Ларин параметры егэ

Задание 1

Решите уравнение $$log_{x+1}(x^2-7x+1)=1.$$

Ответ: 8

Скрыть

$$log_{x+1}(x^2-7x+1)=1$$

$$(*):$$ $$left{begin{matrix} x+1>0\ x+1neq1\ x^2-7x+1>0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x>-1\ xneq0\ x^2-7x+1>0 end{matrix}right.$$

$$x+1=x^2-7x+1$$

$$x^2-8x=0$$

$$x(x-8)=0$$

$$x=0 notin (*)$$

$$x=8$$

Задание 2

В плейлисте Савелия 50 песен: 18 в стиле хард-боп, 25 в стиле джаз-рок и 7 — в стиле фри-джаз. Песни воспроизводятся в случайном порядке, не повторяясь. Найдите вероятность того, что в первый раз песня в стиле фри-джаз прозвучит третьей по счету.

Ответ: 0,1075

Скрыть

$$P(A)=frac{43}{50}cdotfrac{42}{49}cdotfrac{7}{48}approx0,1075$$

Задание 3

Ответ: 49,5

Скрыть

$$S_{ANM}=frac{1}{2}cdot AMcdot h_{AMN}=11$$

$$AMcdot h_{AMN}=22$$

$$frac{AM}{MC}=frac{2}{3}=frac{2x}{3x}Rightarrow AC=AM+MC=2x+3x=5xRightarrow$$

$$frac{AC}{AM}=frac{5x}{2x}=frac{5}{2}Rightarrow AC=AMcdotfrac{5}{2}$$

$$frac{BN}{NC}=frac{4y}{5y}Rightarrow BC=BN+NC=4y+5y=9y$$

Отношение высот $$h_{ABC}$$ и $$h_{AMN}$$ равно отношению $$frac{BC}{NC}Rightarrow$$

$$frac{h_{ABC}}{h_{AMN}}=frac{9y}{5y}=frac{9}{5}Rightarrow h_{ABC}=h_{AMN}cdotfrac{9}{5}$$

$$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot h_{ABC}=frac{1}{2}cdot (AMcdotfrac{5}{2})cdot (h_{AMN}cdotfrac{9}{5})=$$

$$=frac{1}{2}cdot AMcdot h_{AMN}cdotfrac{45}{10}=S_{ANM}cdotfrac{45}{10}=11cdotfrac{45}{10}=49,5$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{log_2 800}{log_{800}2}-frac{log_2 625}{log_{160}2}.$$

Ответ: 25

Скрыть

$$frac{log_2 800}{log_{800}2}-frac{log_2 625}{log_{160}2}=log_2^2(2^5cdot25)-log_2 25^2-log_2(2^5cdot5)$$

$$=(5+2log_2 5)^2-4log_2 5(5+log_2 5)=$$

$$=25+20log_2 5+4log_2^2 5-20log_2 5-4log_2^2 5=25$$

Задание 5

Если каждое ребро куба уменьшить на 3, то площадь поверхности куба уменьшится на 126. Найдите ребро этого куба.

Ответ: 5

Скрыть

$$S_1=6а^2$$

$$S_2=6(a-3)^2$$

$$6a^2-6(a-3)^2=126$$

$$6a^2-6a^2+36a-54=126$$

$$36a=180$$

$$a=5$$

Задание 6

Прямая $$y=80x+76$$ является касательной к графику функции $$y=x^3-3x^2+8x-100.$$ Найдите ординату точки касания.

Ответ: -244

Скрыть

$$left{begin{matrix} (80x+76)’=(x^3-3x^2+8x-100)’\ 80x+76=x^3-3x^2+8x-100 end{matrix}right.$$

Рассмотрим первое уравнение:

$$80=3x^2-6x+8Leftrightarrow 3x^2-6x-72=0Rightarrow x^2-2x-24=0Rightarrowleft[begin{matrix} x=6\ x=-4 end{matrix}right.$$

Проверим $$x=6: 6cdot80+36neq6^3-3cdot6^2+6cdot8-100$$

При $$x=-4: y=80cdot(-4)+76=-244$$

Задание 7

Скорость автомобиля, разгоняющегося по прямолинейному отрезку пути длиной S км с постоянным ускорением, равным $$a$$ $$км/ч^2$$, вычисляется по формуле $$v^2=2Sa.$$ Определите, с какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на расстоянии 1,5 км от старта, если по техническим характеристикам ускорение автомобиля не больше $$7500$$ $$км/ч^2$$. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 150

Скрыть

Чем больше ускорение, тем больше конечная скорость. Значит, максимальную скорость авто разовьёт при максимальном ускорении.

$$V^2=2Sa=2cdot1,5cdot7500=22500$$

$$V=sqrt{22500}=pm150$$

Отрицательный корень отбрасываем, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Задание 8

Магазин выставил на продажу товар с наценкой 60% от закупочной цены. После продажи 70% всего товара магазин снизил назначенную цену на 40% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина?

