Как вычислять корни без калькулятора егэ математика 2018 - Exhelper.top

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой — удаление с экзамена.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.

. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле b^2-4ac , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на 333 . Получится

Какой способ проще?

. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.

. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить 9450 на 2100 . Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 9450}{displaystyle 2100}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 945}{displaystyle 210}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 315}{displaystyle 70}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 63}{displaystyle 14}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 9}{displaystyle 2}=4,5.$

Другой пример.

$364:1040=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 364}{displaystyle 1040}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 182}{displaystyle 520}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 91}{displaystyle 260}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 20}=0,35.$

. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

Иногда удобно использовать и другую формулу:

. Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа ( — не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на A+1 и к результату приписываем . Всё!

Например: ( и приписали ).

( и приписали ).

( и приписали 15625 ).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на .

. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем
Число 6561 делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим 6561 на множители:

Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем 2916 на множители:

Еще пример.

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на … Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это .

Последняя цифра в числе 5041 равна . Поскольку 1^2=1 , 9^2=81 , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим:
. Получилось!

Найдем .

, . Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе 2809 последняя цифра – девятка. 3^2=9 , 7^2=49 . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо .

Проверим:

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на 2, 3, 7 или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на 2, 3, 7 или . Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.

. Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении

. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: . Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи:

. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет.

По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения:

А теперь расскажем самое интересное — из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

1. Верный путь к потере баллов — неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же?

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:

Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.

4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}:genfrac{}{}{}{0}{displaystyle c}{displaystyle d}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b} cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle c}.$
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.

Подведем итоги.

Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике — автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.

Самое главное – ваши вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Загрузить PDF

Извлечь квадратный корень довольно легко, если под знаком корня стоит целое число (полный квадрат). В противном случае квадратный корень (из любого числа) можно извлечь вручную, то есть без калькулятора. Чтобы пользоваться описанным методом, нужно знать основные математические операции: умножение, сложение и деление.

1
Извлеките квадратный корень из полного квадрата при помощи умножения. Квадратный корень из исходного числа – это число, которое при умножении на себя дает исходное число. То есть нужно найти такое число, чтобы при его умножении на себя получить данное в задаче число.
- Например, квадратный корень из 1 равен 1, потому что 1 умножить на 1 равно 1 (1×1 = 1). Квадратный корень из 4 равен 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4 (2х2 = 4). Представьте дуб. Дуб вырастает из желудя. Таким образом, дуб намного больше желудя, но связан с ним, потому что именно желудь пускает первые корни. В приведенном выше примере 4 – это дерево, а 2 – желудь.
- Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3 (3х3 = 9), из 16 равен 4 (4х4 = 16), из 25 равен 5 (5х5 = 25), из 36 равен 6 (6х6 = 36), из 49 равен 7 (7х7 = 49), из 64 равен 8 (8х8 = 64), из 81 равен 9 (9х9 = 81), из 100 равен 10 (10х10 = 100).^[1]
2
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа, воспользуйтесь делением в столбик. Для этого разделите целое число (делимое) на некоторое число (делитель) так, чтобы результат (частное) совпал с делителем.
- Например: 16 делить на 4 равно 4; 4 делить на 2 равно 2 и так далее. Таким образом, 4 – это квадратный корень из 16, а 2 – квадратный корень из 4.
- Корнями из полных квадратов являются целые числа, а не обыкновенные и десятичные дроби.
3
Правильно обозначайте квадратный корень. В научной и учебной литературе квадратный корень обозначается специальным символом, который называется радикалом и имеет вид галочки с верхней горизонтальной линией: √N.^[2]
- где N – это подкоренное выражение, то есть число, из которого нужно извлечь корень. Такое число записывается под знаком корня.^[3]
- Таким образом, если нужно извлечь квадратный корень из 9, то 9 записывается под знаком корня (радикала), затем пишется знак равенства, а потом 3. Это означает, что квадратный корень из 9 равен 3.
Реклама

