Математика егэ профиль 7 задание тест

ОТВЕТ: 25.

l – длина рельса. Так как рельс должен удлиниться на 3 мм, то его длина будет равна:   l = 10 м + 3 мм = 10 м + 0,003 м = 10,003 м.

(10,003 = 10left( {1 + 1,2 cdot {{10}^{ — 5}} cdot {t^ circ }} right))

(10,003 = 10 + 12 cdot {10^{ — 5}} cdot {t^ circ })

(12 cdot {10^{ — 5}} cdot {t^ circ } = 0,003)

({t^ circ } = frac{{0,003}}{{12 cdot {{10}^{ — 5}}}} = frac{{0,003 cdot {{10}^5}}}{{12}} = frac{{300}}{{12}} = 25)

Ответ: 25.

ОТВЕТ: 5 000.

(pi left( q right)) – операционная прибыль предприятия должна быть не меньше 300 000 руб.  Следовательно,

 (pi left( q right) geqslant 300,,000)

(qleft( {500 — 300} right) — 700,,000 geqslant 300,,000)

(200,q geqslant 1,,000,,000)

(q geqslant 5,,000)

Наименьший месячный объём производства:   (q = 5,,000.)

Ответ: 5 000.

ОТВЕТ: 1.

До дождя время падения камешков:  ({t_1} = 0,6,,c.)  Тогда до дождя расстояние до воды:

({h_1} = 5 cdot {0,6^2} = 1,8,) м.

Так как уровень воды после дождя поднялся, то время падения камешков уменьшится на 0,2 с;  то есть:  ({t_2} = 0,6 — 0,2 = 0,4,,c.)

Тогда после дождя расстояние до воды:

({h_2} = 5 cdot {0,4^2} = 0,8,) м.

Следовательно, уровень воды должен подняться на:

(vartriangle h = {h_1} — {h_2} = 1,8 — 0,8 = 1,) м.

Ответ: 1.

ОТВЕТ: 6.

Задача сводится к решению неравенства:

(rleft( p right) geqslant 240;,,,,,,q cdot p geqslant 240;,,,,pleft( {100 — 10p} right) geqslant 240)

( — 10{p^2} + 100p — 240 geqslant 0,,|,,:,left( { — 10} right))

({p^2} — 10p + 24 leqslant 0)

({p^2} — 10p + 24 = 0;,,,,{p_1} = 4,,,,,,{p_2} = 6)

 Следовательно, (p in left[ {4;,6} right]).  Наибольшая цена  p = 6 тыс. рублей.

Ответ: 6.

ОТВЕТ: 1,2.

Так как мяч должен находиться на высоте не менее трёх метров, то задача сводится к решению неравенства:  (hleft( t right) geqslant 3).

(1,6 + 8t — 5{t^2} geqslant 3)

(5{t^2} — 8t + 1,4 leqslant 0)

(5{t^2} — 8t + 1,4 = 0;,,,,,,{t_1} = 0,2,,,,,,,{t_2} = 1,4)

 

 Следовательно, (t in left[ {0,2;,1,4} right])  и мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров:  (vartriangle t = 1,4 — 0,2 = 1,2,,c.)

Ответ: 1,2.

ОТВЕТ: 2.

Вода не будет выливаться, если (Pleft( v right) geqslant 0.)  Следовательно, задача сводится к решению неравенства: (mleft( {frac{{{v^2}}}{L} — g} right) geqslant 0). Так как  m > 0,  то  (frac{{{v^2}}}{L} — g geqslant 0),  где  g = 10 м/c²  и  L = 40 см = 0,4 м.

(frac{{{v^2}}}{{0,4}} — 10 geqslant 0;,,,,,,,,{v^2} geqslant 4)

Следовательно,  (v in left( { — infty ;, — 2} right] cup left[ {2;,infty } right)), но так как v > 0, то (v in left[ {2;,infty } right)). Наименьшая скорость v = 2 м/с.

Ответ: 2.