Ответ: 40,8

Скрыть

Для удобства сразу переведём проценты в десятичные дроби:

100% — 1

60%  — 0,6

70%  — 0,7

40%  — 0,4

$$1+0,6=1,6$$ (или 160%) — составила продажная цена товара от закупочной цены

$$1-0,4=0,6$$ (или 60%) — составила цена товара после уценки на 40%

$$1,6cdot0,6=0,96$$ (или 96%) — составила цена товара после уценки по отношению к первоначальной продажной цене

$$1-0.7=0,3$$ (или 30%)- от товара продано с уценкой на 40%

$$0,7cdot1,6+0,3cdot0,96=1,408$$ (или 140,8%) — составила общая продажная цена на товар

$$1,408-1=0,408$$ (или 40,8%) — составила прибыль магазина от закупочной цены

Задание 9

Ответ: 0,15

Скрыть

Точки $$(2;1)$$ и $$(-4;-1)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$left{begin{matrix} frac{k}{2+a}=1\ frac{k}{-4+a}=-1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} k=2+a\ k=4-a end{matrix}right.$$

$$2+a=4-a$$

$$2a=2$$

$$a=1$$

$$k=4-1=3$$

$$f(x)=frac{3}{x+1}$$

$$f(19)=frac{3}{19+1}=frac{3}{20}=0,15$$

Задание 10

Стрелок Олег стреляет по шести одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,3. Чему равно отношение вероятности события «Олег поразит ровно три мишени» к вероятности события «Олег поразит ровно четыре мишени»? Ответ округлите до сотых.

Ответ: 1,28

Скрыть

Вероятность поразить первым выстрелом $$0,3,$$ вторым $$0,7cdot0,3=0,21.$$ Значит, за 2 выстрела $$0,3+0,21=0,51.$$ Не поразить за 2: $$0,7cdot0,7=0,49.$$

Тогда ровно 3 мишени: $$0,51cdot0,51cdot0,51cdot0,49cdot0,49cdot0,49;$$ ровно 4 мишени: $$0,51^4cdot0,49^2$$

Получим: $$frac{(0,51)^3cdot(0,49)^3cdot C^3_6}{0,51^4cdot0,49^2cdot C^4_6}=frac{0,49cdot C^3_6}{0,51cdot C^4_6}$$

$$C^3_6$$ — количество комбинаций трёх попаданий

$$C^4_6$$ — количество комбинаций четырёх попаданий

$$C^3_6=frac{6!}{3!(6-3)!}=frac{6!}{3!cdot3!}=frac{3!cdot4cdot5cdot6}{3!cdot1cdot2cdot3}=20$$

$$C^4_6=frac{6!}{4!(6-4)!}=frac{4!cdot5cdot6}{4!cdot1cdot2}=15$$

$$P(A)=frac{49}{51}cdotfrac{20}{15}approx1,28$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=x^3-frac{48}{x^2}$$ на отрезке $$[-3; 2]$$

Ответ: -4

Скрыть

$$(x^3-frac{48}{x^2})’=frac{3(x^5+32)}{x^3}$$

$$frac{3(x^5+32)}{x^3}=0$$

$$x^5+32 = 0$$

$$x^5= -32 $$

$$x= — 2$$ входит в отрезок $$[-3;2]$$

$$y(-2)=(-2)^3-frac{48}{(-2)^2}=-20$$

$$y(-3)=(-2)^3-frac{48}{(-2)^2}=-frac{97}{3}=-32 1/3$$

$$y(2)=2^3-frac{48}{2^2}=-4$$

Наибольшее значение функции в точке $$x=2 ; y= -4$$

Ответ: $$- 4$$

А) Решите уравнение $$sin^2 2x=cos 2x+4sin^4x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{pi}{4};pi]$$

Дана четырехугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, $$АВ = 2, ВС = 2sqrt{2}.$$ Высота пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Из вершин А и С на ребро SB опущены перпендикуляры АР и CQ.

А) Докажите, что точка Р является серединой отрезка BQ.

Б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если ребро $$SD = 4.$$

В январе 2020 года был взят кредит в банке на 6 лет. Условия его возврата таковы:

— в феврале сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с январем;

— с марта по октябрь необходимо выплатить часть долга;

— в ноябре каждого года, с первого по четвертый, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем в январе того же года;

— в декабре четвертого года долг клиента должен равняться половине суммы, взятой в кредит;

— в ноябре пятого и шестого годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на ноябрь предыдущего года.

На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше последней на 8000 рублей?

Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R с центром в точке О, его диагонали АС и BD пересекаются в точке Р, а продолжения сторон ВС и AD пересекаются в точке Q.

а) Докажите, что $$AQcdot DQ + BPcdot DP = OQ^2-OP^2.$$

б) Найдите R, если $$АВ = 5, CD = 6, angle AQB = 30^{circ}.$$

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение:

$$log_4 (2x-1)cdotsqrt{x^2-4x+4a-a^2}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $$[0; 2].$$

Дано натуральное трехзначное число $$n,$$ в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь $$f(n),$$ в числителе которой само число $$n,$$ а в знаменателе — произведение всех цифр числа $$n.$$

А) Приведите пример такого числа $$n,$$ для которого $$f(n)=frac{119}{24}.$$

Б) Существует ли такое $$n,$$ что $$f(n)=frac{125}{24}?$$

В) Какое набольшее значение может принимать дробь $$f(n),$$ если она равна несократимой дроби со знаменателем 24?