1
Воспользуйтесь методом проб и ошибок. Сложнее извлечь корень из числа, которое не является полным квадратом, но это возможно.
- Например, извлеките квадратный корень из 20. Вспомните, что 16 – это полный квадрат, корень из которого равен 4 (4X4 = 16). Число 25 так же является полным квадратом, корень из которого равен 5 (5х5 = 25), поэтому корень из 20 должен быть равен числу, которое находится между 4 и 5.
- В качестве квадратного корня из 20 попробуйте рассмотреть число 4,5. Это число возведите в квадрат, то есть умножьте его на себя: 4,5х4,5. Если результат больше или меньше 20, попробуйте рассмотреть другое число, например, 4,6 или 4,4. Делайте так до тех пор, пока результат не приблизится к 20.^[4]
- 4,5х4,5 = 20,25, поэтому рассмотрите меньшее число, например, 4,4: 4,4х4,4 = 19,36. Таким образом, квадратный корень из 20 равен числу, которое находится между 4,4 и 4,5. Рассмотрите 4,445: 4,445х4,445 = 19,758. Это уже довольно близко к 20. Продолжайте в том же духе и в конце концов вы придете к: 4,475х4,475 = 20,03 ≈ 20.
2
Воспользуйтесь процессом усреднения. Он также начинается с поиска двух полных квадратов, между которыми находится данное число.^[5]
- Затем разделите данное число на квадратный корень из одного из чисел. Потом найдите среднее арифметическое данного числа и результата деления (в данном случае среднее арифметическое – это сумма двух чисел, деленная на два). Затем данное число разделите на среднее арифметическое. Наконец, найдите среднее арифметическое последнего результата и первого среднего арифметического.
- Сложно? Не очень, если рассмотреть пример. Дано число 10. Оно находится между двумя полными квадратами 9 (3х3 = 9) и 16 (4х4 = 16). Квадратные корни из этих чисел равны 3 и 4. Итак, разделите 10 на первое число: 10/3 = 3,33. Теперь найдите среднее арифметическое 3 и 3,33: (3+3,33)/2 = 3,1667. Теперь 10 разделите на среднее арифметическое: 10/3,1667 = 3,1579. Теперь найдите среднее арифметическое 3,1579 и 3,1667: (3,1579+3,1667)/2 = 3,1623.
- Проверьте ответ, умножив его на себя. 3,1623х3,1623 = 10,001 ≈ 10.
Реклама

1
Возведите в квадрат отрицательное число при помощи одного и того же процесса. Помните, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Таким образом, при возведении в квадрат отрицательного числа получится положительное число.
- Например, -5х-5 = 25. Также 5х5 = 25. Таким образом, квадратный корень из 25 равен -5 и 5. То есть в результате извлечения квадратного корня получаются два числа.
- Например, 3×3 = 9 и -3x-3 = 9, поэтому квадратный корень из 9 равен 3 и -3 (записывается как ±3). Положительный результат называется арифметическим значением корня, и на данном этапе можно рассматривать только это значение.^[6]^[7]
2
Воспользуйтесь калькулятором. Отлично, если вы умеете извлекать корни вручную, но существует множество онлайн-калькуляторов, при помощи которых можно извлечь корень из любого числа.
- В обыкновенном калькуляторе тоже есть клавиша со значком радикала.
- В случае онлайн-калькулятора просто введите число, из которого нужно извлечь квадратный корень, и нажмите соответствующую кнопку. Компьютер вычислит квадратный корень из этого числа.^[8]
Реклама

Советы

Обязательно запомните следующие полные квадраты:
- 0² = 0, 1² = 1, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100
- Также рекомендуется запомнить такие полные квадраты: 11² = 121, 12² = 144, 13² 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289
- А эти полные квадраты запомнить совсем легко: 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900, 40² = 1600, 50² = 2500

Об этой статье

Эту страницу просматривали 229 640 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Содержание:

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Разложение на простые множители
Метод Герона
Вычисление корня делением в столбик
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Видео

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Видео

Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.