ОТВЕТ: 50.

Так как в баке должна остаться четверть первоначального объёма воды, то (H = frac{1}{4}{H_0} = frac{1}{4} cdot 20 = 5).

(frac{g}{2}{k^2}{t^2} — sqrt {2g{H_0}} ,k,t + {H_0} = H)

Пусть k t = x. Тогда:      (frac{{10}}{2}{x^2} — sqrt {2 cdot 10 cdot 20} ,x + 20 = 5)

(5{x^2} — 20,x + 15 = 0,,|,,:,,,5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^2} — 4,x + 3 = 0,)

({x_1} = 1;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 3)

(k,t = 1;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k,t = 3)

(frac{1}{{50}},t = 1;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,frac{1}{{50}},t = 3)

(,{t_1} = 50;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{t_2} = 150)

Следовательно, через  t₁ = 50 с  в баке останется четверть первоначального объёма.

Ответ: 50

Замечание: Почему не подходит t₂ = 150 с? Если в исходную формулу вместо H подставить 0, то есть определить за какое время вода полностью вытечет из бака, то получим t = 100. Следовательно, через 100 секунд в баке не останется воды. Поэтому t₂ = 150 с не подходит.

ОТВЕТ: 20.

Так как спрашивают в течение какого времени вода будет вытекать из бака, то H = 0. Следовательно, задача сводится к решению квадратного уравнения:

(frac{1}{{100}}{t^2} — frac{2}{5}t + 4 = 0,,|, cdot ,100,,,,, Leftrightarrow ,,,,{t^2} — 40t + 400 = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,t = 20.)

Следовательно, за 20 минут вся вода вытечет из бака.

Ответ: 20.

ОТВЕТ: 90.

Высота стены равна 8 м. Так как камни должны пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра, то задача сводится к решению неравенства: (y geqslant 8 + 1 = 9)

( — frac{1}{{100}}{x^2} + x geqslant 9,,|, cdot ,left( { — 100} right),,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x^2} — 100x + 900 leqslant 0,)

({x^2} — 100x + 900 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} = 10;,,,,,,{x_2} = 90)

Следовательно, (x in left[ {10;,90} right]) и наибольшее расстояние на котором нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра равно 90 метров.
Ответ: 90.

ОТВЕТ: 2.

Определим когда температура нагревателя будем не более 1 760 К. Для этого необходимо решить неравенство:  (Tleft( t right) leqslant 1760.)

(1400 + 200t — 10{t^2} leqslant 1760,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — 10{t^2} + 200t — 360 leqslant 0,,|,:,left( { — 10} right))

({t^2} — 20t + 36 geqslant 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t in left( { — infty ;,2} right] cup left[ {18;,infty } right).)

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, наибольшее время после начала работы когда прибор нужно отключить это 2 минуты.

Ответ: 2.

ОТВЕТ: 20.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (varphi  leqslant 1200.)

(20t + frac{{4{t^2}}}{2} leqslant 1200,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t^2} + 10t — 600 leqslant 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t in left[ { — 30;,20} right].)

Следовательно, не позже чем через 20 минут рабочий должен проверить работу лебёдки.

Ответ: 20.

ОТВЕТ: 30.

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если  (S leqslant 30.)  Следовательно, задача сводится к решению следующего неравенства:

(57t + frac{{12{t^2}}}{2} leqslant 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2{t^2} + 19t — 10 leqslant 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t in left[ { — 10;,0,5} right].)

Так как (t geqslant 0,) то  (t in left[ {0;,0,5} right].) Следовательно, наибольшее время t = 0,5 ч = 30 минут.

Ответ: 30.

ОТВЕТ: 2.

Задача сводится к решению следующего квадратного уравнения:

(30 = 20t — frac{{5{t^2}}}{2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t^2} — 8t + 12 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t_1} = 2,,,,,{t_2} = 6.)

