке изображён график функции f(x) = frac + a. Найдите, при каком значении х значение функции равно 0,8.
Решение:
Коэффициент а прибавленный к функции влияет на Сдвиг гиперболы по оси у, гипербола сдвинута На 1 вверх:
А = 1
Подставим координаты Точки (3; 2) принадлежащей Гиперболе и найдём K:
Функция имеет Вид:
Найдём, При каком значении Х значение F(x) = 0,8:
На рисунке изображён график функции Найдите, при каком значении X значение функции равно 0,8.
6. Сайт Павла Бердова содержит разборы задач по темам, тесты и рекомендации по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Задание 9 508961.
Ege314.ru
16.10.2018 15:52:49
2018-10-16 15:52:49
Источники:
Https://mathscompot. blogspot. com/p/blog-page_73.html
Https://ege. sdamgia. ru/test? theme=125
-
Решение
-
Видеорешение
Воспользуемся правилом
Правило
Для гиперболы, записанной в общем виде:
(displaystyle y=frac{k}{x+color{blue}{b}}+color{green}{c}{small,}) где (displaystyle k,cancel{=},0{ small ,})
горизонтальная асимптота задается уравнением прямой
(displaystyle y=color{green}{c}{small,})
а вертикальная асимптота задается уравнением прямой
(displaystyle x=color{blue}{-b}{small.})
На рисунке изображены
- горизонтальная асимптота гиперболы – прямая (displaystyle y=color{green}{1}{small;})
- вертикальная асимптота гиперболы – прямая (displaystyle x=color{blue}{3}{small.})
Значит, (displaystyle color{green}{c}=color{green}{1}) и (displaystyle color{blue}{b}=color{blue}{-3}{small.})
Тогда уравнение гиперболы имеет вид (displaystyle y=frac{1}{xcolor{blue}{-3}}+color{green}{1}{small.})
Ответ: (displaystyle {b}={-3}) и (displaystyle {c}={1}{small.})
Гипербола
Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы. 
Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1): 
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1): 
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат. 
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞). 
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как 
и 
.
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки 
и 
, где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет 
.
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если 
— произвольная точка левой ветви гиперболы (
) и 
— расстояния до этой точки от фокусов 
, то формулы для расстояний — следующие:
.
Если 
— произвольная точка правой ветви гиперболы (
) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где 
— расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, 
— расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и 
и 
— расстояния этой точки до директрис 
и 
.
Пример 4. Дана гипербола 
. Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. 
. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где 
.
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы 
и координаты точки 
, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения 
. Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы 
Что такое гипербола
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие гиперболы
Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:
, где a и b — положительные действительные числа.
Кстати, канонический значит принятый за образец.
В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.
Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.
Вспомним особенности математической гиперболы:
- Две симметричные ветви.
- Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.
Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:
Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.
Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.
Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:
Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.
Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.
- Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
- Воспользуемся каноническим уравнением
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты. - Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.
Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).
Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.
В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.
Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения
на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);
— определяет нижние дуги гиперболы.
Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:
Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.
Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.
Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.
Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.
Мнимая полуось гиперболы — число b.
В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.
Форма гиперболы
Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.
Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.
Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.
Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.
Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.
Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.
Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.
Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Фокальное свойство гиперболы
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).
Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .
Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:
Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:
- пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
- прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
- прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:
Запишем это уравнение в координатной форме:
Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:
, т.е. выбранная система координат является канонической.
Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.
ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.
Директориальное свойство гиперболы звучит так:
Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.
Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие
можно записать в координатной форме так:
Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:
Построение гиперболы
Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.
Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.
В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:
Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:
Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.
По определению эксцентриситет гиперболы равен 
Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.
Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.
При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).
При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.
При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.
Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.
Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2
Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.
источники:
http://function-x.ru/curves_hyperbola.html
http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-giperbola