Источник

Download Article

Calculating square root is easy if you have a perfect square. If you don’t, there’s a logical process you can follow to systematically figure out the square root of any number, even if you don’t use a calculator. You will need to understand basic multiplication, addition, and division first, though.^[1]

1
Figure out the perfect square root using multiplication. The number’s square root is a number that, when multiplied by itself, equals the first number.^[2] Another way of saying this is: “What can we multiply by itself to get the number in question?”
- For example, the square root of 1 is 1 because 1 multiplied by 1 equals 1 (1X1=1). However, the square root of 4 is 2 because 2 multiplied by 2 equals 4 (2X2=4). Think of the square root concept by imagining a tree. A tree grows from an acorn. Thus, it’s bigger than but related to the acorn, which was at its root. In the above example, 4 is the tree, and 2 is the acorn.
- Thus, the square root of 9 is 3 (3X3=9), of 16 is 4 (4X4=16), of 25 is 5 (5X5=25), of 36 is 6 (6X6=36), of 49 is 7 (7X7=49), or 64 is 8 (8X8=64), of 81 is 9 (9X9=81), and of 100 is 10 (10X10=100).^[3]
2
Use division to find the square root. To find the square root of a whole number, you could also divide the whole number by numbers until you get an answer that is the same as the number you used to divide the whole number.
- For example: 16 divided by 4 is 4. And 4 divided by 2 is 2, and so on. Thus, in those examples, 4 is the square root of 16, and 2 is the square root of 4.
- Perfect square roots do not have fractions or decimals because they involve whole numbers.
Advertisement
3
Use the right symbols for square root. Mathematicians use a special symbol called the radical to indicate square root. It looks like a check mark with a line across the top going to the right.^[4]
- N equals the number whose square root you are trying to find. It goes inside the check mark symbol.^[5]
- Thus, if you are trying to find the square root of 9, you should write a formula that puts the «N» (9) inside the check mark symbol (the «radical») and then present an equal sign and the 3. This means the “square root of 9 equals 3.”

1
Take a guess at it, and use the process of elimination. It’s tougher to figure out square roots of numbers that are not whole. But it’s possible.
- Let’s say you want to find the square root of 20. You know that 16 is a perfect square with a square root of 4 (4X4=16). Similarly, 25 has a square root of 5 (5X5=25), so the square root of 20 must fall in between 4 and 5.
- You could guess that 20’s square root is 4.5. Now, simply square 4.5 to check your guess. That means you multiply it by itself: 4.5X4.5. See if the answer is above or below 20. If the guess seems off, simply try another guess (maybe 4.6 or 4.4) and refine your guess until you hit 20.^[6]
- For example, 4.5X4.5 = 20.25, so logically you should try a smaller number, probably 4.4. 4.4X4.4 = 19.36. Thus, the square root of 20 must lie in between 4.5 and 4.4. How about 4.445X4.445. That’s 19.758. It’s closer. If you keep trying different numbers using this process, you will eventually get to 4.475X4.475 = 20.03. Rounding off, that’s 20.
2
Use a process of averaging. This process also starts with you trying to find the closest whole numbers that your number falls in between.^[7]
- Then, divide your number by one of those square root numbers. Take the answer, and find the average of it and the number you divided by (average is just the sum of those two numbers divided by two). Then take the original number and divide it by the average you got. Finally, find the average of that answer with the first average you got.
- Sound complicated? It can be easiest to follow an example. For example, 10 lies in between the 2 perfect square numbers of 9 (3X3=9) and 16 (4X4=16). The square roots of those numbers are 3 and 4. So, divide 10 by the first number, 3. You will get 3.33. Now, average the 3 and 3.33 by adding them together and dividing them by 2. You will get 3.1667. Now take 10 divided by 3.1667. The answer is 3.1579. Now, average 3.1579 and 3.1667 by adding them together and dividing the sum you get by two. You will get 3.1623.
- Check your work by multiplying your answer (in this case 3.1623) by itself. Indeed, 3.1623 multiplied by 3.1623 equals 10.001.

Add New Question

Question

If I have a building that is 40 x 60 feet, how do you find out if it is square?

There are two ways to do it: (1) If you can measure the inside diagonals (from a corner to its opposite corner), the diagonals of a perfect rectangle are equal to each other; (2) Get a magnetic compass and sight it along two adjacent sides. The two directions should be exactly 90° from each other.
Question

How do I calculate the square root without a calculator?

Use a factor tree. For example, 625 = 5 x 125 = 5 x 5 x 25 = 5 x 5 x 5 x 5. Because there are 4 fives, and we are looking for the square root, (5 x 5)(5 x 5) = 625. Therefore the square root of 625 is 25.
Question

What is the smallest four-digit whole number divisible by 9 that has two even and two odd digits?

