Ларинский вариант егэ профильный уровень

Задание 1

Ответ: 135

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как дан прямоугольный треугольник, то сумма острых углов составляет 90 градусов $$(angle A+angle B=90).$$

Биссетрисы делят углы пополам, следовательно, сумма половин острых углов составит 45 градусов $$(0,5angle A+0,5angle B=45).$$

Тогда величина тупого угла между биссектрисами будет $$180-45=135^{circ}$$

Задание 2

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ все ребра равны $$sqrt{6}.$$ Найдите расстояние от точки $$С_1$$ до прямой $$ВА_1.$$

Ответ: 3

Скрыть

$$rho(C_1;BA_1)=h,$$ где $$h$$ — высота $$Delta C_1BA_1,$$ опущенная из $$C_1.$$

Из $$Delta A_1C_1D_1:$$

$$C_1A_1=sqrt{(sqrt{6})^2+(sqrt{6})^2}=sqrt{12}$$

$$Delta C_1BA_1$$ — равносторонний, тогда $$h=C_1cdotsin C_1BA_1=sqrt{12}cdotfrac{sqrt{3}}{2}=3$$

Задание 3

В плацкартном вагоне 54 места. Четные места — верхние, нечетные — нижние. Места с 37 по 54 — боковые. Пассажир Р. покупает билет. При покупке билета место определяется случайно. Найдите вероятность того, что пассажиру Р. достанется нижнее не боковое место. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,33

Скрыть

Нижние небоковые места имеют нечетные номера в диапазоне от 1 до 36. Таких чисел 18.

$$P(A)=frac{18}{54}=frac{1}{3}approx0,33$$

Задание 4

Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: из первого цеха — 70%, из второго цеха — 30%. Литье из первого цеха имеет 10% брака, литье из второго цеха — 20% брака. Случайно взятая болванка оказалась без дефекта. Найдите вероятность того, что она изготовлена первым цехом. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,72

Скрыть

1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

•событие $$А$$ = {болванка без дефекта};

•гипотеза $$Н_1$$ = {болванка изготовлена первым цехом}, $$Р(Н_1)=70%=0,7$$

•гипотеза $$Н_2$$ = {болванка изготовлена вторым цехом}, $$Р(Н_2)=30%=0,3$$

2. Так как литье первого цеха имеет 10% брака, то 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта, т.е. $$РН_1(А)=0,9.$$

Литье второго цеха имеет 20% брака, то 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта, т.е. $$РН_2(А)=0,8.$$

3. По формулу Бейеса найдем $$РА(Н_1)=0,7cdotfrac{0,9}{(0,7cdot0,9+0,3cdot0,8)}=frac{0,63}{0,87}approx0,72$$

Задание 5

Решите уравнение $$frac{sqrt{x^2-25}-12}{sqrt{-3x}}=0.$$

Ответ: -13

Скрыть

$$frac{sqrt{x^2-25}-12}{sqrt{-3x}}=0Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2-25=144\ -3x>0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x=pm13\ x<0 end{matrix}right.Leftrightarrow x=-13$$

Задание 6

Найдите $$log_asqrt[5]{a^4b^3},$$ если $$log_ba=-frac{1}{3}.$$

Ответ: -1

Скрыть

$$log_asqrt[5]{a^4b^3}=frac{1}{5}log_a a^4b^3=frac{1}{5}(log_a a^4+log_a b^3)=frac{1}{5}(4+3log_a b)=frac{1}{5}(4+frac{3}{log_b a})=$$

$$=frac{1}{5}(4+3:(-frac{1}{3}))=frac{1}{5}cdot(-5)=-1$$

Задание 7

Ответ: -3

Скрыть

Известно, что производная положительная в окрестностях точек, где функция возрастает и отрицательная, где функция убывает. Анализ графика производной показывает, что на участке $$[-5;-3]$$ функция $$f(x)$$ возрастала, а затем, на участке $$[-3; 0]$$ – убывала. Следовательно, максимальное значение она приобретает в точке $$-3.$$

Задание 8

Два тела массой $$m = 2$$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $$v = 10$$ м/с под углом $$2alpha$$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $$Q=mv^2sin^2alpha.$$ Под каким наименьшим углом $$2alpha$$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Ответ: 60

Скрыть

Выразим квадрат синуса из формулы энергии:

$$sin^alpha=frac{Q}{mv^2}$$

Подставим сюда числовые величины, получим:

$$sin^2alpha=frac{50}{2cdot10^2}=frac{1}{4}$$

откуда

$$sinalpha=pmfrac{1}{2}$$

В задаче спрашивают наименьший угол и в физике углы берутся из положительной области, поэтому имеем уравнение

$$sinalpha=frac{1}{2}Rightarrow alpha=arcsinfrac{1}{2}=30^{circ}$$

И, окончательно, угол $$2alpha=2cdot30^{circ}=60^{circ}.$$

Задание 9

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ: 6

Скрыть

Пусть $$x$$ км в час – собственная скорость байдарки, тогда

$$(x+3)$$ км в час – скорость байдарки по течению,

$$(x–3)$$ км в час – скорость байдарки против течения.

$$frac{15}{x+3}$$ час. – время в пути по течению

$$frac{15}{x–3}$$ час. – время в пути против течения.

Всего байдарка была в движении ( по течению и против течения)

18:00 — 10:00 — 1 час 20 мин (стоянки) = 6 часов 40 мин = $$6frac{2}{3}$$ = $$frac{20}{3}$$

$$frac{15}{x+3}+frac{15}{x–3}=frac{20}{3}$$

Делим на 5:

$$frac{3}{x+3}+frac{3}{x–3}=frac{4}{3}$$

$$9x–27+9x+27=4(x^2–9)$$

$$4x^2–18x–36=0$$

$$2x^2–9x–18=0$$

$$D=(-9)^2-4cdot2cdot(-18)=81+144=225$$

$$x_1=frac{9+15}{4}=6$$

Второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи.

Задание 10

Ответ: -2,5

Скрыть

График проходит через $$(0;-1,5)$$ и $$(frac{pi}{2};1).$$ Тогда:

$$left{begin{matrix} -1,5=acdotcos0+b\ 1=acdotcosfrac{pi}{2}+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} -1,5=a+b\ b=1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=-2,5\ b=1 end{matrix}right.$$

Задание 11

Найдите точку максимума функции: $$y=ln(x+9)-10x+7$$

Ответ: -8,9

Скрыть

$$y=ln(x+9)-10x+7$$

$$y’=frac{1}{x+9}-10$$

$$frac{1}{x+9}-10=0$$

$$frac{1}{x+9}=10$$

$$10x+90=1$$

$$10x=-89$$

$$x=-8,9$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка максимума функции: $$x=-8,9.$$

А) Решите уравнение $$frac{6sin x-2cos2x-4cos^2x-3}{sqrt{7}sin x-3cos x}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4pi;-3pi]$$

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены середины Р и Е отрезков АВ и AD соответственно.

А) Докажите, что прямые В₁Е и СР перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B₁E=$$5sqrt{5}$$?

На стороне ВС треугольника АВС, в котором АВ < BC, взята точка D так, что BD = AB. Биссектриса BL пересекает отрезок AD в точке Р, отрезок СК — перпендикуляр к прямой AD.

А) Докажите, что $$frac{BC}{AB}-frac{DK}{AP}=1$$

Б) Найдите отношение площади треугольника АВР к площади четырехугольника CDPL, если AB : BC = 5 : 7.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение:

$$2^{frac{2x}{1+x^2}}+acdotcos(frac{x^2-1}{x})+a^2=frac{5}{4}$$

имеет единственное решение.

На острове живут 3 серых, 28 бурых и 29 малиновых хамелеонов. При встрече двух хамелеонов разных цветов оба меняют свой цвет на третий (серый и бурый оба становятся малиновыми и т.п.).

А) Может ли в некоторый момент времени на острове оказаться 15 серых, 28 бурых и 17 малиновых хамелеонов?

Б) Может ли некоторый момент времени на острове оказаться 60 серых хамелеонов?

В) Какое наибольшее количество серых хамелеонов может оказаться на острове, при условии, что малиновых хамелеонов в этот момент времени ровно 2?