Следовательно, через 2 секунды автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

Замечание: Почему не подходит t₂ = 6 с?  Автомобиль остановится в тот момент, когда будет пройден наибольший путь: (S = 20t — frac{{5{t^2}}}{2}.)  Парабола, направленная ветвями вверх, достигнет наибольшего значения в вершине: ({t_0} =  — frac{b}{{2a}} =  — frac{{20}}{{2 cdot left( { — 2,5} right)}} = 4.)  Следовательно, через 4 секунды автомобиль остановится, поэтому t₂ = 6 с не подходит.

ОТВЕТ: 5.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: (I leqslant 625.)

(frac{{left( {8 + 2 cdot 1} right) cdot {{10}^2}}}{2} + 1 cdot left( {2 cdot 10 cdot h + {h^2}} right) leqslant 625,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{h^2} + 20h — 125 leqslant 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,h in left[ { — 25;,5} right].)

Следовательно, наибольшее значение h = 5 см.

Ответ: 5.

ОТВЕТ: 2.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: ({F_A} leqslant 78,400.)

(1000 cdot 9,8 cdot {l^3} leqslant 78400,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{l^3} leqslant 8,,,,, Leftrightarrow ,,,,,l leqslant 2.)

Следовательно, наибольшее значение l = 2 м.

Ответ: 2.

ОТВЕТ: 2.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: ({F_A} leqslant 336,000.)

(4,2 cdot 1000 cdot 10 cdot {r^3} leqslant 336000,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{r^3} leqslant 8,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r leqslant 2.)

Следовательно, наибольшее значение  r = 2 м.

Ответ: 2.

ОТВЕТ: 4 000.

Задача сводится к решению следующего уравнения:

(9,12 cdot {10^{25}} = 5,7 cdot {10^{ — 8}} cdot frac{1}{{16}} cdot {10^{20}} cdot {T^4},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{T^4} = frac{{16 cdot 9,12 cdot {{10}^{25}}}}{{5,7 cdot {{10}^{12}}}})

(T = sqrt[4]{{frac{{16 cdot 912 cdot {{10}^{12}}}}{{57}}}} = sqrt[4]{{16 cdot 16 cdot {{10}^{12}}}} = 2 cdot 2 cdot {10^3} = 4,000,,{text{K}}{text{.}})

Ответ: 4 000.

ОТВЕТ: 36.

Так как  f = 30 см,  то  (frac{1}{{{d_1}}} + frac{1}{{{d_2}}} = frac{1}{{30}}.)  Расстояние от линзы до лампочки d₁ должно быть наименьшим, тогда слагаемое (frac{1}{{{d_1}}}) должно принимать наибольшее значение, а слагаемое (frac{1}{{{d_2}}}) соответственно наоборот наименьшее, которое будет получено при наибольшем значении d₂. Следовательно, d₂ = 180.

(frac{1}{{{d_1}}} + frac{1}{{180}} = frac{1}{{30}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{1}{{{d_1}}} = frac{1}{{30}}, — frac{1}{{180}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{1}{{{d_1}}} = frac{1}{{36}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{d_1} = 36) см.

По условию задачи расстояние d₁ от линзы до лампочки меняется в пределах от 30 до 50. Следовательно, найденное значение удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 36.

ОТВЕТ: 7.

Так как частота второго гудка  f  больше первого и человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, то задача сводится к решению рационального неравенства:  (fleft( v right) geqslant 440 + 10 = 450.)

(frac{{440}}{{1 — frac{v}{{315}}}} geqslant 450,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{440}}{{450}} geqslant 1 — frac{v}{{315}},,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{v}{{315}} geqslant 1 — frac{{44}}{{45}},,,, Leftrightarrow ,,,,frac{v}{{315}} geqslant frac{1}{{45}},,,, Leftrightarrow ,,,v geqslant 7) м/с.

Следовательно, наименьшая скорость тепловоза  v = 7 м/с.

Ответ: 7.

ОТВЕТ: 4.

По условию задачи сила тока должна составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания, то есть  (I leqslant {I_{k3}} cdot frac{{20}}{{100}}.)