The number 1089 is the answer. The way you work it out is 1008 is a 9 time table number. Then just add on nines starting at this number, and the first 9 times table number you get that has two even digits and odd digits is your answer.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Memorizing the first few perfect squares is highly advisable:
- 0² = 0, 1² = 1, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100,
- Eventually learn these: 11² = 121, 12² = 144, 13² 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289…
- More easy fun: 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900, 40² = 1600, 50² = 2500, …

About This Article

Article SummaryX

To find a square root of a number without a calculator, see if you can get to that whole number by squaring smaller numbers, or multiplying a smaller number by itself. If the number is a perfect square, you will get a whole number as the square root. Otherwise, try squaring numbers with a decimal until you get as close as possible to your original number. If you want to learn how to estimate the square root of imperfect squares, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 604,085 times.

Did this article help you?

Источник

Download Article

1
Figure out the perfect square root using multiplication. The number’s square root is a number that, when multiplied by itself, equals the first number.^[2] Another way of saying this is: “What can we multiply by itself to get the number in question?”
- For example, the square root of 1 is 1 because 1 multiplied by 1 equals 1 (1X1=1). However, the square root of 4 is 2 because 2 multiplied by 2 equals 4 (2X2=4). Think of the square root concept by imagining a tree. A tree grows from an acorn. Thus, it’s bigger than but related to the acorn, which was at its root. In the above example, 4 is the tree, and 2 is the acorn.
- Thus, the square root of 9 is 3 (3X3=9), of 16 is 4 (4X4=16), of 25 is 5 (5X5=25), of 36 is 6 (6X6=36), of 49 is 7 (7X7=49), or 64 is 8 (8X8=64), of 81 is 9 (9X9=81), and of 100 is 10 (10X10=100).^[3]
2
Use division to find the square root. To find the square root of a whole number, you could also divide the whole number by numbers until you get an answer that is the same as the number you used to divide the whole number.
- For example: 16 divided by 4 is 4. And 4 divided by 2 is 2, and so on. Thus, in those examples, 4 is the square root of 16, and 2 is the square root of 4.
- Perfect square roots do not have fractions or decimals because they involve whole numbers.
Advertisement
3
Use the right symbols for square root. Mathematicians use a special symbol called the radical to indicate square root. It looks like a check mark with a line across the top going to the right.^[4]
- N equals the number whose square root you are trying to find. It goes inside the check mark symbol.^[5]
- Thus, if you are trying to find the square root of 9, you should write a formula that puts the «N» (9) inside the check mark symbol (the «radical») and then present an equal sign and the 3. This means the “square root of 9 equals 3.”

1
Take a guess at it, and use the process of elimination. It’s tougher to figure out square roots of numbers that are not whole. But it’s possible.
- Let’s say you want to find the square root of 20. You know that 16 is a perfect square with a square root of 4 (4X4=16). Similarly, 25 has a square root of 5 (5X5=25), so the square root of 20 must fall in between 4 and 5.
- You could guess that 20’s square root is 4.5. Now, simply square 4.5 to check your guess. That means you multiply it by itself: 4.5X4.5. See if the answer is above or below 20. If the guess seems off, simply try another guess (maybe 4.6 or 4.4) and refine your guess until you hit 20.^[6]
- For example, 4.5X4.5 = 20.25, so logically you should try a smaller number, probably 4.4. 4.4X4.4 = 19.36. Thus, the square root of 20 must lie in between 4.5 and 4.4. How about 4.445X4.445. That’s 19.758. It’s closer. If you keep trying different numbers using this process, you will eventually get to 4.475X4.475 = 20.03. Rounding off, that’s 20.
2
Use a process of averaging. This process also starts with you trying to find the closest whole numbers that your number falls in between.^[7]
- Then, divide your number by one of those square root numbers. Take the answer, and find the average of it and the number you divided by (average is just the sum of those two numbers divided by two). Then take the original number and divide it by the average you got. Finally, find the average of that answer with the first average you got.
- Sound complicated? It can be easiest to follow an example. For example, 10 lies in between the 2 perfect square numbers of 9 (3X3=9) and 16 (4X4=16). The square roots of those numbers are 3 and 4. So, divide 10 by the first number, 3. You will get 3.33. Now, average the 3 and 3.33 by adding them together and dividing them by 2. You will get 3.1667. Now take 10 divided by 3.1667. The answer is 3.1579. Now, average 3.1579 and 3.1667 by adding them together and dividing the sum you get by two. You will get 3.1623.
- Check your work by multiplying your answer (in this case 3.1623) by itself. Indeed, 3.1623 multiplied by 3.1623 equals 10.001.

