Квадратные уравнения для егэ

Каталог заданий.
Линейные, квадратные, кубические уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы решать квадратные уравнения, надо уметь:

1. Правильно определять коэффициенты квадратного уравнения.
2. Находить дискриминант и определять количество корней.
3. Находить корни уравнения по формуле.

Определим коэффициенты в следующих квадратных уравнениях.

1)

Коэффициентом является числа:  .

2)

В этом уравнении коэффициенты – это числа:

Обратите внимание на слагаемые и : x — это не коэффициент, а переменная.

3)

А в этом уравнееии нужно быть внимательными, потому что коэффициенты — дробные числа:

Квадратные уравнения вида , в которых коэффициент , называются приведенными.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

Задача 1.

Решение:

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

Задача 2.

Решение:

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

Задача 3.

Решение:

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

Задача 4. Решим уравнение:

Решение:

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения:

Задача 5. Решим уравнение:

Решение:

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

Рассмотрим другой пример.

Задача 6.

Дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле корней квадратного уравнения:

Что делать в том случае, если корень из дискриминанта не является целым числом? Тогда корни квадратного уравнения будут записаны выражением, в котором содержится квадратный корень. Такие выражения называются иррациональными.

Задача 7. Решим уравнение: 

Решение:

Обратите внимание, что слагаемые в правой части записаны не в том порядке, в котором они указаны в общем виде квадратного уравнения. Поэтому, прежде чем начать решать, перепишем уравнение в следующем виде: 

Найдем дискриминант: Уравнение имеет один корень:

Задача 8. И еще одно уравнение: 

Решение:

Найдем дискриминант 

Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение не имеет корней.

Так и запишем в ответе: корней нет.

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Теорему Виета удобно использовать, когда коэффициент при равен 1, то есть квадратное уравнение приведенное.

Например,

Коэффициенты этого уравнения . Значит, сумма корней и равна 5, а произведение корней равно 6. Эти два числа подобрать нетрудно, потому что

Тогда

Теорема Виета помогает проверить, правильно ли мы решили квадратное уравнение.

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

Задача 9. Рассмотрим уравнение: .

Решение:

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

Задача 10. Рассмотрим квадратное уравнение: . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Решение:

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или

Вот похожее уравнение: .

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

Пусть теперь не равно нулю и .

Задача 11.  Рассмотрим квадратное уравнение: .

Левую часть уравнения можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Задача 12.  Решим уравнение: .

Разложить по формуле разности квадрата не получится, тогда попробуем перенести слагаемое 4 в правую часть уравнения.

.

Мы знаем, что нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Напомним, что решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, уравнение

.

Его корни

,

.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент , который умножается на , положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения: .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение .

Разделим все коэффициенты этого квадратного уравнения на 5. Получим .

Уравнение упростилось. Остается решить его.

Или такое уравнение.

Задача 13.  .

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

Задача 14.  Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2. Получим:

.

Теперь решение этого квадратного уравнения можно осуществить с помощью любого уже известного нам способа. Корни этого уравнения -11 и -1.

Смотри также: Квадратичная функция

Задания по теме «Квадратные, кубические и линейные уравнения»

Открытый банк заданий по теме квадратные, кубические и линейные уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №879

Условие

Найдите корень уравнения x^2-19x+90=0.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение

Меньший из корней равен 9 .

Ответ

Задание №878

Условие

Найдите корень уравнения frac<5><11>x=11frac<4><11>.

Решение

Ответ

Задание №280

Условие

Найдите корень уравнения frac<3><11>x=27frac<9><11>.

Решение

Ответ

Задание №279

Условие

Найдите корень уравнения 2x^2-17x-9=0 . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение

Меньший корень равен -0,5.

Ответ

Задание №45

Условие

Найдите корень уравнения: frac<6><13>x^2=19frac <1>

Если уравнение имеет несколько корней, то запишите наибольший из них.

Решение

x^2=left ( frac<13> <2>right )^2

Наибольший из корней равен frac<13><2>=6,5 .

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Вынесем х как общий множитель за скобки:

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

При решении последнего уравнения возможны два случая:

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

Извлечем кубический корень из обеих частей

Соберем известные слагаемые в правой части

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x · x + 1 · x — <3·x>/ = 0$

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

Квадратное уравнение – коротко о главном

Определения

Квадратное уравнение – это уравнение вида (a{{x}^{2}}+bx+c=0), где (x) – неизвестное, (a), (b) – коэффициенты квадратного уравнения, (c) – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты (a), (b), (displaystyle c) не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент (a=1), то есть: ({x}^{2}+bx+c=0).

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент (b) и/или свободный член (c) равны нулю:

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение вида (a{{x}^{2}}+c=0), где (displaystyle ane 0), (displaystyle cne 0):

1) Выразим неизвестное: ({{x}^{2}}=)(displaystyle -frac{c}{a}),

2) Проверяем знак выражения (displaystyle -frac{c}{a}):

• если (displaystyle -frac{c}{a}<0), то уравнение не имеет решений,
• если (displaystyle -frac{c}{a}>0), то уравнение имеет два корня (x=sqrt{(-frac{c}{a})}).

Неполное квадратное уравнение вида (a{{x}^{2}}+bx=0), где (displaystyle ane 0), (displaystyle bne 0):

1) Вынесем общим множитель (displaystyle x) за скобки: (xleft( ax+b right)=0),

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: (left[ begin{array}{l}x=0,\ax+b=0,end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0,\x=-frac{b}{a}.end{array} right.)

Неполное квадратное уравнение вида (a{{x}^{2}}=0), где (displaystyle ane 0):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: (x=0).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида (a{{x}^{2}}+bx+c=0), где (a,b,cne 0)

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: (a{{x}^{2}}+bx+c=0),

2) Вычислим дискриминант по формуле: (D={{b}^{2}}-4ac), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

• если (D>0), то уравнение имеет (displaystyle 2) корня, которые находятся по формуле: ( displaystyle x=frac{-bpm sqrt{D}}{2a}Rightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}\{{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}end{array} right.)
• если (D=0), то уравнение имеет (1) корень, который находится по формуле: (displaystyle x=frac{-b}{2a})
• если (D<0), то уравнение не имеет корней.

Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида ({x}^{2}+bx+c=0), где (a=1)) равна (-b), а произведение корней равно (c), т.е. (displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b), а (displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=c).

Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида (a{{x}^{2}}+bx+c=0) имеет корни (displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}), то его можно записать в виде : (displaystyle acdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})).