(fracvarepsilon{{R{text{ + 1}}}} leqslant fracvarepsilon{1} cdot frac{1}{5},,|,:,varepsilon > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{1}{{R + 1}} leqslant frac{1}{5},,|, cdot 5left( {R + 1} right) > 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,R + 1 geqslant 5,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,R geqslant 4)  Ом.

Следовательно, наименьшее сопротивление цепи  R = 4 Ом.

Ответ: 4.

ОТВЕТ: 55.

Задача сводится к решению неравенства:   (I leqslant 4,{text{A}}{text{.}})

(frac{{220}}{R} leqslant 4,,|, cdot ,R > 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,220 leqslant 4R,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,R geqslant 55) Ом.

Следовательно, наименьшее сопротивление  R = 55 Ом.

Ответ: 55.

ОТВЕТ: 120.

Так как амплитуда колебаний A(ω) должна превосходить величину А₀ не более чем на 12,5%, то должно выполняться неравенство:

(Aleft( omega  right) leqslant {A_0} cdot frac{{112,5}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{A{_0}omega _p^2}}{{left| {,omega _p^2 — omega _{}^2} right|}} leqslant {A_0} cdot 1,125,,|,,:,,{A_0} > 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{omega _p^2}}{{left| {,omega _p^2 — omega _{}^2} right|}} leqslant 1frac{1}{8}.)

По условию задачи (omega  < {omega _p},,,, Leftrightarrow ,,,,{omega _p} > omega ,,,,, Leftrightarrow ,,,,omega _p^2 > {omega ^2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,omega _p^2 — {omega ^2}, > 0).

Поэтому:  (left| {omega _p^2 — {omega ^2}} right|, > omega _p^2 — {omega ^2}.)

(,frac{{omega _p^2}}{{omega _p^2 — omega _{}^2}} leqslant frac{9}{8},,|,, cdot ,8left( {omega _p^2 — omega _{}^2} right) > 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,8omega _p^2 leqslant 9 cdot omega _p^2 — 9omega _{}^2,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,9omega _{}^2 leqslant omega _p^2,,,, Leftrightarrow )

(omega _{}^2 leqslant frac{{omega _p^2}}{9},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,omega  leqslant frac{{{omega _p}}}{3},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,omega  leqslant frac{{360}}{3},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,omega  leqslant 120,{c^{ — 1}}.)

Следовательно, максимальная частота  ω = 120 с^-1.

Ответ: 120.

ОТВЕТ: 10.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  R_общ ≥ 9 Ом  и нахождению наименьшего значения  R₂  при заданном  R₁ = 90 Ом.

(frac{{90{R_2}}}{{90 + {R_2}}} geqslant 9,,|,, cdot left( {90 + {R_2}} right) > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,90{R_2} geqslant 810 + 9{R_2},,,, Leftrightarrow ,,,,81{R_2} geqslant 810,,, Leftrightarrow ,,,{R_2} geqslant 10) Ом.

Следовательно, наименьшее значение  R₂ = 10 Ом.

Ответ: 10.

ОТВЕТ: 400.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (eta  geqslant 15% )  и нахождению наименьшего значения  T₁  при заданном  T₂ = 340 K.

(frac{{{T_1} — 340}}{{{T_1}}} cdot 100 geqslant 15,,|, cdot {T_1} > 0,,, Leftrightarrow ,,,100{T_1} — 34000 geqslant 15{T_1},, Leftrightarrow ,,85{T_1} geqslant 34000,, Leftrightarrow ,,{T_1} geqslant 400)K.

Следовательно, наименьшее значение  T₁ = 400 K.

Ответ: 400.

ОТВЕТ: 18.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (eta  leqslant 21% )  и нахождению наименьшего значения  m_др.

(frac{{4,2 cdot {{10}^3} cdot 83 cdot left( {100 — 10} right)}}{{8,3 cdot {{10}^6} cdot m}} cdot 100 leqslant 21,,|, cdot m > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{42 cdot {{10}^3} cdot 83 cdot 9 cdot {{10}^2}}}{{83 cdot {{10}^5}}} leqslant 21m,,,, Leftrightarrow ,)

( Leftrightarrow ,,,,42 cdot 9 leqslant 21m,,, Leftrightarrow ,,,m geqslant 18) кг.

Следовательно, наименьшее значение  m = 18 кг.

Ответ: 18.

ОТВЕТ: 2,5.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (p leqslant 140)кПа и нахождению наименьшего значения  s.

(frac{{1260 cdot 10}}{{2 cdot 18 cdot s}} leqslant 140,,|, cdot s > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,350 leqslant 140;s,,,, Leftrightarrow ,,,,,s geqslant 2,5)м.

Следовательно, наименьшее значение  s = 2,5 м.

Ответ: 2,5.

ОТВЕТ: 390.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (f geqslant 160) Гц  и нахождению наибольшего значения  с.

(150 cdot frac{{c + 10}}{{c — 15}} geqslant 160,,|, cdot left( {c — 15} right) > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,150c + 1500 geqslant 160c — 2400,,,, Leftrightarrow ,,,,,,c leqslant 390) м/с.

Следовательно, наибольшее значение  с = 390 м/с.

Ответ: 390.

ОТВЕТ: 751.

Задача сводится к решению следующего неравенства:  (v leqslant 2) м/c  и нахождению наибольшего значения  f.

(1500 cdot frac{{f — 749}}{{f + 749}} leqslant 2,,|, cdot frac{{f + 749}}{2} > 0,,,, Leftrightarrow ,,,,750f — 750 cdot 749 leqslant f + 749,,,, Leftrightarrow ,)

( Leftrightarrow ,,,,749f leqslant 750 cdot 749 + 749,,,, Leftrightarrow ,,,,,749f leqslant 751 cdot 749,,,,, Leftrightarrow ,,,,,f leqslant 751) МГц.

Следовательно, наибольшее значение  f = 751 МГц.

Ответ: 751.

ОТВЕТ: 100.

Так как  (a = frac{{{v^2}}}{{2,,l}}),  то задача сводится к решению неравенства:  (a geqslant 5000) км/ч²  и нахождению наименьшего значения  v.

(frac{{{v^2}}}{{2 cdot 1}} geqslant 5000,,,,,, Leftrightarrow ,,,,{v^2} geqslant 10000,,,, Leftrightarrow ,,,,,,v geqslant 100) км/ч.

Следовательно, наименьшее значение  v = 100 км/ч.

Ответ: 100.

ОТВЕТ: 0,2.

Задача сводится к решению неравенства:  (P leqslant 400000) Па  и нахождению наименьшего значения  D.

(frac{{4 cdot 1200 cdot 10}}{{3 cdot {D^2}}} leqslant 400000,|, cdot ,{D^2} > 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,4 cdot 4 leqslant 400{D^2},,,, Leftrightarrow ,,,,,,{D^2} geqslant frac{1}{{25}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,D geqslant 0,2) м.

Следовательно, наименьшее значение  D = 0,2 м.

Ответ: 0,2.

ОТВЕТ: 30.

Задача сводится к решению неравенства:  (F geqslant 2400) Н  и нахождению наибольшего значения  t.

(frac{{2 cdot 2160 cdot 500}}{{{t^2}}} geqslant 2400,,|, cdot ,{t^2} > 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,21600 geqslant 24{t^2},,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t^2} leqslant 900,,,, Leftrightarrow ,,,,,t leqslant 30) c.

Следовательно, наибольшее значение  t = 30 c.

Ответ: 30.

ОТВЕТ: 7,3.

Вычислим длину ванты на расстоянии 30 метров от пилона, то есть найдём y (30).

(yleft( {30} right) = 0,005 cdot {30^2} — 0,74 cdot 30 + 25 = 4,5 — 22,2 + 25 = 7,3) м.

Ответ: 7,3.