Add New Question

Question

If I have a building that is 40 x 60 feet, how do you find out if it is square?

There are two ways to do it: (1) If you can measure the inside diagonals (from a corner to its opposite corner), the diagonals of a perfect rectangle are equal to each other; (2) Get a magnetic compass and sight it along two adjacent sides. The two directions should be exactly 90° from each other.
Question

How do I calculate the square root without a calculator?

Use a factor tree. For example, 625 = 5 x 125 = 5 x 5 x 25 = 5 x 5 x 5 x 5. Because there are 4 fives, and we are looking for the square root, (5 x 5)(5 x 5) = 625. Therefore the square root of 625 is 25.
Question

What is the smallest four-digit whole number divisible by 9 that has two even and two odd digits?

The number 1089 is the answer. The way you work it out is 1008 is a 9 time table number. Then just add on nines starting at this number, and the first 9 times table number you get that has two even digits and odd digits is your answer.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Memorizing the first few perfect squares is highly advisable:
- 0² = 0, 1² = 1, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100,
- Eventually learn these: 11² = 121, 12² = 144, 13² 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289…
- More easy fun: 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900, 40² = 1600, 50² = 2500, …

About This Article

Article SummaryX

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 604,085 times.

Did this article help you?

Источник

Во время сдачи ЕГЭ по математике использование калькулятора, как известно, запрещено. Поэтому любой репетитор по математике всегда заставляет своих учеников считать все устно или на бумаге. Но время от времени встречаются задачи, при решении которых требуется извлекать квадратные корни из достаточно больших чисел, и на ЕГЭ по математике такие задачи тоже есть. С проблемой нахождения алгоритма вычисления квадратного корня из вещественного числа читатель может столкнуться (помимо ЕГЭ по математике) на различного рода математических конкурсах и олимпиадах. Итак, как найти квадратный корень без использования калькулятора?

Как репетитор по физике и математике, занимающийся подготовкой к ЕГЭ и ГИА, предлагаю вашему вниманию один действенный алгоритм, не претендующий на максимальную эффективность, но работающий безотказно с любыми вещественными числами. Приведенный метод может со временем стать столь же известным, как, к примеру, метод умножения двух чисел «столбиком», ведь он во многом на него похож.

Вот наглядная схема алгоритма вычисления квадратного корня из любого числа без использования калькулятора (кликабельно):

Алгоритм вычисления квадратного корня из любого вещественного числа без использования калькулятора

Однако, вопрос о том, почему данный алгоритм работает, остается пока открытым. Для того, чтобы разобраться в этом, возьмем, для примера, число, цифрами которого являются и То есть само число имеет вид Пусть корнем будет число , состоящее из цифр и То есть $overline{xy}^2=overline{abcd}.$ Выполним «столбиком» умножение

Последовательно:

То есть:

$[ overline{abcd} = 100x^2+20 xy+y^2.]$

Проанализировав это разложение, понимаем, что разделяя число на пары и числу в первой паре мы ставим в соответствие число, содержащееся в Иначе говоря, квадратный корень из числа округленный до нижнего целого числа, есть

Теперь, зная значение для нахождения необходимо вычислить значение выражения или, что то же самое, значение выражения Поразмыслив над этим, понимаем, что в этом, собственно, и состоит суть действия, совершаемого при подборе числа, которое необходимо подставить на четвертом шаге алгоритма вместо знаков подчеркивания. Таким образом мы находим Зная и знаем

Такой подход может быть обобщен на случай любого количества разрядов в исходном числе. Если корень не является рациональным, вычисления могут продолжаться сколь угодно долго (с любой необходимой степенью точности). Вот такой простой алгоритм. Запомните его, возможно, он пригодится вам при сдаче ЕГЭ по математике.

Репетитор по математике
Сергей Валерьевич

Источник

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Разложение на простые множители

Метод Герона

Вычисление корня делением в столбик

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Видео

Video

About This Article

Did this article help you?

Video

About This Article

Did this article help you?

Новое и интересное на сайте: